प्रतिच्छेदन प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 15:31, 5 September 2023

प्रक्षेपी ज्यामिति में, प्रतिच्छेदन प्रमेय या आपतन प्रमेय घटना संरचना से संबंधित एक कथन है। जिसमें बिंदु, रेखाएँ, और संभवतः उच्च-आयामी वस्तुएं और उनकी घटनाएं सम्मिलित हैं - साथ में वस्तुओं $A$ और $B$ की जोड़ी (उदाहरण के लिए, बिंदु और रेखा)। "प्रमेय" कहता है कि, जब भी वस्तुओं का एक सेट घटनाओं को संतुष्ट करता है (अर्थात घटना संरचना की वस्तुओं के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि घटनाओं को संरक्षित किया जाता है), तो वस्तुओं $A$ और $B$ को भी घटना होना चाहिए। प्रतिच्छेदन प्रमेय अनिवार्य रूप से सभी प्रक्षेपी ज्यामिति में सत्य नहीं है; यह एक ऐसा गुण है जो कुछ ज्यामितियों को संतुष्ट, लेकिन अन्य को नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, डेसार्गेस के प्रमेय को निम्नलिखित परिघटना संबंधी संरचना का उपयोग करते हुए कहा जा सकता है:

अंक: $\{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}$
रेखायें: $\{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}$
घटनाएँ (स्पष्ट घटनाओं के अलावा $(A,AB)$ ): $\{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}$

निहितार्थ तब $(R,PQ)$ है - कि बिंदु $R$ लाइन $PQ$ के साथ घटना है।

प्रसिद्ध उदाहरण

डेसार्गेस प्रमेय प्रक्षेपी प्लेन $P$ में रखता है अगर और केवल अगर $P$ किसी डिवीजन रिंग (तिरछा क्षेत्र} $D$ — $P=\mathbb {P} _{2}D$ पर प्रक्षेपीय प्लेन है, प्रक्षेपी तल को तब डेसर्गेसियन कहा जाता है। अमित्सुर और बर्गमैन के प्रमेय में कहा गया है कि, प्रत्येक प्रतिच्छेदन के प्रमेय के लिए डिसार्ग्यूसियन प्रक्षेपी सतहों के संदर्भ में तर्कसंगत पहचान है जैसे कि प्लेन $P$ प्रतिच्छेदन प्रमेय को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर विभाजन की रिंग $D$ तर्कसंगत पहचान को संतुष्ट करता है।

पप्पस का षट्भुज प्रमेय डेसार्गेसियन प्रक्षेपी तल $\mathbb {P} _{2}D$ में धारण करता है यदि और केवल यदि $D$ क्षेत्र है; यह $\forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a$ की पहचान से मेल खाता है।
फैनो का स्वयंसिद्ध (जो बताता है कि एक निश्चित प्रतिच्छेदन नहीं होता है) $\mathbb {P} _{2}D$ में होता है अगर और केवल अगर $D$ की विशेषता $\neq 2$ है; यह पहचान $a + a = 0$ से मेल खाता है।

संदर्भ

Rowen, Louis Halle, ed. (1980). Polynomial Identities in Ring Theory. Pure and Applied Mathematics. Vol. 84. Academic Press. doi:10.1016/s0079-8169(08)x6032-5. ISBN 9780125998505.
Amitsur, S. A. (1966). "Rational Identities and Applications to Algebra and Geometry". Journal of Algebra. 3 (3): 304–359. doi:10.1016/0021-8693(66)90004-4.

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-{{about|projective geometry|a result on [[tensor product]]s of [[module (mathematics)|modules]]|Homological conjectures in commutative algebra}}
+{{about|प्रक्षेपी ज्यामिति|[[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] के [[टेंसर उत्पाद]] पर परिणाम|क्रमविनिमेय बीजगणित में सजातीय अनुमान}}
-[[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में, एक प्रतिच्छेदन प्रमेय या घटना प्रमेय एक [[घटना संरचना]] से संबंधित एक बयान है - जिसमें बिंदु, रेखाएँ, और संभवतः उच्च-आयामी वस्तुएं और उनकी घटनाएं शामिल हैं - वस्तुओं की एक जोड़ी के साथ {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (उदाहरण के लिए, एक बिंदु और एक रेखा)। [[प्रमेय]] में कहा गया है कि, जब भी वस्तुओं का एक सेट घटनाओं को संतुष्ट करता है (अर्थात घटना संरचना की वस्तुओं के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि घटना संरक्षित है), तो वस्तुएं {{math|''A''}} और {{math|''B''}} घटना भी होनी चाहिए। एक प्रतिच्छेदन प्रमेय सभी प्रक्षेपी ज्यामितीयों में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है; यह एक ऐसी संपत्ति है जो कुछ ज्यामिति संतुष्ट करती हैं लेकिन अन्य नहीं।
+[[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में, '''प्रतिच्छेदन प्रमेय''' या आपतन प्रमेय घटना संरचना से संबंधित एक कथन है। जिसमें बिंदु, रेखाएँ, और संभवतः उच्च-आयामी वस्तुएं और उनकी घटनाएं सम्मिलित हैं - साथ में वस्तुओं {{math|''A''}} और {{math|''B''}} की जोड़ी (उदाहरण के लिए, बिंदु और रेखा)। "[[प्रमेय]]" कहता है कि, जब भी वस्तुओं का एक सेट घटनाओं को संतुष्ट करता है (अर्थात घटना संरचना की वस्तुओं के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि घटनाओं को संरक्षित किया जाता है), तो वस्तुओं {{math|''A''}} और {{math|''B''}} को भी घटना होना चाहिए। प्रतिच्छेदन प्रमेय अनिवार्य रूप से सभी प्रक्षेपी ज्यामिति में सत्य नहीं है; यह एक ऐसा गुण है जो कुछ ज्यामितियों को संतुष्ट, लेकिन अन्य को नहीं करता है।
-उदाहरण के लिए, Desargues प्रमेय को निम्नलिखित घटना संरचना का उपयोग करके कहा जा सकता है:
+उदाहरण के लिए, डेसार्गेस के प्रमेय को निम्नलिखित परिघटना संबंधी संरचना का उपयोग करते हुए कहा जा सकता है:
 * अंक: <math>\{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}</math>
-*पंक्तियाँ: <math>\{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}</math>
+*रेखायें: <math>\{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}</math>
-* घटनाएँ (स्पष्ट घटनाओं के अलावा जैसे <math>(A,AB)</math>): <math>\{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}</math>
+* घटनाएँ (स्पष्ट घटनाओं के अलावा <math>(A,AB)</math>): <math>\{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}</math>
-निहितार्थ तब है <math>(R,PQ)</math>—वह बिंदु {{math|''R''}} लाइन के साथ घटना है {{math|{{overbar|''PQ''}}}}.
+निहितार्थ तब <math>(R,PQ)</math> है - कि बिंदु {{math|''R''}} लाइन {{math|{{overbar|''PQ''}}}} के साथ घटना है।
 == प्रसिद्ध उदाहरण ==
-Desargues' प्रमेय एक प्रोजेक्टिव प्लेन में है {{math|''P''}} [[अगर और केवल अगर]] {{math|''P''}} कुछ [[ विभाजन की अंगूठी ]] (skewfield}) पर प्रोजेक्टिव प्लेन है {{math|''D''}} — <math>P=\mathbb{P}_{2}D</math>. प्रोजेक्टिव प्लेन को तब [[कार्टेशियन विमान]] कहा जाता है।
+डेसार्गेस प्रमेय प्रक्षेपी प्लेन {{math|''P''}} में रखता है अगर और केवल अगर {{math|''P''}} किसी डिवीजन रिंग (तिरछा क्षेत्र} {{math|''D''}} — <math>P=\mathbb{P}_{2}D</math> पर प्रक्षेपीय प्लेन है, प्रक्षेपी तल को तब डेसर्गेसियन कहा जाता है। अमित्सुर और बर्गमैन के प्रमेय में कहा गया है कि, प्रत्येक प्रतिच्छेदन के प्रमेय के लिए डिसार्ग्यूसियन प्रक्षेपी सतहों के संदर्भ में तर्कसंगत पहचान है जैसे कि प्लेन {{math|''P''}} प्रतिच्छेदन प्रमेय को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर विभाजन की रिंग {{math|''D''}} तर्कसंगत पहचान को संतुष्ट करता है।
-[[ शिमशोन अमितसुर ]] और बर्गमैन के एक प्रमेय में कहा गया है कि, डिसारग्यूसियन प्रक्षेपी विमानों के संदर्भ में, प्रत्येक चौराहे के प्रमेय के लिए एक [[तर्कसंगत पहचान]] है जैसे कि विमान {{math|''P''}} प्रतिच्छेदन प्रमेय को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि विभाजन वलय {{math|''D''}} तर्कसंगत पहचान को संतुष्ट करता है।
-* पप्पस का षट्भुज प्रमेय एक डिसार्गेसियन प्रोजेक्टिव प्लेन में है <math>\mathbb{P}_{2}D</math> अगर और केवल अगर {{math|''D''}} एक [[क्षेत्र (गणित)]] है; यह पहचान से मेल खाता है <math>\forall a,b\in D, \quad a\cdot b=b\cdot a</math>.
+* पप्पस का षट्भुज प्रमेय डेसार्गेसियन प्रक्षेपी तल <math>\mathbb{P}_{2}D</math> में धारण करता है यदि और केवल यदि {{math|''D''}} क्षेत्र है; यह <math>\forall a,b\in D, \quad a\cdot b=b\cdot a</math> की पहचान से मेल खाता है।
-*Fano विमान|Fano's स्वयंसिद्ध (जो बताता है कि एक निश्चित चौराहा नहीं होता है) में है <math>\mathbb{P}_{2}D</math> अगर और केवल अगर {{math|''D''}} विशेषता है (बीजगणित) <math>\neq 2</math>; यह पहचान से मेल खाता है {{math|1=''a'' + ''a'' = 0}}.
+* फैनो का स्वयंसिद्ध (जो बताता है कि एक निश्चित प्रतिच्छेदन नहीं होता है) <math>\mathbb{P}_{2}D</math> में होता है अगर और केवल अगर {{math|''D''}} की विशेषता <math>\neq 2</math> है; यह पहचान {{math|1=''a'' + ''a'' = 0}} से मेल खाता है।
 == संदर्भ ==
 *{{cite book|doi=10.1016/s0079-8169(08)x6032-5|title=Polynomial Identities in Ring Theory|volume=84|series=Pure and Applied Mathematics|year=1980|isbn=9780125998505|editor-last=Rowen|editor-first=Louis Halle|publisher=Academic Press}}
 *{{cite journal|doi=10.1016/0021-8693(66)90004-4|title=Rational Identities and Applications to Algebra and Geometry|journal=Journal of Algebra|volume=3|issue=3|pages=304–359|year=1966|last1=Amitsur|first1=S. A.|doi-access=free}}
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