औपचारिक योजना

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में औपचारिक योजना एक प्रकार की समष्टि है जिसमें इसके परिवेश के विषय में आँकड़ा सम्मिलित होता है। एक प्रकार की सामान्य योजना (गणित) के विपरीत औपचारिक योजना में अतिसूक्ष्म आँकड़ा सम्मिलित होता है जो वास्तव में, योजना की दिशा को इंगित करता है। इस कारण से विरूपण सिद्धांत जैसे विषयों में औपचारिक योजनाएँ प्रायः प्रदर्शित होती हैं लेकिन इस अवधारणा का उपयोग एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए भी किया जाता है जैसे कि औपचारिक फलनों की प्रमेय मे इसका उपयोग सामान्य योजनाओं के लिए ब्याज की प्रमेय को निकालने के लिए किया जाता है।

स्थानीय रूप से नोथेरियन योजना एक स्थानीय नोएथेरियन औपचारिक योजना है जो विहित प्रकार से औपचारिक पूर्णता के साथ है। दूसरे शब्दों में, स्थानीय नोथेरियन औपचारिक योजनाओं की श्रेणी में सभी स्थानीय नोथेरियन योजनाएं सम्मिलित होती हैं।

औपचारिक योजनाएँ ज़ारिस्की के औपचारिक पूर्ण सममितिक फलन के सिद्धांत से प्रेरित और सामान्य है।

औपचारिक योजनाओं पर आधारित बीजगणितीय ज्यामिति को औपचारिक बीजगणितीय ज्यामिति कहा जाता है।

परिभाषा

औपचारिक योजनाओं को सामान्यतः केवल नोथेरियन योजना की स्थिति में ही परिभाषित किया जाता है जबकि गैर-नोथेरियन औपचारिक योजनाओं की कई परिभाषाएँ हैं। ये तकनीकी समस्याओं का सामना करती हैं जिसके परिणाम स्वरूप हम केवल स्थानीय रूप से नोएथेरियन औपचारिक योजनाओं को परिभाषित कर सकते है।

सभी वलय को क्रमविनिमेय और इकाई के साथ माना जाता है मान लीजिए कि A (नोथेरियन) सांस्थितिक वलय है अर्थात वलय A जो एक सांस्थितिक समष्टि है जैसे कि जोड़ और गुणा के संचालन निरंतर होते हैं। यदि शून्य में आदर्शों का आधार है A रैखिक रूप से सांस्थितिक समष्टि है। परिभाषा का एक आदर्श ${\mathcal {J}}$ को रैखिक रूप से सांस्थितिक वलय के लिए विवृत है जैसे कि 0 के प्रत्येक विवृत समुच्चय V के लिए धनात्मक पूर्णांक n सम्मिलित है जैसे कि ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$ उपसमुच्चय V एक रैखिक रूप से सांस्थितिक वलय स्वीकार्य है यदि यह परिभाषा उपयुक्त धनात्मक पूर्णांक को स्वीकृत करती है और यह पूर्णांक स्वीकार्य है यदि तब निकोलस बोरबाकी की शब्दावली में, यह "पूर्ण और भिन्न" है।

माना कि A ग्रह्य फलन है और ${\mathcal {J}}$ परिभाषा का एक अभाज्य गुणज है यदि और केवल यदि उसमें ${\mathcal {J}}$ समाविष्ट हो। तब A के विवृत प्रमुख आदर्शों का समुच्चय या समतुल्य रूप से $A/{\mathcal {J}}$ के प्रमुख आदर्शों का समुच्चय A के औपचारिक स्पेक्ट्रम का अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि है जिसे एसपीएफ़ A मे निरूपित किया गया है। एसपीएफ़ A में एक संरचना शीफ ​​है जिसे परिभाषित किया गया है एक वलय के स्पेक्ट्रम की संरचना का शीफ ​​मे उपयोग करना माना कि ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ परिभाषा के अभाज्य गुणज शून्य के लिए निकतम आधार है और $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ के सभी स्पेक्ट्रा में एक ही अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि है लेकिन एक अलग संरचना शीफ ​​है। एसपीएफ़ A की संरचना शीफ ​​प्रक्षेपी $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ है।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि f ∈ A और D_f A के सभी विवृत अभाज्य गुणज का समुच्चय है जिसमें f नहीं है तब ${\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}$ जहां ${\widehat {A_{f}}}$ स्थानीयकरण A_f का समापन है।

अंत में, स्थानीय रूप से नोथेरियन औपचारिक योजना एक सांस्थितिक रूप से चक्राकार समष्टि $({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ है अर्थात, एक चक्राकार समष्टि जिसका शीफ वलय सांस्थितिक वलय का एक शीफ है जैसे कि ${\mathfrak {X}}$ का प्रत्येक बिंदु एक विवृत निकतम आइसोमॉर्फिक (सांस्थितिक रूप से वलय समष्टि) को नोथेरियन वलय के औपचारिक स्पेक्ट्रम को स्वीकृत करता है।

औपचारिक योजनाओं के बीच आकारिता

स्थानीय रूप से नोथेरियन औपचारिक योजनाओं का एक आकारिकी $f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}$ स्थानीय रूप से चक्राकार समष्टि के रूप में उनकी आकारिकता है जैसे कि प्रेरित मानचित्र $f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ किसी भी विवृत उपसमुच्चय U के लिए सांस्थितिक वलय के लिए निरंतर समरूपता है जहाँ f को ${\mathfrak {X}}$ कहा जाता है या ${\mathfrak {Y}}$ एक औपचारिक योजना है यदि परिभाषा का एक गुणज ${\mathcal {I}}$ सम्मिलित है जैसे कि $f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ के लिए परिभाषा का गुणज ${\mathfrak {X}}$ है। यदि f अभिन्न है तो यह गुणज किसी भी परिभाषा गुणजावली के लिए प्रयुक्त होता है।

उदाहरण

किसी भी अभाज्य गुणज और वलय A के लिए ${\mathcal {I}}$ सांस्थितिक को A पर परिभाषित कर सकते हैं ${\mathcal {I}}$ को इस आधार पर परिभाषित किया जाता है जिसमें a + In के समुच्चय सम्मिलित होते हैं। यह पूर्वानुमेय है और ग्रह्य फलन है यदि A ,${\mathcal {I}}$ विशेष रूप से पूर्ण है। इस स्थिति में Spf_A सांस्थितिक समष्टि A/I है जिसमें वलय का शीफ ${\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}$ के अतिरिक्त ${\widetilde {A/I}}$ सम्मिलित है:

1. A=kt और I=(t) फिर A/I=k इसलिए समष्टि Spf_A एक बिंदु (t) जिस पर इसकी संरचना शीफ ​​मान का kt होता है। इसकी तुलना समष्टि A/I से करें, जिसकी संरचना शीफ ​​इस बिंदु पर मान k होता है यह इस विचार का एक उदाहरण है कि Spf A में A का 'औपचारिक समष्टि है।
2. विवृत उपयोजना का औपचारिक समापन गुणज I=(y2-x3) पर ध्यान दें कि A0=k[x,y] I-सामान्यतः पूर्ण नहीं है इसके ${\mathcal {I}}$ सांस्थितिक पूर्णता के लिए A इस स्थिति में, Spf A=X रिक्त समष्टि के रूप में और इसकी संरचना शीफ ​​$\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ है और इसका वैश्विक गुणज A हैं जिसका X के विपरीत वैश्विक गुणज A/I हैं।

यह भी देखें

• औपचारिक होलोमॉर्फिक फलन
• विरूपण सिद्धांत
• श्लेसिंगर प्रमेय

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.

बाहरी संबंध

• formal completion