जैकबियन किस्म: Difference between revisions

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गणित में, [[जीनस (गणित)]] ''g'' के एक गैर-एकवचन [[बीजगणितीय वक्र]] ''C'' की जेकोबियन किस्म ''J''(''C'') डिग्री 0 [[लाइन बंडल]]ों का [[मोडुली स्पेस]] है। यह 'सी' के [[पिकार्ड समूह]] में पहचान का जुड़ा हुआ घटक है, इसलिए एक [[एबेलियन किस्म]] है।
गणित में, [[जीनस (गणित)]] ''g'' के गैर-एकवचन बीजगणितीय वक्र ''C'' की '''जेकोबियन क़िस्म''' ''J''(''C'') डिग्री 0 [[लाइन बंडल|रेखा समूहों]] का [[मोडुली स्पेस|मोडुली समष्टि]] है। यह ''C'' के [[पिकार्ड समूह]] में प्रमाण का संयोजित घटक है, इसलिए [[एबेलियन किस्म|एबेलियन क़िस्म]] कहलाता है।


== परिचय ==
== परिचय ==


जैकबियन किस्म का नाम [[कार्ल गुस्ताव जैकोबी]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने एबेल-जैकोबी प्रमेय के पूर्ण संस्करण को साबित कर दिया, जिससे [[नील्स एबेल]] के इंजेक्शन स्टेटमेंट को एक समरूपता में बदल दिया गया। यह मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन किस्म है, जिसका [[आयाम]] जी है, और इसलिए, जटिल संख्याओं पर, यह एक [[जटिल टोरस]] है। यदि p, C का एक बिंदु है, तो वक्र C को J की पहचान के लिए दिए गए बिंदु p मानचित्रण के साथ J की एक उप-विविधता में मैप किया जा सकता है, और C एक [[समूह (गणित)]] के रूप में J उत्पन्न करता है।
जैकबियन क़िस्म का नाम [[कार्ल गुस्ताव जैकोबी]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने एबेल-जैकोबी प्रमेय के पूर्ण संस्करण को प्रमाणित कर दिया, जिससे [[नील्स एबेल]] के इंजेक्शन कथन को समरूपता में परिवर्तित कर दिया गया। यह मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन क़िस्म है, जिसका [[आयाम]] ''g'' है, और इसलिए समिश्र संख्याओं पर यह [[जटिल टोरस]] है। यदि p, C का बिंदु है, तो वक्र C को J की पहचान के लिए दिए गए बिंदु p मानचित्रण के साथ J की उपश्रेणी में मैप किया जा सकता है और C, [[समूह (गणित)]] के रूप में J उत्पन्न करता है।


== जटिल वक्रों के लिए निर्माण ==
== जटिल वक्रों के लिए निर्माण ==


जटिल संख्याओं पर, जेकोबियन किस्म को [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] V/L के रूप में महसूस किया जा सकता है, जहाँ V, C पर सभी वैश्विक होलोमोर्फिक अंतरों के सदिश स्थान का दोहरा है और L सभी तत्वों का [[जाली (समूह)]] है फॉर्म का वी
समिश्र संख्याओं पर, जेकोबियन क़िस्म को [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)|खण्ड समष्टि (रैखिक बीजगणित)]] V/L के रूप में अनुभव किया जा सकता है, जहाँ V, C पर सभी वैश्विक होलोमोर्फिक अवकल की सदिश समष्टि का दुगना है और L, V के सभी तत्वों की [[जाली (समूह)|जाली]] है।
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[\gamma]:\ \omega \mapsto \int_\gamma \omega
[\gamma]:\ \omega \mapsto \int_\gamma \omega
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जहां γ सी में एक बंद [[पथ (टोपोलॉजी)]] है। दूसरे शब्दों में,
जहां γ, ''C'' में संवृत [[पथ (टोपोलॉजी)]] है। अन्य शब्दों में,
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J(C) = H^0(\Omega_C^1)^* / H_1(C),
J(C) = H^0(\Omega_C^1)^* / H_1(C),
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साथ <math>H_1(C)</math> में स्थापित <math>H^0(\Omega_C^1)^*</math> उपरोक्त मानचित्र के माध्यम से। यह स्पष्ट रूप से थीटा कार्यों के प्रयोग से किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|title=थीटा I पर टाटा व्याख्यान|last1=David|first1=Mumford|last2=Nori|first2=Madhav|last3=Previato|first3=Emma|last4=Stillman|first4=Mike|publisher=Springer}}</ref>
<math>H_1(C)</math> के साथ उपरोक्त मानचित्र के माध्यम से <math>H^0(\Omega_C^1)^*</math> में एम्बेड किया गया है। यह स्पष्ट रूप से थीटा फलनों के प्रयोग से किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|title=थीटा I पर टाटा व्याख्यान|last1=David|first1=Mumford|last2=Nori|first2=Madhav|last3=Previato|first3=Emma|last4=Stillman|first4=Mike|publisher=Springer}}</ref> आर्बिट्ररी क्षेत्र पर वक्र के जैकोबियन का निर्माण वेइल {{harvtxt|Weil|1948}} द्वारा परिमित क्षेत्र पर वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना स्वयं के प्रमाण के भाग के रूप में किया गया था।
एक मनमाना क्षेत्र पर एक वक्र के जैकोबियन द्वारा निर्मित किया गया था {{harvtxt|Weil|1948}} एक परिमित क्षेत्र पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना के अपने प्रमाण के भाग के रूप में।


एबेल-जैकोबी प्रमेय कहता है कि इस प्रकार निर्मित टोरस एक किस्म है, एक वक्र का शास्त्रीय जैकोबियन, जो वास्तव में डिग्री 0 लाइन बंडलों को पैरामीट्रिज करता है, अर्थात, इसे डिग्री 0 भाजक मॉडुलो रैखिक तुल्यता की अपनी पिकार्ड विविधता के साथ पहचाना जा सकता है।
एबेल-जैकोबी प्रमेय में कहा गया है कि इस प्रकार निर्मित टोरस वक्र की जैकोबियन किस्म है, जो वास्तव में डिग्री 0 रेखा समूहों को पैरामीट्रिज करता है, जिसे इसकी पिकार्ड किस्म की डिग्री 0 विभाजक मॉड्यूलो रैखिक तुल्यता के साथ प्रमाणित किया जा सकता है।


== बीजगणितीय संरचना ==
== बीजगणितीय संरचना ==


एक समूह के रूप में, एक वक्र की जैकोबियन विविधता प्रमुख विभाजकों के उपसमूह, यानी तर्कसंगत कार्यों के विभाजकों द्वारा डिग्री शून्य के विभाजकों के समूह के भागफल के लिए समरूप है। यह उन क्षेत्रों के लिए लागू होता है जो बीजगणितीय रूप से बंद नहीं होते हैं, बशर्ते कि उस क्षेत्र में परिभाषित विभाजक और कार्यों पर विचार किया जाए।
समूह के रूप में, वक्र की जैकोबियन किस्म प्रमुख विभाजकों के उपसमूह, अर्थात परिमेय फलन के विभाजकों द्वारा डिग्री शून्य के विभाजकों के समूह के भागफल के लिए समरूप होता है। यह उन क्षेत्रों के लिए प्रारम्भ होता है जो बीजगणितीय रूप से संवृत नहीं होते हैं, यदि उस क्षेत्र में परिभाषित विभाजक एवं फलन पर विचार किया जाए।


== आगे के विचार ==
== अग्र धारणाएँ ==
टोरेली के प्रमेय में कहा गया है कि एक जटिल वक्र उसके जैकबियन (इसके ध्रुवीकरण के साथ) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
टोरेली के प्रमेय में कहा गया है कि जटिल वक्र उसके जैकबियन (इसके ध्रुवीकरण के साथ) द्वारा निर्धारित किया जाता है।


शोट्की समस्या पूछती है कि मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन किस्में कर्व्स के जैकबियन हैं।
शोट्की समस्या पूछती है, कि मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन क़िस्में कर्व्स के जैकबियन हैं। पिकार्ड क़िस्म, अल्बानिया क़िस्म, [[सामान्यीकृत जैकबियन]] एवं मध्यवर्ती जैकबियन उच्च-आयामी क़िस्मों के लिए जैकबियन के सामान्यीकरण होते हैं। उच्च आयाम की क़िस्मों के लिए होलोमोर्फिक 1-रूपों के स्थान के भागफल के रूप में जैकोबियन क़िस्म का निर्माण अल्बानिया क़िस्म देने के लिए सामान्य होता है, किन्तु सामान्यतः यह पिकार्ड क़िस्म के लिए समरूपी नहीं होना चाहिए।
 
पिकार्ड किस्म, अल्बनीज किस्म, [[सामान्यीकृत जैकबियन]] और मध्यवर्ती जैकबियन उच्च-आयामी किस्मों के लिए जैकबियन के सामान्यीकरण हैं। उच्च आयाम की किस्मों के लिए होलोमोर्फिक 1-रूपों के स्थान के भागफल के रूप में जैकोबियन किस्म का निर्माण अल्बनीज किस्म देने के लिए सामान्य करता है, लेकिन सामान्य तौर पर यह पिकार्ड किस्म के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होना चाहिए।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* अवधि आव्यूह - आवर्त आव्यूह एक वक्र के जैकबियन की गणना के लिए एक उपयोगी तकनीक है
* अवधि आव्यूह - आवर्त आव्यूह वक्र के जैकबियन की गणना के लिए उपयोगी प्रविधि है।
* [[हॉज संरचना]] - ये जैकोबियंस के सामान्यीकरण हैं
* [[हॉज संरचना]] - ये जैकोबियंस के सामान्यीकरण हैं।
*होंडा-टेट प्रमेय - एबेलियन किस्मों को परिमित क्षेत्रों में आइसोजेनी तक वर्गीकृत करता है
*होंडा-टेट प्रमेय - एबेलियन क़िस्मों को परिमित क्षेत्रों में आइसोजेनी तक वर्गीकृत करता है।
* इंटरमीडिएट जैकबियन
* इंटरमीडिएट जैकबियन


==संदर्भ==
==संदर्भ==
{{reflist}}
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=== संगणना तकनीक ===
=== संगणना तकनीक ===


* [https://eudml.org/doc/155814 हाइपरेलिप्टिक वक्रों की अवधि मैट्रिक्स]
* [https://eudml.org/doc/155814 हाइपरेलिप्टिक वक्रों की अवधि मैट्रिक्स]
* [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870802000245?via%3Dihub एबेलियंट्स और जैकबियन के प्रारंभिक निर्माण के लिए उनका अनुप्रयोग] - जैकबियन के निर्माण की तकनीकें
* [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870802000245?via%3Dihub एबेलियंट्स एवं जैकबियन के प्रारंभिक निर्माण के लिए उनका अनुप्रयोग] - जैकबियन के निर्माण की तकनीकें


=== आइसोजेनी वर्ग ===
=== आइसोजेनी वर्ग ===


*आर्क्सिव:गणित/0304471
*आर्क्सिव:गणित/0304471
* [https://annals.math.princeton.edu/2012/176-1/p11 जैकोबियन के लिए एबेलियन किस्में आइसोजेनस]
* [https://annals.math.princeton.edu/2012/176-1/p11 जैकोबियन के लिए एबेलियन क़िस्में आइसोजेनस]
* [https://annals.math.princeton.edu/2020/191-2/p07 एबेलियन किस्में आइसोजेनस टू नो जेकोबियन]
* [https://annals.math.princeton.edu/2020/191-2/p07 एबेलियन क़िस्में आइसोजेनस टू नो जेकोबियन]


=== क्रिप्टोग्राफी ===
=== क्रिप्टोग्राफी ===


* arxiv:1807.05270|वक्र, जेकोबियन और क्रिप्टोग्राफी
* arxiv:1807.05270|वक्र, जेकोबियन एवं क्रिप्टोग्राफी


=== सामान्य ===
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Latest revision as of 15:32, 30 October 2023

गणित में, जीनस (गणित) g के गैर-एकवचन बीजगणितीय वक्र C की जेकोबियन क़िस्म J(C) डिग्री 0 रेखा समूहों का मोडुली समष्टि है। यह C के पिकार्ड समूह में प्रमाण का संयोजित घटक है, इसलिए एबेलियन क़िस्म कहलाता है।

परिचय

जैकबियन क़िस्म का नाम कार्ल गुस्ताव जैकोबी के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने एबेल-जैकोबी प्रमेय के पूर्ण संस्करण को प्रमाणित कर दिया, जिससे नील्स एबेल के इंजेक्शन कथन को समरूपता में परिवर्तित कर दिया गया। यह मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन क़िस्म है, जिसका आयाम g है, और इसलिए समिश्र संख्याओं पर यह जटिल टोरस है। यदि p, C का बिंदु है, तो वक्र C को J की पहचान के लिए दिए गए बिंदु p मानचित्रण के साथ J की उपश्रेणी में मैप किया जा सकता है और C, समूह (गणित) के रूप में J उत्पन्न करता है।

जटिल वक्रों के लिए निर्माण

समिश्र संख्याओं पर, जेकोबियन क़िस्म को खण्ड समष्टि (रैखिक बीजगणित) V/L के रूप में अनुभव किया जा सकता है, जहाँ V, C पर सभी वैश्विक होलोमोर्फिक अवकल की सदिश समष्टि का दुगना है और L, V के सभी तत्वों की जाली है।

जहां γ, C में संवृत पथ (टोपोलॉजी) है। अन्य शब्दों में,

के साथ उपरोक्त मानचित्र के माध्यम से में एम्बेड किया गया है। यह स्पष्ट रूप से थीटा फलनों के प्रयोग से किया जा सकता है।[1] आर्बिट्ररी क्षेत्र पर वक्र के जैकोबियन का निर्माण वेइल Weil (1948) द्वारा परिमित क्षेत्र पर वक्रों के लिए रीमैन परिकल्पना स्वयं के प्रमाण के भाग के रूप में किया गया था।

एबेल-जैकोबी प्रमेय में कहा गया है कि इस प्रकार निर्मित टोरस वक्र की जैकोबियन किस्म है, जो वास्तव में डिग्री 0 रेखा समूहों को पैरामीट्रिज करता है, जिसे इसकी पिकार्ड किस्म की डिग्री 0 विभाजक मॉड्यूलो रैखिक तुल्यता के साथ प्रमाणित किया जा सकता है।

बीजगणितीय संरचना

समूह के रूप में, वक्र की जैकोबियन किस्म प्रमुख विभाजकों के उपसमूह, अर्थात परिमेय फलन के विभाजकों द्वारा डिग्री शून्य के विभाजकों के समूह के भागफल के लिए समरूप होता है। यह उन क्षेत्रों के लिए प्रारम्भ होता है जो बीजगणितीय रूप से संवृत नहीं होते हैं, यदि उस क्षेत्र में परिभाषित विभाजक एवं फलन पर विचार किया जाए।

अग्र धारणाएँ

टोरेली के प्रमेय में कहा गया है कि जटिल वक्र उसके जैकबियन (इसके ध्रुवीकरण के साथ) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

शोट्की समस्या पूछती है, कि मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन क़िस्में कर्व्स के जैकबियन हैं। पिकार्ड क़िस्म, अल्बानिया क़िस्म, सामान्यीकृत जैकबियन एवं मध्यवर्ती जैकबियन उच्च-आयामी क़िस्मों के लिए जैकबियन के सामान्यीकरण होते हैं। उच्च आयाम की क़िस्मों के लिए होलोमोर्फिक 1-रूपों के स्थान के भागफल के रूप में जैकोबियन क़िस्म का निर्माण अल्बानिया क़िस्म देने के लिए सामान्य होता है, किन्तु सामान्यतः यह पिकार्ड क़िस्म के लिए समरूपी नहीं होना चाहिए।

यह भी देखें

  • अवधि आव्यूह - आवर्त आव्यूह वक्र के जैकबियन की गणना के लिए उपयोगी प्रविधि है।
  • हॉज संरचना - ये जैकोबियंस के सामान्यीकरण हैं।
  • होंडा-टेट प्रमेय - एबेलियन क़िस्मों को परिमित क्षेत्रों में आइसोजेनी तक वर्गीकृत करता है।
  • इंटरमीडिएट जैकबियन

संदर्भ

  1. ↑ David, Mumford; Nori, Madhav; Previato, Emma; Stillman, Mike. थीटा I पर टाटा व्याख्यान. Springer.

संगणना तकनीक

आइसोजेनी वर्ग

क्रिप्टोग्राफी

  • arxiv:1807.05270|वक्र, जेकोबियन एवं क्रिप्टोग्राफी

सामान्य

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