बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स: Difference between revisions

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[[File:fano plane.svg|thumb|फ़ानो [[ matroid | मैट्रॉइड]] , फ़ानो विमान से निकला है। मैट्रॉइड, बीजगणितीय साहचर्य में अध्ययन की जाने वाली कई प्रकार की वस्तुओं में से एक है।]]
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बीजीय [[साहचर्य]] गणित का एक क्षेत्र है जो अमूर्त बीजगणित के तरीकों को नियोजित करता है, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] और [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]], विभिन्न कॉम्बिनेटरिक्स संदर्भों में और, इसके विपरीत, [[सार बीजगणित]] में समस्याओं के लिए कॉम्बिनेटरियल तकनीक लागू करता है।
बीजगणितीय [[साहचर्य]] गणित का क्षेत्र है जो अमूर्त बीजगणित के उपायों को नियोजित करता है विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] और [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]], विभिन्न साहचर्य संदर्भों में और इसके विपरीत, [[सार बीजगणित]] में समस्याओं हेतु सांयोगिक तकनीक लागू करता है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
1970 के दशक के अंत में बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स शब्द पेश किया गया था।{{sfn|Bannai|2012}} 1990 के दशक के शुरूआती या मध्य के दौरान, बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स में रुचि के विशिष्ट संयोजी वस्तुओं ने या तो बहुत अधिक [[समरूपता (गणित)]] ([[संघ योजना]], [[दृढ़ता से नियमित ग्राफ]], एक [[समूह क्रिया (गणित)]] के साथ पॉसेट्स) को स्वीकार किया या एक समृद्ध बीजगणितीय संरचना धारण की, अक्सर प्रतिनिधित्व सैद्धांतिक उत्पत्ति (सममित कार्य, युवा झांकी)। यह अवधि 1991 में शुरू की गई [[ अमेरिकी गणितीय सोसायटी ]] [[ गणित विषय वर्गीकरण ]] के क्षेत्र 05E, बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स में परिलक्षित होती है।
1970 के दशक के अंत में बीजगणितीय साहचर्य शब्द प्रस्तुत किया गया था।{{sfn|Bannai|2012}} 1990 के दशक के आरंभिक या मध्य के समय बीजगणितीय साहचर्य में रुचि के विशिष्ट संयोजी वस्तुओं ने या तो बहुत अधिक [[समरूपता (गणित)]] ([[संघ योजना]], [[दृढ़ता से नियमित ग्राफ]], [[समूह क्रिया (गणित)]] के साथ पॉसेट्स) को स्वीकार किया या अधिकतर प्रतिनिधित्व सैद्धांतिक उत्पत्ति (सममित कार्य, युवा झांकी) समृद्ध बीजगणितीय संरचना धारण की। यह अवधि सन 1991 में प्रारम्भ की गई [[ अमेरिकी गणितीय सोसायटी |अमेरिकी गणितीय सोसायटी]] [[ गणित विषय वर्गीकरण |गणित विषय वर्गीकरण]] के क्षेत्र 05E बीजगणितीय साहचर्य में परिलक्षित होती है।


== स्कोप ==
== विस्तार ==
बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स को गणित के एक क्षेत्र के रूप में अधिक व्यापक रूप से देखा जाने लगा है जहां कॉम्बिनेटरियल और बीजगणितीय तरीकों की बातचीत विशेष रूप से मजबूत और महत्वपूर्ण है। इस प्रकार कॉम्बिनेटरियल विषय प्रकृति में [[गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स]] हो सकते हैं या इसमें मैट्रोइड्स, [[ polytope ]]्स, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट या [[परिमित ज्यामिति]] शामिल हो सकते हैं। बीजगणितीय पक्ष में, समूह सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अलावा, [[जाली सिद्धांत]] और [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।
बीजगणितीय साहचर्य को गणित के क्षेत्र के रूप में अधिक व्यापक रूप से देखा जाने लगा है जहां कॉम्बिनेटरियल और बीजगणितीय तरीकों की बातचीत विशेष रूप से मजबूत और महत्वपूर्ण है। इस प्रकार सांयोगिक विषय प्रकृति में [[गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स|गणनात्मक साहचर्य]] हो सकते हैं या इसमें मैट्रोइड्स, [[ polytope |पॉलीटोप्स]], आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय या [[परिमित ज्यामिति]] सम्मिलित हो सकते हैं। बीजगणितीय पक्ष में समूह सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अतिरिक्त [[जाली सिद्धांत]] और [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] का सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है।


== महत्वपूर्ण विषय ==
== महत्वपूर्ण विषय ==


=== सममित कार्य ===
=== सममित कार्य ===
{{main|Ring of symmetric functions}}
{{main|सममित कार्यों के वृत्त}}
[[सममित कार्यों की अंगूठी]] एन अनिश्चित में [[सममित बहुपद]]ों के छल्ले की एक विशिष्ट सीमा है, क्योंकि एन अनंत तक जाता है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र तरीके से व्यक्त किया जा सकता है (लेकिन इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अलावा, यह वलय सममित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
[[सममित कार्यों की अंगूठी|सममित कार्यों के वृत्त]] n अनिश्चित में [[सममित बहुपद|सममित बहुपदों]] के वृत्तों की विशिष्ट सीमा है क्योंकि n अनंत तक जाता है। ये वृत्त सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के मध्य संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्रतापूर्वक व्यक्त किया जा सकता है (परन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त ये वृत्त सममित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।


=== एसोसिएशन योजनाएं ===
=== संघीय योजनाएं ===
{{main|Association scheme}}
{{main|संघीय योजनाएं}}


एक संघ योजना कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करने वाले [[द्विआधारी संबंध]]ों का एक संग्रह है। एसोसिएशन योजनाएँ कई विषयों के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करती हैं, उदाहरण के लिए [[संयोजन डिजाइन]] और [[कोडिंग सिद्धांत]]।{{sfn|Bannai|Ito|1984}}{{sfn|Godsil|1993}} बीजगणित में, साहचर्य योजनाएँ [[समूह (गणित)]] का सामान्यीकरण करती हैं, और साहचर्य योजनाओं का सिद्धांत समूहों के [[समूह प्रतिनिधित्व]] के [[समूह चरित्र]] का सामान्यीकरण करता है।{{sfn|Bailey|2004|p=387}}{{sfn|Zieschang|2005b}}{{sfn|Zieschang|2005a}}
संघ योजना कुछ अनुकूलता आवश्यकताओं को पूरा करने वाले [[द्विआधारी संबंध|द्विआधारी संबंधों]] का संग्रह है। संघीय योजनाएँ कई विषयों के लिए एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करती हैं उदाहरण के लिए [[संयोजन डिजाइन|संयोजन प्रारूप]] और [[कोडिंग सिद्धांत]]।{{sfn|Bannai|Ito|1984}}{{sfn|Godsil|1993}} बीजगणित में साहचर्य योजनाएँ [[समूह (गणित)]] का सामान्यीकरण करती हैं और साहचर्य योजनाओं का सिद्धांत समूहों के [[समूह प्रतिनिधित्व]] के [[समूह चरित्र]] का सामान्यीकरण करता है।{{sfn|Bailey|2004|p=387}}{{sfn|Zieschang|2005b}}{{sfn|Zieschang|2005a}}


=== जोरदार नियमित रेखांकन ===
=== प्रबल नियमित ग्राफ़ ===
{{main|Strongly regular graph}}
{{main|प्रबल नियमित ग्राफ़}}
एक दृढ़ता से [[नियमित ग्राफ]] को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि G = (V, E) v शीर्षों और घात k के साथ एक नियमित ग्राफ है। जी को 'दृढ़ता से नियमित' कहा जाता है यदि [[पूर्णांक]] λ और μ भी हैं:
 
प्रबल [[नियमित ग्राफ]] को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि G = (V, E) v शीर्षों और घात k के साथ नियमित ग्राफ है। जी को 'दृढ़ता से नियमित' कहा जाता है यदि [[पूर्णांक]] λ और μ भी हैं:


* प्रत्येक दो सन्निकट शीर्षों के λ उभयनिष्ठ पड़ोसी होते हैं।
* प्रत्येक दो सन्निकट शीर्षों के λ उभयनिष्ठ पड़ोसी होते हैं।
* प्रत्येक दो गैर-निकटवर्ती शीर्षों में μ उभयनिष्ठ पड़ोसी होते हैं।
* प्रत्येक दो गैर-निकटवर्ती शीर्षों में μ उभयनिष्ठ पड़ोसी होते हैं।


इस तरह के ग्राफ को कभी-कभी srg(v, k, λ, μ) कहा जाता है।
इस प्रकार के ग्राफ को कभी-कभी srg(v, k, λ, μ) कहा जाता है।
 
कुछ लेखक उन ग्राफों को सम्मिलित नहीं करते हैं जो परिभाषा को बिना प्रयास किये संतुष्ट करते हैं अर्थात् वे ग्राफ जो एक या अधिक समान आकार के पूर्ण ग्राफ और उनके [[पूरक ग्राफ]], तुरान ग्राफ के असंबद्ध मिलन हैं।{{sfn|Brouwer|Haemers|n.d.|p=101}}{{sfn|Godsil|Royle|2001|p=218}}


कुछ लेखक उन रेखांकन को बाहर करते हैं जो परिभाषा को तुच्छ रूप से संतुष्ट करते हैं, अर्थात् वे रेखांकन जो एक या अधिक समान आकार के पूर्ण रेखांकन के असंबद्ध मिलन हैं,{{sfn|Brouwer|Haemers|n.d.|p=101}}{{sfn|Godsil|Royle|2001|p=218}} और उनके [[पूरक ग्राफ]], तुरान ग्राफ।
=== यंग टेबलाउ ===
{{main|यंग टेबलाउ}}


=== युवा झांकी ===
[[युवा झाँकी|यंग टेबलाउ]] (pl .:टेबलाउ) प्रतिनिधित्व सिद्धांत और [[शुबर्ट कैलकुलस]] में उपयोगी संयोजन वस्तु है। यह [[सममित समूह]] और [[सामान्य रैखिक समूह]] समूहों के समूह निरूपण का वर्णन करने और उनके गुणों का अध्ययन करने का एक सुविधाजनक उपाय प्रदान करता है। सन 1900 में [[कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय]] के [[गणितज्ञ]] [[अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ)]] द्वारा यंग टेबलाउ प्रस्तुत किया गया था। इसके पश्चात इसे सन 1903 में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए लागू किया गया था। उनके सिद्धांत को कई गणितज्ञों द्वारा विकसित किया गया था जिसमें [[पर्सी मैकमोहन]], डब्ल्यू. वी. डी. हॉज, गिल्बर्ट डी ब्योरेगार्ड रॉबिन्सन, [[जियान-कार्लो रोटा]], [[एलेन लास्कौक्स]], मार्सेल-पॉल शुट्ज़ेनबर्गर और रिचर्ड पी स्टेनली भी सम्मिलित थे।
{{main|Young tableau}}
एक [[युवा झाँकी]] (pl .: झांकी) प्रतिनिधित्व सिद्धांत और [[शुबर्ट कैलकुलस]] में उपयोगी संयोजन वस्तु है। यह [[सममित समूह]] और [[सामान्य रैखिक समूह]] समूहों के समूह निरूपण का वर्णन करने और उनके गुणों का अध्ययन करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है। 1900 में [[कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय]] के [[गणितज्ञ]] [[अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ)]] द्वारा युवा झांकी पेश की गई थी। फिर उन्हें 1903 में [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए लागू किया गया था। उनके सिद्धांत को कई गणितज्ञों द्वारा विकसित किया गया था, जिसमें [[पर्सी मैकमोहन]] भी शामिल थे। , डब्ल्यू. वी. डी. हॉज, गिल्बर्ट डी ब्योरेगार्ड रॉबिन्सन | जी। डी बी रॉबिन्सन, [[जियान-कार्लो रोटा]], [[एलेन लास्कौक्स]], मार्सेल-पॉल शुट्ज़ेनबर्गर और रिचर्ड पी। स्टेनली।


=== मैट्रोइड्स ===
=== मैट्रोइड्स ===
{{main|Matroid}}
{{main|मैट्रॉइड}}
एक मैट्रॉइड एक संरचना है जो वेक्टर रिक्त स्थान में [[रैखिक स्वतंत्रता]] की धारणा को पकड़ती है और सामान्य करती है। मैट्रॉइड को परिभाषित करने के कई समान तरीके हैं, स्वतंत्र सेट, आधार, सर्किट, बंद सेट या फ्लैट, क्लोजर ऑपरेटर और रैंक फ़ंक्शन के संदर्भ में सबसे महत्वपूर्ण हैं।
 
मैट्रॉइड एक संरचना है जो वेक्टर रिक्त स्थान में [[रैखिक स्वतंत्रता]] की धारणा को नियंत्रित और सामान्य करती है। मैट्रॉइड को कई समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है जिसमें स्वतंत्र समुच्चय, आधार, सर्किट, बंद समुच्चय या फ्लैट, क्लोजर ऑपरेटर और रैंक फ़ंक्शन के संदर्भ में सबसे महत्वपूर्ण हैं।


मैट्रॉइड सिद्धांत बड़े पैमाने पर रैखिक बीजगणित और [[ग्राफ सिद्धांत]] की शब्दावली से उधार लेता है, क्योंकि यह इन क्षेत्रों में केंद्रीय महत्व के विभिन्न विचारों का सार है। मैट्रोइड्स ने ज्यामिति, [[टोपोलॉजी]], संयोजी अनुकूलन, [[नेटवर्क सिद्धांत]] और कोडिंग सिद्धांत में आवेदन पाया है।{{sfn|Neel|Neudauer|2009|pp=26–41}}{{sfn|Kashyap|Soljanin|Vontobel|2009}}
मैट्रॉइड सिद्धांत बड़े पैमाने पर रैखिक बीजगणित और [[ग्राफ सिद्धांत]] की शब्दावली से उधार लेता है क्योंकि यह इन क्षेत्रों में केंद्रीय महत्व के विभिन्न विचारों का सार है। मैट्रोइड्स में ज्यामिति, [[टोपोलॉजी]], संयोजी अनुकूलन, [[नेटवर्क सिद्धांत]] और कोडिंग सिद्धांत में अनुप्रयोग किये गये है।{{sfn|Neel|Neudauer|2009|pp=26–41}}{{sfn|Kashyap|Soljanin|Vontobel|2009}}


=== परिमित ज्यामिति ===
=== परिमित ज्यामिति ===
{{main|Finite geometry}}
{{main|परिमित ज्यामिति}}
एक परिमित [[ज्यामिति]] कोई भी ज्यामिति प्रणाली है जिसमें केवल [[बिंदु (ज्यामिति)]] की एक सीमित संख्या होती है।
परिचित [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] परिमित नहीं है, क्योंकि एक यूक्लिडियन रेखा में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं। कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रदर्शित ग्राफ़िक्स पर आधारित एक ज्यामिति, जहाँ [[पिक्सेल]] को बिंदु माना जाता है, एक परिमित ज्यामिति होगी। जबकि ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिन्हें परिमित ज्यामिति कहा जा सकता है, उनकी नियमितता और सरलता के कारण परिमित प्रक्षेप्य स्थान और परिशोधित स्थानों पर ध्यान दिया जाता है। परिमित ज्यामिति के अन्य महत्वपूर्ण प्रकार हैं परिमित मोबियस तल | मोबियस या उलटा तल और लैगुएरे तल, जो एक सामान्य प्रकार के उदाहरण हैं जिन्हें बेंज़ तल कहा जाता है, और उनके उच्च-आयामी अनुरूप जैसे उच्च परिमित व्युत्क्रमणीय ज्यामिति।


रेखीय बीजगणित के माध्यम से परिमित ज्यामिति का निर्माण किया जा सकता है, जो एक [[परिमित क्षेत्र]] पर सदिश स्थानों से शुरू होता है; इस प्रकार निर्मित संबधित और प्रक्षेपी तलों को गैल्वा ज्यामिति कहा जाता है। परिमित ज्यामिति को विशुद्ध रूप से स्वयंसिद्ध रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। अधिकांश सामान्य परिमित ज्यामिति गाल्वा ज्यामिति हैं, क्योंकि तीन या अधिक आयाम के किसी भी परिमित प्रक्षेप्य स्थान एक परिमित क्षेत्र पर [[प्रक्षेपण स्थान]] के लिए समरूपता है (अर्थात, एक परिमित क्षेत्र पर सदिश स्थान का प्रक्षेपण)। हालाँकि, आयाम दो में एफ़िन और [[ प्रक्षेपी विमान ]] हैं जो [[गैलोज़ ज्यामिति]] के लिए [[समाकृतिकता]] नहीं हैं, अर्थात् [[गैर-Desarguesian विमान]] इसी तरह के परिणाम अन्य प्रकार की परिमित ज्यामिति के लिए भी लागू होते हैं।
कोई भी ज्यामिति प्रणाली, परिमित [[ज्यामिति]] है जिसमें केवल [[बिंदु (ज्यामिति)]] की एक सीमित संख्या होती है।
 
परिचित [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] परिमित नहीं है क्योंकि यूक्लिडियन रेखा में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं। कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रदर्शित ग्राफ़िक्स पर आधारित ज्यामिति जहाँ [[पिक्सेल]] को बिंदु माना जाता है यह परिमित ज्यामिति होगी। जबकि ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिन्हें परिमित ज्यामिति कहा जा सकता है एवं उनकी नियमितता और सरलता के कारण परिमित प्रक्षेप्य स्थान और परिशोधित स्थानों पर ध्यान दिया जाता है। परिमित ज्यामिति के अन्य महत्वपूर्ण प्रकार हैं परिमित मोबियस तल और लैगुएरे तल जो एक सामान्य प्रकार के उदाहरण हैं जिन्हें बेंज़ तल कहा जाता है और उनके उच्च-आयामी अनुरूप जैसे उच्च परिमित व्युत्क्रमणीय ज्यामिति कहा जाता है।
 
रेखीय बीजगणित के माध्यम से परिमित ज्यामिति का निर्माण किया जा सकता है जो [[परिमित क्षेत्र]] पर सदिश स्थानों से आरम्भ होता है तथा इस प्रकार निर्मित संबधित और प्रक्षेपी तलों को गैल्वा ज्यामिति कहा जाता है। परिमित ज्यामिति को विशुद्ध रूप से स्वयंसिद्ध रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। अधिकांश सामान्य परिमित ज्यामिति गाल्वा ज्यामिति हैं क्योंकि तीन या अधिक आयाम के किसी भी परिमित प्रक्षेप्य स्थान परिमित क्षेत्र पर [[प्रक्षेपण स्थान]] के लिए समरूप है (अर्थात परिमित क्षेत्र पर सदिश स्थान का प्रक्षेपण)। जबकि आयाम दो में एफ़िन और [[ प्रक्षेपी विमान |प्रक्षेपी तल]] हैं जो [[गैलोज़ ज्यामिति]] के लिए [[समाकृतिकता]] नहीं हैं अर्थात् [[गैर-Desarguesian विमान|गैर-डेसार्गेसियन तल]] प्रकार के परिणाम अन्य प्रकार की परिमित ज्यामिति के लिए भी लागू होते हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत]]
* [[बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत]]
* [[कॉम्बिनेटरियल कम्यूटेटिव बीजगणित]]
* [[कॉम्बिनेटरियल कम्यूटेटिव बीजगणित]]
* बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स (जर्नल)|बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स (जर्नल)
* बीजगणितीय साहचर्य (जर्नल)|बीजगणितीय साहचर्य (जर्नल)
* [[बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स का जर्नल]]
* [[बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स का जर्नल|बीजगणितीय साहचर्य का जर्नल]]
* [[पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटरिक्स]]
* [[पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटरिक्स|पॉलीहेड्रल साहचर्य]]


== उद्धरण ==
== उद्धरण ==
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
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Latest revision as of 17:11, 25 May 2023

For शैक्षणिक पत्रिका, see बीजगणितीय साहचर्य (पत्रिका).
फ़ानो मैट्रॉइड , फ़ानो विमान से निकला है। मैट्रॉइड, बीजगणितीय साहचर्य में अध्ययन की जाने वाली कई प्रकार की वस्तुओं में से एक है।

बीजगणितीय साहचर्य गणित का क्षेत्र है जो अमूर्त बीजगणित के उपायों को नियोजित करता है विशेष रूप से समूह सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत, विभिन्न साहचर्य संदर्भों में और इसके विपरीत, सार बीजगणित में समस्याओं हेतु सांयोगिक तकनीक लागू करता है।

इतिहास

1970 के दशक के अंत में बीजगणितीय साहचर्य शब्द प्रस्तुत किया गया था।[1] 1990 के दशक के आरंभिक या मध्य के समय बीजगणितीय साहचर्य में रुचि के विशिष्ट संयोजी वस्तुओं ने या तो बहुत अधिक समरूपता (गणित) (संघ योजना, दृढ़ता से नियमित ग्राफ, समूह क्रिया (गणित) के साथ पॉसेट्स) को स्वीकार किया या अधिकतर प्रतिनिधित्व सैद्धांतिक उत्पत्ति (सममित कार्य, युवा झांकी) समृद्ध बीजगणितीय संरचना धारण की। यह अवधि सन 1991 में प्रारम्भ की गई अमेरिकी गणितीय सोसायटी गणित विषय वर्गीकरण के क्षेत्र 05E बीजगणितीय साहचर्य में परिलक्षित होती है।

विस्तार

बीजगणितीय साहचर्य को गणित के क्षेत्र के रूप में अधिक व्यापक रूप से देखा जाने लगा है जहां कॉम्बिनेटरियल और बीजगणितीय तरीकों की बातचीत विशेष रूप से मजबूत और महत्वपूर्ण है। इस प्रकार सांयोगिक विषय प्रकृति में गणनात्मक साहचर्य हो सकते हैं या इसमें मैट्रोइड्स, पॉलीटोप्स, आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय या परिमित ज्यामिति सम्मिलित हो सकते हैं। बीजगणितीय पक्ष में समूह सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अतिरिक्त जाली सिद्धांत और क्रमविनिमेय बीजगणित का सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है।

महत्वपूर्ण विषय

सममित कार्य

Main article: सममित कार्यों के वृत्त

सममित कार्यों के वृत्त n अनिश्चित में सममित बहुपदों के वृत्तों की विशिष्ट सीमा है क्योंकि n अनंत तक जाता है। ये वृत्त सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के मध्य संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्रतापूर्वक व्यक्त किया जा सकता है (परन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त ये वृत्त सममित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

संघीय योजनाएं

Main article: संघीय योजनाएं

संघ योजना कुछ अनुकूलता आवश्यकताओं को पूरा करने वाले द्विआधारी संबंधों का संग्रह है। संघीय योजनाएँ कई विषयों के लिए एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करती हैं उदाहरण के लिए संयोजन प्रारूप और कोडिंग सिद्धांत।[2][3] बीजगणित में साहचर्य योजनाएँ समूह (गणित) का सामान्यीकरण करती हैं और साहचर्य योजनाओं का सिद्धांत समूहों के समूह प्रतिनिधित्व के समूह चरित्र का सामान्यीकरण करता है।[4][5][6]

प्रबल नियमित ग्राफ़

Main article: प्रबल नियमित ग्राफ़

प्रबल नियमित ग्राफ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि G = (V, E) v शीर्षों और घात k के साथ नियमित ग्राफ है। जी को 'दृढ़ता से नियमित' कहा जाता है यदि पूर्णांक λ और μ भी हैं:

  • प्रत्येक दो सन्निकट शीर्षों के λ उभयनिष्ठ पड़ोसी होते हैं।
  • प्रत्येक दो गैर-निकटवर्ती शीर्षों में μ उभयनिष्ठ पड़ोसी होते हैं।

इस प्रकार के ग्राफ को कभी-कभी srg(v, k, λ, μ) कहा जाता है।

कुछ लेखक उन ग्राफों को सम्मिलित नहीं करते हैं जो परिभाषा को बिना प्रयास किये संतुष्ट करते हैं अर्थात् वे ग्राफ जो एक या अधिक समान आकार के पूर्ण ग्राफ और उनके पूरक ग्राफ, तुरान ग्राफ के असंबद्ध मिलन हैं।[7][8]

यंग टेबलाउ

Main article: यंग टेबलाउ

यंग टेबलाउ (pl .:टेबलाउ) प्रतिनिधित्व सिद्धांत और शुबर्ट कैलकुलस में उपयोगी संयोजन वस्तु है। यह सममित समूह और सामान्य रैखिक समूह समूहों के समूह निरूपण का वर्णन करने और उनके गुणों का अध्ययन करने का एक सुविधाजनक उपाय प्रदान करता है। सन 1900 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के गणितज्ञ अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ) द्वारा यंग टेबलाउ प्रस्तुत किया गया था। इसके पश्चात इसे सन 1903 में जॉर्ज फ्रोबेनियस द्वारा सममित समूह के अध्ययन के लिए लागू किया गया था। उनके सिद्धांत को कई गणितज्ञों द्वारा विकसित किया गया था जिसमें पर्सी मैकमोहन, डब्ल्यू. वी. डी. हॉज, गिल्बर्ट डी ब्योरेगार्ड रॉबिन्सन, जियान-कार्लो रोटा, एलेन लास्कौक्स, मार्सेल-पॉल शुट्ज़ेनबर्गर और रिचर्ड पी स्टेनली भी सम्मिलित थे।

मैट्रोइड्स

Main article: मैट्रॉइड

मैट्रॉइड एक संरचना है जो वेक्टर रिक्त स्थान में रैखिक स्वतंत्रता की धारणा को नियंत्रित और सामान्य करती है। मैट्रॉइड को कई समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है जिसमें स्वतंत्र समुच्चय, आधार, सर्किट, बंद समुच्चय या फ्लैट, क्लोजर ऑपरेटर और रैंक फ़ंक्शन के संदर्भ में सबसे महत्वपूर्ण हैं।

मैट्रॉइड सिद्धांत बड़े पैमाने पर रैखिक बीजगणित और ग्राफ सिद्धांत की शब्दावली से उधार लेता है क्योंकि यह इन क्षेत्रों में केंद्रीय महत्व के विभिन्न विचारों का सार है। मैट्रोइड्स में ज्यामिति, टोपोलॉजी, संयोजी अनुकूलन, नेटवर्क सिद्धांत और कोडिंग सिद्धांत में अनुप्रयोग किये गये है।[9][10]

परिमित ज्यामिति

Main article: परिमित ज्यामिति

कोई भी ज्यामिति प्रणाली, परिमित ज्यामिति है जिसमें केवल बिंदु (ज्यामिति) की एक सीमित संख्या होती है।

परिचित यूक्लिडियन ज्यामिति परिमित नहीं है क्योंकि यूक्लिडियन रेखा में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं। कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रदर्शित ग्राफ़िक्स पर आधारित ज्यामिति जहाँ पिक्सेल को बिंदु माना जाता है यह परिमित ज्यामिति होगी। जबकि ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिन्हें परिमित ज्यामिति कहा जा सकता है एवं उनकी नियमितता और सरलता के कारण परिमित प्रक्षेप्य स्थान और परिशोधित स्थानों पर ध्यान दिया जाता है। परिमित ज्यामिति के अन्य महत्वपूर्ण प्रकार हैं परिमित मोबियस तल और लैगुएरे तल जो एक सामान्य प्रकार के उदाहरण हैं जिन्हें बेंज़ तल कहा जाता है और उनके उच्च-आयामी अनुरूप जैसे उच्च परिमित व्युत्क्रमणीय ज्यामिति कहा जाता है।

रेखीय बीजगणित के माध्यम से परिमित ज्यामिति का निर्माण किया जा सकता है जो परिमित क्षेत्र पर सदिश स्थानों से आरम्भ होता है तथा इस प्रकार निर्मित संबधित और प्रक्षेपी तलों को गैल्वा ज्यामिति कहा जाता है। परिमित ज्यामिति को विशुद्ध रूप से स्वयंसिद्ध रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। अधिकांश सामान्य परिमित ज्यामिति गाल्वा ज्यामिति हैं क्योंकि तीन या अधिक आयाम के किसी भी परिमित प्रक्षेप्य स्थान परिमित क्षेत्र पर प्रक्षेपण स्थान के लिए समरूप है (अर्थात परिमित क्षेत्र पर सदिश स्थान का प्रक्षेपण)। जबकि आयाम दो में एफ़िन और प्रक्षेपी तल हैं जो गैलोज़ ज्यामिति के लिए समाकृतिकता नहीं हैं अर्थात् गैर-डेसार्गेसियन तल प्रकार के परिणाम अन्य प्रकार की परिमित ज्यामिति के लिए भी लागू होते हैं।

यह भी देखें

उद्धरण

  1. ↑ Bannai 2012.
  2. ↑ Bannai & Ito 1984.
  3. ↑ Godsil 1993.
  4. ↑ Bailey 2004, p. 387.
  5. ↑ Zieschang 2005b.
  6. ↑ Zieschang 2005a.
  7. ↑ Brouwer & Haemers n.d., p. 101.
  8. ↑ Godsil & Royle 2001, p. 218.
  9. ↑ Neel & Neudauer 2009, pp. 26–41.
  10. ↑ Kashyap, Soljanin & Vontobel 2009.


उद्धृत कार्य

अग्रिम पठन


बाहरी संबंध

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