आरेख गतिकीय प्रणाली (जीडीएस)

गणित में, आरेख गतिकीय प्रणाली (जीडीएस) की अवधारणा का उपयोग आरेख़ या नेटवर्क पर होने वाली प्रक्रियाओं की एक विस्तृत श्रृंखला को अधिकृत करने के लिए किया जा सकता है। जीडीएस के गणितीय और गणनात्मक विश्लेषण में एक प्रमुख विषय उनके संरचनात्मक गुणों (जैसे नेटवर्क संबद्धता) और परिणामी वैश्विक गतिकीय प्रणाली से संबंधित है।

आरेख गतिकीय प्रणाली पर कार्य परिमित रेखांकन और परिमित अवस्था समष्टि पर विचार करता है जैसे कि अनुसंधान में सामान्यतः तकनीकों को सम्मिलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, अंतर ज्यामिति के अतिरिक्त आरेख सिद्धांत, साहचर्य, बीजगणित और गतिकीय प्रणाली सिद्धांत के रूप में अनंत आरेख पर जीडीएस को परिभाषित कर सकता है। उदाहरण के लिए $\mathbb {Z} ^{k}$ पर कोशिकीय रोबोट या संभाव्य कोशिकीय रोबोट या यादृच्छिकता सम्मिलित होने पर कण प्रणालियों को उनकी अन्योन्यक्रिया के साथ ही अनंत आरेख के जीडीएस अवस्था समष्टि (जैसे $\mathbb {R}$ मानचित्रण नियम के रूप में देखें) उदाहरण के लिए निम्नलिखित मे $\mathbb {Wu}$ को निहित रूप से परिमित माना जाता है।

औपचारिक परिभाषा

निम्नलिखित घटकों से एक आरेख गतिकीय प्रणाली का निर्माण किया जाता है:

• लंबकोणीय समुच्चय v[Y] = {1,2, ... , n} के साथ एक परिमित आरेख Y के संदर्भ के आधार पर आरेख को निर्देशित या अप्रत्यक्ष किया जा सकता है।
• एक परिमित समुच्चय K से लिए गए Y के प्रत्येक शीर्ष v के लिए एक स्थिति xv प्रणाली स्थिति n- टपल x = (x₁, x₂, ... , x_n) है और x[v] अवस्थाओं से युक्त टपल Y (निश्चित क्रम) में v के 1-निकतम मान से संबद्ध है।
• प्रत्येक लंबकोणीय v के लिए एक लंबकोणीय फलन f_v लंबकोणीय फलन Y में v के 1-निकतम मान से संबद्ध अवस्थाओं के आधार पर समय t + 1 पर लंबकोणीय अवस्था पर लंबकोणीय v की स्थिति को प्रदर्शित करता है।
• एक अद्यतन योजना उस यांत्रिकी को निर्दिष्ट करती है जिसके द्वारा अलग-अलग शीर्ष अवस्थाओं को प्रदर्शित किया जाता है ताकि मानचित्र F: Kn → Kn के साथ एक असतत गतिकीय प्रणाली को प्रेरित किया जा सके।

मानचित्र F: Kⁿ → Kⁿ के साथ एक गतिकीय प्रणाली से संबद्ध फेज़ समष्टि शीर्ष समुच्चय Kn और निर्देशित शीर्ष (x, F (x)) के साथ परिमित निर्देशित आरेख है। फेज़ समष्टि की संरचना आरेख Y, लंबकोणीय फलन (f_i)_i और अद्यतन योजना के गुणों द्वारा नियंत्रित होती है। इस क्षेत्र में अनुसंधान प्रणाली घटकों की संरचना के आधार पर फेज़ समष्टि गुणों का अनुमान लगाया जाता है। जिसकी समीक्षा में समष्टि एक वैश्विक प्रणाली है।

सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट (जीसीए)

यदि उदाहरण के लिए अद्यतन योजना में लंबकोणीय फलन को समकालिक रूप से प्रयुक्त करना सम्मिलित है तो सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट (जीसीए) की श्रेणी प्राप्त होती है। इस स्थिति में वैश्विक मानचित्र F:Kⁿ → Kⁿ द्वारा दिया गया है:

$F(x)_{v}=f_{v}(x[v])\;$

जीसीए

इस वर्ग को सामान्यीकृत कोशिकीय रोबोट के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि चिरसम्मत या मानक कोशिकीय रोबोट को सामान्यतः नियमित आरेख या ग्रिड पर परिभाषित और अध्ययन किया जाता है तथा शीर्ष फलन को सामान्यतः समान माना जाता है।

उदाहरण: माना कि Y शीर्ष {1,2,3,4} पर वृत्तीय आरेख है जो शीर्ष {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4} के साथ वृत्त 4 को दर्शाता है। माना कि K = {0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए अवस्था समष्टि और फलन nor₃: K³ → K का उपयोग किया गया है जिसको फलन nor₃(x,y,z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z) द्वारा परिभाषित किया गया है। सभी लंबकोणीय फलनों के लिए अंकगणितीय प्रारूप 2 के साथ अद्यतन अनुक्रम (1,2,3,4) का उपयोग करके प्रणाली स्थिति (0,1,0,0) को (0, 0, 0, 1) पर प्रदर्शित किया जाता है। इस अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली के लिए सभी प्रणाली स्थिति संक्रमण नीचे फेज़ समष्टि में दिखाए गए हैं।

अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली (एसडीएस)

यदि लंबकोणीय फलन अतुल्यकालिक रूप से एक अनुक्रम w = (w₁, w₂, ... , w_m) या क्रमचय { $\pi$ = ( $\pi _{1}$, $\pi _{2},\dots ,\pi _{n}$} द्वारा निर्दिष्ट अनुक्रम में प्रयुक्त होते हैं तो v[Y] प्राप्त करता है कि अनुक्रमिक गतिकीय प्रणालियों (एसडीएस) का वर्ग इस स्थिति में लंबकोणीय फलन से निर्मित स्थानीय मानचित्र Y को प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:

$F_{i}(x)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1},f_{i}(x[i]),x_{i+1},\ldots ,x_{n})\;$

अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली मानचित्र F = [F_Y, w]: Kⁿ → Kⁿ फलन $[F_{Y},w]=F_{w(m)}\circ F_{w(m-1)}\circ \cdots \circ F_{w(2)}\circ F_{w(1)}\;$ का संयोजन फलन है यदि अद्यतन अनुक्रम एक क्रमचय है तो इस बिंदु पर महत्व देने के लिए प्रायः एक क्रमचय अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली का प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण: माना कि Y शीर्ष {1,2,3,4} पर वृत्तीय आरेख है जिसके शीर्ष {1,2}, {2,3}, {3,4} और {1,4} हैं जो वृत्त 4 द्वारा दर्शाए गए हैं। माना कि K={0,1} प्रत्येक शीर्ष के लिए अवस्था समष्टि है जिसमे फलन nor₃: K³ → K का उपयोग किया गया है जो nor₃(x,y,z) = (1 + x)(1 + y)(1 + z) द्वारा परिभाषित किया गया है। सभी लंबकोणीय फलनों के लिए अंकगणितीय प्रारूप 2 के साथ अद्यतन अनुक्रम (1,2,3,4) का उपयोग करके प्रणाली स्थिति (0, 1, 0, 0) को (0, 0, 1, 0) पर प्रदर्शित किया जाता है। इस अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली के लिए सभी प्रणाली स्थिति संक्रमण नीचे फेज़ समष्टि में दिखाए गए हैं।

प्रसंभाव्य आरेख गतिकीय प्रणाली

उदाहरण के लिए अनुप्रयोगों के दृष्टिकोण से उस स्थिति पर विचार करना महत्वपूर्ण है जहां जीडीएस के एक या अधिक घटकों में प्रसंभाव्य तत्व होते हैं। प्रेरक अनुप्रयोगों में ऐसी प्रक्रियाएं सम्मिलित हो सकती हैं जो पूर्ण रूप से समझ में नहीं आती हैं उदाहरण के लिए एक कोशिकीय प्रणाली के भीतर गतिकीयता और जहां सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए कुछ दृष्टिकोण को संभाव्यता वितरण के अनुसार व्यवहार करना प्रतीत होता है। नियतात्मक सिद्धांतों द्वारा शासित अनुप्रयोग भी हैं जिनका विवरण इतना जटिल होता है कि संभाव्य अनुमानों पर विचार करना समझ में आता है।

आरेख़ गतिकीय प्रणाली के प्रत्येक तत्व को कई प्रकार से प्रसंभाव्य बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रमिक गतिकीय प्रणाली में अद्यतन अनुक्रम को प्रसंभाव्य बनाया जा सकता है। प्रत्येक पुनरावृति फेज़ से संबंधित संभावनाओं के साथ अद्यतन अनुक्रमों के दिए गए वितरण को यादृच्छिक रूप से अद्यतन अनुक्रम w के रूप चयनित कर सकते हैं। अद्यतन अनुक्रमों का संबंध प्रायिकता समष्टि एसडीएस मानचित्रों के प्रायिकता समष्टि को प्रेरित करता है। इस संबंध में अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक वस्तु एसडीएस मानचित्रों के इस संग्रह से प्रेरित अवस्था समष्टि पर मार्कोव श्रृंखला है। इस स्थिति को अद्यतन अनुक्रम प्रसंभाव्य जीडीएस के रूप में संदर्भित किया जाता है जहां घटनाएं निश्चित दरों के अनुसार यादृच्छिक रूप से घटित होती हैं जैसे कि रासायनिक प्रतिक्रियाएं समांतर गणना या असतत घटना अनुरूपण में और बाद में वर्णित कम्प्यूटेशनल प्रतिमानों में समकालिक प्रसंभाव्य अद्यतन अनुक्रम वाला यह विशिष्ट उदाहरण ऐसी प्रणालियों के लिए दो सामान्य तथ्यों को प्रदर्शित करता है प्रसंभाव्य आरेख गतिकीय प्रणाली से गुजरने पर सामान्यतः (1) मार्कोव श्रृंखला (जीडीएस के घटकों द्वारा शासित विशिष्ट संरचना के साथ) का अध्ययन किया जाता है और (2) परिणामी मार्कोव श्रृंखला अवस्थाओं की एक घातीय संख्या के साथ विस्तृत होती है। प्रसंभाव्य जीडीएस के अध्ययन में एक केंद्रीय लक्ष्य मे अपेक्षाकृत कम मॉडल को प्राप्त करने में सक्षम होता है। इसमे उस स्थिति पर भी विचार किया जा सकता है जहां लंबकोणीय फलन प्रसंभाव्य फलन हैं अर्थात प्रसंभाव्य जीडीएस फलन उदाहरण के लिए, रैंडम लियन नेटवर्क एक समकालिक अद्यतन योजना का उपयोग करते हुए फलन प्रसंभाव्य जीडीएस के उदाहरण हैं और जहां अवस्था समष्टि K = {0, 1} है। परिमित संभाव्य कोशिकीय रोबोट (पीसीए) फलन प्रसंभाव्य जीडीएस का एक और उदाहरण है। सिद्धांतिक रूप में अंतःक्रियात्मक कण प्रणाली (आईपीएस) की श्रेणी परिमित और अनंत पीसीए को प्रदर्शित करती है लेकिन भौतिक रूप से आईपीएस पर फलन अपेक्षाकृत अनंत स्थिति से संबंधित होते है क्योंकि यह अवस्था समष्टि पर अधिक रोचक टोपोलॉजी प्रस्तुत करने की स्वीकृति देते है।

अनुप्रयोग

आरेख़ गतिकीय प्रणाली सामाजिक नेटवर्क पर जैविक नेटवर्क और महामारी जैसी वितरित प्रणाली को अधिकृत करने के लिए एक प्राकृतिक संरचना बनाते हैं जिनमें से कई नेटवर्कों को प्रायः जटिल प्रणाली के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यह भी देखें

• रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क सिद्धांत
• गतिकीय नेटवर्क विश्लेषण (सामाजिक विज्ञान)
• परिमित अवस्था यंत्र
• हॉपफील्ड नेटवर्क
• कॉफ़मैन नेटवर्क
• पेट्री जाल

अग्रिम पठन

• Macauley, Matthew; Mortveit, Henning S. (2009). "Cycle equivalence of graph dynamical systems". Nonlinearity. 22 (2): 421–436. arXiv:0802.4412. Bibcode:2009Nonli..22..421M. doi:10.1088/0951-7715/22/2/010. S2CID 17978550.
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2003). The Symmetry Perspective. Basel: Birkhauser. ISBN 0-8176-2171-7.

बाहरी संबंध

• Graph Dynamical Systems – A Mathematical Framework for Interaction-Based Systems, Their Analysis and Simulations by Henning Mortveit