असतत मोर्स सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 18:46, 16 May 2023

असतत मोर्स सिद्धांत रॉबिन फोरमैन द्वारा विकसित मोर्स सिद्धांत का मिश्रित रूपांतरण है।^[1]यह सिद्धांत विभिन्न विषयों में लागू गणित और कंप्यूटर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों, जैसे कि विन्यास स्थान, होमोलोजी संगणना, डिनोइसिंग, मेश संपीड़न,और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण आदि में उपयोग किया जाता है।

सीडब्ल्यू परिसरों के संबंध में संकेतन

माना यदि $X$ सीडब्ल्यू एक शृंखला है और ${\mathcal {X}}$ उसके सेल समुच्चय को दर्शाता है। आपतन फलन $\kappa \colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {Z}$ को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है: दो सेल $\sigma$ और $\tau$ में ${\mathcal {X}}$ , यदि उस संलग्न आरेख $\kappa (\sigma ,~\tau )$ के डिग्री को दर्शाता है जो सीडब्ल्यू शृंखला की सीमा $\sigma$ से $\tau$ तक मान्य होती है। सीमा संकार्य $\partial$ एक एंडोमॉर्फिज्म है जो ${\mathcal {X}}$ द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का एक भाग है जिसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है।

\partial (\sigma )=\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\tau .

यह सीमा संचालकों $\partial \circ \partial \equiv 0$ . का एक परिभाषित गुण है। अधिक स्वयंसिद्ध परिभाषाओं में^[2] $\forall \sigma ,\tau ^{\prime }\in {\mathcal {X}}$ परिमित रूप से मान्य होगा ।

\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\kappa (\tau ,\tau ^{\prime })=0

जो सीमा संकार्य की उपरोक्त परिभाषा और उस आवश्यकता का परिणाम $\partial \circ \partial \equiv 0$ .है।

असतत मोर्स कार्य

एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फलन $\mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$ असतत मोर्स फलन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:

किसी भी सेल के लिए $\sigma \in {\mathcal {X}}$ , सेलों की संख्या $\tau \in {\mathcal {X}}$ की सीमा में $\sigma$ जो $\mu (\sigma )\leq \mu (\tau )$ में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।
किसी भी सेल के लिए $\sigma \in {\mathcal {X}}$ , सेलों की संख्या $\tau \in {\mathcal {X}}$ युक्त $\sigma$ उनकी सीमा में जो $\mu (\sigma )\geq \mu (\tau )$ में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है^[3] कि दो स्थितियों में सांख्यिकता एक निश्चित सेल $\sigma$ के लिए एक साथ एक नहीं हो सकती हैं उसे उपलब्ध कराया गया ${\mathcal {X}}$ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है। इस परिप्रेक्ष्य में, प्रत्येक सेल $\sigma \in {\mathcal {X}}$ अधिकतम एक असाधारण सेल $\tau \in {\mathcal {X}}$ के साथ युग्मित किया जा सकता है। जिन सेलों में कोई युग्म नहीं होते हैं, अर्थात, जिनके कार्य मान उनकी सीमा सेलों से अधिक होते हैं और उनकी सह-सीमा सेलों से कम होते हैं, उन्हें 'महत्वपूर्ण' सेल कहा जाता है। इस प्रकार, असतत मोर्स फलन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को तीन भिन्न-भिन्न सेल संग्रहों ${\mathcal {X}}={\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {K}}\sqcup {\mathcal {Q}}$ में विभाजित करता है: ,जहाँ:

${\mathcal {A}}$ उन महत्वपूर्ण सेलों को दर्शाता है जो अयुग्मित हैं,
${\mathcal {K}}$ उन सेलों को दर्शाता है जो सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं, और
${\mathcal {Q}}$ उन सेलों को दर्शाता है जो सह-सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं।

निर्माण के द्वारा, $k$ - में ${\mathcal {K}}$ आयामी सेलों और ${\mathcal {Q}}$ , में $(k-1)$ आयामी सेलों के मध्य समुच्चय का एक आक्षेप होता है, जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या ${\mathcal {K}}$ के लिए $p^{k}\colon {\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}$ को दर्शाया जा सकता है। यह एक अतिरिक्त तकनीकी आवश्यकता है कि प्रत्येक $K\in {\mathcal {K}}^{k}$ के लिए, $K$ की सीमा से संलग्न आरेख की श्रेणी $K$ इसके युग्मित सेल के लिए $p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}$ की अंतर्निहित रिंग में एक इकाई ${\mathcal {X}}$ है, उदाहरण के लिए, पूर्णांक पर $\mathbb {Z}$ , मात्र $\pm 1$ मान स्वीकार्य हैं, इस तकनीकी आवश्यकता की प्रतिभूति होती है,, उदाहरण के लिए, जब मान लिया जाता है कि ${\mathcal {X}}$ . $\mathbb {Z}$ पर एक नियमित सीडब्ल्यू संकुल है।

असतत मोर्स सिद्धांत का मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि CW समकक्ष ${\mathcal {X}}$ होमोलोजी के स्तर पर महत्वपूर्ण सेलों से बना नया समकक्ष ${\mathcal {A}}$ के समान होता है। ${\mathcal {K}}$ और ${\mathcal {Q}}$ में वर्णित सेल परिचालन योग्य सेलों के मध्य विस्तृत मार्गों का वर्णन करती हैं जिनका उपयोग सीमा संचालकों के रूप में ${\mathcal {A}}$ को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, इस निर्माण के कुछ विवरण अगले खंड में दिए गए हैं।

मोर्स कॉम्प्लेक्स

एक प्रवणता पथ युग्मित सेलों की एक अनुक्रमिक सरणी होती है।

\rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots ,Q_{M},K_{M})

संतोषजनक [ $Q_{m}=p(K_{m})$ और $\kappa (K_{m},~Q_{m+1})\neq 0$ . इस प्रवणता पथ के सूचकांक को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।

\nu (\rho )={\frac {\prod _{m=1}^{M-1}-\kappa (K_{m},Q_{m+1})}{\prod _{m=1}^{M}\kappa (K_{m},Q_{m})}}.

यहाँ विभाजन समझ में आता है क्योंकि युग्मित सेलों के मध्य की घटना $\pm 1$ होनी चाहिए। ध्यान दें कि निर्माण के द्वारा, असतत मोर्स फलन $\mu$ के मान $\rho$ के अंदर घटते होना चाहिए। पथ P दो महत्वपूर्ण सेलों $A,A'\in {\mathcal {A}}$ को जोड़ता है यदि $\kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')$ .होता है। इस संबंध को $A{\stackrel {\rho }{\to }}A'$ व्यक्त किया जा सकता है, इस संबंध की बहुलता को $m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')$ पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है, अंत में, महत्वपूर्ण सेलों पर मोर्स सीमा संचालक ${\mathcal {A}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

\Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}m(\rho )A'

जहां $A$ से $A$ तक सभी प्रवणता पथ संबंधों के योग से लिया जाता है। .

मूल परिणाम

निरंतर मोर्स सिद्धांत के कई परिचित परिणाम असतत समुच्चयिंग में लागू होते हैं।

मोर्स असमानताएं

यदि ${\mathcal {X}}$ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से संबंधित होता है तो ${\mathcal {A}}$ एक मोर्स कॉम्प्लेक्स होगा।. $m_{q}=|{\mathcal {A}}_{q}|$ संख्या ${\mathcal {A}}$ मे $q$ -सेलों की होती है , जो $q$ -वाँ मोर्स संख्या कहलाली है, यदि ${\mathcal {X}}$ की q-वेत्ति संख्या को $\beta _{q}$ से दर्शाया जाता है। तो $N>0$ ,के लिए निम्नलिखित असमानताएँ^[4] होती है,

m_{N}\geq \beta _{N}

, और

m_{N}-m_{N-1}+\dots \pm m_{0}\geq \beta _{N}-\beta _{N-1}+\dots \pm \beta _{0}

इसके अतिरिक्त, यूलर विशेषता $\chi ({\mathcal {X}})$ को ${\mathcal {X}}$ स्वीकृत किया जाता है

\chi ({\mathcal {X}})=m_{0}-m_{1}+\dots \pm m_{\dim {\mathcal {X}}}

असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी प्रकार

यदि ${\mathcal {X}}$ सीमा संचालक के साथ एक नियमित सीडब्ल्यू $\partial$ कॉम्प्लेक्स बनें और $\mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$ असतत मोर्स फलन, और ${\mathcal {A}}$ मोर्स सीमा संकार्य के साथ $\Delta$ संबंधित मोर्स कॉम्प्लेक्स हो, तब , समरूपता समूहों का एक होमोलॉजी है, ^[5]

H_{*}({\mathcal {X}},\partial )\simeq H_{*}({\mathcal {A}},\Delta ),

और इसी तरह होमोटॉपी समूहों के लिए भी है

अनुप्रयोग

असतत मोर्स सिद्धांत का उपयोग आणविक आकार विश्लेषण डिजिटल छवियों / मात्राओं का कंकालकरण, कोलाहल डेटा से आरेख पुनर्निर्माण, कोलाहल बिंदुओ को अस्वीकार करने और पुरातत्व में लिथिक उपकरणों का विश्लेषण करने आदि में होता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ "टोपोलॉजी टूलकिट". GitHub.io.
↑ Mischaikow, Konstantin; Nanda, Vidit (2013). "फ़िल्ट्रेशन के लिए मोर्स थ्योरी और परसिस्टेंट होमोलॉजी की कुशल संगणना". Discrete & Computational Geometry. 50 (2): 330–353. doi:10.1007/s00454-013-9529-6.
↑ Forman 1998, Lemma 2.5
↑ Forman 1998, Corollaries 3.5 and 3.6
↑ Forman 1998, Theorem 7.3

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Forman, Robin (1998). "Morse theory for cell complexes" (PDF). Advances in Mathematics. 134 (1): 90–145. doi:10.1006/aima.1997.1650.
Forman, Robin (2002). "A user's guide to discrete Morse theory" (PDF). Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48: Art. B48c, 35 pp. MR 1939695.
Kozlov, Dmitry (2007). Combinatorial algebraic topology. Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 21. Springer. ISBN 978-3540719618. MR 2361455.
Jonsson, Jakob (2007). Simplicial complexes of graphs. Springer. ISBN 978-3540758587.
Orlik, Peter; Welker, Volkmar (2007). Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid. Universitext. Springer. doi:10.1007/978-3-540-68376-6. ISBN 978-3540683759. MR 2322081.
"Discrete Morse theory". nLab.

[1] "टोपोलॉजी टूलकिट". GitHub.io.

[2] Mischaikow, Konstantin; Nanda, Vidit (2013). "फ़िल्ट्रेशन के लिए मोर्स थ्योरी और परसिस्टेंट होमोलॉजी की कुशल संगणना". Discrete & Computational Geometry. 50 (2): 330–353. doi:10.1007/s00454-013-9529-6.

[3] Forman 1998, Lemma 2.5

[4] Forman 1998, Corollaries 3.5 and 3.6

[5] Forman 1998, Theorem 7.3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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-डिस्क्रीट [[ मोर्स सिद्धांत ]] [[रॉबिन फोरमैन]] द्वारा विकसित मोर्स थ्योरी का [[मिश्रित]] रूपांतरण है। लागू गणित और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के विभिन्न क्षेत्रों में सिद्धांत के विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, जैसे [[विन्यास स्थान (गणित)]]गणित),<ref>{{citation|first1=Francesca|last1= Mori|first2= Mario|last2= Salvetti|journal=Mathematical Research Letters | volume=18 |year=2011|issue= 1|pages= 39–57 |url=http://mrlonline.org/mrl/2011-018-001/2011-018-001-004.pdf|title= (Discrete) Morse theory for Configuration spaces|doi=10.4310/MRL.2011.v18.n1.a4|mr=2770581|doi-access=free}}</ref> होमोलॉजी (गणित) संगणना,<ref>[http://www.sas.upenn.edu/~vnanda/perseus/index.html Perseus]: the [[Topological Data Analysis|Persistent Homology]] software.</ref><ref>{{cite journal|last1=Mischaikow|first1=Konstantin|last2=Nanda|first2=Vidit|title=फ़िल्ट्रेशन के लिए मोर्स थ्योरी और परसिस्टेंट होमोलॉजी की कुशल संगणना|journal=[[Discrete & Computational Geometry]]|volume=50|issue=2|pages=330–353|doi=10.1007/s00454-013-9529-6|year=2013|doi-access=free}}</ref> [[denoising]],<ref>{{cite journal
+असतत [[ मोर्स सिद्धांत |मोर्स सिद्धांत]] [[रॉबिन फोरमैन]] द्वारा विकसित मोर्स सिद्धांत का [[मिश्रित]] रूपांतरण है।<ref>{{Cite web|url=https://topology-tool-kit.github.io/|title=टोपोलॉजी टूलकिट|date=|website=GitHub.io}}</ref>यह सिद्धांत विभिन्न विषयों में लागू गणित और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों, जैसे कि [[विन्यास स्थान (गणित)|विन्यास स्थान]], होमोलोजी संगणना, डिनोइसिंग, मेश संपीड़न,और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण आदि में उपयोग किया जाता है।
-| last1=Bauer | first1=Ulrich
-| last2=Lange | first2=Carsten
-| last3=Wardetzky | first3=Max
-| title=Optimal Topological Simplification of Discrete Functions on Surfaces
-| doi=10.1007/s00454-011-9350-z | doi-access=free
-| journal=[[Discrete & Computational Geometry]]
-| volume=47
-| pages=347–377
-| date=2012| issue=2
-}}</ref> [[दोषरहित डेटा संपीड़न]],<ref>{{cite journal |last1=Lewiner |first1=T. |last2=Lopes |first2=H. |last3=Tavares |first3=G. |title=टोपोलॉजी विज़ुअलाइज़ेशन और मेश कम्प्रेशन के लिए फॉर्मन के असतत मोर्स सिद्धांत के अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics |volume=10 |issue=5 |pages=499–508 |date=2004 |doi=10.1109/TVCG.2004.18 |pmid=15794132 |s2cid=2185198 |url=http://www.matmidia.mat.puc-rio.br/tomlew/pdfs/morse_apps_tvcg.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20120426071256/http://www.matmidia.mat.puc-rio.br/tomlew/pdfs/morse_apps_tvcg.pdf |archive-date=2012-04-26 }}</ref> और सामयिक डेटा विश्लेषण।<ref>{{Cite web|url=https://topology-tool-kit.github.io/|title=टोपोलॉजी टूलकिट|date=|website=GitHub.io}}</ref>
 == सीडब्ल्यू परिसरों के संबंध में संकेतन ==
-होने देना <math>X</math> [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]] बनें और इसके द्वारा निरूपित करें <math>\mathcal{X}</math> इसकी कोशिकाओं का सेट। घटना समारोह को परिभाषित करें <math>\kappa\colon\mathcal{X} \times \mathcal{X} \to \mathbb{Z}</math> निम्नलिखित तरीके से: दो सेल दिए गए हैं <math>\sigma</math> और <math>\tau</math> में <math>\mathcal{X}</math>, होने देना <math>\kappa(\sigma,~\tau)</math> की सीमा से मानचित्र संलग्न करने का [[टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत]] हो <math>\sigma</math> को <math>\tau</math>. [[सीमा संचालक]] एंडोमोर्फिज्म है <math>\partial</math> द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का <math>\mathcal{X}</math> द्वारा परिभाषित
+माना यदि <math>X</math> [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सीडब्ल्यू]] एक शृंखला है और <math>\mathcal{X}</math> उसके सेल समुच्चय को दर्शाता है। आपतन फलन <math>\kappa\colon\mathcal{X} \times \mathcal{X} \to \mathbb{Z}</math> को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है: दो सेल  <math>\sigma</math> और <math>\tau</math> में <math>\mathcal{X}</math>, यदि  उस संलग्न आरेख <math>\kappa(\sigma,~\tau)</math> के डिग्री को दर्शाता है जो सीडब्ल्यू शृंखला की सीमा  <math>\sigma</math> से  <math>\tau</math> तक मान्य होती है। सीमा संकार्य <math>\partial</math> एक एंडोमॉर्फिज्म है जो <math>\mathcal{X}</math> द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का एक भाग है जिसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है।
 :<math>\partial(\sigma) = \sum_{\tau \in \mathcal{X}}\kappa(\sigma,\tau)\tau.</math>
-यह सीमा संचालकों की एक परिभाषित संपत्ति है <math>\partial\circ\partial \equiv 0</math>. अधिक स्वयंसिद्ध परिभाषाओं में<ref>{{cite journal|last1=Mischaikow|first1=Konstantin|last2=Nanda|first2=Vidit|title=फ़िल्ट्रेशन के लिए मोर्स थ्योरी और परसिस्टेंट होमोलॉजी की कुशल संगणना|journal=[[Discrete & Computational Geometry]]|volume=50|issue=2|pages=330–353|doi=10.1007/s00454-013-9529-6|year=2013|doi-access=free}}</ref> कोई आवश्यकता पा सकता है <math>\forall \sigma,\tau^{\prime} \in \mathcal{X}</math>
+यह सीमा संचालकों <math>\partial\circ\partial \equiv 0</math>. का एक परिभाषित गुण है। अधिक स्वयंसिद्ध परिभाषाओं में<ref>{{cite journal|last1=Mischaikow|first1=Konstantin|last2=Nanda|first2=Vidit|title=फ़िल्ट्रेशन के लिए मोर्स थ्योरी और परसिस्टेंट होमोलॉजी की कुशल संगणना|journal=[[Discrete & Computational Geometry]]|volume=50|issue=2|pages=330–353|doi=10.1007/s00454-013-9529-6|year=2013|doi-access=free}}</ref>  <math>\forall \sigma,\tau^{\prime} \in \mathcal{X}</math> परिमित रूप से मान्य होगा ।
 :<math> \sum_{\tau \in \mathcal{X}} \kappa(\sigma,\tau) \kappa(\tau,\tau^{\prime}) = 0</math>
-जो सीमा संचालक की उपरोक्त परिभाषा और उस आवश्यकता का परिणाम है <math>\partial\circ\partial \equiv 0</math>.
+जो सीमा संकार्य की उपरोक्त परिभाषा और उस आवश्यकता का परिणाम <math>\partial\circ\partial \equiv 0</math>.है।
 == असतत मोर्स कार्य ==
-एक [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान फ़ंक्शन <math>\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}</math> असतत मोर्स फ़ंक्शन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:
+एक [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान फलन <math>\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}</math> असतत मोर्स फलन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:
-# किसी भी सेल के लिए <math>\sigma \in \mathcal{X}</math>, कोशिकाओं की संख्या <math>\tau \in \mathcal{X}</math> की सीमा में <math>\sigma</math> जो संतुष्ट करता है <math>\mu(\sigma) \leq \mu(\tau)</math> अधिक से अधिक एक है।
+# किसी भी सेल के लिए <math>\sigma \in \mathcal{X}</math>, सेलों की संख्या <math>\tau \in \mathcal{X}</math> की सीमा में <math>\sigma</math> जो <math>\mu(\sigma) \leq \mu(\tau)</math> में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।
-# किसी भी सेल के लिए <math>\sigma \in \mathcal{X}</math>, कोशिकाओं की संख्या <math>\tau \in \mathcal{X}</math> युक्त <math>\sigma</math> उनकी सीमा में जो संतुष्ट करते हैं <math>\mu(\sigma) \geq \mu(\tau)</math> अधिक से अधिक एक है।
+# किसी भी सेल के लिए <math>\sigma \in \mathcal{X}</math>, सेलों की संख्या <math>\tau \in \mathcal{X}</math> युक्त <math>\sigma</math> उनकी सीमा में जो <math>\mu(\sigma) \geq \mu(\tau)</math> में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।
-इसे दिखाया जा सकता है<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Lemma 2.5}}</ref> कि दो स्थितियों में कार्डिनैलिटी एक निश्चित सेल के लिए एक साथ एक नहीं हो सकती हैं <math>\sigma</math>, उसे उपलब्ध कराया <math>\mathcal{X}</math> एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है। इस मामले में, प्रत्येक सेल <math>\sigma \in \mathcal{X}</math> अधिकतम एक असाधारण सेल के साथ युग्मित किया जा सकता है <math>\tau \in \mathcal{X}</math>: या तो बड़े के साथ एक सीमा सेल <math>\mu</math> मूल्य, या छोटे के साथ एक सह-सीमा सेल <math>\mu</math> कीमत। जिन कोशिकाओं में कोई जोड़े नहीं होते हैं, यानी, जिनके कार्य मान उनकी सीमा कोशिकाओं से सख्ती से अधिक होते हैं और उनकी सह-सीमा कोशिकाओं से सख्ती से कम होते हैं, उन्हें 'महत्वपूर्ण' कोशिकाएं कहा जाता है। इस प्रकार, असतत मोर्स फ़ंक्शन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को तीन अलग-अलग सेल संग्रहों में विभाजित करता है: <math>\mathcal{X} = \mathcal{A} \sqcup \mathcal{K} \sqcup \mathcal{Q}</math>, कहाँ:
+इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Lemma 2.5}}</ref> कि दो स्थितियों में सांख्यिकता एक निश्चित सेल <math>\sigma</math> के लिए एक साथ एक नहीं हो सकती हैं उसे उपलब्ध कराया गया <math>\mathcal{X}</math> एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है। इस परिप्रेक्ष्य में, प्रत्येक सेल <math>\sigma \in \mathcal{X}</math> अधिकतम एक असाधारण सेल <math>\tau \in \mathcal{X}</math> के साथ युग्मित किया जा सकता है। जिन सेलों में कोई युग्म नहीं होते हैं, अर्थात, जिनके कार्य मान उनकी सीमा सेलों से अधिक होते हैं और उनकी सह-सीमा सेलों से कम होते हैं, उन्हें 'महत्वपूर्ण' सेल कहा जाता है। इस प्रकार, असतत मोर्स फलन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को तीन भिन्न-भिन्न सेल संग्रहों <math>\mathcal{X} = \mathcal{A} \sqcup \mathcal{K} \sqcup \mathcal{Q}</math> में विभाजित करता है: ,जहाँ:
-# <math>\mathcal{A}</math> उन महत्वपूर्ण कोशिकाओं को दर्शाता है जो अयुग्मित हैं,
+# <math>\mathcal{A}</math> उन महत्वपूर्ण सेलों को दर्शाता है जो अयुग्मित हैं,
-# <math>\mathcal{K}</math> उन कोशिकाओं को दर्शाता है जो सीमा कोशिकाओं के साथ बनती हैं, और
+# <math>\mathcal{K}</math> उन सेलों को दर्शाता है जो सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं, और
-# <math>\mathcal{Q}</math> उन कोशिकाओं को दर्शाता है जो सह-सीमा कोशिकाओं के साथ बनती हैं।
+# <math>\mathcal{Q}</math> उन सेलों को दर्शाता है जो सह-सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं।
-रचना से, बीच में [[सेट (गणित)]] का एक आक्षेप होता है <math>k</math>-आयामी कोशिकाओं में <math>\mathcal{K}</math> और यह <math>(k-1)</math>-आयामी कोशिकाओं में <math>\mathcal{Q}</math>, जिसे द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>p^k\colon\mathcal{K}^k \to \mathcal{Q}^{k-1}</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए <math>k</math>. यह एक अतिरिक्त तकनीकी आवश्यकता है कि प्रत्येक के लिए <math>K \in \mathcal{K}^k</math>, की सीमा से संलग्न मानचित्र की डिग्री <math>K</math> इसके युग्मित सेल के लिए <math>p^k(K) \in \mathcal{Q}</math> की अंतर्निहित रिंग (गणित) में एक इकाई (रिंग थ्योरी) है <math>\mathcal{X}</math>. उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]]ों पर <math>\mathbb{Z}</math>, केवल अनुमत मान हैं <math>\pm 1</math>. इस तकनीकी आवश्यकता की गारंटी है, उदाहरण के लिए, जब कोई ऐसा मानता है <math>\mathcal{X}</math> एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स ओवर है <math>\mathbb{Z}</math>.
+निर्माण के द्वारा, <math>k</math>- में <math>\mathcal{K}</math> आयामी सेलों और <math>\mathcal{Q}</math>, में <math>(k-1)</math> आयामी सेलों के मध्य [[सेट (गणित)|समुच्चय]] का एक आक्षेप होता है, जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या <math>\mathcal{K}</math> के लिए <math>p^k\colon\mathcal{K}^k \to \mathcal{Q}^{k-1}</math> को दर्शाया जा सकता है।  यह एक अतिरिक्त तकनीकी आवश्यकता है कि प्रत्येक <math>K \in \mathcal{K}^k</math>के लिए,<math>K</math> की सीमा से संलग्न आरेख की श्रेणी <math>K</math> इसके युग्मित सेल के लिए <math>p^k(K) \in \mathcal{Q}</math> की अंतर्निहित रिंग में एक इकाई<math>\mathcal{X}</math> है, उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]] पर <math>\mathbb{Z}</math>, मात्र <math>\pm 1</math>  मान स्वीकार्य हैं,  इस तकनीकी आवश्यकता  की प्रतिभूति होती है,, उदाहरण के लिए, जब मान लिया जाता है कि <math>\mathcal{X}</math>.  <math>\mathbb{Z}</math> पर एक नियमित सीडब्ल्यू संकुल है।
-असतत मोर्स सिद्धांत का मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि CW परिसर <math>\mathcal{X}</math> समरूपता (गणित) के स्तर पर एक नए परिसर में समरूपता है <math>\mathcal{A}</math> केवल महत्वपूर्ण कोशिकाओं से मिलकर। में युग्मित कोशिकाएँ <math>\mathcal{K}</math> और <math>\mathcal{Q}</math> आसन्न महत्वपूर्ण कोशिकाओं के बीच ढाल पथ का वर्णन करें जिसका उपयोग सीमा ऑपरेटर को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है <math>\mathcal{A}</math>. इस निर्माण के कुछ विवरण अगले खंड में दिए गए हैं।
+असतत मोर्स सिद्धांत का मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि CW  समकक्ष <math>\mathcal{X}</math>  होमोलोजी के स्तर पर महत्वपूर्ण सेलों से बना नया समकक्ष <math>\mathcal{A}</math> के समान होता है।  <math>\mathcal{K}</math> और <math>\mathcal{Q}</math> में वर्णित सेल परिचालन योग्य सेलों के मध्य विस्तृत मार्गों का वर्णन करती हैं जिनका उपयोग सीमा संचालकों के रूप में <math>\mathcal{A}</math> को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, इस निर्माण के कुछ विवरण अगले खंड में दिए गए हैं।
 == मोर्स कॉम्प्लेक्स ==
-एक ढाल पथ युग्मित कोशिकाओं का एक क्रम है
+एक प्रवणता पथ युग्मित सेलों की एक अनुक्रमिक सरणी होती है।
 :<math>\rho = (Q_1, K_1, Q_2, K_2, \ldots, Q_M, K_M)</math>
-संतुष्टि देने वाला <math>Q_m = p(K_m)</math> और <math>\kappa(K_m,~Q_{m+1}) \neq 0</math>. इस ढाल पथ के सूचकांक को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है
+संतोषजनक [ <math>Q_m = p(K_m)</math> और <math>\kappa(K_m,~Q_{m+1}) \neq 0</math>. इस प्रवणता पथ के सूचकांक को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
 :<math>\nu(\rho) = \frac{\prod_{m=1}^{M-1}-\kappa(K_m,Q_{m+1})}{\prod_{m=1}^{M}\kappa(K_m,Q_m)}.</math>
-यहाँ विभाजन समझ में आता है क्योंकि युग्मित कोशिकाओं के बीच की घटना होनी चाहिए <math>\pm 1</math>. ध्यान दें कि निर्माण के द्वारा, असतत मोर्स फ़ंक्शन के मान <math>\mu</math> भर में कमी करनी चाहिए <math>\rho</math>. मार्ग <math>\rho</math> दो महत्वपूर्ण कोशिकाओं को जोड़ने के लिए कहा जाता है <math>A,A' \in \mathcal{A}</math> अगर <math>\kappa(A,Q_1) \neq 0 \neq \kappa(K_M,A')</math>. इस रिश्ते को व्यक्त किया जा सकता है <math>A \stackrel{\rho}{\to} A'</math>. इस कनेक्शन की बहुलता को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है <math>m(\rho) = \kappa(A,Q_1)\cdot\nu(\rho)\cdot\kappa(K_M,A')</math>. अंत में, महत्वपूर्ण कोशिकाओं पर मोर्स सीमा संचालक <math>\mathcal{A}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
+यहाँ विभाजन समझ में आता है क्योंकि युग्मित सेलों के मध्य की घटना <math>\pm 1</math> होनी चाहिए। ध्यान दें कि निर्माण के द्वारा, असतत मोर्स फलन <math>\mu</math> के मान <math>\rho</math> के अंदर घटते होना चाहिए। पथ P दो महत्वपूर्ण सेलों <math>A,A' \in \mathcal{A}</math> को जोड़ता है यदि  <math>\kappa(A,Q_1) \neq 0 \neq \kappa(K_M,A')</math>.होता है। इस संबंध को <math>A \stackrel{\rho}{\to} A'</math>व्यक्त किया जा सकता है, इस संबंध की बहुलता को <math>m(\rho) = \kappa(A,Q_1)\cdot\nu(\rho)\cdot\kappa(K_M,A')</math> पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है, अंत में, महत्वपूर्ण सेलों पर मोर्स सीमा संचालक <math>\mathcal{A}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
 :<math>\Delta(A) = \kappa(A,A') + \sum_{A \stackrel{\rho}{\to} A'}m(\rho) A'</math>
-जहां से सभी ग्रेडिएंट पथ कनेक्शनों का योग लिया जाता है <math>A</math> को <math>A'</math>.
+जहां<math>A</math> से <math>A</math> तक सभी प्रवणता पथ संबंधों के योग से लिया जाता है।  .
 == मूल परिणाम ==
-निरंतर मोर्स सिद्धांत के कई परिचित परिणाम असतत सेटिंग में लागू होते हैं।
+निरंतर मोर्स सिद्धांत के कई परिचित परिणाम असतत समुच्चयिंग में लागू होते हैं।
 === मोर्स असमानताएं ===
-होने देना <math>\mathcal{A}</math> सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से जुड़ा एक मोर्स कॉम्प्लेक्स हो <math>\mathcal{X}</math>. जो नंबर <math>m_q = |\mathcal{A}_q|</math> का <math>q</math>-कोशिकाओं में <math>\mathcal{A}</math> कहा जाता है <math>q</math>-वाँ मोर्स नंबर। होने देना <math>\beta_q</math> निरूपित करें <math>q</math>-वीं बेट्टी की संख्या <math>\mathcal{X}</math>. फिर किसी के लिए <math>N > 0</math>, निम्नलिखित असमानताएँ<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Corollaries 3.5 and 3.6}}</ref> पकड़
+यदि <math>\mathcal{X}</math> सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से संबंधित होता है तो <math>\mathcal{A}</math> एक मोर्स कॉम्प्लेक्स होगा।.  <math>m_q = |\mathcal{A}_q|</math>संख्या <math>\mathcal{A}</math>  मे <math>q</math>-सेलों की होती है , जो <math>q</math>-वाँ मोर्स संख्या कहलाली है, यदि <math>\mathcal{X}</math> की  q-वेत्ति संख्या को <math>\beta_q</math> से दर्शाया जाता है। तो  <math>N > 0</math>,के लिए निम्नलिखित असमानताएँ<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Corollaries 3.5 and 3.6}}</ref> होती है,
 :<math>m_N \geq \beta_N</math>, और
 :<math>m_N - m_{N-1} + \dots \pm m_0 \geq \beta_N - \beta_{N-1} + \dots \pm \beta_0</math>
-इसके अलावा, [[यूलर विशेषता]] <math>\chi(\mathcal{X})</math> का <math>\mathcal{X}</math> संतुष्ट
+इसके अतिरिक्त, [[यूलर विशेषता]] <math>\chi(\mathcal{X})</math> को <math>\mathcal{X}</math> स्वीकृत किया जाता है
 :<math>\chi(\mathcal{X}) = m_0 - m_1 + \dots \pm m_{\dim \mathcal{X}}</math>
-===असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी टाइप ===
+===असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी प्रकार ===
-होने देना <math>\mathcal{X}</math> सीमा संचालक के साथ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स बनें <math>\partial</math> और असतत मोर्स समारोह <math>\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}</math>. होने देना <math>\mathcal{A}</math> मोर्स बाउंड्री ऑपरेटर के साथ संबंधित मोर्स कॉम्प्लेक्स हो <math>\Delta</math>. फिर, एक [[समूह समरूपता]] है<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Theorem 7.3}}</ref> होमोलॉजी (गणित) समूहों की
+यदि  <math>\mathcal{X}</math> सीमा संचालक के साथ एक नियमित सीडब्ल्यू <math>\partial</math> कॉम्प्लेक्स बनें और <math>\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}</math>असतत मोर्स फलन, और <math>\mathcal{A}</math> मोर्स सीमा संकार्य के साथ <math>\Delta</math>संबंधित मोर्स कॉम्प्लेक्स हो, तब  , समरूपता समूहों का एक होमोलॉजी है,  <ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Theorem 7.3}}</ref>
 :<math>H_*(\mathcal{X},\partial) \simeq H_*(\mathcal{A},\Delta),</math>
-और इसी तरह होमोटॉपी समूहों के लिए।
+और इसी तरह होमोटॉपी समूहों के लिए भी है
 == अनुप्रयोग ==
-असतत मोर्स सिद्धांत आणविक आकार विश्लेषण में अपना आवेदन पाता है,<ref>{{Cite journal |last1=Cazals |first1=F. |last2=Chazal |first2=F. |last3=Lewiner |first3=T. |date=2003 |title=मोर्स-स्मेल कॉम्प्लेक्स और कॉनॉली फ़ंक्शन के आधार पर आणविक आकार का विश्लेषण|url=http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=777792.777845 |journal=Proceedings of the Nineteenth Conference on Computational Geometry — SCG '03 |publisher=ACM Press |pages=351–360 |doi=10.1145/777792.777845 |isbn=978-1-58113-663-0|s2cid=1570976 }}</ref> डिजिटल छवियों/वॉल्यूमों का कंकालकरण,<ref>{{Cite journal |last1=Delgado-Friedrichs |first1=Olaf |last2=Robins |first2=Vanessa |last3=Sheppard |first3=Adrian |date=March 2015 |title=असतत मोर्स थ्योरी का उपयोग करके डिजिटल छवियों का कंकालीकरण और विभाजन|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/6873268 |journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=37 |issue=3 |pages=654–666 |doi=10.1109/TPAMI.2014.2346172 |pmid=26353267 |hdl=1885/12873 |s2cid=7406197 |issn=1939-3539}}</ref> शोर डेटा से ग्राफ पुनर्निर्माण,<ref>{{Cite conference |last1=Dey |first1=Tamal K. |last2=Wang |first2=Jiayuan |last3=Wang |first3=Yusu |date=2018 |editor-last=Speckmann |editor-first=Bettina |editor2-last=Tóth |editor2-first=Csaba D. |title=असतत मोर्स थ्योरी द्वारा ग्राफ पुनर्निर्माण|url=http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2018/8744 |conference=34th International Symposium on Computational Geometry (SoCG 2018) |series=Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs) |location=Dagstuhl, Germany |publisher=Schloss Dagstuhl–Leibniz-Zentrum fuer Informatik |volume=99 |pages=31:1–31:15 |doi=10.4230/LIPIcs.SoCG.2018.31 |isbn=978-3-95977-066-8|s2cid=3994099 }}</ref> शोर बिंदु बादलों को नकारना<ref>{{Cite journal |last=Mukherjee |first=Soham |date=2021-09-01 |title=असतत मोर्स सिद्धांत के साथ denoising|journal=The Visual Computer |volume=37 |issue=9 |pages=2883–94 |doi=10.1007/s00371-021-02255-7 |s2cid=237426675 }}</ref> और पुरातत्व में पाषाण उपकरण का विश्लेषण।<ref name="EuroGraphicsGCH22" />
+असतत मोर्स सिद्धांत का उपयोग आणविक आकार विश्लेषण डिजिटल छवियों / मात्राओं का कंकालकरण, कोलाहल डेटा से आरेख पुनर्निर्माण, कोलाहल बिंदुओ को अस्वीकार करने और पुरातत्व में लिथिक उपकरणों का विश्लेषण करने आदि में होता है।
@@ Line 111: / Line 104: @@
 * {{cite web|url=http://ncatlab.org/nlab/show/discrete+Morse+theory|title=Discrete Morse theory|publisher=[[nLab]]}}
 {{refend}}
-[[Category: साहचर्य]] [[Category: मोर्स सिद्धांत]] [[Category: कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 01/05/2023]]
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Contents

सीडब्ल्यू परिसरों के संबंध में संकेतन

असतत मोर्स कार्य

मोर्स कॉम्प्लेक्स

मूल परिणाम

मोर्स असमानताएं

असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी प्रकार

अनुप्रयोग

यह भी देखें

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असतत मोर्स कार्य

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