आरेख गतिकीय प्रणाली (जीडीएस): Difference between revisions

Latest revision as of 17:12, 17 May 2023

गणित में, आरेख गतिकीय प्रणाली (जीडीएस) की अवधारणा का उपयोग आरेख़ या नेटवर्क पर होने वाली प्रक्रियाओं की एक विस्तृत श्रृंखला को अधिकृत करने के लिए किया जा सकता है। जीडीएस के गणितीय और गणनात्मक विश्लेषण में एक प्रमुख विषय उनके संरचनात्मक गुणों (जैसे नेटवर्क संबद्धता) और परिणामी वैश्विक गतिकीय प्रणाली से संबंधित है।

आरेख गतिकीय प्रणाली पर कार्य परिमित रेखांकन और परिमित अवस्था समष्टि पर विचार करता है जैसे कि अनुसंधान में सामान्यतः तकनीकों को सम्मिलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, अंतर ज्यामिति के अतिरिक्त आरेख सिद्धांत, साहचर्य, बीजगणित और गतिकीय प्रणाली सिद्धांत के रूप में अनंत आरेख पर जीडीएस को परिभाषित कर सकता है। उदाहरण के लिए $\mathbb {Z} ^{k}$ पर कोशिकीय रोबोट या संभाव्य कोशिकीय रोबोट या यादृच्छिकता सम्मिलित होने पर कण प्रणालियों को उनकी अन्योन्यक्रिया के साथ ही अनंत आरेख के जीडीएस अवस्था समष्टि (जैसे $\mathbb {R}$ मानचित्रण नियम के रूप में देखें) उदाहरण के लिए निम्नलिखित मे $\mathbb {Wu}$ को निहित रूप से परिमित माना जाता है।^[1]

औपचारिक परिभाषा

निम्नलिखित घटकों से एक आरेख गतिकीय प्रणाली का निर्माण किया जाता है:

लंबकोणीय समुच्चय v[Y] = {1,2, ... , n} के साथ एक परिमित आरेख Y के संदर्भ के आधार पर आरेख को निर्देशित या अप्रत्यक्ष किया जा सकता है।
एक परिमित समुच्चय K से लिए गए Y के प्रत्येक शीर्ष v के लिए एक स्थिति xv प्रणाली स्थिति n- टपल x = (x₁, x₂, ... , x_n) है और x[v] अवस्थाओं से युक्त टपल Y (निश्चित क्रम) में v के 1-निकतम मान से संबद्ध है।
प्रत्येक लंबकोणीय v के लिए एक लंबकोणीय फलन f_v लंबकोणीय फलन Y में v के 1-निकतम मान से संबद्ध अवस्थाओं के आधार पर समय t + 1 पर लंबकोणीय अवस्था पर लंबकोणीय v की स्थिति को प्रदर्शित करता है।
एक अद्यतन योजना उस यांत्रिकी को निर्दिष्ट करती है जिसके द्वारा अलग-अलग शीर्ष अवस्थाओं को प्रदर्शित किया जाता है ताकि मानचित्र F: Kn → Kn के साथ एक असतत गतिकीय प्रणाली को प्रेरित किया जा सके।

मानचित्र F: Kⁿ → Kⁿ के साथ एक गतिकीय प्रणाली से संबद्ध फेज़ समष्टि शीर्ष समुच्चय Kn और निर्देशित शीर्ष (x, F (x)) के साथ परिमित निर्देशित आरेख है। फेज़ समष्टि की संरचना आरेख Y, लंबकोणीय फलन (f_i)_i और अद्यतन योजना के गुणों द्वारा नियंत्रित होती है। इस क्षेत्र में अनुसंधान प्रणाली घटकों की संरचना के आधार पर फेज़ समष्टि गुणों का अनुमान लगाया जाता है। जिसकी समीक्षा में समष्टि एक वैश्विक प्रणाली है।

सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट (जीसीए)

यदि उदाहरण के लिए अद्यतन योजना में लंबकोणीय फलन को समकालिक रूप से प्रयुक्त करना सम्मिलित है तो सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट (जीसीए) की श्रेणी प्राप्त होती है। इस स्थिति में वैश्विक मानचित्र F:Kⁿ → Kⁿ द्वारा दिया गया है:

$F(x)_{v}=f_{v}(x[v])\;$

जीसीए

इस वर्ग को सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि चिरसम्मत या मानक कोशिकीय रोबोट को सामान्यतः नियमित आरेख या ग्रिड पर परिभाषित और अध्ययन किया जाता है तथा शीर्ष फलन को सामान्यतः समान माना जाता है।

उदाहरण: माना कि Y शीर्ष {1,2,3,4} पर वृत्तीय आरेख है जो शीर्ष {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4} के साथ वृत्त 4 को दर्शाता है। माना कि K = {0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए अवस्था समष्टि और फलन nor₃: K³ → K का उपयोग किया गया है जिसको फलन nor₃(x,y,z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z) द्वारा परिभाषित किया गया है। सभी लंबकोणीय फलनों के लिए अंकगणितीय प्रारूप 2 के साथ अद्यतन अनुक्रम (1,2,3,4) का उपयोग करके प्रणाली स्थिति (0,1,0,0) को (0, 0, 0, 1) पर प्रदर्शित किया जाता है। इस अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली के लिए सभी प्रणाली स्थिति संक्रमण नीचे फेज़ समष्टि में दिखाए गए हैं।

अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली (एसडीएस)

यदि लंबकोणीय फलन अतुल्यकालिक रूप से एक अनुक्रम w = (w₁, w₂, ... , w_m) या क्रमचय { $\pi$ = ( $\pi _{1}$ , $\pi _{2},\dots ,\pi _{n}$ } द्वारा निर्दिष्ट अनुक्रम में प्रयुक्त होते हैं तो v[Y] प्राप्त करता है कि अनुक्रमिक गतिकीय प्रणालियों (एसडीएस) का वर्ग इस स्थिति में लंबकोणीय फलन से निर्मित स्थानीय मानचित्र Y को प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:^[2]

F_{i}(x)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1},f_{i}(x[i]),x_{i+1},\ldots ,x_{n})\;

अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली मानचित्र F = [F_Y, w]: Kⁿ → Kⁿ फलन $[F_{Y},w]=F_{w(m)}\circ F_{w(m-1)}\circ \cdots \circ F_{w(2)}\circ F_{w(1)}\;$ का संयोजन फलन है यदि अद्यतन अनुक्रम एक क्रमचय है तो इस बिंदु पर महत्व देने के लिए प्रायः एक क्रमचय अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली का प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण: माना कि Y शीर्ष {1,2,3,4} पर वृत्तीय आरेख है जिसके शीर्ष {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4} हैं जो वृत्त 4 द्वारा दर्शाए गए हैं। माना कि K={0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए अवस्था समष्टि है जिसमे फलन nor₃: K³ → K का उपयोग किया गया है जो nor₃(x,y,z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z) द्वारा परिभाषित किया गया है। सभी लंबकोणीय फलनों के लिए अंकगणितीय प्रारूप 2 के साथ अद्यतन अनुक्रम (1,2,3,4) का उपयोग करके प्रणाली स्थिति (0, 1, 0, 0) को (0, 0, 1, 0) पर प्रदर्शित किया जाता है। इस अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली के लिए सभी प्रणाली स्थिति संक्रमण नीचे फेज़ समष्टि में दिखाए गए हैं।

प्रसंभाव्य आरेख गतिकीय प्रणाली

उदाहरण के लिए अनुप्रयोगों के दृष्टिकोण से उस स्थिति पर विचार करना महत्वपूर्ण है जहां जीडीएस के एक या अधिक घटकों में प्रसंभाव्य तत्व होते हैं। प्रेरक अनुप्रयोगों में ऐसी प्रक्रियाएं सम्मिलित हो सकती हैं जो पूर्ण रूप से समझ में नहीं आती हैं उदाहरण के लिए एक कोशिकीय प्रणाली के भीतर गतिकीयता और जहां सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए कुछ दृष्टिकोण को संभाव्यता वितरण के अनुसार व्यवहार करना प्रतीत होता है। नियतात्मक सिद्धांतों द्वारा शासित अनुप्रयोग भी हैं जिनका विवरण इतना जटिल होता है कि संभाव्य अनुमानों पर विचार करना समझ में आता है।

आरेख़ गतिकीय प्रणाली के प्रत्येक तत्व को कई प्रकार से प्रसंभाव्य बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली में अद्यतन अनुक्रम को प्रसंभाव्य बनाया जा सकता है। प्रत्येक पुनरावृति फेज़ से संबंधित संभावनाओं के साथ अद्यतन अनुक्रमों के दिए गए वितरण को यादृच्छिक रूप से अद्यतन अनुक्रम w के रूप चयनित कर सकते हैं। अद्यतन अनुक्रमों का संबंध प्रायिकता समष्टि एसडीएस मानचित्रों के प्रायिकता समष्टि को प्रेरित करता है। इस संबंध में अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक वस्तु एसडीएस मानचित्रों के इस संग्रह से प्रेरित अवस्था समष्टि पर मार्कोव श्रृंखला है। इस स्थिति को अद्यतन अनुक्रम प्रसंभाव्य जीडीएस के रूप में संदर्भित किया जाता है जहां घटनाएं निश्चित दरों के अनुसार यादृच्छिक रूप से घटित होती हैं जैसे कि रासायनिक प्रतिक्रियाएं समांतर गणना या असतत घटना अनुरूपण में और बाद में वर्णित कम्प्यूटेशनल प्रतिमानों में समकालिक प्रसंभाव्य अद्यतन अनुक्रम वाला यह विशिष्ट उदाहरण ऐसी प्रणालियों के लिए दो सामान्य तथ्यों को प्रदर्शित करता है प्रसंभाव्य आरेख गतिकीय प्रणाली से गुजरने पर सामान्यतः (1) मार्कोव श्रृंखला (जीडीएस के घटकों द्वारा शासित विशिष्ट संरचना के साथ) का अध्ययन किया जाता है और (2) परिणामी मार्कोव श्रृंखला अवस्थाओं की एक घातीय संख्या के साथ विस्तृत होती है। प्रसंभाव्य जीडीएस के अध्ययन में एक केंद्रीय लक्ष्य मे अपेक्षाकृत कम मॉडल को प्राप्त करने में सक्षम होता है। इसमे उस स्थिति पर भी विचार किया जा सकता है जहां लंबकोणीय फलन प्रसंभाव्य फलन हैं अर्थात प्रसंभाव्य जीडीएस फलन उदाहरण के लिए, रैंडम लियन नेटवर्क एक समकालिक अद्यतन योजना का उपयोग करते हुए फलन प्रसंभाव्य जीडीएस के उदाहरण हैं और जहां अवस्था समष्टि K = {0, 1} है। परिमित संभाव्य कोशिकीय रोबोट (पीसीए) फलन प्रसंभाव्य जीडीएस का एक और उदाहरण है। सिद्धांतिक रूप में अंतःक्रियात्मक कण प्रणाली (आईपीएस) की श्रेणी परिमित और अनंत पीसीए को प्रदर्शित करती है लेकिन भौतिक रूप से आईपीएस पर फलन अपेक्षाकृत अनंत स्थिति से संबंधित होते है क्योंकि यह अवस्था समष्टि पर अधिक रोचक टोपोलॉजी प्रस्तुत करने की स्वीकृति देते है।

अनुप्रयोग

आरेख़ गतिकीय प्रणाली सामाजिक नेटवर्क पर जैविक नेटवर्क और महामारी जैसी वितरित प्रणाली को अधिकृत करने के लिए एक प्राकृतिक संरचना बनाते हैं जिनमें से कई नेटवर्कों को प्रायः जटिल प्रणाली के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यह भी देखें

रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क सिद्धांत
गतिकीय नेटवर्क विश्लेषण (सामाजिक विज्ञान)
परिमित अवस्था यंत्र
हॉपफील्ड नेटवर्क
कॉफ़मैन नेटवर्क
पेट्री जाल

संदर्भ

↑ Wu, Chai Wah (2005). "एक निर्देशित ग्राफ के माध्यम से युग्मित गैर-रैखिक गतिशील प्रणालियों के नेटवर्क में तुल्यकालन". Nonlinearity. 18 (3): 1057–1064. Bibcode:2005Nonli..18.1057W. doi:10.1088/0951-7715/18/3/007. S2CID 122111995.
↑ Mortveit, Henning S.; Reidys, Christian M. (2008). अनुक्रमिक गतिशील प्रणालियों का परिचय. Universitext. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-30654-4.

अग्रिम पठन

Macauley, Matthew; Mortveit, Henning S. (2009). "Cycle equivalence of graph dynamical systems". Nonlinearity. 22 (2): 421–436. arXiv:0802.4412. Bibcode:2009Nonli..22..421M. doi:10.1088/0951-7715/22/2/010. S2CID 17978550.
Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2003). The Symmetry Perspective. Basel: Birkhauser. ISBN 0-8176-2171-7.

बाहरी संबंध

Graph Dynamical Systems – A Mathematical Framework for Interaction-Based Systems, Their Analysis and Simulations by Henning Mortveit

[wu-05-1] Wu, Chai Wah (2005). "एक निर्देशित ग्राफ के माध्यम से युग्मित गैर-रैखिक गतिशील प्रणालियों के नेटवर्क में तुल्यकालन". Nonlinearity. 18 (3): 1057–1064. Bibcode:2005Nonli..18.1057W. doi:10.1088/0951-7715/18/3/007. S2CID 122111995.

[Mortveit-08-2] Mortveit, Henning S.; Reidys, Christian M. (2008). अनुक्रमिक गतिशील प्रणालियों का परिचय. Universitext. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-30654-4.

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-गणित में, ग्राफ़ [[गतिशील प्रणाली]] की अवधारणा का उपयोग ग्राफ़ या नेटवर्क पर होने वाली प्रक्रियाओं की एक विस्तृत श्रृंखला को कैप्चर करने के लिए किया जा सकता है। जीडीएस के गणितीय और कम्प्यूटेशनल विश्लेषण में एक प्रमुख विषय उनके संरचनात्मक गुणों (जैसे नेटवर्क कनेक्टिविटी) और परिणामी वैश्विक गतिशीलता से संबंधित है।
+गणित में, '''आरेख गतिकीय प्रणाली (जीडीएस)''' की अवधारणा का उपयोग आरेख़ या नेटवर्क पर होने वाली प्रक्रियाओं की एक विस्तृत श्रृंखला को अधिकृत करने के लिए किया जा सकता है। जीडीएस के गणितीय और गणनात्मक विश्लेषण में एक प्रमुख विषय उनके संरचनात्मक गुणों (जैसे नेटवर्क संबद्धता) और परिणामी वैश्विक गतिकीय प्रणाली से संबंधित है।
-जीडीएस पर काम परिमित रेखांकन और परिमित राज्य स्थान पर विचार करता है। जैसे, अनुसंधान में आमतौर पर तकनीकों को शामिल किया जाता है, उदाहरण के लिए, अंतर ज्यामिति के बजाय [[ग्राफ सिद्धांत]], [[साहचर्य]], [[बीजगणित]] और गतिशील प्रणालियां। सिद्धांत रूप में, एक अनंत ग्राफ पर जीडीएस को परिभाषित और अध्ययन कर सकता है (उदाहरण के लिए [[सेल्यूलर आटोमेटा]] या [[स्टोकेस्टिक सेलुलर ऑटोमेटा]] <math>\mathbb{Z}^k</math> या कुछ यादृच्छिकता शामिल होने पर कण प्रणालियों को इंटरैक्ट करना), साथ ही अनंत राज्य स्थान वाले जीडीएस (उदा। <math>\mathbb{R}</math> युग्मित मानचित्र जाली के रूप में); उदाहरण के लिए वू देखें।<ref name=wu-05>{{cite journal |doi=10.1088/0951-7715/18/3/007 |last=Wu |first=Chai Wah |year=2005 |title=एक निर्देशित ग्राफ के माध्यम से युग्मित गैर-रैखिक गतिशील प्रणालियों के नेटवर्क में तुल्यकालन|journal=Nonlinearity |volume= 18 |issue= 3|pages=1057–1064 |ref=Wu:05|bibcode=2005Nonli..18.1057W |s2cid=122111995 }}</ref> निम्नलिखित में, जब तक अन्यथा न कहा जाए, सब कुछ निहित रूप से परिमित माना जाता है।
+आरेख गतिकीय प्रणाली पर कार्य परिमित रेखांकन और परिमित अवस्था समष्टि पर विचार करता है जैसे कि अनुसंधान में सामान्यतः तकनीकों को सम्मिलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, अंतर ज्यामिति के अतिरिक्त [[ग्राफ सिद्धांत|आरेख सिद्धांत]], [[साहचर्य]], [[बीजगणित]] और गतिकीय प्रणाली सिद्धांत के रूप में अनंत आरेख पर जीडीएस को परिभाषित कर सकता है। उदाहरण के लिए <math>\mathbb{Z}^k</math> पर कोशिकीय रोबोट या संभाव्य कोशिकीय रोबोट या यादृच्छिकता सम्मिलित होने पर कण प्रणालियों को उनकी अन्योन्यक्रिया के साथ ही अनंत आरेख के जीडीएस अवस्था समष्टि (जैसे <math>\mathbb{R}</math> मानचित्रण नियम के रूप में देखें) उदाहरण के लिए निम्नलिखित मे <math>\mathbb{Wu}</math> को निहित रूप से परिमित माना जाता है।<ref name="wu-05">{{cite journal |doi=10.1088/0951-7715/18/3/007 |last=Wu |first=Chai Wah |year=2005 |title=एक निर्देशित ग्राफ के माध्यम से युग्मित गैर-रैखिक गतिशील प्रणालियों के नेटवर्क में तुल्यकालन|journal=Nonlinearity |volume= 18 |issue= 3|pages=1057–1064 |ref=Wu:05|bibcode=2005Nonli..18.1057W |s2cid=122111995 }}</ref>
 == औपचारिक परिभाषा ==
-निम्नलिखित घटकों से एक ग्राफ डायनेमिक सिस्टम का निर्माण किया जाता है:
+निम्नलिखित घटकों से एक आरेख गतिकीय प्रणाली का निर्माण किया जाता है:
+* लंबकोणीय समुच्चय v[''Y''] = {1,2, ... , n} के साथ एक परिमित आरेख Y के संदर्भ के आधार पर आरेख को निर्देशित या अप्रत्यक्ष किया जा सकता है।
+* एक परिमित समुच्चय K से लिए गए Y के प्रत्येक शीर्ष v के लिए एक स्थिति xv प्रणाली स्थिति n- टपल ''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ... , ''x<sub>n</sub>'') है और x[v] अवस्थाओं से युक्त टपल Y (निश्चित क्रम) में v के 1-निकतम मान से संबद्ध है।
+* प्रत्येक लंबकोणीय v के लिए एक लंबकोणीय फलन ''f<sub>v</sub>'' लंबकोणीय फलन Y में v के 1-निकतम मान से संबद्ध अवस्थाओं के आधार पर समय t + 1 पर लंबकोणीय अवस्था पर लंबकोणीय v की स्थिति को प्रदर्शित करता है।
+* एक अद्यतन योजना उस यांत्रिकी को निर्दिष्ट करती है जिसके द्वारा अलग-अलग शीर्ष अवस्थाओं को प्रदर्शित किया जाता है ताकि मानचित्र F: Kn → Kn के साथ एक असतत गतिकीय प्रणाली को प्रेरित किया जा सके।
+मानचित्र ''F'': ''K<sup>n</sup> → K<sup>n</sup>'' के साथ एक गतिकीय प्रणाली से संबद्ध फेज़ समष्टि शीर्ष समुच्चय Kn और निर्देशित शीर्ष (x, F (x)) के साथ परिमित निर्देशित आरेख है। फेज़ समष्टि की संरचना आरेख Y, लंबकोणीय फलन (''f<sub>i</sub>'')''<sub>i</sub>'' और अद्यतन योजना के गुणों द्वारा नियंत्रित होती है। इस क्षेत्र में अनुसंधान प्रणाली घटकों की संरचना के आधार पर फेज़ समष्टि गुणों का अनुमान लगाया जाता है। जिसकी समीक्षा में समष्टि एक वैश्विक प्रणाली है।
-<ब्लॉककोट>
+== सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट (जीसीए) ==
-* वर्टेक्स सेट v [Y] = {1,2, ..., n} के साथ एक परिमित ग्राफ Y। संदर्भ के आधार पर ग्राफ को निर्देशित या अप्रत्यक्ष किया जा सकता है।
-* एक राज्य एक्स<sub>v</sub>एक परिमित सेट K से लिए गए Y के प्रत्येक शीर्ष v के लिए। सिस्टम स्थिति n-tuple x = (x) है<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, ... , एक्स<sub>n</sub>), और x[v] टपल है जिसमें Y के 1-पड़ोस में कोने से जुड़े राज्य शामिल हैं (कुछ निश्चित क्रम में)।
-* एक वर्टेक्स फ़ंक्शन एफ<sub>v</sub>प्रत्येक शीर्ष v के लिए। वर्टेक्स फ़ंक्शन वाई में v के 1-पड़ोस से जुड़े राज्यों के आधार पर समय t पर शीर्ष स्थिति को समय t + 1 पर शीर्ष स्थिति में मैप करता है।
-* उस तंत्र को निर्दिष्ट करने वाली एक अद्यतन योजना जिसके द्वारा अलग-अलग शीर्ष राज्यों की मैपिंग की जाती है ताकि मानचित्र F: K के साथ एक असतत गतिशील प्रणाली को प्रेरित किया जा सके<sup>एन</sup> → के<sup>एन</sup>.
-</ब्लॉककोट>
-मानचित्र F: K के साथ एक गतिशील प्रणाली से जुड़ा चरण स्थान<sup>एन</sup> → के<sup>n</sup> वर्टेक्स सेट K के साथ परिमित निर्देशित ग्राफ है<sup>n</sup> और निर्देशित किनारे (x, F(x))। चरण स्थान की संरचना ग्राफ Y के गुणों द्वारा नियंत्रित होती है, वर्टेक्स फ़ंक्शंस (f<sub>i</sub>)<sub>i</sub>, और अद्यतन योजना। इस क्षेत्र में अनुसंधान सिस्टम घटकों की संरचना के आधार पर चरण स्थान गुणों का अनुमान लगाना चाहता है। विश्लेषण में एक स्थानीय-से-वैश्विक चरित्र है।
+यदि उदाहरण के लिए अद्यतन योजना में लंबकोणीय फलन को समकालिक रूप से प्रयुक्त करना सम्मिलित है तो सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट (जीसीए) की श्रेणी प्राप्त होती है। इस स्थिति में वैश्विक मानचित्र ''F'':''K<sup>n</sup> → K<sup>n</sup>'' द्वारा दिया गया है:
-== सामान्यीकृत सेलुलर ऑटोमेटा (जीसीए) ==
+<math>F(x)_v = f_v(x[v]) \;</math>
+[[File:Cellular automata symbolic De Bruijn diagram rule 110.png|thumb|304x304px|जीसीए]]
+इस वर्ग को सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि चिरसम्मत या मानक कोशिकीय रोबोट को सामान्यतः नियमित आरेख या ग्रिड पर परिभाषित और अध्ययन किया जाता है तथा शीर्ष फलन को सामान्यतः समान माना जाता है।
-यदि, उदाहरण के लिए, अद्यतन योजना में वर्टेक्स फ़ंक्शंस को समकालिक रूप से लागू करना शामिल है, तो सामान्यीकृत सेलुलर ऑटोमेटा (सीए) की श्रेणी प्राप्त होती है। इस मामले में, वैश्विक मानचित्र F: K<sup>एन</sup> → के<sup>n</sup> द्वारा दिया गया है
+उदाहरण: माना कि Y शीर्ष {1,2,3,4} पर वृत्तीय आरेख है जो शीर्ष {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4} के साथ वृत्त 4 को दर्शाता है। माना कि K = {0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए अवस्था समष्टि और फलन nor<sub>3</sub>: ''K<sup>3</sup>'' → ''K'' का उपयोग किया गया है जिसको फलन nor<sub>3</sub>(''x,y,z'') = (1 + ''x'')(1 + ''y'')(1 + ''z'') द्वारा परिभाषित किया गया है। सभी लंबकोणीय फलनों के लिए अंकगणितीय प्रारूप 2 के साथ अद्यतन अनुक्रम (1,2,3,4) का उपयोग करके प्रणाली स्थिति (0,1,0,0) को (0, 0, 0, 1) पर प्रदर्शित किया जाता है। इस अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली के लिए सभी प्रणाली स्थिति संक्रमण नीचे फेज़ समष्टि में दिखाए गए हैं।
-<math>F(x)_v = f_v(x[v]) \;.</math>
+== अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली (एसडीएस) ==
-इस वर्ग को सामान्यीकृत सेलुलर ऑटोमेटा के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि शास्त्रीय या मानक [[सेलुलर automaton]] को आमतौर पर नियमित ग्राफ़ या ग्रिड पर परिभाषित और अध्ययन किया जाता है, और वर्टेक्स फ़ंक्शंस को आमतौर पर समान माना जाता है।
-उदाहरण: मान लें कि ''Y'' कोने {1,2,3,4} पर सर्कल ग्राफ है {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4}, निरूपित सीआईआरसी<sub>4</sub>. चलो K = {0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए राज्य स्थान हो और न ही फ़ंक्शन का उपयोग करें<sub>3</sub> : क<sup>3</sup> → K नॉर द्वारा परिभाषित है<sub>3</sub>(x,y,z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z) सभी शीर्ष कार्यों के लिए अंकगणितीय मॉड्यूल 2 के साथ। फिर उदाहरण के लिए सिस्टम स्थिति (0,1,0,0) को सिंक्रोनस अपडेट का उपयोग करके (0, 0, 0, 1) मैप किया जाता है। सभी संक्रमण नीचे चरण स्थान में दिखाए गए हैं।
+यदि लंबकोणीय फलन अतुल्यकालिक रूप से एक अनुक्रम ''w'' = (''w''<sub>1</sub>, ''w''<sub>2</sub>, ... , ''w<sub>m</sub>'') या क्रमचय { <math>\pi</math> = ( <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2,\dots,\pi_n</math>} द्वारा निर्दिष्ट अनुक्रम में प्रयुक्त होते हैं तो v[Y] प्राप्त करता है कि अनुक्रमिक गतिकीय प्रणालियों (एसडीएस) का वर्ग इस स्थिति में लंबकोणीय फलन से निर्मित स्थानीय मानचित्र Y को प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:<ref name="Mortveit-08">{{cite book |last=Mortveit |first=Henning S. |author2=Reidys, Christian M. | year=2008 |title=अनुक्रमिक गतिशील प्रणालियों का परिचय|publisher=[[Springer Verlag]] |location=New York |isbn=978-0-387-30654-4 | series=Universitext| ref=Mortveit:08}}</ref>
-[[File:circ-4-nor.jpg|frame|center | 326]]
+: <math>F_i (x) = (x_1, x_2,\ldots, x_{i-1}, f_i(x[i]), x_{i+1}, \ldots , x_n) \; </math>
+अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली मानचित्र ''F'' = [''F<sub>Y</sub>'', ''w'']: ''K<sup>n</sup>'' → ''K<sup>n</sup>'' फलन <math>[F_Y ,w] = F_{w(m)} \circ F_{w(m-1)} \circ \cdots \circ F_{w(2)} \circ F_{w(1)} \; </math> का संयोजन फलन है यदि अद्यतन अनुक्रम एक क्रमचय है तो इस बिंदु पर महत्व देने के लिए प्रायः एक क्रमचय अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली का प्रयोग किया जाता है।
-== अनुक्रमिक गतिशील प्रणाली (एसडीएस) ==
+उदाहरण: माना कि Y शीर्ष {1,2,3,4} पर वृत्तीय आरेख है जिसके शीर्ष {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4} हैं जो वृत्त 4 द्वारा दर्शाए गए हैं। माना कि K={0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए अवस्था समष्टि है जिसमे फलन nor<sub>3</sub>: ''K<sup>3</sup>'' → ''K'' का उपयोग किया गया है जो nor<sub>3</sub>(''x,y,z'') = (1 + ''x'')(1 + ''y'')(1 + ''z'') द्वारा परिभाषित किया गया है। सभी लंबकोणीय फलनों के लिए अंकगणितीय प्रारूप 2 के साथ अद्यतन अनुक्रम (1,2,3,4) का उपयोग करके प्रणाली स्थिति (0, 1, 0, 0) को (0, 0, 1, 0) पर प्रदर्शित किया जाता है। इस अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली के लिए सभी प्रणाली स्थिति संक्रमण नीचे फेज़ समष्टि में दिखाए गए हैं।
-यदि शब्द w = (w<sub>1</sub>, में<sub>2</sub>, ... , में<sub>m</sub>) या क्रमपरिवर्तन <math>\pi</math> = ( <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2,\dots,\pi_n</math>v[Y] का ) अनुक्रमिक गतिशील प्रणालियों (एसडीएस) का वर्ग प्राप्त करता है।<ref name=Mortveit-08>{{cite book |last=Mortveit |first=Henning S. |author2=Reidys, Christian M. | year=2008 |title=अनुक्रमिक गतिशील प्रणालियों का परिचय|publisher=[[Springer Verlag]] |location=New York |isbn=978-0-387-30654-4 | series=Universitext| ref=Mortveit:08}}</ref> इस मामले में वाई-लोकल मैप्स एफ को पेश करना सुविधाजनक है<sub>i</sub>द्वारा शीर्ष कार्यों से निर्मित
+== प्रसंभाव्य आरेख गतिकीय प्रणाली ==
-: <math>F_i (x) = (x_1, x_2,\ldots, x_{i-1}, f_i(x[i]), x_{i+1}, \ldots , x_n) \;. </math>
+उदाहरण के लिए अनुप्रयोगों के दृष्टिकोण से उस स्थिति पर विचार करना महत्वपूर्ण है जहां जीडीएस के एक या अधिक घटकों में प्रसंभाव्य तत्व होते हैं। प्रेरक अनुप्रयोगों में ऐसी प्रक्रियाएं सम्मिलित हो सकती हैं जो पूर्ण रूप से समझ में नहीं आती हैं उदाहरण के लिए एक कोशिकीय प्रणाली के भीतर गतिकीयता और जहां सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए कुछ दृष्टिकोण को संभाव्यता वितरण के अनुसार व्यवहार करना प्रतीत होता है। नियतात्मक सिद्धांतों द्वारा शासित अनुप्रयोग भी हैं जिनका विवरण इतना जटिल होता है कि संभाव्य अनुमानों पर विचार करना समझ में आता है।
-एसडीएस मानचित्र एफ = [एफ<sub>Y</sub>, डब्ल्यू] : के<sup>एन</sup> → के<sup>n</sup> फ़ंक्शन संयोजन है
-: <math>[F_Y ,w] = F_{w(m)} \circ F_{w(m-1)} \circ \cdots \circ F_{w(2)} \circ F_{w(1)} \;. </math>
-यदि अद्यतन अनुक्रम एक क्रमचय है तो इस बिंदु पर जोर देने के लिए अक्सर एक क्रमचय एसडीएस की बात की जाती है।
-'उदाहरण:' मान लें कि Y सिरों {1,2,3,4} पर वृत्त का ग्राफ़ है, जिसके किनारे {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4} हैं, जो वृत्त को निरूपित करते हैं<sub>4</sub>. चलो K={0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए राज्य स्थान हो और न ही फ़ंक्शन का उपयोग करें<sub>3</sub> : क<sup>3</sup> → K नॉर द्वारा परिभाषित है<sub>3</sub>(x, y, z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z) सभी शीर्ष कार्यों के लिए अंकगणितीय सापेक्ष 2 के साथ। अद्यतन अनुक्रम (1,2,3,4) का उपयोग करके सिस्टम स्थिति (0, 1, 0, 0) को (0, 0, 1, 0) मैप किया जाता है। इस अनुक्रमिक गतिशील प्रणाली के लिए सभी सिस्टम स्थिति संक्रमण नीचे चरण स्थान में दिखाए गए हैं।
-[[File:circ-4-nor-1234.jpg|frame|center | 326]]
-== स्टोकेस्टिक ग्राफ डायनेमिक सिस्टम ==
-उदाहरण के लिए, अनुप्रयोगों के दृष्टिकोण से उस मामले पर विचार करना दिलचस्प है जहां जीडीएस के एक या अधिक घटकों में स्टोकेस्टिक तत्व होते हैं। प्रेरक अनुप्रयोगों में ऐसी प्रक्रियाएं शामिल हो सकती हैं जो पूरी तरह से समझ में नहीं आती हैं (उदाहरण के लिए एक सेल के भीतर गतिशीलता) और जहां सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए कुछ पहलुओं को कुछ संभाव्यता वितरण के अनुसार व्यवहार करना प्रतीत होता है। नियतात्मक सिद्धांतों द्वारा शासित अनुप्रयोग भी हैं जिनका विवरण इतना जटिल या बोझिल है कि संभाव्य अनुमानों पर विचार करना समझ में आता है।
-ग्राफ़ डायनेमिक सिस्टम के प्रत्येक तत्व को कई तरह से स्टोकेस्टिक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रमिक गतिशील प्रणाली में अद्यतन अनुक्रम को स्टोकास्टिक बनाया जा सकता है। प्रत्येक पुनरावृति चरण में संबंधित संभावनाओं के साथ अद्यतन अनुक्रमों के दिए गए वितरण से यादृच्छिक रूप से अद्यतन अनुक्रम w चुन सकते हैं। अद्यतन अनुक्रमों का मिलान प्रायिकता स्थान SDS मानचित्रों के प्रायिकता स्थान को प्रेरित करता है। इस संबंध में अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक वस्तु एसडीएस मानचित्रों के इस संग्रह से प्रेरित राज्य अंतरिक्ष पर [[मार्कोव श्रृंखला]] है। इस मामले को अद्यतन अनुक्रम स्टोकेस्टिक जीडीएस के रूप में संदर्भित किया जाता है और यह प्रेरित होता है, उदाहरण के लिए, ऐसी प्रक्रियाएं जहां घटनाएं कुछ दरों (जैसे रासायनिक प्रतिक्रियाओं) के अनुसार यादृच्छिक रूप से घटित होती हैं, समानांतर संगणना/असतत घटना सिमुलेशन में तुल्यकालन, और बाद में वर्णित कम्प्यूटेशनल प्रतिमानों में<!-- Make sure this cross ref stays/works. -->.
-स्टोचैस्टिक अपडेट सीक्वेंस वाला यह विशिष्ट उदाहरण ऐसी प्रणालियों के लिए दो सामान्य तथ्यों को दिखाता है: स्टोचैस्टिक ग्राफ डायनेमिक सिस्टम से गुजरने पर आम तौर पर (1) मार्कोव चेन (जीडीएस के घटकों द्वारा शासित विशिष्ट संरचना के साथ) का अध्ययन किया जाता है, और (2) परिणामी मार्कोव श्रृंखला राज्यों की एक घातीय संख्या के साथ बड़ी होती है। स्टोचैस्टिक जीडीएस के अध्ययन में एक केंद्रीय लक्ष्य कम मॉडल प्राप्त करने में सक्षम होना है।
-कोई उस मामले पर भी विचार कर सकता है जहां वर्टेक्स फ़ंक्शन स्टोकेस्टिक हैं, अर्थात, स्टोकेस्टिक जीडीएस फ़ंक्शन। उदाहरण के लिए, रैंडम [[बूलियन नेटवर्क]] एक सिंक्रोनस अपडेट स्कीम का उपयोग करते हुए फंक्शन स्टोकेस्टिक जीडीएस के उदाहरण हैं और जहां स्टेट स्पेस K = {0, 1} है। परिमित [[संभाव्य सेलुलर ऑटोमेटा]] (पीसीए) फंक्शन स्टोकेस्टिक जीडीएस का एक और उदाहरण है। सिद्धांत रूप में इंटरेक्टिंग पार्टिकल सिस्टम (IPS) की श्रेणी परिमित और अनंत संभाव्य सेलुलर ऑटोमेटा को कवर करती है, लेकिन व्यवहार में IPS पर काम काफी हद तक अनंत मामले से संबंधित है क्योंकि यह राज्य अंतरिक्ष पर अधिक दिलचस्प टोपोलॉजी पेश करने की अनुमति देता है।
+आरेख़ गतिकीय प्रणाली के प्रत्येक तत्व को कई प्रकार से प्रसंभाव्य बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली में अद्यतन अनुक्रम को प्रसंभाव्य बनाया जा सकता है। प्रत्येक पुनरावृति फेज़ से संबंधित संभावनाओं के साथ अद्यतन अनुक्रमों के दिए गए वितरण को यादृच्छिक रूप से अद्यतन अनुक्रम w के रूप चयनित कर सकते हैं। अद्यतन अनुक्रमों का संबंध प्रायिकता समष्टि एसडीएस मानचित्रों के प्रायिकता समष्टि को प्रेरित करता है। इस संबंध में अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक वस्तु एसडीएस मानचित्रों के इस संग्रह से प्रेरित अवस्था समष्टि पर [[मार्कोव श्रृंखला]] है। इस स्थिति को अद्यतन अनुक्रम प्रसंभाव्य जीडीएस के रूप में संदर्भित किया जाता है जहां घटनाएं निश्चित दरों के अनुसार यादृच्छिक रूप से घटित होती हैं जैसे कि रासायनिक प्रतिक्रियाएं समांतर गणना या असतत घटना अनुरूपण में और बाद में वर्णित कम्प्यूटेशनल प्रतिमानों में समकालिक प्रसंभाव्य अद्यतन अनुक्रम वाला यह विशिष्ट उदाहरण ऐसी प्रणालियों के लिए दो सामान्य तथ्यों को प्रदर्शित करता है प्रसंभाव्य आरेख गतिकीय प्रणाली से गुजरने पर सामान्यतः (1) मार्कोव श्रृंखला (जीडीएस के घटकों द्वारा शासित विशिष्ट संरचना के साथ) का अध्ययन किया जाता है और (2) परिणामी मार्कोव श्रृंखला अवस्थाओं की एक घातीय संख्या के साथ विस्तृत होती है। प्रसंभाव्य जीडीएस के अध्ययन में एक केंद्रीय लक्ष्य मे अपेक्षाकृत कम मॉडल को प्राप्त करने में सक्षम होता है। इसमे उस स्थिति पर भी विचार किया जा सकता है जहां लंबकोणीय फलन प्रसंभाव्य फलन हैं अर्थात प्रसंभाव्य जीडीएस फलन उदाहरण के लिए, रैंडम [[बूलियन नेटवर्क|लियन नेटवर्क]] एक समकालिक अद्यतन योजना का उपयोग करते हुए फलन प्रसंभाव्य जीडीएस के उदाहरण हैं और जहां अवस्था समष्टि K = {0, 1} है। परिमित [[संभाव्य सेलुलर ऑटोमेटा|संभाव्य कोशिकीय रोबोट]] (पीसीए) फलन प्रसंभाव्य जीडीएस का एक और उदाहरण है। सिद्धांतिक रूप में अंतःक्रियात्मक कण प्रणाली (आईपीएस) की श्रेणी परिमित और अनंत पीसीए को प्रदर्शित करती है लेकिन भौतिक रूप से आईपीएस पर फलन अपेक्षाकृत अनंत स्थिति से संबंधित होते है क्योंकि यह अवस्था समष्टि पर अधिक रोचक टोपोलॉजी प्रस्तुत करने की स्वीकृति देते है।
 == अनुप्रयोग ==
-ग्राफ़ डायनेमिक सिस्टम सामाजिक नेटवर्क पर जैविक नेटवर्क और महामारी जैसे वितरित सिस्टम को कैप्चर करने के लिए एक प्राकृतिक ढांचा बनाते हैं, जिनमें से कई को अक्सर जटिल सिस्टम के रूप में संदर्भित किया जाता है।
+आरेख़ गतिकीय प्रणाली सामाजिक नेटवर्क पर जैविक नेटवर्क और महामारी जैसी वितरित प्रणाली को अधिकृत करने के लिए एक प्राकृतिक संरचना बनाते हैं जिनमें से कई नेटवर्कों को प्रायः जटिल प्रणाली के रूप में संदर्भित किया जाता है।
 == यह भी देखें ==
 *[[रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क सिद्धांत]]
-*[[गतिशील नेटवर्क विश्लेषण]] (एक [[सामाजिक विज्ञान]] विषय)
+*[[गतिशील नेटवर्क विश्लेषण|गतिकीय नेटवर्क विश्लेषण]] ([[सामाजिक विज्ञान]])
-* परिमित राज्य मशीनें
+* परिमित अवस्था यंत्र
-* [[हॉपफील्ड नेट]]वर्क
+* [[हॉपफील्ड नेट|हॉपफील्ड नेटवर्क]]
 * [[कॉफ़मैन नेटवर्क]]
 * पेट्री जाल
@@ Line 67: / Line 52: @@
 {{reflist}}
 ==अग्रिम पठन==
 * {{cite journal |doi=10.1088/0951-7715/22/2/010 |last=Macauley |first=Matthew |author2=Mortveit, Henning S. |year=2009 |title=Cycle equivalence of graph dynamical systems |journal=Nonlinearity |volume=22 |issue=2 |pages=421&ndash;436 |ref=Macauley:09a|arxiv=0802.4412 |bibcode=2009Nonli..22..421M |s2cid=17978550 }}
 *{{cite book |last=Golubitsky |first=Martin |authorlink=Marty Golubitsky|author2=Stewart, Ian |year=2003 |title =The Symmetry Perspective |publisher=Birkhauser |location=Basel | ref=Golubitsky:03 |isbn=0-8176-2171-7}}
 ==बाहरी संबंध==
 *[https://web.archive.org/web/20140903062024/http://www.samsi.info/sites/default/files/samsi-05-dec-08.pdf Graph Dynamical Systems – A Mathematical Framework for Interaction-Based Systems, Their Analysis and Simulations by Henning Mortveit]
+{{DEFAULTSORT:Graph Dynamical System}}
+[[Category:Created On 06/05/2023|Graph Dynamical System]]
-{{DEFAULTSORT:Graph Dynamical System}}[[Category: गतिशील प्रणाली]] [[Category: बीजगणित]] [[Category: ग्राफ सिद्धांत]] [[Category: साहचर्य]]
+[[Category:Machine Translated Page|Graph Dynamical System]]
+[[Category:Pages with script errors|Graph Dynamical System]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Graph Dynamical System]]
+[[Category:गतिशील प्रणाली|Graph Dynamical System]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:ग्राफ सिद्धांत|Graph Dynamical System]]
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