समचतुर्भुज

For क्रिस्टल प्रणाली, see रॉमबोहेड्रल क्रिस्टल प्रणाली.

समचतुर्भुज
प्रकार	प्रिज्म
रूप	6 समचतुर्भुज
किनारा	12
कोने	8
समरूपता समूह	Ci , [2+,2+], (×), क्रम 2
गुण	उत्तल, समबाहु, क्षेत्र, समांतरफलक

ज्यामिति में, समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है या, गलत विधि से, समचतुर्भुज) छह रूपों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग समकोण जाली प्रणाली, परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। समकोण कोशिकाओं के साथ मधुकोश (ज्यामिति) को घनक्षेत्र समचतुर्भुज का विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ वर्गाकार होती हैं।

सामान्यतः समचतुर्भुज में तीन प्रकार के विषमकोण रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े C_i समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।

समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक इस तरह से बन सकते हैं।

विषमकोणीय जालक तंत्र

Main article: विषमकोणीय जालक प्रणाली

विषमकोणीय जालक प्रणाली में विषमकोणीय कोशिकाएं होती हैं, जिसमें 6 सर्वांगसम समचतुर्भुज रूप होते हैं जो त्रिकोणीय समलम्ब चतुर्भुज बनाते हैं:

समरूपता द्वारा विशेष स्थितियां

समचतुर्भुज के विशेष स्थितियां

आकृति	घन	त्रिकोणीय समलम्ब चतुर्भुज	सही समचतुर्भुज प्रिज्म	तिर्यक समचतुर्भुज प्रिज्म
कोण प्रतिबंध	$\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }$	$\alpha =\beta =\gamma$	$\alpha =\beta =90^{\circ }$	$\alpha =\beta$
समरूपता	Oh क्रम 48	D3d क्रम 12	D2h क्रम 8	C2h क्रम 4
रूप	6 वर्ग	6 सर्वांगसम समचतुर्भुज	2 समचतुर्भुज, 4 वर्ग	6 समचतुर्भुज

• घन: ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ O_h सममिति, कोटि 48. सभी फलक वर्गाकार हैं।
• त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी समफलकीय विषमफलक कहा जाता है): D_3d समरूपता के साथ, क्रम 12 रूपों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह घन को उसके विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत रूपों पर जुड़े दो नियमित चतुष्फलक वाला नियमित अष्टफलक 60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
• समचतुर्भुज प्रिज्म': D_2h समरूपता के साथ , क्रम 8 यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण प्रिज्म (ज्यामिति) एक साथ जुड़े हुए है जो 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
• 'तिरछा समचतुर्भुज प्रिज्म':C_2h चक्रीय समरूपता के साथ, क्रम 4 है। इसमें समरूपता का केवल एक तल है। चार शीर्षों और छह समचतुर्भुज रूपों के माध्यम से समरूपता होती है |

ठोस ज्यामिति

इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक, समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ $\theta ~$, मूल बिंदु (0, 0, 0) पर शीर्ष के साथ, और किनारे के साथ x-अक्ष तीन उत्पन्न करने वाले सदिश हैं |

e₁ : ${\biggl (}1,0,0{\biggr )},$

e₂ : ${\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},$

e₃ : ${\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.$

अन्य निर्देशांक 3 दिशा सदिश e₁ + e₂ , e₁ + e₃ , e₂ + e₃ , और e₁ + e₂ + e₃ योग से प्राप्त किए जा सकते हैं |

समफलकीय समभुज का आयतन $V$, इसकी पार्श्व लंबाई $a$ और इसके समचतुर्भुज तीव्र कोण $\theta ~$के संदर्भ में एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन का सरलीकरण है,और इसके द्वारा दिया जाता है |

$V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.$

हम वॉल्यूम $V$ को दूसरे विधि से व्यक्त कर सकते हैं:|

$V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.$

जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल $a^{2}\sin \theta ~$ द्वारा दिया जाता है और एक समचतुर्भुज की ऊंचाई को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित आयतन द्वारा दिया जाता है, ऊंचाई $h$ एक समफलकीय समचतुर्भुज इसकी पार्श्व लंबाई $a$ और इसके विषमकोणीय तीव्र कोण $\theta$ के संदर्भ में दिया जाता है

$h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.$

टिप्पणी:

$h=a~z$₃ , जहाँ $z$₃ e₃ का तीसरा निर्देशांक है |

तीव्र-कोण वाले शीर्षों के बीच का विकर्ण सबसे लंबा होता है। उस विकर्ण के बारे में घूर्णी समरूपता के द्वारा, अन्य तीन विकर्ण, विपरीत अधिक कोण वाले शीर्षों के तीन जोड़े के बीच, सभी समान लंबाई के होते हैं।

यह भी देखें

• आकृतियों की सूची

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Rhombohedron". MathWorld.
• Volume Calculator https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php