ज्यामितीय जाली: Difference between revisions

Latest revision as of 16:02, 16 May 2023

मैट्रोइड और जाली (आदेश) गणित में, ज्यामितीय जाली परिमित समूह परमाणु (आदेश सिद्धांत) अर्ध-मॉड्यूलर जाली है और मैट्रोइड जाली परिमितता की धारणा के बिना परमाणु अर्ध-मॉड्यूलर जाली होती है। इस प्रकार ज्यामितीय जाली और मैट्रोइड जाली, क्रमशः परिमित और अनंत मैट्रोइड के समभूमि की जाली बनाते हैं और प्रत्येक ज्यामितीय या मैट्रोइड जाली इस प्रकार से मैट्रोइड से आती है।

परिभाषा

जाली (आदेश) आंशिक रूप से आदेशित समूह है जिसमें कोई भी दो तत्व होते हैं जैसे $x$ और $y$ दोनों में कम से कम ऊपरी सीमा होती है, जिसे संयोजित या अंतिम कहा जाता है अतः जिसे $x\vee y$ द्वारा निरूपित किया जाता है और सबसे बड़ी निचली सीमा, जिसे मिलना या सबसे कम कहा जाता है इसे $x\wedge y$ द्वारा दर्शाया जाता है।

निम्नलिखित परिभाषाएं सामान्यतः आंशिक रूप से आदेशित समूह पर प्रयुक्त होती हैं, यह केवल जाली नहीं, इसके अतिरिक्त कि जहां अन्यथा कहा गया होता है।

न्यूनतम तत्व के लिए $x$ , कोई तत्व नहीं है $y$ ऐसा है कि $y<x$ .
तत्व $x$ अन्य तत्व को सम्मिलित करता है $y$ (के रूप में लिखा गया है $x:>y$ या $y<:x$ ) यदि $x>y$ और कोई तत्व नहीं है तब $z$ दोनों से भिन्न होता है $x$ और $y$ जिससे कि $x>z>y$ .
न्यूनतम तत्व के आवरण को परमाणु (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है।
जाली परमाणुवादी (आदेश सिद्धांत) है यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के कुछ समूह का सर्वोच्च है।
पोसमूह को तब श्रेणीकृत कहा जाता है जब उसे श्रेणी फलन दिया जा सकता है $r(x)$ इसके तत्वों को पूर्णांकों में मानचित्र जाता है, जैसे कि $r(x)>r(y)$ जब कभी भी $x>y$ , और भी $r(x)=r(y)+1$ जब कभी भी $x:>y$ .

जब वर्गीकृत पोसमूह में निचला तत्व होता है, तब सामान्यता के हानि के बिना यह मान सकता है कि इसकी श्रेणी शून्य है। इस स्थिति में, परमाणु श्रेणी वाले तत्व हैं।

प्रत्येक के लिए श्रेणीबद्ध जाली अर्ध-मॉड्यूलर होता है, यदि $x$ और $y$ , इसके श्रेणी फलन पहचान का पालन करता है।^[1]

r(x)+r(y)\geq r(x\wedge y)+r(x\vee y).\,

मैट्रोइड जाली वह जाली है जो परमाणु और अर्ध-मॉड्यूलर दोनों है।^[2]^[3] ज्यामितीय जाली परिमित मैट्रोइड जाली है।^[4]

सामान्यतः अनेक लेखक केवल परिमित मैट्रोइड जाली पर विचार करते हैं और दोनों के लिए "ज्यामितीय जाली" और "मैट्रोइड जाली" शब्दों का उपयोग करते हैं।^[5]

जाली बनाम मैट्रोइड्स

ज्यामितीय जाली (परिमित, सरल) मैट्रोइड के समान्तर हैं और मैट्रोइड जाली परिमितता की धारणा के बिना सरल मैट्रोइड के समान्तर हैं (अनंत मैट्रोइड की उचित परिभाषा के अनुसार; ऐसी अनेक परिभाषाएं हैं)। पत्राचार यह है कि मैट्रोइड के तत्व जाली के परमाणु हैं और जाली का तत्व x मैट्रोइड के समभूमि से मेल खाता है जिसमें मैट्रोइड के वह तत्व होते हैं जो परमाणु $a\leq x.$ होते हैं।

ज्यामितीय जाली की भांति, मैट्रोइड को मैट्रोइड श्रेणी के साथ संपन्न किया जाता है, किन्तु यह फलन मेट्रॉइड तत्वों के समूह को जाली तत्व को इसके तर्क के रूप में लेने के अतिरिक्त संख्या में मैप करता है। इस प्रकार मैट्रोइड का श्रेणी फलन मोनोटोनिक होना चाहिए (समूह में तत्व जोड़ने से इसकी श्रेणी कभी कम नहीं हो सकती है) और यह सबमॉड्यूलर फलन होता है। जिसका अर्थ है कि यह अर्ध-मॉड्यूलर श्रेणी वाले जाली के समान असमानता का पालन करता है।

r(X)+r(Y)\geq r(X\cap Y)+r(X\cup Y)

मैट्रोइड तत्वों के X और Y समूह के लिए किसी दिए गए श्रेणी के अधिकतम तत्व समूह को 'समभूमि्स' कहा जाता है। दो समभूमि का चौराहा फिर से समभूमि है, जो समभूमि के जोड़े पर सबसे बड़ी निचली बाध्य क्रिया को परिभाषित करता है। चूँकि कोई भी समभूमि की जोड़ी के कम से कम ऊपरी बाउंड को उनके संघ के (अद्वितीय) अधिकतम समूहों के रूप में परिभाषित कर सकता है जिसमें उनके संघ के समान श्रेणी है। इस प्रकार मैट्रोइड के समभूमि मैट्रोइड जाली बनाते हैं या (यदि मैट्रोइड परिमित है) ज्यामितीय जाली बनाते है।^[4]

इसके विपरीत यदि $L$ मैट्रोइड जाली है, कोई भी अपने परमाणुओं के समूह पर श्रेणी फलन को परिभाषित कर सकता है, परमाणुओं के समूह के श्रेणी को समूह के सबसे बड़े निचले बाउंड के जाली श्रेणी के रूप में परिभाषित कर सकता है। यह श्रेणी फलन आवश्यक रूप से मोनोटोनिक और सबमॉड्यूलर है, इसलिए यह मैट्रोइड को परिभाषित करता है। यह मैट्रोइड आवश्यक रूप से सरल है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो-तत्व समूह में श्रेणी दो है।^[4]

यह दो निर्माण, जाली से साधारण मैट्रोइड और मैट्रोइड से जाली के, दूसरे के विपरीत होते हैं। इस प्रकार ज्यामितीय जाली या साधारण मैट्रोइड से प्रारंभ होकर और बाद के दोनों निर्माण करते हुए जाली या मैट्रोइड देता है, जो मूल के लिए आइसोमोर्फिक है।^[4]

द्वैत

ज्यामितीय जाली के लिए द्वैत की दो भिन्न-भिन्न प्राकृतिक धारणाएँ हैं ।

$L$ : दोहरी मैट्रोइड, जिसका आधार इसके अनुरूप मैट्रोइड के आधार के पूरक (समूह सिद्धांत) समूह करता है।
$L$ और द्वैत (आदेश सिद्धांत), वह जाली जिसमें समान तत्व होते हैं।
$L$ विपरीत क्रम में। वह समान नहीं हैं और वास्तव में दोहरी जाली सामान्यतः ज्यामितीय जाली नहीं होती है अतः परमाणु होने की संपत्ति विपरीत-क्रम द्वारा संरक्षित नहीं होती है। इस प्रकार चेउंग (1974) ज्यामितीय जाली के आसन्न को परिभाषित करता है।
$L$ (या इससे परिभाषित मैट्रोइड) न्यूनतम ज्यामितीय जाली है जिसमें दोहरी जाली है।
$L$ ऑर्डर-एम्बेडेड है। अतः कुछ मैट्रोइड्स में संलग्नक नहीं होते हैं; उदाहरण के लिए, वामोस मैट्रोइड है।^[6]

अतिरिक्त गुण

ज्यामितीय जाली का प्रत्येक अंतराल (दिए गए निचले और ऊपरी बाध्य तत्वों के मध्य जाली का समूह) स्वयं ज्यामितीय है। इस प्रकार ज्यामितीय जाली का अंतराल लेना संबंधित मैट्रोइड के माथेरॉइड माइनर बनाने के अनुरूप है। ज्यामितीय जाली जाली के पूरक हैं और अंतराल संपत्ति के कारण वे अपेक्षाकृत पूरक भी हैं।^[7]

प्रत्येक परिमित जाली ज्यामितीय जाली का उप-वर्ग है।^[8]

संदर्भ

↑ Birkhoff (1995), Theorem 15, p. 40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If a≠b both cover c, then there exists a d∈P which covers both a and b" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if r(x)+r(y)≥r(x∧y)+r(x∨y)".
↑ Maeda, F.; Maeda, S. (1970), Theory of Symmetric Lattices, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 173, New York: Springer-Verlag, MR 0282889.
↑ Welsh, D. J. A. (2010), Matroid Theory, Courier Dover Publications, p. 388, ISBN 9780486474397.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Welsh (2010), p. 51.
↑ Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, p. 80, ISBN 9780821810255.
↑ Cheung, Alan L. C. (1974), "Adjoints of a geometry", Canadian Mathematical Bulletin, 17 (3): 363–365, correction, ibid. 17 (1974), no. 4, 623, doi:10.4153/CMB-1974-066-5, MR 0373976.
↑ Welsh (2010), pp. 55, 65–67.
↑ Welsh (2010), p. 58; Welsh credits this result to Robert P. Dilworth, who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.

बाहरी संबंध

[1] Birkhoff (1995), Theorem 15, p. 40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If a≠b both cover c, then there exists a d∈P which covers both a and b" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if r(x)+r(y)≥r(x∧y)+r(x∨y)".

[2] Maeda, F.; Maeda, S. (1970), Theory of Symmetric Lattices, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 173, New York: Springer-Verlag, MR 0282889.

[3] Welsh, D. J. A. (2010), Matroid Theory, Courier Dover Publications, p. 388, ISBN 9780486474397.

[w10-51-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Welsh (2010), p. 51.

[5] Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, p. 80, ISBN 9780821810255.

[6] Cheung, Alan L. C. (1974), "Adjoints of a geometry", Canadian Mathematical Bulletin, 17 (3): 363–365, correction, ibid. 17 (1974), no. 4, 623, doi:10.4153/CMB-1974-066-5, MR 0373976.

[7] Welsh (2010), pp. 55, 65–67.

[8] Welsh (2010), p. 58; Welsh credits this result to Robert P. Dilworth, who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.

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 {{Short description|Join-meet algebra on matroid flats}}
-[[matroid|मेटारोइड]] और [[जाली (आदेश)|नेट (आदेश)]] गणित में, ज्यामितीय नेट एक [[परिमित सेट]] एटम (आदेश सिद्धांत) [[अर्ध-मॉड्यूलर जाली|अर्ध-मॉड्यूलर नेट]] है, और एक matroid नेट परिमितता की धारणा के बिना एक परमाणु अर्ध-मॉड्यूलर नेट है। जियोमेट्रिक लैटिस और मैट्रोइड लैटिस, क्रमशः Matroid # Flats के परिमित और अनंत मेटारोइड के लैटिस बनाते हैं, और प्रत्येक ज्यामितीय या matroid नेट इस तरह से matroid से आती है।
+[[matroid|मैट्रोइड]] और [[जाली (आदेश)]] गणित में, '''ज्यामितीय जाली''' [[परिमित सेट|परिमित समूह]] परमाणु (आदेश सिद्धांत) [[अर्ध-मॉड्यूलर जाली]] है और मैट्रोइड जाली परिमितता की धारणा के बिना परमाणु अर्ध-मॉड्यूलर जाली होती है। इस प्रकार ज्यामितीय जाली और मैट्रोइड जाली, क्रमशः परिमित और अनंत मैट्रोइड के समभूमि की जाली बनाते हैं और प्रत्येक ज्यामितीय या मैट्रोइड जाली इस प्रकार से मैट्रोइड से आती है।
 == परिभाषा ==
-एक नेट (आदेश) एक [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] है जिसमें कोई भी दो तत्व होते हैं <math>x</math> और <math>y</math> कम से कम ऊपरी सीमा होती है, जिसे ज्वाइन या [[ अंतिम ]] कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है <math>x\vee y</math>, और सबसे बड़ी निचली सीमा, जिसे मीट या [[सबसे कम]] कहा जाता है, द्वारा दर्शाया जाता है <math>x\wedge y</math>.
+जाली (आदेश) [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से आदेशित समूह]] है जिसमें कोई भी दो तत्व होते हैं जैसे <math>x</math> और <math>y</math> दोनों में कम से कम ऊपरी सीमा होती है, जिसे संयोजित या [[ अंतिम |अंतिम]] कहा जाता है अतः जिसे <math>x\vee y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है और सबसे बड़ी निचली सीमा, जिसे मिलना या सबसे कम कहा जाता है इसे <math>x\wedge y</math> द्वारा दर्शाया जाता है।
-: निम्नलिखित परिभाषाएं सामान्य रूप से पॉसेट्स पर लागू होती हैं, केवल लैटिस नहीं, सिवाय जहां अन्यथा कहा गया हो।
+: निम्नलिखित परिभाषाएं सामान्यतः [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से आदेशित समूह]] पर प्रयुक्त होती हैं, यह केवल जाली नहीं, इसके अतिरिक्त कि जहां अन्यथा कहा गया होता है।
 * [[न्यूनतम तत्व]] के लिए <math>x</math>, कोई तत्व नहीं है <math>y</math> ऐसा है कि <math>y < x</math>.
-* तत्व <math>x</math> अन्य तत्व को कवर करना <math>y</math> (के रूप में लिखा गया है <math>x :> y</math> या <math> y <: x</math>) अगर <math>x > y</math> और कोई तत्व नहीं है <math>z</math> दोनों से अलग <math>x</math> और <math>y</math> ताकि <math>x > z > y</math>.
+* तत्व <math>x</math> अन्य तत्व को सम्मिलित करता है <math>y</math> (के रूप में लिखा गया है <math>x :> y</math> या <math> y <: x</math>) यदि <math>x > y</math> और कोई तत्व नहीं है तब <math>z</math> दोनों से भिन्न होता है <math>x</math> और <math>y</math> जिससे कि <math>x > z > y</math>.
-* एक न्यूनतम तत्व के आवरण को परमाणु (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है।
+* न्यूनतम तत्व के आवरण को परमाणु (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है।
-* एक नेट [[परमाणुवादी (आदेश सिद्धांत)]] है यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के कुछ सेट का सर्वोच्च है।
+* जाली [[परमाणुवादी (आदेश सिद्धांत)]] है यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के कुछ समूह का सर्वोच्च है।
-* एक पोसेट को [[ग्रेडेड पोसेट]] तब कहा जाता है जब उसे रैंक फ़ंक्शन दिया जा सकता है <math>r(x)</math> इसके तत्वों को पूर्णांकों में मैप करना, जैसे कि <math>r(x)>r(y)</math> जब कभी भी <math>x>y</math>, और भी <math>r(x)=r(y)+1</math> जब कभी भी <math>x :> y</math>.
+* पोसमूह को तब श्रेणीकृत कहा जाता है जब उसे श्रेणी फलन दिया जा सकता है <math>r(x)</math> इसके तत्वों को पूर्णांकों में मानचित्र जाता है, जैसे कि <math>r(x)>r(y)</math> जब कभी भी <math>x>y</math>, और भी <math>r(x)=r(y)+1</math> जब कभी भी <math>x :> y</math>.
-: जब एक वर्गीकृत पोसेट में एक निचला तत्व होता है, तो कोई यह मान सकता है कि व्यापकता को खोए बिना, इसका रैंक शून्य है। इस मामले में, परमाणु रैंक एक वाले तत्व हैं।
+: जब वर्गीकृत पोसमूह में निचला तत्व होता है, तब सामान्यता के हानि के बिना यह मान सकता है कि इसकी श्रेणी शून्य है। इस स्थिति में, परमाणु श्रेणी वाले तत्व हैं।
-* एक श्रेणीबद्ध जालक अर्ध-मॉड्यूलर जालक होता है, यदि, प्रत्येक के लिए <math>x</math> और <math>y</math>, इसका रैंक फ़ंक्शन पहचान का पालन करता है<ref>{{harvtxt|Birkhoff|1995}}, Theorem 15, p.&nbsp;40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If ''a''≠''b'' both cover ''c'', then there exists a ''d''∈''P'' which covers both ''a'' and ''b''" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if ''r''(''x'')+''r''(''y'')≥''r''(''x''∧''y'')+''r''(''x''∨''y'')".</ref>
+* प्रत्येक के लिए श्रेणीबद्ध जाली अर्ध-मॉड्यूलर होता है, यदि <math>x</math> और <math>y</math>, इसके श्रेणी फलन पहचान का पालन करता है।<ref>{{harvtxt|Birkhoff|1995}}, Theorem 15, p.&nbsp;40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If ''a''≠''b'' both cover ''c'', then there exists a ''d''∈''P'' which covers both ''a'' and ''b''" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if ''r''(''x'')+''r''(''y'')≥''r''(''x''∧''y'')+''r''(''x''∨''y'')".</ref>
 :: <math>r(x)+r(y)\ge r(x\wedge y)+r(x\vee y). \, </math>
-* एक मैट्रॉइड नेट एक नेट है जो परमाणु और अर्ध-मॉड्यूलर दोनों है।<ref>{{citation
+* मैट्रोइड जाली वह जाली है जो परमाणु और अर्ध-मॉड्यूलर दोनों है।<ref>{{citation
   | last1 = Maeda | first1 = F.
   | last2 = Maeda | first2 = S.
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   | publisher = Courier Dover Publications
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-  | year = 2010}}.</ref> एक ज्यामितीय नेट एक '' परिमित '' मैट्रॉइड नेट है।<ref name="w10-51">{{harvtxt|Welsh|2010}}, p.&nbsp;51.</ref>
+  | year = 2010}}.</ref> ज्यामितीय जाली परिमित मैट्रोइड जाली है।<ref name="w10-51">{{harvtxt|Welsh|2010}}, p.&nbsp;51.</ref>
-: कई लेखक केवल परिमित मैट्रॉइड लैटिस पर विचार करते हैं, और दोनों के लिए एक दूसरे के लिए ज्यामितीय नेट और मैट्रोइड लैटिस शब्दों का उपयोग करते हैं।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|authorlink=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255|page=80|url=https://books.google.com/books?id=0Y8d-MdtVwkC&pg=PA80}}.</ref>
+: सामान्यतः अनेक लेखक केवल परिमित मैट्रोइड जाली पर विचार करते हैं और दोनों के लिए "ज्यामितीय जाली" और "मैट्रोइड जाली" शब्दों का उपयोग करते हैं।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|authorlink=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255|page=80|url=https://books.google.com/books?id=0Y8d-MdtVwkC&pg=PA80}}.</ref>
+== जाली बनाम मैट्रोइड्स ==
+ज्यामितीय जाली (परिमित, सरल) मैट्रोइड के समान्तर हैं और मैट्रोइड जाली परिमितता की धारणा के बिना सरल मैट्रोइड के समान्तर हैं (अनंत मैट्रोइड की उचित परिभाषा के अनुसार; ऐसी अनेक परिभाषाएं हैं)। पत्राचार यह है कि मैट्रोइड के तत्व जाली के परमाणु हैं और जाली का तत्व x मैट्रोइड के समभूमि से मेल खाता है जिसमें मैट्रोइड के वह तत्व होते हैं जो परमाणु <math>a \leq x.</math> होते हैं।
+ज्यामितीय जाली की भांति, मैट्रोइड को मैट्रोइड श्रेणी के साथ संपन्न किया जाता है, किन्तु यह फलन मेट्रॉइड तत्वों के समूह को जाली तत्व को इसके तर्क के रूप में लेने के अतिरिक्त संख्या में मैप करता है। इस प्रकार मैट्रोइड का श्रेणी फलन मोनोटोनिक होना चाहिए (समूह में तत्व जोड़ने से इसकी श्रेणी कभी कम नहीं हो सकती है) और यह सबमॉड्यूलर फलन होता है। जिसका अर्थ है कि यह अर्ध-मॉड्यूलर श्रेणी वाले जाली के समान असमानता का पालन करता है।
-== लैटिस बनाम मैट्रोइड्स ==
-ज्यामितीय नेट (परिमित, सरल) मेटारोइड के बराबर हैं, और matroid lattices परिमितता की धारणा के बिना सरल मेटारोइड के बराबर हैं (अनंत मेटारोइड की उचित परिभाषा के तहत; ऐसी कई परिभाषाएं हैं)। पत्राचार यह है कि मैट्रॉइड के तत्व नेट के परमाणु हैं और नेट का एक तत्व x मैट्रॉइड के फ्लैट से मेल खाता है जिसमें मैट्रॉइड के वे तत्व होते हैं जो परमाणु होते हैं <math>a \leq x.</math>
-एक ज्यामितीय नेट की तरह, एक मैट्रॉइड को [[मैट्रोइड रैंक]] के साथ संपन्न किया जाता है, लेकिन यह फ़ंक्शन मेट्रॉइड तत्वों के एक सेट को एक नेट तत्व को इसके तर्क के रूप में लेने के बजाय एक संख्या में मैप करता है। मैट्रॉइड का रैंक फ़ंक्शन मोनोटोनिक होना चाहिए (एक सेट में एक तत्व जोड़ने से इसकी रैंक कभी कम नहीं हो सकती है) और यह [[सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन]] होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह सेमीमॉड्यूलर रैंक वाले लैटिस के समान असमानता का पालन करता है:
 :<math>r(X)+r(Y)\ge r(X\cap Y)+r(X\cup Y)</math>
-matroid तत्वों के X और Y सेट के लिए।
+मैट्रोइड तत्वों के X और Y समूह के लिए किसी दिए गए श्रेणी के अधिकतम तत्व समूह को 'समभूमि्स' कहा जाता है। दो समभूमि का चौराहा फिर से समभूमि है, जो समभूमि के जोड़े पर सबसे बड़ी निचली बाध्य क्रिया को परिभाषित करता है। चूँकि कोई भी समभूमि की जोड़ी के कम से कम ऊपरी बाउंड को उनके संघ के (अद्वितीय) अधिकतम समूहों के रूप में परिभाषित कर सकता है जिसमें उनके संघ के समान श्रेणी है। इस प्रकार मैट्रोइड के समभूमि मैट्रोइड जाली बनाते हैं या (यदि मैट्रोइड परिमित है) ज्यामितीय जाली बनाते है।<ref name="w10-51" />
-किसी दिए गए रैंक के [[अधिकतम तत्व]] सेट को 'फ्लैट्स' कहा जाता है। दो फ्लैटों का चौराहा फिर से एक फ्लैट है, जो फ्लैटों के जोड़े पर सबसे बड़ी निचली बाध्य कार्रवाई को परिभाषित करता है; कोई भी फ्लैटों की एक जोड़ी के कम से कम ऊपरी बाउंड को उनके संघ के (अद्वितीय) अधिकतम सुपरसेट के रूप में परिभाषित कर सकता है जिसमें उनके संघ के समान रैंक है। इस तरह, एक मैट्रॉइड के फ्लैट एक मैट्रोइड नेट बनाते हैं, या (यदि मैट्रॉइड परिमित है) एक ज्यामितीय नेट।<ref name="w10-51"/>
-इसके विपरीत यदि <math>L</math> एक मैट्रॉइड नेट है, कोई भी अपने परमाणुओं के सेट पर रैंक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है, परमाणुओं के एक सेट के रैंक को सेट के सबसे बड़े निचले बाउंड के नेट रैंक के रूप में परिभाषित कर सकता है। यह रैंक फ़ंक्शन आवश्यक रूप से मोनोटोनिक और सबमॉड्यूलर है, इसलिए यह एक मैट्रॉइड को परिभाषित करता है। यह मैट्रॉइड आवश्यक रूप से सरल है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो-तत्व सेट में रैंक दो है।<ref name="w10-51"/>
+इसके विपरीत यदि <math>L</math> मैट्रोइड जाली है, कोई भी अपने परमाणुओं के समूह पर श्रेणी फलन को परिभाषित कर सकता है, परमाणुओं के समूह के श्रेणी को समूह के सबसे बड़े निचले बाउंड के जाली श्रेणी के रूप में परिभाषित कर सकता है। यह श्रेणी फलन आवश्यक रूप से मोनोटोनिक और सबमॉड्यूलर है, इसलिए यह मैट्रोइड को परिभाषित करता है। यह मैट्रोइड आवश्यक रूप से सरल है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो-तत्व समूह में श्रेणी दो है।<ref name="w10-51" />
-ये दो निर्माण, एक नेट से एक साधारण मैट्रॉइड और एक मैट्रॉइड से एक नेट के, एक दूसरे के विपरीत होते हैं: एक ज्यामितीय नेट या एक साधारण मैट्रॉइड से शुरू होकर, और एक के बाद एक दोनों निर्माण करते हुए, एक नेट या मैट्रॉइड देता है मूल के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref name="w10-51"/>
+यह दो निर्माण, जाली से साधारण मैट्रोइड और मैट्रोइड से जाली के, दूसरे के विपरीत होते हैं। इस प्रकार ज्यामितीय जाली या साधारण मैट्रोइड से प्रारंभ होकर और बाद के दोनों निर्माण करते हुए जाली या मैट्रोइड देता है, जो मूल के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref name="w10-51" />
+== द्वैत ==
+ज्यामितीय जाली के लिए द्वैत की दो भिन्न-भिन्न प्राकृतिक धारणाएँ हैं ।
+* <math>L</math>: दोहरी मैट्रोइड, जिसका आधार इसके अनुरूप मैट्रोइड के आधार के [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समूह सिद्धांत)]] समूह करता है।
-== द्वैत ==
+* <math>L</math> और [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]], वह जाली जिसमें समान तत्व होते हैं।
-ज्यामितीय नेट के लिए द्वैत की दो अलग-अलग प्राकृतिक धारणाएँ हैं <math>L</math>: दोहरी matroid, जो इसके आधार के आधार पर matroid के आधार के [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] सेट करता है <math>L</math>, और [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]], वह नेट जिसमें समान तत्व होते हैं <math>L</math> विपरीत क्रम में। वे समान नहीं हैं, और वास्तव में दोहरी नेट आम तौर पर एक ज्यामितीय नेट नहीं होती है: परमाणु होने की संपत्ति ऑर्डर-रिवर्सल द्वारा संरक्षित नहीं होती है। {{harvtxt|Cheung|1974}} एक ज्यामितीय नेट के आसन्न को परिभाषित करता है <math>L</math> (या इससे परिभाषित मैट्रॉइड) एक न्यूनतम ज्यामितीय नेट है जिसमें दोहरी नेट है <math>L</math> [[ आदेश एम्बेडिंग ]] है|ऑर्डर-एम्बेडेड। कुछ मैट्रोइड्स में संलग्नक नहीं होते हैं; एक उदाहरण वामोस मैट्रोइड है।<ref>{{citation
+* <math>L</math> विपरीत क्रम में। वह समान नहीं हैं और वास्तव में दोहरी जाली सामान्यतः ज्यामितीय जाली नहीं होती है अतः परमाणु होने की संपत्ति विपरीत-क्रम द्वारा संरक्षित नहीं होती है। इस प्रकार {{harvtxt|चेउंग|1974}} ज्यामितीय जाली के आसन्न को परिभाषित करता है।
+* <math>L</math> (या इससे परिभाषित मैट्रोइड) न्यूनतम ज्यामितीय जाली है जिसमें दोहरी जाली है।
+* <math>L</math> ऑर्डर-एम्बेडेड है। अतः कुछ मैट्रोइड्स में संलग्नक नहीं होते हैं; उदाहरण के लिए, वामोस मैट्रोइड है।<ref>{{citation
   | last = Cheung | first = Alan L. C.
   | doi = 10.4153/CMB-1974-066-5 | doi-access=free
@@ Line 55: / Line 57: @@
   | volume = 17
   | year = 1974}}.</ref>
 == अतिरिक्त गुण ==
-एक ज्यामितीय नेट का प्रत्येक अंतराल (दिए गए निचले और ऊपरी बाध्य तत्वों के बीच नेट का सबसेट) स्वयं ज्यामितीय है; एक ज्यामितीय नेट का अंतराल लेना संबंधित मैट्रोइड के एक [[ माथेरॉइड माइनर ]] बनाने के अनुरूप है। ज्यामितीय नेट नेट के पूरक हैं, और अंतराल संपत्ति के कारण वे अपेक्षाकृत पूरक भी हैं।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, pp. 55, 65–67.</ref>
+ज्यामितीय जाली का प्रत्येक अंतराल (दिए गए निचले और ऊपरी बाध्य तत्वों के मध्य जाली का समूह) स्वयं ज्यामितीय है। इस प्रकार ज्यामितीय जाली का अंतराल लेना संबंधित मैट्रोइड के [[ माथेरॉइड माइनर |माथेरॉइड माइनर]] बनाने के अनुरूप है। ज्यामितीय जाली जाली के पूरक हैं और अंतराल संपत्ति के कारण वे अपेक्षाकृत पूरक भी हैं।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, pp. 55, 65–67.</ref>
-प्रत्येक परिमित नेट एक ज्यामितीय नेट का उप-वर्ग है।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, p. 58; Welsh credits this result to [[Robert P. Dilworth]], who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.</ref>
+प्रत्येक परिमित जाली ज्यामितीय जाली का उप-वर्ग है।<ref>{{harvtxt|Welsh|2010}}, p. 58; Welsh credits this result to [[Robert P. Dilworth]], who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.</ref>
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
@@ Line 69: / Line 68: @@
 * {{planetmath reference|urlname=GeometricLattice|title=Geometric lattice}}
 * {{OEIS el|A281574|Number of unlabeled geometric lattices with ''n'' elements}}
-[[Category: जाली सिद्धांत]] [[Category: मैट्रोइड सिद्धांत]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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