अनंत निकट बिंदु: Difference between revisions

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[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक [[बीजगणितीय सतह]] ''S'' का एक असीम रूप से निकट बिंदु S का एक असीम रूप से निकट बिंदु S से प्राप्त सतह पर एक बिंदु है जो बार-बार बिंदुओं को उड़ाकर प्राप्त किया जाता है। {{harvs|txt|first=मैक्स|last=नोथेर|authorlink=मैक्स नोथेर|year=1876}} द्वारा बीजगणितीय सतहों के असीम रूप से निकट बिंदु निकट प्रस्तुत किए गए थे<ref>''Infinitely Near Points on Algebraic Surfaces'', Gino Turrin, ''American Journal of Mathematics'', Vol. 74, No. 1 (Jan., 1952), pp. 100–106</ref>
[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक [[बीजगणितीय सतह]] ''S'' का '''अनंत निकट बिंदु''' S का एक अनंत निकट बिंदु S से प्राप्त सतह पर एक बिंदु है जो बार-बार बिंदुओं को [[उड़ाते हुए|ब्लोइंग]] कर प्राप्त किया जाता है। {{harvs|txt|first=मैक्स|last=नोथेर|authorlink=मैक्स नोथेर|year=1876}} द्वारा बीजगणितीय सतहों के अनंत निकट बिंदु निकट प्रस्तुत किए गए थे<ref>''Infinitely Near Points on Algebraic Surfaces'', Gino Turrin, ''American Journal of Mathematics'', Vol. 74, No. 1 (Jan., 1952), pp. 100–106</ref>


"असीम रूप से निकट बिंदु" के कुछ अन्य अर्थ हैं। उच्च-आयामी किस्मों के लिए असीम रूप से निकट बिंदुओं को भी परिभाषित किया जा सकता है: ऐसा करने के कई असमान विधियाँ हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि किसी को उड़ाने की अनुमति क्या है। वील ने चिकनी किस्मों के असीम रूप से निकट बिंदुओं की परिभाषा दी,<ref>[4] Weil, A., ''Theorie des points proches sur les variétés differentielles'', Colloque de Topologie et Geometrie Diferentielle, Strasbourg, 1953, 111–117; in his ''Collected Papers'' II. The notes to the paper there indicate this was a rejected project for the [[Bourbaki group]]. Weil references [[Pierre de Fermat]]'s approach to calculus, as well as the jets of [[Charles Ehresmann]]. For an extended treatment, see O. O. Luciano, ''Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points'',  Nagoya Math. J.  109 (1988), 69–89 (online [https://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118780892 here]) for a full discussion.</ref> हालांकि ये बीजगणितीय ज्यामिति में अपरिमित रूप से निकट बिंदुओं के समान नहीं हैं।
"अनंत निकट बिंदु" के कुछ अन्य अर्थ हैं। उच्च-आयामी किस्मों के लिए अनंत निकट बिंदुओं को भी परिभाषित किया जा सकता है: ऐसा करने के कई असमान विधियाँ हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि किसी को ब्लो की अनुमति क्या है। वेइल ने समतल किस्मों के अनंत निकट बिंदुओं की परिभाषा दी,<ref>[4] Weil, A., ''Theorie des points proches sur les variétés differentielles'', Colloque de Topologie et Geometrie Diferentielle, Strasbourg, 1953, 111–117; in his ''Collected Papers'' II. The notes to the paper there indicate this was a rejected project for the [[Bourbaki group]]. Weil references [[Pierre de Fermat]]'s approach to calculus, as well as the jets of [[Charles Ehresmann]]. For an extended treatment, see O. O. Luciano, ''Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points'',  Nagoya Math. J.  109 (1988), 69–89 (online [https://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118780892 here]) for a full discussion.</ref> चूँकि ये बीजगणितीय ज्यामिति में अपरिमित रूप से निकट बिंदुओं के समान नहीं हैं। अति[[वास्तविक संख्या]]ओं की रेखा में, वास्तविक संख्या रेखा का एक विस्तार, दो बिंदुओं को असीम रूप से निकट कहा जाता है यदि उनका अंतर अपरिमेय है।
अति[[वास्तविक संख्या]]ओं की रेखा में, वास्तविक संख्या रेखा का एक विस्तार, दो बिंदुओं को असीम रूप से निकट कहा जाता है यदि उनका अंतर अपरिमेय है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


जब [[उड़ाते हुए]] को किसी सतह S पर बिंदु P पर लागू किया जाता है, तो नई सतह S* में एक संपूर्ण वक्र C होता है जहाँ P हुआ करता था। C के बिंदुओं की ज्यामितीय व्याख्या P से S पर स्पर्शरेखा दिशाओं के रूप में होती है। उन्हें S* के बजाय S पर विज़ुअलाइज़ करने के विधियाँ के रूप में P के असीम रूप से निकट कहा जा सकता है। अधिक आम तौर पर इस निर्माण को नए वक्र सी पर एक बिंदु उड़ाकर पुनरावृत्त किया जा सकता है, और इसी तरह।
जब [[उड़ाते हुए|ब्लोइंग अप]] को किसी सतह S पर बिंदु P पर लागू किया जाता है, तो नई सतह S* में एक संपूर्ण वक्र C होता है जहाँ P हुआ करता था। C के बिंदुओं की ज्यामितीय व्याख्या P से S पर स्पर्शरेखा दिशाओं के रूप में होती है। उन्हें S* के अतिरिक्त S पर विज़ुअलाइज़ करने के विधि के रूप में P के असीम रूप से निकट कहा जा सकता है। इसी तरह सामान्यतः इस निर्माण को नए वक्र C पर एक बिंदु [[उड़ाते हुए|ब्लोइंग]] कर पुनरावृत्त किया जा सकता है।


एक 'अपरिमित निकट बिंदु' (क्रम n का) P<sub>''n''</sub> सतह पर एस<sub>0</sub> बिंदु P के अनुक्रम द्वारा दिया गया है<sub>0</sub>, पी<sub>1</sub>,...,पी<sub>''n''</sub> सतहों पर एस<sub>0</sub>, एस<sub>1</sub>,...,एस<sub>''n''</sub> ऐसा कि एस<sub>''i''</sub> S को फूंक कर दिया जाता है<sub>''i''–1</sub> बिंदु पर पी<sub>''i''–1</sub> और पी<sub>i</sub> पृष्ठ S का एक बिंदु है<sub>i</sub> छवि पी के साथ<sub>''i''–1</sub>.
एक सतह ''S''<sub>0</sub> पर एक अपरिमित निकट बिंदु (क्रम n का) ''P<sub>n</sub>'' सतहों ''S''<sub>0</sub> पर बिंदुओं  ''P''<sub>0</sub>, ''P''<sub>1</sub>,...,''P<sub>n</sub>'' के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है, ''S''<sub>1</sub>,...,''S<sub>n</sub>'' इस प्रकार है कि ''S<sub>i</sub>''<sub>–1</sub> को बिंदु ''P<sub>i</sub>''<sub>–1</sub> पर ब्लोविंग कर ''S<sub>i</sub>'' दिया जाता है और ''P<sub>i</sub>''<sub>–1</sub> छवि के साथ ''S<sub>i</sub>'' सतह का एक बिंदु है।


विशेष रूप से सतह S के बिंदु क्रम 0 के S पर अपरिमित रूप से निकट बिंदु हैं।
विशेष रूप से सतह ''S'' के बिंदु क्रम ''0'' के ''S'' पर अपरिमित रूप से निकट बिंदु हैं।


असीम रूप से निकट बिंदु 0-आयामी केंद्र के साथ S के फ़ंक्शन फ़ील्ड के 1-आयामी मूल्यांकन के अनुरूप हैं, और विशेष रूप से ज़रिस्की-रीमैन सतह के कुछ बिंदुओं के अनुरूप हैं। (1-आयामी केंद्र के साथ 1-आयामी मूल्यांकन एस के अलघुकरणीय वक्रों के अनुरूप हैं।) अनंत अनुक्रम पी का निर्माण करते हुए, निर्माण को अनंत रूप से पुनरावृत्त करना भी संभव है।<sub>0</sub>, पी<sub>1</sub>,... अपरिमित रूप से निकट बिंदुओं का। ये अनंत क्रम सतह के कार्य क्षेत्र के 0-आयामी मूल्यांकन के अनुरूप हैं, जो ज़ारिस्की-रीमैन सतह के 0-आयामी बिंदुओं के अनुरूप हैं।
अनंत निकट बिंदु ''0''-आयामी केंद्र के साथ ''S'' के फलन क्षेत्र के 1-आयामी मूल्यांकन के अनुरूप हैं, और विशेष रूप से ज़रिस्की-रीमैन सतह के कुछ बिंदुओं के अनुरूप हैं। (1-आयामी केंद्र के साथ 1-आयामी मूल्यांकन एस के अलघुकरणीय वक्रों के अनुरूप हैं।) असीमित रूप से निकट बिंदुओं के अनंत अनुक्रम ''P<sub>0</sub>, P<sub>1</sub>,..'' का उत्पादन करते हुए,  निर्माण को अनंत रूप से पुनरावृत्त करना भी संभव है। ये अनंत अनुक्रम सतह के कार्य क्षेत्र के ''0''-आयामी मूल्यांकन के अनुरूप हैं, जो '''ज़रिस्की-रीमैन''' सतह के "0-आयामी" बिंदुओं के अनुरूप हैं।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==


यदि C और D एक बिंदु p पर प्रतिच्छेद करने वाली चिकनी सतह S पर अलग-अलग अलघुकरणीय वक्र हैं, तो p पर उनके प्रतिच्छेदन की बहुलता निम्न द्वारा दी जाती है
यदि C और D एक बिंदु p पर प्रतिच्छेद करने वाली समतल सतह S पर अलग-अलग अलघुकरणीय वक्र होते  हैं, तो p पर उनके प्रतिच्छेदन की बहुलता निम्न द्वारा दी जाती है
:<math>\sum_{x \text{ infinitely near }p} m_x(C)m_x(D)</math>
:<math>\sum_{x \text{ infinitely near }p} m_x(C)m_x(D)</math>
जहां एम<sub>''x''</sub>(C) x पर C की बहुलता है। सामान्य तौर पर यह m से बड़ा होता है<sub>''p''</sub>(सेमी<sub>''p''</sub>(D) यदि C और D की x पर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, ताकि वे 0 से बड़े क्रम के अनंत बिंदुओं पर भी प्रतिच्छेद करें, उदाहरण के लिए यदि C रेखा y = 0 है और D परवलय y = x है<sup>2</sup> और p = (0,0)।
जहां ''m<sub>x</sub>''(''C'') ''x'' पर C की बहुलता है। सामान्यतः यह ''m<sub>p</sub>''(''C'')''m<sub>p</sub>''(''D'') से बड़ा होता है यदि C और D की x पर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, जिससे की वे 0 से बड़े क्रम के अनंत बिंदुओं पर भी प्रतिच्छेद करें, उदाहरण के लिए यदि ''C'' रेखा ''y'' = 0 है और D परवलय ''y'' = ''x''<sup>2</sup> है और ''p'' = (0,0)।


C की जाति किसके द्वारा दी गई है
C की श्रेणी किसके द्वारा दी गई है<math> g(C)=g(N)+\sum_{\text{infinitely near points }x}m_x(m_x-1)/2</math>
:<math> g(C)=g(N)+\sum_{\text{infinitely near points }x}m_x(m_x-1)/2</math>
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जहाँ N, C और m का सामान्यीकरण है<sub>''x''</sub> C पर असीम रूप से निकट बिंदु x की बहुलता है।
जहाँ N, C और m का सामान्यीकरण है<sub>''x''</sub> C पर अनंत निकट बिंदु x की बहुलता है।


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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*{{citation|first=M. |last=Noether|title=Ueber die singularen Werthsysteme einer algebraischen Function und die singularen Punkte einer algebraischen Curve|journal= Mathematische Annalen
*{{citation|first=M. |last=Noether|title=Ueber die singularen Werthsysteme einer algebraischen Function und die singularen Punkte einer algebraischen Curve|journal= Mathematische Annalen
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Latest revision as of 09:19, 10 May 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक बीजगणितीय सतह S का अनंत निकट बिंदु S का एक अनंत निकट बिंदु S से प्राप्त सतह पर एक बिंदु है जो बार-बार बिंदुओं को ब्लोइंग कर प्राप्त किया जाता है। मैक्स नोथेर (1876) द्वारा बीजगणितीय सतहों के अनंत निकट बिंदु निकट प्रस्तुत किए गए थे[1]

"अनंत निकट बिंदु" के कुछ अन्य अर्थ हैं। उच्च-आयामी किस्मों के लिए अनंत निकट बिंदुओं को भी परिभाषित किया जा सकता है: ऐसा करने के कई असमान विधियाँ हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि किसी को ब्लो की अनुमति क्या है। वेइल ने समतल किस्मों के अनंत निकट बिंदुओं की परिभाषा दी,[2] चूँकि ये बीजगणितीय ज्यामिति में अपरिमित रूप से निकट बिंदुओं के समान नहीं हैं। अतिवास्तविक संख्याओं की रेखा में, वास्तविक संख्या रेखा का एक विस्तार, दो बिंदुओं को असीम रूप से निकट कहा जाता है यदि उनका अंतर अपरिमेय है।

परिभाषा

जब ब्लोइंग अप को किसी सतह S पर बिंदु P पर लागू किया जाता है, तो नई सतह S* में एक संपूर्ण वक्र C होता है जहाँ P हुआ करता था। C के बिंदुओं की ज्यामितीय व्याख्या P से S पर स्पर्शरेखा दिशाओं के रूप में होती है। उन्हें S* के अतिरिक्त S पर विज़ुअलाइज़ करने के विधि के रूप में P के असीम रूप से निकट कहा जा सकता है। इसी तरह सामान्यतः इस निर्माण को नए वक्र C पर एक बिंदु ब्लोइंग कर पुनरावृत्त किया जा सकता है।

एक सतह S0 पर एक अपरिमित निकट बिंदु (क्रम n का) Pn सतहों S0 पर बिंदुओं P0, P1,...,Pn के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है, S1,...,Sn इस प्रकार है कि Si–1 को बिंदु Pi–1 पर ब्लोविंग कर Si दिया जाता है और Pi–1 छवि के साथ Si सतह का एक बिंदु है।

विशेष रूप से सतह S के बिंदु क्रम 0 के S पर अपरिमित रूप से निकट बिंदु हैं।

अनंत निकट बिंदु 0-आयामी केंद्र के साथ S के फलन क्षेत्र के 1-आयामी मूल्यांकन के अनुरूप हैं, और विशेष रूप से ज़रिस्की-रीमैन सतह के कुछ बिंदुओं के अनुरूप हैं। (1-आयामी केंद्र के साथ 1-आयामी मूल्यांकन एस के अलघुकरणीय वक्रों के अनुरूप हैं।) असीमित रूप से निकट बिंदुओं के अनंत अनुक्रम P0, P1,.. का उत्पादन करते हुए, निर्माण को अनंत रूप से पुनरावृत्त करना भी संभव है। ये अनंत अनुक्रम सतह के कार्य क्षेत्र के 0-आयामी मूल्यांकन के अनुरूप हैं, जो ज़रिस्की-रीमैन सतह के "0-आयामी" बिंदुओं के अनुरूप हैं।

अनुप्रयोग

यदि C और D एक बिंदु p पर प्रतिच्छेद करने वाली समतल सतह S पर अलग-अलग अलघुकरणीय वक्र होते हैं, तो p पर उनके प्रतिच्छेदन की बहुलता निम्न द्वारा दी जाती है

जहां mx(C) x पर C की बहुलता है। सामान्यतः यह mp(C)mp(D) से बड़ा होता है यदि C और D की x पर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, जिससे की वे 0 से बड़े क्रम के अनंत बिंदुओं पर भी प्रतिच्छेद करें, उदाहरण के लिए यदि C रेखा y = 0 है और D परवलय y = x2 है और p = (0,0)।

C की श्रेणी किसके द्वारा दी गई है

जहाँ N, C और m का सामान्यीकरण हैx C पर अनंत निकट बिंदु x की बहुलता है।

संदर्भ

  1. ↑ Infinitely Near Points on Algebraic Surfaces, Gino Turrin, American Journal of Mathematics, Vol. 74, No. 1 (Jan., 1952), pp. 100–106
  2. ↑ [4] Weil, A., Theorie des points proches sur les variétés differentielles, Colloque de Topologie et Geometrie Diferentielle, Strasbourg, 1953, 111–117; in his Collected Papers II. The notes to the paper there indicate this was a rejected project for the Bourbaki group. Weil references Pierre de Fermat's approach to calculus, as well as the jets of Charles Ehresmann. For an extended treatment, see O. O. Luciano, Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points, Nagoya Math. J. 109 (1988), 69–89 (online here) for a full discussion.
  • Noether, M. (1876), "Ueber die singularen Werthsysteme einer algebraischen Function und die singularen Punkte einer algebraischen Curve", Mathematische Annalen, 9 (2): 166–182, doi:10.1007/BF01443372, S2CID 120376948
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