अधिसमतल की व्यवस्था

ज्यामिति और साहचर्य में, अधिसमतल की व्यवस्था एक रैखिक, सजातीय या प्रक्षेपी ज्यामिति समष्टि S में अधिसमतल के परिमित समुच्चय A की व्यवस्था है। अधिसमतल व्यवस्था के बारे में प्रश्न सामान्यतः ज्यामितीय, सांस्थितिक, या पूरक के अन्य गुणों से संबंधित होते हैं, M(A), जो कि वह समुच्चय है जो अधिसमतल को पूरे समष्टि से अलग कर दिए जाने पर बना रहता है। कोई यह पूछ सकता है कि ये गुण व्यवस्था और इसके प्रतिच्छेदन अर्धजालक से कैसे संबंधित हैं। A का प्रतिच्छेदन अर्धजालक, लिखित L(A), सभी उपसमष्‍टि का समुच्चय है जो कुछ अधिसमतल को प्रतिच्छेदन करके प्राप्त किया जाता है; इन उपसमष्‍टि में स्वयं S, सभी अलग अधिसमतल, अधिसमतल के युग्म के सभी प्रतिच्छेदन आदि सम्मलित हैं (सजातीय प्रकरण में, रिक्त समुच्चय को छोड़कर)। A के इन प्रतिच्छेदन उपसमष्‍टि को A के समतल भी कहा जाता है। प्रतिच्छेदन अर्धजालक L(A) आंशिक रूप से उत्क्रम समावेशन द्वारा क्रमिक दिया गया है।

यदि संपूर्ण समष्टि S द्वि-आयामी है, तो अधिसमतल रेखाएँ; ऐसी व्यवस्था को प्रायः रेखाओं की व्यवस्था कहा जाता है। ऐतिहासिक रूप से, रेखाएँ वास्तविक व्यवस्था जांच की गई पहली व्यवस्था थी। यदि S 3-आयामी है तो समतल की व्यवस्था है।

समष्टि में एक अधिसमतल व्यवस्था

सामान्य सिद्धांत

प्रतिच्छेदन अर्धजालक और मैट्रॉइड

प्रतिच्छेदन अर्धजालक L(A) एक अर्धजालक है और अधिक विशेष रूप से एक ज्यामितीय अर्धजालक है। यदि व्यवस्था रेखीय या प्रक्षेपी है, या यदि सभी अधिसमतल का प्रतिच्छेदन अरिक्त है, तो प्रतिच्छेदन जालक एक ज्यामितीय जालक है। (यही कारण है कि अर्धजालक को उत्क्रम समावेशन द्वारा क्रमित किया जाना चाहिए - समावेशन के बदले, जो अधिक प्राकृतिक प्रतीत हो सकता है लेकिन एक ज्यामितीय (अर्ध) जालक उत्पन्न नहीं करेगा।)

जब L(A) एक जालक है, तो A का मैट्रॉइड, M(A) लिखा हुआ है, इसके आधार समुच्चय के लिए A है और इसका श्रेणी फलन r(S) है: = कोडिम (I), जहां S, A का कोई उपसमुच्चय है और I, S में अधिसमतल का प्रतिच्छेदन है। सामान्य रूप में, जब L(A) एक अर्धजालक होता है, तो एक समरूप मैट्रोइड जैसी संरचना होती है जिसे अर्ध मैट्रोइड कहा जाता है, जो एक मैट्रॉइड का सामान्यीकरण होता है (और प्रतिच्छेदन के अर्धजालक के साथ वैसा ही संबंध है जैसा जालक प्रकरण में जालक के लिए मैट्रॉइड करता है), लेकिन मैट्रॉइड नहीं है यदि L(A) एक जालक नहीं है।

बहुपद

A के एक उपसमुच्चय B के लिए, अनुमान f(B):= B में अधिसमतल के प्रतिच्छेदन को परिभाषित करें; यह S है अगर B रिक्त है। A की विशेषता बहुपद, लिखित p_A(y), द्वारा परिभाषित की जा सकती है।

$p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},$

A के सभी उपसमुच्चय B पर अभिव्यक्त किया जाता है अतिरिक्त, सजातीय प्रकरण में, उपसमुच्चय जिसका प्रतिच्छेदन रिक्त है। (रिक्त समुच्चय का आयाम -1 के रूप में परिभाषित किया गया है।) यह बहुपद कुछ मूलभूत प्रश्नों का समाधान करने में सहायता करते है; नीचे देखें। A से जुड़ा एक अन्य बहुपद 'व्हिटनी-संख्या बहुपद' w_A(x, y) है, जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है

$w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|C-B|}y^{\dim f(C)},$

B ⊆ C ⊆ A पर योग इस प्रकार किया जाता है कि f(B) रिक्त नहीं है।

एक ज्यामितीय जालक या अर्धजालक होने के कारण, L(A) में एक विशेषता बहुपद p_L(A)(y) है, जिसमें एक व्यापक सिद्धांत है (मैट्रॉइड देखें)। इस प्रकार यह जानना उचित है कि p_A(y) = yⁱ p_L(A)(y)M, जहां i किसी भी समतल का सबसे छोटा आयाम है, अतिरिक्त इसके कि प्रक्षेपीय प्रकरण में यह y^{i + 1}p_L(A)(y) के समान है। A का व्हिटनी-संख्या बहुपद समान रूप से L(A) से संबंधित है। (रिक्त समुच्चय को विशेष रूप से सजातीय प्रकरण में अर्धजालक से बाहर रखा गया है ताकि ये संबंध मान्य हों।)

ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित

प्रतिच्छेदन अर्धजालक व्यवस्था के एक और संयोजी अपरिवर्तनीय को निर्धारित करता है, ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित को निर्धारित करता है। इसे परिभाषित करने के लिए, आधार क्षेत्र के क्रमविनिमेय उपवलय K को निर्धारित करें और सदिश समष्टि के बाहरी बीजगणित E का निर्माण करें अधिसमतल द्वारा उत्पन्न करें।

$\bigoplus _{H\in A}Ke_{H}$

एक श्रृंखला सम्मिश्र संरचना E पर सामान्य सीमा प्रचालक $\partial$ के साथ परिभाषित की जाती है। ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित तब $e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श द्वारा E का भागफल है जिसके लिए $H_{1},\dots ,H_{p}$ में रिक्त प्रतिच्छेदन है, और उसी रूप के तत्वों की सीमाओं से जिसके लिए $H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}$ का सहआयाम p से कम होता है।

वास्तविक व्यवस्था

वास्तविक सजातीय समष्टि में, पूरक असंबद्ध हो गया है: यह कोशिकाओं या क्षेत्रों या कक्षों नामक अलग-अलग खंड से बना है, जिनमें से प्रत्येक या तो एक घिरा हुआ क्षेत्र है जो एक उत्तल बहुतलीय है, या एक असीमित क्षेत्र है जो एक उत्तल बहुतलीय क्षेत्र है जो अनंत तक जाता है। A के प्रत्येक समतल को भी अधिसमतल द्वारा खंडो में विभाजित किया जाता है जिसमें समतल नहीं होता है; इन खंडो को A के ​​फलक कहा जाता है। क्षेत्र फलक हैं क्योंकि पूरी जगह एक समतल है। सहआयाम 1 के फलकों को A का फलक कहा जा सकता है। एक व्यवस्था का फलक अर्धजालक सभी फलकों का समुच्चय है, जिसे समावेशन द्वारा क्रमित किया गया है। फलक की अर्धजालक में एक अतिरिक्त शीर्ष तत्व जोड़ने से फलक जालक हो जाता है।

दो आयामों में (अर्थात, वास्तविक संबंध तल (गणित) में) प्रत्येक क्षेत्र एक उत्तल बहुभुज है (यदि यह परिबद्ध है) या एक उत्तल बहुभुज क्षेत्र है जो अनंत तक जाता है।

• एक उदाहरण के रूप में, यदि व्यवस्था में तीन समानांतर रेखाएँ होती हैं, तो प्रतिच्छेदन अर्धजालक में समतल और तीन रेखाएँ होती हैं, लेकिन रिक्त समुच्चय नहीं होती हैं। चार क्षेत्र हैं, उनमें से कोई भी परिबद्ध नहीं है।
• यदि हम तीन समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली एक रेखा जोड़ते हैं, तो प्रतिच्छेदन अर्धजालक में समतल, चार रेखाएँ और प्रतिच्छेदन के तीन बिंदु होते हैं। आठ क्षेत्र हैं, फिर भी उनमें से कोई भी परिबद्ध नहीं है।
• यदि हम अंतिम रेखा के समानांतर एक और रेखा जोड़ते हैं, तो 12 क्षेत्र होते हैं, जिनमें से दो परिबद्ध समांतर चतुर्भुज होते हैं।

n-विमीय वास्तविक समष्टि में एक व्यवस्था के बारे में विशिष्ट समस्याएं है कि कितने क्षेत्र हैं, या आयाम 4 के कितने फलक हैं, या कितने परिबद्ध क्षेत्र हैं। इन प्रश्नो का उत्तर सिर्फ प्रतिच्छेदन अर्धजालक से ही दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ज़स्लाव्स्की (1975) के दो मूल प्रमेय हैं कि एक संबध व्यवस्था के क्षेत्रों की संख्या (−1)ⁿp_A(−1) के समान होती हैं और परिबद्ध क्षेत्रों की संख्या (−1)ⁿp_A(1) के समान होती हैं। इसी तरह, k- विमीय फलकों या परिबद्ध फलकों की संख्या को (−1)ⁿ w_A (−x, −1) या (−1)ⁿw_A(−x, 1) में x^n−k के गुणांक के रूप में पढ़ा जा सकता है।।

मेसर (1993) एक निवेश बिंदु वाले अधिसमतल की व्यवस्था का फलक निर्धारित करने के लिए एक तीव्रकलनविधि प्रारुप किया गया है।

वास्तविक समष्टि में एक व्यवस्था के बारे में एक और प्रश्न यह तय करता है कि कितने क्षेत्र सरल हैं (त्रिकोण और टेट्राहेड्रा के n-आयामी सामान्यीकरण)। इसका उत्तर केवल प्रतिच्छेदन के अर्धजालक के आधार पर नहीं दिया जा सकता है। मैकमुलेन समस्या वास्तविक प्रक्षेपीय समष्टि में सामान्य स्थिति में दिए गए आयाम की सबसे छोटी व्यवस्था के लिए पूछती है जिसके लिए सभी अधिसमतल द्वारा प्रभावित कोष्ठिका उपस्तिथ नहीं है।

एक वास्तविक रेखीय व्यवस्था में, इसके तल के अर्धजालक के अलावा, क्षेत्रों का एक क्रमित समुच्चय, प्रत्येक क्षेत्र के लिए अलग होता है। यह क्रमित समुच्चय एक स्वेच्छाचारी आधार क्षेत्र, B₀ का चयन करके और प्रत्येक क्षेत्र R के साथ समुच्चय S(R) को जोड़कर बनाया गया है, जिसमें अधिसमतल सम्मलित हैं जो R को B से अलग करता है। क्षेत्रों को आंशिक रूप से क्रमबद्ध किया गया है इसलिए R₁ ≥ R₂ यदि S(R₁, R) में S(R₂, R) हो सकता है। विशेष प्रकरण में जब अधिसमतलमूल प्रक्रिया से उत्पन्न होते हैं, परिणामी क्रमित समुच्चय निर्बल क्रम के साथ संबंधित वेइल समूह होते है। सामान्य रूप में, क्षेत्रों के क्रमित समुच्चय को अधिसमतल को अलग करने की संख्या से श्रेणीबद्ध किया जाता है और इसके मोबियस फलन की गणना की जाती है (एडेलमैन 1984).

वादिम शेख्टमैन और अलेक्जेंडर वर्चेंको ने क्षेत्रों द्वारा अनुक्रमित एक आव्यूह प्रस्तावित किया हैं। क्षेत्र $R_{i}$ और $R_{j}$ के लिए आव्यूह तत्व प्रत्येक अधिसमतल H के लिए अनिश्चित चर $a_{H}$ के उत्पाद द्वारा दिया जाता है जो इन दो क्षेत्रों को अलग करता है। यदि ये चर सभी मान q होने के लिए विशिष्ट हैं, तो इसे व्यवस्था के लिए q-आव्यूह (यूक्लिडियन डोमेन $\mathbb {Q} [q]$ पर) कहा जाता है और इसके स्मिथ सामान्य रूप में बहुत अधिक जानकारी निहित है।

सम्मिश्र व्यवस्था

सम्मिश्र में सजातीय समष्‍टि में (जो कि कल्पना करना कठिन है क्योंकि यहां तक ​​कि सम्मिश्र सजातीय समतल में भी चार वास्तविक आयाम हैं), पूरक जुड़ा हुआ है (सभी एक खंड) छिद्र के साथ जहां सजातीय समतल अलग कर दिए गए थे।

सम्मिश्र समष्टि में व्यवस्था के बारे में एक विशिष्ट समस्या छिद्रों का वर्णन करना है।

सम्मिश्र व्यवस्थाओं के बारे में मूल प्रमेय यह है कि पूरक M(A) का सह-विज्ञान पूरी तरह से प्रतिच्छेदन अर्धजालक द्वारा निर्धारित किया जाता है। यथार्थ होने के लिए, M(A) (पूर्णांक गुणांक के साथ) की सह-समरूपता वलय Z पर ऑरलिक-सोलोमन बीजगणित के लिए समरूपी है।

समरूपता को स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है और जनित्र और संबंधों के संदर्भ में सह समरूपता की प्रस्तुति देता है, जहां जनित्र का प्रतिनिधित्व किया जाता है (डी रम कोहोलॉजी में) लघुगणकीय विभेदक रूप में

${\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}$

$\alpha$ के साथ व्यवस्था के सामान्य अधिसमतल को परिभाषित करने वाला कोई रैखिक रूप है।

तकनीक

कभी-कभी अधोगामी अधिसमतल, जो संपूर्ण समष्टि S है, जो एक व्यवस्था से संबंधित होने की अनुमति देना सुविधाजनक होता है। यदि A में पतित अधिसमतल है, तो इसका कोई क्षेत्र नहीं है क्योंकि पूरक रिक्त है। हालाँकि, इसमें अभी भी समतल, एक प्रतिच्छेदन अर्धजालक और तल हैं। पूर्ववर्ती परिचर्चा मानती है कि पतित अधिसमतल व्यवस्था में नहीं है।

कभी-कभी व्यवस्था में बार-बार अधिसमतल की अनुमति देना चाहता है। पूर्ववर्ती परिचर्चा में हमने इस संभावना पर विचार नहीं किया था, लेकिन इससे कोई भौतिक अंतर नहीं पड़ता है।

यह भी देखें

• सुपरसॉल्वेबल व्यवस्था
• अभिविन्यस्त मैट्रोइड

संदर्भ

• "हाइपरप्लेन की व्यवस्था", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Edelman, Paul H. (1984), "A partial order on the regions of $\mathbb {R} ^{n}$ dissected by hyperplanes", अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी के लेन-देन, 283 (2): 617–631, doi:10.2307/1999150, JSTOR 1999150, MR 0737888.
• Meiser, Stefan (1993), "हाइपरप्लेन की व्यवस्था में बिंदु स्थान", सूचना और संगणना, 106 (2): 286–303, doi:10.1006/inco.1993.1057, MR 1241314.
• Orlik, Peter; Terao, Hiroaki (1992), Arrangements of Hyperplanes, ग्रुंडलेह्रेन डेर मैथेमेटिसचेन विस्सेनशाफ्टन [गणितीय विज्ञान के मौलिक सिद्धांत], vol. 300, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-02772-1, ISBN 978-3-642-08137-8, MR 1217488.
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