अशक्त सदिश

This article is about द्विघातीय रूप के शून्य. For सदिश समष्टि में शून्य तत्व, see शून्य सदिश. For मिंकोव्स्की समष्टि में शून्य सदिश, see मिंकोव्स्की समष्टि.

गणित में, दिए गए एक सदिश समष्टि X के साथ संबंधित एक द्विघातीय रूप q, जिसे (X, q) के रूप में लिखा जाता है, के लिए एक शून्य सदिश या समानोत्तल सदिश एक ऐसा गैर-शून्य तत्व x है जिसके लिए q(x) = 0 होता है।

वास्तविक द्विरेखीय रूपों के सिद्धांत में, निश्चित द्विघातीय रूप और समानोत्तल द्विघातीय रूप भिन्न-भिन्न होते हैं। वे इस रूप में भिन्न होते हैं कि केवल समानोत्तल द्विघातीय रूप के लिए ही कोई गैर-शून्य सदिश उपलब्ध होता है।

एक द्विघात स्थान (X, q) जिसमें एक शून्य सदिश होता है, उसे छद्म-यूक्लिडियन समष्टि कहा जाता है।

एक छद्म-यूक्लिडियन सदिश समष्टि लंबकोणीय उपसमष्टि ए और बी X = A + B में विघटित हो सकता है, जहां क्यू ए पर सकारात्मक-निश्चित है और बी पर नकारात्मक-निश्चित है।

$$\bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,a\in A,b\in B\}.$$

शून्य शंकु भी मूल के माध्यम से समदैशिक रेखाओं का मिलन है।

उदाहरण

मिंकोव्स्की समष्टि के लाइट-लाइक सदिश शून्य सदिश होते हैं।

चार रैखिक रूप से स्वतंत्र द्विचतुर्भुज l = 1 + hi, n = 1 + hj, m = 1 + hk, और m^∗ = 1 – hk शून्य सदिश हैं और { l, n, m, m^∗ } समष्टि समय का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले उप-स्थान के आधार के रूप में कार्य कर सकता है। समष्टि-समय बहुविध के लिए न्यूमैन-पेनरोज़ औपचारिकता दृष्टिकोण में शून्य सदिश का भी उपयोग किया जाता है।

एक संघटन बीजगणित तब विभाजित होता है जब इसमें एक शून्य सदिश होता है; अन्यथा यह एक विभाजन बीजगणित है।

लाई बीजगणित के वर्मा इकाई में शून्य सदिश हैं।

संदर्भ

• Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1984). Modern Geometry: Methods and Applications. Translated by Burns, Robert G. Springer. p. 50. ISBN 0-387-90872-2.
• Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations. Vol. 1. Academic Press. p. 151. ISBN 0-12-639201-3.
• Neville, E. H. (Eric Harold) (1922). Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions. Cambridge University Press. p. 204.