लायपुनोव आयाम

गतिशील प्रणालियों के गणित में लायपुनोव आयाम की अवधारणा कापलान-यॉर्क अनुमान द्वारा सुझाई गई थी आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का अनुमान लगाने के लिए इसके अतिरिक्त इस अवधारणा को विकसित किया गया है और कई पत्रों में वास्तवता से उचित ठहराया गया है और आजकल लाइपुनोव आयाम की परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है। टिप्पणी करें कि गैर-पूर्णांक हौसडॉर्फ आयाम वाले आकर्षणकर्ताओं को आकर्षणकर्ता या विचित्र आकर्षणक कहा जाता है। चूंकि आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का प्रत्यक्ष संख्यात्मक विश्लेषण अधिकांशतः उच्च संख्यात्मक जटिलता की समस्या है लायपुनोव आयाम के माध्यम से अनुमान व्यापक रूप से फैल गए। लायपुनोव आयाम का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के नाम पर रखा गया था क्योंकि लायपुनोव के प्रतिपादकों के साथ घनिष्ठ संबंध था।

परिभाषाएँ

एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें ${\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}$, जहां $\varphi ^{t}$ समाधानों के साथ शिफ्ट ऑपरेटर है: $\varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})$, ओडीई ${\dot {u}}=f({u})$,$t\leq 0$, या अंतर समीकरण ${u}(t+1)=f({u}(t))$, $t=0,1,...$, लगातार अलग-अलग वेक्टर के साथ- कार्य $f$ फिर $D\varphi ^{t}(u)$ रैखिककृत प्रणाली के समाधान का मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण) है और $\sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n$ द्वारा निरूपित करता है, उनकी बीजगणितीय बहुलता के संबंध में एकवचन मान, किसी भी $u$ और $t$ के लिए घटते क्रम में है

परिमित-समय लायपुनोव आयाम के माध्यम से परिभाषा

एन कुज़नेत्सोव द्वारा काम में विकसित परिमित-समय ल्यापुनोव आयाम और ल्यापुनोव आयाम की संबंधित परिभाषा, संख्यात्मक प्रयोगों के लिए सुविधाजनक है जहां केवल परिमित समय देखा जा सकता है। परिमित समय ल्यपुनोव एक्सपोनेंट्स के लिए कपलान-यॉर्क सूत्र के एक एनालॉग पर विचार करें:

$d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},$

$j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},$

परिमित समय लायपुनोव घातांक के आदेशित सेट के संबंध में $\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}$ बिंदु $u$ पर अपरिवर्तनीय सेट $K$ के संबंध में डायनेमिक प्रणाली के परिमित-समय लायपुनोव आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

$\dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).$

इस दृष्टिकोण में कापलान-यॉर्क फॉर्मूला के एनालॉग का उपयोग डौडी-ओस्टरले प्रमेय द्वारा दृढ़ता से उचित है, जो सिद्ध करता है कि किसी भी निश्चित $t>0$ के लिए एक बंद परिबद्ध अपरिवर्तनीय सेट $K$ के लिए परिमित-समय लायपुनोव आयाम एक है हॉसडॉर्फ आयाम का ऊपरी अनुमान:

$\dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).$

इस तरह के सर्वश्रेष्ठ अनुमान की खोज है

$\inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)$लायपुनोव आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है::$\dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).$

समय सीमा के क्रम को बदलने की संभावनाओं और सर्वोच्च सेट पर चर्चा की जाती है उदाहरण में।

ध्यान दें कि ऊपर परिभाषित लायपुनोव आयाम लिप्सचिट्ज़ डिफियोमॉर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है।

स्पष्ट लायपुनोव आयाम

माना कि जैकोबियन आव्यूह $Df(u_{\text{eq}})$ में से किसी एक संतुलन में सरल वास्तविक आइगेनवैल्यू हैं: $\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})$, तब

$\dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).$

यदि वैश्विक आकर्षणकर्ता पर स्थानीय ल्यपुनोव आयामों का सर्वोच्च, जिसमें सभी संतुलन सम्मिलित हैं, एक संतुलन बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, तो यह वैश्विक आकर्षणकर्ता के स्पष्ट ल्यापुनोव आयाम का विश्लेषणात्मक सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है (इसी ईडन के अनुमान को देखें)।

सांख्यिकीय भौतिकी दृष्टिकोण और एर्गोडिसिटी के माध्यम से परिभाषा

सांख्यिकीय भौतिकी के दृष्टिकोण के बाद और एर्गोडिसिटी को मानते हुए आकर्षित करने वाले के ल्यापुनोव आयाम का अनुमान स्थानीय लायपुनोव आयाम के सीमा मान से लगाया जाता है $\lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})$ एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र जो आकर्षित करने वाले का है। इस स्थिति में$\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}$ और $\dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}$व्यावहारिक दृष्टिकोण से एर्गोडिक ओसेलेडेक प्रमेय का कठोर उपयोग सत्यापन कि माना गया प्रक्षेपवक्र $u(t,u_{0})$ एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र है और संबंधित कापलान-यॉर्क सूत्र का उपयोग एक चुनौतीपूर्ण है कार्य (देखें, उदाहरण के लिए में चर्चा) परिमित समय ल्यापुनोव घातांक के स्पष्ट सीमा मान यदि वे उपस्थित हैं और सभी $u_{0}\in U$ के लिए समान हैं तो उन्हें निरपेक्ष कहा जाता है $\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}$ और कापलान-यॉर्क में उपयोग किया गया सूत्र लायपुनोव के प्रतिपादकों और आयाम की गणना के लिए एर्गोडिक सिद्धांत के सख्त उपयोग के उदाहरण इसमें पाए जा सकते हैं।