लचीला पॉलीहेड्रॉन

स्टीफ़न का पॉलीहेड्रॉन, सरलतम संभव गैर-स्व-क्रॉसिंग लचीला पॉलीहेड्रॉन

ज्यामिति में, एक फ्लेक्सिबल पॉलीहेड्रॉन बिना किसी सीमा किनारों के एक बहुफलकीय सतह है, जिसका आकार उसके सभी चेहरों के आकार को अपरिवर्तित रखते हुए लगातार बदला जा सकता है। कॉची की प्रमेय (ज्यामिति) दर्शाती है कि आयाम 3 में ऐसा पॉलीहेड्रॉन उत्तल सेट नहीं किया जा सकता है (यह उच्च आयामों में भी सत्य है)।

फ्लेक्सिबल पॉलीहेड्रा के पहले उदाहरण, जिसे अब ब्रिकार्ड ऑक्टाहेड्रा कहा जाता है, की खोज राउल ब्रिकार्ड (1897) ने की थी। वे एक अष्टफलक के लिए आइसोमेट्रिक स्व-प्रतिच्छेदी सतह हैं। राउल ब्रिकार्ड (1897) द्वारा $\mathbb {R} ^{3}$कोनेली क्षेत्र में एक लचीली गैर-स्व-प्रतिच्छेदी सतह का पहला उदाहरण खोजा गया था। स्टीफ़न का पॉलीहेड्रॉन एक अन्य गैर-स्व-प्रतिच्छेदी लचीला पॉलीहेड्रॉन है जो ब्रिकार्ड के ऑक्टाहेड्रा से प्राप्त हुआ है।

धौंकनी अनुमान

1970 के दशक के अंत में कोनेली और डी. सुलिवन ने धौंकनी अनुमान तैयार किया जिसमें कहा गया था कि लचीलेपन के तहत एक लचीले पॉलीहेड्रॉन का आयतन अपरिवर्तनीय (गणित) है। यह अनुमान पॉलीहेड्रा होमियोमॉर्फिक से गोले के लिए सिद्ध हुआ था आई. केएच्. सबितोव (1995) उन्मूलन सिद्धांत का उपयोग करके, और फिर सामान्य अभिविन्यास के लिए 2-आयामी पॉलीहेड्रल सतहों द्वारा सिद्ध किया गया रॉबर्ट कोनेली, I. सबितोव, and एंके वाल्ज़ (1997). सबूत टेट्राहेड्रॉन या आयतन के लिए पिएरो डेला फ्रांसेस्का के सूत्र को किसी भी पॉलीहेड्रॉन के आयतन के सूत्र तक बढ़ाता है। विस्तारित सूत्र से पता चलता है कि आयतन एक बहुपद का एक मूल होना चाहिए जिसका गुणांक केवल बहुफलक के किनारों की लंबाई पर निर्भर करता है। चूंकि किनारे की लंबाई पॉलीहेड्रॉन फ्लेक्स के रूप में नहीं बदल सकती है, वॉल्यूम को लगातार बदलने के अतिरिक्त , बहुपद की बारीक कई जड़ों में से एक में रहना चाहिए।

कैंची सर्वांगसम

कोनेली ने अनुमान लगाया कि एक लचीले पॉलीहेड्रॉन का देह अपरिवर्तनीय फ्लेक्सिंग के तहत अपरिवर्तनीय है। इसे शक्तिशाली धौंकनी अनुमान या (2018 में सिद्ध होने के बाद) शक्तिशाली धौंकनी प्रमेय के रूप में जाना जाता था। क्योंकि एक लचीले पॉलीहेड्रॉन के सभी विन्यासों में समान आयतन और समान देह परिवर्तक दोनों होते हैं, वे एक दूसरे के लिए कैंची के अनुरूप होते हैं, जिसका अर्थ है कि इनमें से किसी भी दो विन्यासों के लिए यह संभव है कि उनमें से एक को बहुफलकीय टुकड़ों में विभाजित किया जा सके। दूसरे को बनाने के लिए फिर से संग्रह हुआ। एक लचीले पॉलीहेड्रॉन का कुल औसत वक्रता, बाहरी डायहेड्रल कोणों के साथ किनारे की लंबाई के उत्पादों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, यह देह इनवेरिएंट का एक कार्य है जिसे पॉलीहेड्रॉन फ्लेक्स के समय स्थिर रहने के लिए भी जाना जाता है।

सामान्यीकरण

हेलमथ स्टैचेल (2000) द्वारा 4-आयामी यूक्लिडियन स्थान और 3-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में लचीले 4-पॉलीटोप्स का अध्ययन किया गया। आयाम $n\geq 5$ में, गैफुललिन (2014) द्वारा लचीले पॉलीटोप्स का निर्माण किया गया था।

यह भी देखें

• फ्लेक्सागॉन
• कठोर उत्पत्ति

संदर्भ

प्राथमिक स्रोत

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माध्यमिक स्रोत

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बाहरी संबंध

• Eric W. Weisstein, Flexible polyhedron (Bellows conjecture) at MathWorld.