मुक्त बीजगणित

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जिसे वलय सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, मुक्त बीजगणित बहुपद वलय का गैर-अनुवर्ती एनालॉग है क्योंकि इसके तत्वों को गैर-कम्यूटिंग चर के साथ बहुपद के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसी प्रकार, बहुपद वलय को मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित माना जा सकता है।

परिभाषा

R के लिए क्रमविनिमेय वलय, मुक्त (सहयोगी, इकाई बीजगणित) बीजगणित (वलय सिद्धांत) n अनिश्चित (चर) {X₁,...,X_n} पर मुफ्त मॉड्यूल है, जिसका आधार वर्णमाला {X₁,...,X_n} पर सभी शब्द (गणित) (खाली शब्द सहित, जो मुक्त बीजगणित की इकाई है)। यह R-मॉड्यूल बीजगणित (रिंग थ्योरी) बन जाता है। R-बीजगणित गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करता है, दो आधार तत्वों का उत्पाद संबंधित शब्दों का संयोजन होता है।

$\left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},$

एवं इस प्रकार दो मनमाना R-मॉड्यूल तत्वों का उत्पाद विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है (क्योंकि R-बीजगणित में गुणन R-बिलिनियर होना चाहिए)। इस R-बीजगणित को R⟨X₁,...,X_n⟩ दर्शाया गया है। इस निर्माण को सरलता से मनमाना उपसमुच्चय X के अनिश्चित उपसमुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

संक्षेप में, मनमाना उपसमुच्चय के लिए $X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}$, X पर मुक्त (साहचर्य, इकाई बीजगणित) R-बीजगणित (वलय सिद्धांत) है।

$R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw$

R-बिलिनियर गुणन के साथ जो शब्दों पर संयोजन है, जहां X*X पर मुक्त मोनोइड को दर्शाता है (अर्थात अक्षर X_i पर शब्द), $\oplus$ मॉड्यूल के बाहरी प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है, एवं Rw1 तत्व पर मुफ्त Rw मॉड्यूल को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, R⟨X₁,X₂,X₃,X₄⟩, स्केलर α, β, γ, δ ∈ R के लिए, दो तत्वों के उत्पाद का ठोस उदाहरण है।

$(\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}$.

गैर-कम्यूटेटिव बहुपद वलय को X_i में सभी परिमित शब्दों के मुक्त मोनोइड के R पर मोनॉइड रिंग के साथ पहचाना जा सकता है।

बहुपदों के साथ तुलना

चूंकि वर्ण {X₁, ...,X_n} पर शब्द R⟨X₁,...,X_n⟩ का आधार बनते हैं, यह स्पष्ट है कि R⟨X₁, ...,X_n⟩ का कोई भी तत्व विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},$

जहाँ $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ R के अवयव हैं एवं अंतत: इनमें अधिक से अवयव शून्य हैं। यह बताता है, कि क्यों R⟨X₁,...,X_n⟩ के तत्वों को प्रायः चर (या अनिश्चित) X₁,...,X_n में गैर-कम्यूटेटिव बहुपद के रूप में दर्शाया जाता है। $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ को इन बहुपदों का "गुणांक" कहा जाता है एवं R-बीजगणित R⟨X₁,...,X_n⟩ है, n अनिश्चित में R के ऊपर गैर-कम्यूटेटिव बहुपद बीजगणित कहा जाता है। ध्यान दें, कि वास्तविक बहुपद रिंग के विपरीत, चर क्रमविनिमेय संचालन नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, X₁X_2, X₂X₁ के समान नहीं है।

अधिक सामान्यतः, जनरेटिंग उपसमुच्चय के किसी भी उपसमुच्चय E पर मुक्त बीजगणित R⟨E⟩ का निर्माण किया जा सकता है। चूँकि छल्ले को 'Z'-अलजेब्रस के रूप में माना जा सकता है, E पर 'मुक्त रिंग' को मुक्त बीजगणित 'Z'⟨E⟩ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

क्षेत्र (गणित) पर, n अनिश्चित पर मुक्त बीजगणित को n-आयामी सदिश अंतरिक्ष पर टेंसर बीजगणित के रूप में बनाया जा सकता है। अधिक सामान्य गुणांक रिंग के लिए, वही निर्माण कार्य करता है यदि हम n जनरेटिंग उपसमुच्चय पर मुफ्त मॉड्यूल लेते हैं।

E पर मुक्त बीजगणित का निर्माण प्रकृति में कार्यात्मक है एवं उपयुक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है। मुक्त बीजगणित फ़ैक्टर को R-बीजगणित की श्रेणी से उपसमुच्चय की श्रेणी में बुद्धिहीन ऑपरेटर के पास त्याग दिया जाता है।

विभाजन वलय पर मुक्त बीजगणित मुक्त आदर्श वलय हैं।

यह भी देखें

• कोफ्री कोलजेब्रा
• टेन्सर बीजगणित
• मुक्त वस्तु
• नॉनकम्यूटेटिव रिंग
• तर्कसंगत श्रृंखला

संदर्भ

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007.
• L.A. Bokut' (2001) [1994], "Free associative algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press