विशेष फलन: Difference between revisions

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'''विशेष फलन''' विशेष गणितीय कार्य हैं जिनके [[गणितीय विश्लेषण]], [[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनात्मक विश्लेषण]], [[ज्यामिति]], भौतिकी, या अन्य अनुप्रयोगों में उनके महत्व के कारण अधिक या कम स्थापित नाम और अंकन होते हैं।
विशेष कार्य विशेष कार्य (गणित) होते हैं जिनके [[गणितीय विश्लेषण]], [[कार्यात्मक विश्लेषण]], [[ज्यामिति]], भौतिकी, या अन्य अनुप्रयोगों में उनके महत्व के कारण अधिक या कम स्थापित नाम और अंकन होते हैं।


शब्द सर्वसम्मति से परिभाषित किया गया है, और इस प्रकार एक सामान्य औपचारिक परिभाषा का अभाव है, लेकिन [[गणितीय कार्यों की सूची]] में ऐसे कार्य शामिल हैं जिन्हें आमतौर पर विशेष के रूप में स्वीकार किया जाता है।
शब्द सर्वसम्मति से परिभाषित किया गया है, और इस प्रकार एक सामान्य औपचारिक परिभाषा का अभाव है, लेकिन [[गणितीय कार्यों की सूची|गणितीय फलनों की सूची]] में ऐसे फलन सम्मलित हैं जिन्हें सामान्यत: विशेष के रूप में स्वीकार किया जाता है।


== विशेष कार्यों की सारणी ==
== विशेष फलनों की सारणी ==
कई विशेष कार्य अवकल समीकरणों के समाधान या प्रारंभिक कार्यों के [[अभिन्न]] अंग के रूप में प्रकट होते हैं। इसलिए, इंटीग्रल की टेबल<ref name="Zwillinger_2014">{{cite book |author-first1=Izrail Solomonovich |author-last1=Gradshteyn |author-link1=Izrail Solomonovich Gradshteyn |author-first2=Iosif Moiseevich |author-last2=Ryzhik |author-link2=Iosif Moiseevich Ryzhik |author-first3=Yuri Veniaminovich |author-last3=Geronimus |author-link3=Yuri Veniaminovich Geronimus |author-first4=Michail Yulyevich |author-last4=Tseytlin |author-link4=Michail Yulyevich Tseytlin |author-first5=Alan |author-last5=Jeffrey |editor-first1=Daniel |editor-last1=Zwillinger |editor-first2=Victor Hugo |editor-last2=Moll |editor-link2=Victor Hugo Moll |translator=Scripta Technica, Inc. |title=इंटीग्रल्स, सीरीज़ और उत्पादों की तालिका|publisher=[[Academic Press, Inc.]] |date=2015 |orig-year=October 2014 |edition=8 |language=en |isbn=978-0-12-384933-5 |lccn=2014010276 <!-- |url=https://books.google.com/books?id=NjnLAwAAQBAJ |access-date=2016-02-21-->|title-link=Gradshteyn and Ryzhik}}</ref> में आमतौर पर विशेष कार्यों का विवरण और विशेष कार्यों की तालिकाएँ शामिल होती हैं रेफरी नाम = आइरीन >
कई विशेष फलन अवकल समीकरणों के समाधान या प्रारंभिक फलनों के [[अभिन्न]] अंग के रूप में प्रकट होते हैं। इसलिए, समाकल की तालिका<ref name="Zwillinger_2014">{{cite book |author-first1=Izrail Solomonovich |author-last1=Gradshteyn |author-link1=Izrail Solomonovich Gradshteyn |author-first2=Iosif Moiseevich |author-last2=Ryzhik |author-link2=Iosif Moiseevich Ryzhik |author-first3=Yuri Veniaminovich |author-last3=Geronimus |author-link3=Yuri Veniaminovich Geronimus |author-first4=Michail Yulyevich |author-last4=Tseytlin |author-link4=Michail Yulyevich Tseytlin |author-first5=Alan |author-last5=Jeffrey |editor-first1=Daniel |editor-last1=Zwillinger |editor-first2=Victor Hugo |editor-last2=Moll |editor-link2=Victor Hugo Moll |translator=Scripta Technica, Inc. |title=इंटीग्रल्स, सीरीज़ और उत्पादों की तालिका|publisher=[[Academic Press, Inc.]] |date=2015 |orig-year=October 2014 |edition=8 |language=en |isbn=978-0-12-384933-5 |lccn=2014010276 <!-- |url=https://books.google.com/books?id=NjnLAwAAQBAJ |access-date=2016-02-21-->|title-link=Gradshteyn and Ryzhik}}</ref> में सामान्यत: विशेष फलनों का विवरण और विशेष फलनों की तालिकाएँ सम्मलित होती हैं क्योंकि विभेदक समीकरणों की समरूपता भौतिकी और गणित दोनों के लिए आवश्यक है, विशेष फलनों का सिद्धांत [[Index.php?title=लाई-समूह|लाई-समूह]] और [[Index.php?title=लाई बीजगणित|लाई बीजगणित]] के सिद्धांत के साथ-साथ [[गणितीय भौतिकी]] में कुछ विषयों से निकटता से संबंधित है।
{{cite book
  | last1 = Abramowitz
  | first1 = Milton
  | author-link1 = Milton Abramowitz
  | first2 = Irene A. |last2 = Stegun |author-link2 = Irene Stegun
  | title = गणितीय कार्यों की पुस्तिका| date = 1964
  | publisher = U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards
| url = https://archive.org/details/handbookofmathem1964abra
}}</ref> में सबसे महत्वपूर्ण समाकल शामिल हैं; कम से कम, विशेष कार्यों का अभिन्न प्रतिनिधित्व। क्योंकि विभेदक समीकरणों की समरूपता भौतिकी और गणित दोनों के लिए आवश्यक है, विशेष कार्यों का सिद्धांत [[झूठ समूह]]ों और [[झूठ बीजगणित]] के सिद्धांत के साथ-साथ [[गणितीय भौतिकी]] में कुछ विषयों से निकटता से संबंधित है।


[[कंप्यूटर बीजगणित]] इंजन आमतौर पर अधिकांश विशेष कार्यों को पहचानते हैं।
प्रतीकात्मक संगणना इंजन सामान्यत: अधिकांश विशेष कार्यों को पहचानते हैं।


=== विशेष कार्यों के लिए प्रयुक्त संकेतन ===
=== विशेष फलनों के लिए प्रयुक्त संकेतन ===
स्थापित अंतर्राष्ट्रीय संकेतन वाले कार्य साइन हैं (<math>\sin</math>), [[कोज्या]] (<math>\cos</math>), [[घातांक प्रकार्य]] (<math>\exp</math>), और त्रुटि फ़ंक्शन (<math>\operatorname{erf}</math> या <math>\operatorname{erfc}</math>).
स्थापित अंतर्राष्ट्रीय संकेतन वाले फलन साइन हैं (<math>\sin</math>), [[कोज्या]] (<math>\cos</math>), [[घातांक प्रकार्य|घातांक प्रफलन]] (<math>\exp</math>), और त्रुटि फलन (<math>\operatorname{erf}</math> या <math>\operatorname{erfc}</math>).


कुछ विशेष कार्यों में कई अंकन होते हैं:
कुछ विशेष फलनों में कई अंकन होते हैं:


* [[प्राकृतिक]] लघुगणक को निरूपित किया जा सकता है <math>\ln</math>, <math>\log</math>, <math>\log_e</math>, या <math>\operatorname{Log}</math> संदर्भ के आधार पर।
* [[प्राकृतिक]] लघुगणक को निरूपित किया जा सकता है <math>\ln</math>, <math>\log</math>, <math>\log_e</math>, या <math>\operatorname{Log}</math> संदर्भ के आधार पर है।
* त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन#स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को निरूपित किया जा सकता है <math>\tan</math>, <math>\operatorname{Tan}</math>, या <math>\operatorname{tg}</math> (<math>\operatorname{tg}</math> मुख्य रूप से [[रूसी भाषा]] और [[बल्गेरियाई भाषा]] साहित्य में प्रयोग किया जाता है)।
* त्रिकोणमितीय फलन#स्पर्शरेखा फलन को निरूपित किया जा सकता है <math>\tan</math>, <math>\operatorname{Tan}</math>, या <math>\operatorname{tg}</math> (<math>\operatorname{tg}</math> मुख्य रूप से [[रूसी भाषा]] और [[बल्गेरियाई भाषा]] साहित्य में प्रयोग किया जाता है)।
* [[आर्कटैंजेंट]] को निरूपित किया जा सकता है <math>\arctan</math>, <math>\operatorname{atan}</math>, <math>\operatorname{arctg}</math>, या <math>\tan^{-1}</math>.
* [[आर्कटैंजेंट]] को निरूपित किया जा सकता है <math>\arctan</math>, <math>\operatorname{atan}</math>, <math>\operatorname{arctg}</math>, या <math>\tan^{-1}</math>.
* बेसेल कार्यों को निरूपित किया जा सकता है
* बेसेल फलनों को निरूपित किया जा सकता है:
** <math>J_n(x),</math>
** <math>J_n(x),</math>
** <math>\operatorname{besselj}(n,x),</math>
** <math>\operatorname{besselj}(n,x),</math>
** <math>{\rm BesselJ}[n,x].</math>
** <math>{\rm BesselJ}[n,x].</math>
सदस्यताएँ अक्सर तर्कों को इंगित करने के लिए उपयोग की जाती हैं, आमतौर पर पूर्णांक। कुछ मामलों में, अर्धविराम (;) या यहां तक ​​कि बैकस्लैश (\) का उपयोग विभाजक के रूप में किया जाता है। इस मामले में, एल्गोरिथम भाषाओं में अनुवाद कार्यों के नाम में अस्पष्टता # अस्पष्टता स्वीकार करता है और भ्रम पैदा कर सकता है।
सदस्यताएँ अधिकांशत: तर्कों को इंगित करने के लिए उपयोग की जाती हैं, सामान्यत: पूर्णांक कुछ स्थितियों में, अर्धविराम (;) या यहां तक ​​कि बैकस्लैश (\) का उपयोग विभाजक के रूप में किया जाता है। इस मामले में, कलनविधीय भाषाओं में अनुवाद फलनों के नाम में अस्पष्टता स्वीकार करता है और गड़बड़ी कर सकता है।


सुपरस्क्रिप्ट न केवल घातांक, बल्कि एक फ़ंक्शन के संशोधन का संकेत दे सकते हैं। उदाहरण (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और [[अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह]] के साथ) में शामिल हैं:
सुपरस्क्रिप्ट न केवल घातांक, बल्कि एक फलन के संशोधन का संकेत दे सकते हैं। उदाहरण (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय फलन और [[Index.php?title=अतिशयोक्तिपूर्ण फलन|अतिशयोक्तिपूर्ण फलन]] के साथ) में सम्मलित हैं:


* <math>\cos^3(x)</math> आमतौर पर मतलब है <math>(\cos(x))^3</math>
* <math>\cos^3(x)</math> सामान्यत: मतलब है <math>(\cos(x))^3</math>
* <math>\cos^2(x)</math> आम तौर पर है <math>(\cos(x))^2</math>, लेकिन कभी नहीं <math>\cos(\cos(x))</math>
* <math>\cos^2(x)</math> सामान्यत: है <math>(\cos(x))^2</math>, लेकिन कभी <math>\cos(\cos(x))</math> नहीं
* <math>\cos^{-1}(x)</math> आमतौर पर मतलब है <math>\arccos(x)</math>, नहीं <math>(\cos(x))^{-1}</math>; यह आमतौर पर सबसे अधिक भ्रम पैदा करता है, क्योंकि इस सुपरस्क्रिप्ट का अर्थ दूसरों के साथ असंगत है।
* <math>\cos^{-1}(x)</math> सामान्यत: मतलब है <math>\arccos(x)</math>, ना हीं <math>(\cos(x))^{-1}</math>; यह सामान्यत: सबसे अधिक भ्रम पैदा करता है, क्योंकि इस सुपरस्क्रिप्ट का अर्थ दूसरों के साथ असंगत है।


=== विशेष कार्यों का मूल्यांकन ===
=== विशेष फलनों का मूल्यांकन ===
अधिकांश विशेष कार्यों को [[जटिल संख्या]] चर के कार्य के रूप में माना जाता है। वे [[विश्लेषणात्मक कार्य]] हैं; विलक्षणताओं और कटौती का वर्णन किया गया है; अंतर और अभिन्न प्रतिनिधित्व ज्ञात हैं और [[टेलर श्रृंखला]] या [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] का विस्तार उपलब्ध है। इसके अलावा, कभी-कभी अन्य विशेष कार्यों के साथ संबंध भी होते हैं; एक जटिल विशेष कार्य को सरल कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। मूल्यांकन के लिए विभिन्न अभ्यावेदन का उपयोग किया जा सकता है; किसी फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने का सबसे आसान तरीका इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित करना है। हालाँकि, ऐसा प्रतिनिधित्व धीरे-धीरे अभिसरण कर सकता है या बिल्कुल नहीं। एल्गोरिथम भाषाओं में, [[पेड सन्निकटन]] आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं, हालांकि वे जटिल तर्कों के मामले में खराब व्यवहार कर सकते हैं।
अधिकांश विशेष फलनों को [[जटिल संख्या]] चर के फलन के रूप में माना जाता है। वे [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक फलन]] हैं; विलक्षणताओं और कट का वर्णन किया गया है; अंतर और अभिन्न प्रतिनिधित्व ज्ञात हैं और [[टेलर श्रृंखला]] या [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] का विस्तार उपलब्ध है। इसके अतिरिक्त, कभी-कभी अन्य विशेष फलनों के साथ संबंध भी होते हैं; एक जटिल विशेष फलन को सरल फलनों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। मूल्यांकन के लिए विभिन्न अभ्यावेदन का उपयोग किया जा सकता है; किसी फलन का मूल्यांकन करने का सबसे आसान तरीका इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित करना है। चूंकि, ऐसा प्रतिनिधित्व धीरे-धीरे अभिसरण कर सकता है या बिल्कुल नहीं। कलनविधीय भाषा में, [[पेड सन्निकटन]] सामान्यत: उपयोग किए जाते हैं, चूंकि वे जटिल तर्कों के मामले में खराब व्यवहार कर सकते हैं।


== विशेष कार्यों का इतिहास ==
== विशेष फलनों का इतिहास ==


=== शास्त्रीय सिद्धांत ===
=== शास्त्रीय सिद्धांत ===
जबकि [[त्रिकोणमिति]] को संहिताबद्ध किया जा सकता है - जैसा कि अठारहवीं शताब्दी के विशेषज्ञ गणितज्ञों के लिए पहले से ही स्पष्ट था (यदि पहले नहीं था) - उन्नीसवीं शताब्दी के बाद से विशेष कार्यों के पूर्ण और एकीकृत सिद्धांत की खोज जारी है। 1800-1900 में विशेष कार्य सिद्धांत का उच्च बिंदु अण्डाकार कार्यों का सिद्धांत था; ग्रंथ जो अनिवार्य रूप से पूर्ण थे, जैसे कि [[जूल्स टैनरी]] और [[जूल्स मोल्क]],{{cn|date=July 2022}} सिद्धांत की सभी बुनियादी पहचानों के लिए हैंडबुक के रूप में लिखा जा सकता है। वे [[जटिल विश्लेषण]] की तकनीकों पर आधारित थे।
जबकि [[त्रिकोणमिति]] को संहिताबद्ध किया जा सकता है - जैसा कि अठारहवीं शताब्दी के विशेषज्ञ गणितज्ञों के लिए पहले से ही स्पष्ट था (यदि पहले नहीं था) - उन्नीसवीं शताब्दी के बाद से विशेष फलनों के पूर्ण और एकीकृत सिद्धांत की खोज जारी है। 1800-1900 में विशेष फलन सिद्धांत का उच्च बिंदु अर्धवृत्ताकार फलनों का सिद्धांत था; ग्रंथ जो अनिवार्य रूप से पूर्ण थे, जैसे कि [[जूल्स टैनरी]] और [[जूल्स मोल्क]],{{cn|date=July 2022}} सिद्धांत की सभी बुनियादी पहचानों के लिए हैंडबुक के रूप में लिखा जा सकता है। वे [[जटिल विश्लेषण]] की तकनीकों पर आधारित थे।


उस समय से यह माना जाएगा कि विश्लेषणात्मक कार्य सिद्धांत, जो पहले से ही त्रिकोणमितीय और घातीय कार्यों को एकीकृत कर चुका था, एक मौलिक उपकरण था। सदी के अंत में भी [[गोलाकार हार्मोनिक]]्स की बहुत विस्तृत चर्चा हुई।
उस समय से यह माना जाएगा कि विश्लेषणात्मक फलन सिद्धांत, जो पहले से ही त्रिकोणमितीय और घातीय फलनों को एकीकृत कर चुका था, एक मौलिक उपकरण था। सदी के अंत में भी [[गोलाकार हार्मोनिक]]स की बहुत विस्तृत चर्चा हुई थी।


===बदलती और निश्चित प्रेरणाएँ===
===बदलती और निश्चित प्रेरणाएँ===
बेशक एक व्यापक सिद्धांत की इच्छा जिसमें ज्ञात विशेष कार्यों के जितना संभव हो उतना बौद्धिक अपील है, लेकिन यह अन्य प्रेरणाओं को ध्यान देने योग्य है। लंबे समय तक, विशेष कार्य लागू गणित के विशेष प्रांत में थे; भौतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग के अनुप्रयोगों ने कार्यों के सापेक्ष महत्व को निर्धारित किया। [[इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर]] से पहले के दिनों में, एक विशेष कार्य के लिए अंतिम प्रशंसा हाथ से, विस्तारित [[गणितीय तालिका]] की गणना थी। यह एक पूंजी-गहन प्रक्रिया थी, जिसका उद्देश्य परिचित लघुगणक तालिकाओं के लिए [[खोज तालिका]]|लुक-अप द्वारा फ़ंक्शन को उपलब्ध कराना था। सिद्धांत के पहलू जो तब मायने रखते थे, तब दो हो सकते हैं:
बेशक एक व्यापक सिद्धांत की इच्छा जिसमें ज्ञात विशेष फलनों के जितना संभव हो उतना बौद्धिक अपील है, लेकिन यह अन्य प्रेरणाओं को ध्यान देने योग्य है। लंबे समय तक, विशेष फलन लागू गणित के विशेष प्रांत में थे; भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के अनुप्रयोगों ने फलनों के सापेक्ष महत्व को निर्धारित किया। [[Index.php?title=इलेक्ट्रॉनिक अभिकलन|इलेक्ट्रॉनिक अभिकलन]] से पहले, परिचित लघुगणक तालिकाओं के लिए, तैयार अवलोकन के लिए मानों की विस्तारित तालिकाओं की श्रमसाध्य संगणना द्वारा एक विशेष फलन के महत्व की पुष्टि की गई थी। (बैबेज का डिफरेंस इंजन ऐसी तालिकाओं की गणना करने का एक प्रयास था।) इस उद्देश्य के लिए, मुख्य तकनीकें हैं:-


* [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए, [[अनंत श्रृंखला]] की खोज या तेजी से गणना की अनुमति देने वाली अन्य [[विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति]]; और
* [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए, [[अनंत श्रृंखला]] की खोज या तेजी से गणना की अनुमति देने वाली अन्य [[विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति]]; और
* दिए गए फ़ंक्शन के लिए जितना संभव हो उतने फ़ंक्शन को कम करना।
* दिए गए फलन के लिए जितना संभव हो उतने फलन को कम करना है।


इसके विपरीत, कोई कह सकता है, [[शुद्ध गणित]] के हितों के विशिष्ट दृष्टिकोण हैं: विषम विश्लेषण, [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] और [[जटिल विमान]] में [[मोनोड्रोमी]], और पंक्तियों में अंतहीन सूत्रों के अग्रभाग के पीछे [[समरूपता]] सिद्धांतों और अन्य संरचना की खोज। वास्तव में, इन दृष्टिकोणों के बीच कोई वास्तविक विरोध नहीं है।
इसके विपरीत, कोई कह सकता है, [[शुद्ध गणित]] के हितों के विशिष्ट दृष्टिकोण हैं: विषम विश्लेषण, [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] और [[जटिल विमान]] में [[मोनोड्रोमी]], और पंक्तियों में अंतहीन सूत्रों के अग्रभाग के पीछे [[समरूपता]] सिद्धांतों और अन्य संरचना की खोज। वास्तव में, इन दृष्टिकोणों के बीच कोई वास्तविक विरोध नहीं है।


===बीसवीं सदी===
===बीसवीं सदी===
बीसवीं शताब्दी ने विशेष कार्य सिद्धांत में रुचि की कई लहरें देखीं। क्लासिक [[व्हिटेकर और वाटसन]] (1902) पाठ्यपुस्तक ने [[जटिल चर]]ों का उपयोग करके सिद्धांत को एकीकृत करने की मांग की; बेसल फंक्शंस के सिद्धांत पर जी.एन. वॉटसन की पुस्तक ए ट्रीटीज ने एक महत्वपूर्ण प्रकार के लिए जहां तक ​​​​संभव हो तकनीकों को आगे बढ़ाया, विशेष रूप से अध्ययन किए जाने वाले एसिम्प्टोटिक्स को स्वीकार किया।
बीसवीं शताब्दी ने विशेष फलन सिद्धांत में रुचि की कई लहरें देखीं। क्लासिक [[व्हिटेकर और वाटसन]] (1902) पाठ्यपुस्तक ने [[Index.php?title=जटिल विश्लेषण|जटिल विश्लेषण]] का उपयोग करके सिद्धांत को एकीकृत करने की मांग की; बेसल फलन के सिद्धांत पर जी.एन. वॉटसन की पुस्तक ए ट्रीटीज ने एक महत्वपूर्ण प्रकार के लिए जहां तक ​​​​संभव हो तकनीकों को आगे बढ़ाया, विशेष रूप से अध्ययन किए जाने वाले अनंतस्पर्शी को स्वीकार किया था।


आर्थर एर्देली के संपादन के तहत बाद में [[बेटमैन पांडुलिपि परियोजना]] ने विश्वकोश बनने का प्रयास किया, और उस समय के आसपास आया जब इलेक्ट्रॉनिक संगणना सामने आ रही थी और सारणीकरण मुख्य मुद्दा नहीं रह गया था।
आर्थर एर्देली के संपादन के अनुसार बाद में [[बेटमैन पांडुलिपि परियोजना]] ने विश्वकोश बनने का प्रयास किया, और उस समय के आसपास आया जब इलेक्ट्रॉनिक संगणना सामने आ रही थी और सारणीकरण मुख्य मुद्दा नहीं रह गया था।


=== समकालीन सिद्धांत ===
=== समकालीन सिद्धांत ===
[[ऑर्थोगोनल बहुपद]]ों का आधुनिक सिद्धांत एक निश्चित लेकिन सीमित दायरे का है। [[खगोल]] विज्ञान और गणितीय भौतिकी में महत्वपूर्ण होने के लिए [[फेलिक्स क्लेन]] द्वारा देखी गई [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]],<ref>{{cite book |last=Vilenkin |first=N.J.|author-link=Naum Ya. Vilenkin |date=1968 |title=विशेष कार्य और समूह प्रतिनिधित्व का सिद्धांत|url= |location=Providence, RI |publisher=[[American Mathematical Society]] |page=iii |isbn=978-0821815724}}</ref> एक जटिल सिद्धांत बन गया, जिसे बाद में वैचारिक व्यवस्था की आवश्यकता थी। झूठ समूह, और विशेष रूप से उनके [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]], समझाते हैं कि एक क्षेत्रीय गोलाकार कार्य सामान्य रूप से क्या हो सकता है; 1950 के बाद से शास्त्रीय सिद्धांत के पर्याप्त भागों को झूठे समूहों के संदर्भ में पुनर्गठित किया जा सकता है। इसके अलावा, [[बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स]] पर काम ने भी सिद्धांत के पुराने हिस्सों में रुचि को पुनर्जीवित किया। इयान जी मैकडोनाल्ड के अनुमानों ने विशिष्ट विशेष कार्य स्वाद के साथ बड़े और सक्रिय नए क्षेत्रों को खोलने में मदद की। विशेष कार्यों के स्रोत के रूप में [[अंतर समीकरण]]ों के अलावा अंतर समीकरणों ने अपना स्थान लेना शुरू कर दिया है।
[[Index.php?title=लांबिक बहुपद|लांबिक बहुपद]] का आधुनिक सिद्धांत एक निश्चित लेकिन सीमित दायरे का है। [[खगोल]] विज्ञान और गणितीय भौतिकी में महत्वपूर्ण होने के लिए [[फेलिक्स क्लेन]] द्वारा देखी गई [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]],<ref>{{cite book |last=Vilenkin |first=N.J.|author-link=Naum Ya. Vilenkin |date=1968 |title=विशेष कार्य और समूह प्रतिनिधित्व का सिद्धांत|url= |location=Providence, RI |publisher=[[American Mathematical Society]] |page=iii |isbn=978-0821815724}}</ref> एक जटिल सिद्धांत बन गया, जिसे बाद में वैचारिक व्यवस्था की आवश्यकता थी। लाई समूह, और विशेष रूप से उनके [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]], समझाते हैं कि एक क्षेत्रीय गोलाकार फलन सामान्य रूप से क्या हो सकता है; 1950 के बाद से शास्त्रीय सिद्धांत के पर्याप्त भागों को लाई समूहों के संदर्भ में पुनर्गठित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, [[Index.php?title=बीजगणितीय साहचर्य|बीजगणितीय साहचर्य]] पर काम ने भी सिद्धांत के पुराने हिस्सों में रुचि को पुनर्जीवित किया। इयान जी मैकडोनाल्ड के अनुमानों ने विशिष्ट विशेष फलन अनुमान के साथ बड़े और सक्रिय नए क्षेत्रों को खोलने में मदद की। विशेष फलनों के स्रोत के रूप में [[अंतर समीकरण]] के अतिरिक्त अवकल समीकरण ने अपना स्थान लेना प्रारंभ कर दिया है।


== [[संख्या सिद्धांत]] में विशेष कार्य ==
== [[संख्या सिद्धांत]] में विशेष फलन ==
संख्या सिद्धांत में, कुछ विशेष कार्यों का पारंपरिक रूप से अध्ययन किया गया है, जैसे कि विशेष [[डिरिचलेट श्रृंखला]] और [[मॉड्यूलर रूप]]। विशेष कार्य सिद्धांत के लगभग सभी पहलुओं को वहां प्रतिबिंबित किया गया है, साथ ही साथ कुछ नए भी, जैसे कि राक्षसी चांदनी सिद्धांत से निकला है।
संख्या सिद्धांत में, कुछ विशेष फलनों का पारंपरिक रूप से अध्ययन किया गया है, जैसे कि विशेष [[डिरिचलेट श्रृंखला]] और [[मॉड्यूलर रूप]]। विशेष फलन सिद्धांत के लगभग सभी पहलुओं को वहां प्रतिबिंबित किया गया है, साथ ही साथ कुछ नए भी, जैसे कि मॉन्स्टरस मूनशाइन सिद्धांत से निकला है।


== मैट्रिक्स तर्कों के विशेष कार्य ==
== आव्यूह तर्कों के विशेष फलन ==
[[सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स]] के स्थान पर कई विशेष कार्यों के एनालॉग्स को परिभाषित किया गया है, उनमें से पावर फ़ंक्शन जो [[एटले सेलबर्ग]] में वापस जाता है,{{sfn|Terras|2016|p=44}} बहुभिन्नरूपी गामा फ़ंक्शन,{{sfn|Terras|2016|p=47}} और बेसेल कार्यों के प्रकार।{{sfn|Terras|2016|pp=56ff}}
कई विशेष कार्यों के अनुरूप को सकारात्मक निश्चित आव्यूह के स्थान पर परिभाषित किया गया है, उनमें से घातांक फलन जो एटल सेलबर्ग, [6] बहुभिन्नरूपी गामा फलन, [7] और बेसेल कार्यों के प्रकार पर वापस जाता है।{{sfn|Terras|2016|pp=56ff}}
गणितीय कार्यों के मानक और प्रौद्योगिकी डिजिटल पुस्तकालय के राष्ट्रीय संस्थान में मैट्रिक्स तर्कों के कई विशेष कार्यों को शामिल करने वाला एक खंड है।<ref>{{cite web|url=https://dlmf.nist.gov/35|title=मैट्रिक्स तर्क के अध्याय 35 कार्य|work=[[Digital Library of Mathematical Functions]]|author=[[Donald Richards (statistician)|D. St. P. Richards]]|date=n.d.|access-date=23 July 2022}}</ref>
गणितीय फलनों के मानक और प्रौद्योगिकी डिजिटल पुस्तकालय के राष्ट्रीय संस्थान में आव्यूह तर्कों के कई विशेष फलनों को सम्मलित करने वाला एक खंड है।<ref>{{cite web|url=https://dlmf.nist.gov/35|title=मैट्रिक्स तर्क के अध्याय 35 कार्य|work=[[Digital Library of Mathematical Functions]]|author=[[Donald Richards (statistician)|D. St. P. Richards]]|date=n.d.|access-date=23 July 2022}}</ref>




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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* गणितीय कार्यों की सूची
* गणितीय फलनों की सूची
* [[विशेष कार्यों और नामों की सूची]]
* [[विशेष कार्यों और नामों की सूची|विशेष फलनों और नामों की सूची]]
* [[प्राथमिक कार्य]]
* [[प्राथमिक कार्य|प्राथमिक फलन]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
*
 
*समारोह (गणित)
*भौतिक विज्ञान
*प्राथमिक कार्य
*अंतर समीकरण
*उन लोगों के
*त्रुटि समारोह
*बेसेल समारोह
*त्रिकोणमितीय समारोह
*अण्डाकार समारोह
*व्यावहारिक गणित
*स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
*लघुगणक तालिकाएँ
*आंचलिक गोलाकार कार्य
*राक्षसी चन्द्रमा
*बहुभिन्नरूपी गामा समारोह
*बेसेल कार्य करता है
*मानक और प्रौद्योगिकी का राष्ट्रीय संस्थान
==बाहरी कड़ियाँ==
==बाहरी कड़ियाँ==
*[[National Institute of Standards and Technology]], United States Department of Commerce. [https://dlmf.nist.gov ''NIST Digital Library of Mathematical Functions'']. [https://web.archive.org/web/20181213070412/https://dlmf.nist.gov/ Archived] from the original on December 13, 2018.
*[[National Institute of Standards and Technology]], United States Department of Commerce. [https://dlmf.nist.gov ''NIST Digital Library of Mathematical Functions'']. [https://web.archive.org/web/20181213070412/https://dlmf.nist.gov/ Archived] from the original on December 13, 2018.
Line 142: Line 114:
[[श्रेणी: गणित का इतिहास]]
[[श्रेणी: गणित का इतिहास]]


 
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Latest revision as of 10:58, 30 October 2023

विशेष फलन विशेष गणितीय कार्य हैं जिनके गणितीय विश्लेषण, फलनात्मक विश्लेषण, ज्यामिति, भौतिकी, या अन्य अनुप्रयोगों में उनके महत्व के कारण अधिक या कम स्थापित नाम और अंकन होते हैं।

शब्द सर्वसम्मति से परिभाषित किया गया है, और इस प्रकार एक सामान्य औपचारिक परिभाषा का अभाव है, लेकिन गणितीय फलनों की सूची में ऐसे फलन सम्मलित हैं जिन्हें सामान्यत: विशेष के रूप में स्वीकार किया जाता है।

विशेष फलनों की सारणी

कई विशेष फलन अवकल समीकरणों के समाधान या प्रारंभिक फलनों के अभिन्न अंग के रूप में प्रकट होते हैं। इसलिए, समाकल की तालिका[1] में सामान्यत: विशेष फलनों का विवरण और विशेष फलनों की तालिकाएँ सम्मलित होती हैं क्योंकि विभेदक समीकरणों की समरूपता भौतिकी और गणित दोनों के लिए आवश्यक है, विशेष फलनों का सिद्धांत लाई-समूह और लाई बीजगणित के सिद्धांत के साथ-साथ गणितीय भौतिकी में कुछ विषयों से निकटता से संबंधित है।

प्रतीकात्मक संगणना इंजन सामान्यत: अधिकांश विशेष कार्यों को पहचानते हैं।

विशेष फलनों के लिए प्रयुक्त संकेतन

स्थापित अंतर्राष्ट्रीय संकेतन वाले फलन साइन हैं (), कोज्या (), घातांक प्रफलन (), और त्रुटि फलन ( या ).

कुछ विशेष फलनों में कई अंकन होते हैं:

  • प्राकृतिक लघुगणक को निरूपित किया जा सकता है , , , या संदर्भ के आधार पर है।
  • त्रिकोणमितीय फलन#स्पर्शरेखा फलन को निरूपित किया जा सकता है , , या ( मुख्य रूप से रूसी भाषा और बल्गेरियाई भाषा साहित्य में प्रयोग किया जाता है)।
  • आर्कटैंजेंट को निरूपित किया जा सकता है , , , या .
  • बेसेल फलनों को निरूपित किया जा सकता है:

सदस्यताएँ अधिकांशत: तर्कों को इंगित करने के लिए उपयोग की जाती हैं, सामान्यत: पूर्णांक कुछ स्थितियों में, अर्धविराम (;) या यहां तक ​​कि बैकस्लैश (\) का उपयोग विभाजक के रूप में किया जाता है। इस मामले में, कलनविधीय भाषाओं में अनुवाद फलनों के नाम में अस्पष्टता स्वीकार करता है और गड़बड़ी कर सकता है।

सुपरस्क्रिप्ट न केवल घातांक, बल्कि एक फलन के संशोधन का संकेत दे सकते हैं। उदाहरण (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय फलन और अतिशयोक्तिपूर्ण फलन के साथ) में सम्मलित हैं:

  • सामान्यत: मतलब है
  • सामान्यत: है , लेकिन कभी नहीं
  • सामान्यत: मतलब है , ना हीं ; यह सामान्यत: सबसे अधिक भ्रम पैदा करता है, क्योंकि इस सुपरस्क्रिप्ट का अर्थ दूसरों के साथ असंगत है।

विशेष फलनों का मूल्यांकन

अधिकांश विशेष फलनों को जटिल संख्या चर के फलन के रूप में माना जाता है। वे विश्लेषणात्मक फलन हैं; विलक्षणताओं और कट का वर्णन किया गया है; अंतर और अभिन्न प्रतिनिधित्व ज्ञात हैं और टेलर श्रृंखला या स्पर्शोन्मुख श्रृंखला का विस्तार उपलब्ध है। इसके अतिरिक्त, कभी-कभी अन्य विशेष फलनों के साथ संबंध भी होते हैं; एक जटिल विशेष फलन को सरल फलनों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। मूल्यांकन के लिए विभिन्न अभ्यावेदन का उपयोग किया जा सकता है; किसी फलन का मूल्यांकन करने का सबसे आसान तरीका इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित करना है। चूंकि, ऐसा प्रतिनिधित्व धीरे-धीरे अभिसरण कर सकता है या बिल्कुल नहीं। कलनविधीय भाषा में, पेड सन्निकटन सामान्यत: उपयोग किए जाते हैं, चूंकि वे जटिल तर्कों के मामले में खराब व्यवहार कर सकते हैं।

विशेष फलनों का इतिहास

शास्त्रीय सिद्धांत

जबकि त्रिकोणमिति को संहिताबद्ध किया जा सकता है - जैसा कि अठारहवीं शताब्दी के विशेषज्ञ गणितज्ञों के लिए पहले से ही स्पष्ट था (यदि पहले नहीं था) - उन्नीसवीं शताब्दी के बाद से विशेष फलनों के पूर्ण और एकीकृत सिद्धांत की खोज जारी है। 1800-1900 में विशेष फलन सिद्धांत का उच्च बिंदु अर्धवृत्ताकार फलनों का सिद्धांत था; ग्रंथ जो अनिवार्य रूप से पूर्ण थे, जैसे कि जूल्स टैनरी और जूल्स मोल्क,[citation needed] सिद्धांत की सभी बुनियादी पहचानों के लिए हैंडबुक के रूप में लिखा जा सकता है। वे जटिल विश्लेषण की तकनीकों पर आधारित थे।

उस समय से यह माना जाएगा कि विश्लेषणात्मक फलन सिद्धांत, जो पहले से ही त्रिकोणमितीय और घातीय फलनों को एकीकृत कर चुका था, एक मौलिक उपकरण था। सदी के अंत में भी गोलाकार हार्मोनिकस की बहुत विस्तृत चर्चा हुई थी।

बदलती और निश्चित प्रेरणाएँ

बेशक एक व्यापक सिद्धांत की इच्छा जिसमें ज्ञात विशेष फलनों के जितना संभव हो उतना बौद्धिक अपील है, लेकिन यह अन्य प्रेरणाओं को ध्यान देने योग्य है। लंबे समय तक, विशेष फलन लागू गणित के विशेष प्रांत में थे; भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के अनुप्रयोगों ने फलनों के सापेक्ष महत्व को निर्धारित किया। इलेक्ट्रॉनिक अभिकलन से पहले, परिचित लघुगणक तालिकाओं के लिए, तैयार अवलोकन के लिए मानों की विस्तारित तालिकाओं की श्रमसाध्य संगणना द्वारा एक विशेष फलन के महत्व की पुष्टि की गई थी। (बैबेज का डिफरेंस इंजन ऐसी तालिकाओं की गणना करने का एक प्रयास था।) इस उद्देश्य के लिए, मुख्य तकनीकें हैं:-

इसके विपरीत, कोई कह सकता है, शुद्ध गणित के हितों के विशिष्ट दृष्टिकोण हैं: विषम विश्लेषण, विश्लेषणात्मक निरंतरता और जटिल विमान में मोनोड्रोमी, और पंक्तियों में अंतहीन सूत्रों के अग्रभाग के पीछे समरूपता सिद्धांतों और अन्य संरचना की खोज। वास्तव में, इन दृष्टिकोणों के बीच कोई वास्तविक विरोध नहीं है।

बीसवीं सदी

बीसवीं शताब्दी ने विशेष फलन सिद्धांत में रुचि की कई लहरें देखीं। क्लासिक व्हिटेकर और वाटसन (1902) पाठ्यपुस्तक ने जटिल विश्लेषण का उपयोग करके सिद्धांत को एकीकृत करने की मांग की; बेसल फलन के सिद्धांत पर जी.एन. वॉटसन की पुस्तक ए ट्रीटीज ने एक महत्वपूर्ण प्रकार के लिए जहां तक ​​​​संभव हो तकनीकों को आगे बढ़ाया, विशेष रूप से अध्ययन किए जाने वाले अनंतस्पर्शी को स्वीकार किया था।

आर्थर एर्देली के संपादन के अनुसार बाद में बेटमैन पांडुलिपि परियोजना ने विश्वकोश बनने का प्रयास किया, और उस समय के आसपास आया जब इलेक्ट्रॉनिक संगणना सामने आ रही थी और सारणीकरण मुख्य मुद्दा नहीं रह गया था।

समकालीन सिद्धांत

लांबिक बहुपद का आधुनिक सिद्धांत एक निश्चित लेकिन सीमित दायरे का है। खगोल विज्ञान और गणितीय भौतिकी में महत्वपूर्ण होने के लिए फेलिक्स क्लेन द्वारा देखी गई हाइपरज्यामितीय श्रृंखला,[2] एक जटिल सिद्धांत बन गया, जिसे बाद में वैचारिक व्यवस्था की आवश्यकता थी। लाई समूह, और विशेष रूप से उनके प्रतिनिधित्व सिद्धांत, समझाते हैं कि एक क्षेत्रीय गोलाकार फलन सामान्य रूप से क्या हो सकता है; 1950 के बाद से शास्त्रीय सिद्धांत के पर्याप्त भागों को लाई समूहों के संदर्भ में पुनर्गठित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, बीजगणितीय साहचर्य पर काम ने भी सिद्धांत के पुराने हिस्सों में रुचि को पुनर्जीवित किया। इयान जी मैकडोनाल्ड के अनुमानों ने विशिष्ट विशेष फलन अनुमान के साथ बड़े और सक्रिय नए क्षेत्रों को खोलने में मदद की। विशेष फलनों के स्रोत के रूप में अंतर समीकरण के अतिरिक्त अवकल समीकरण ने अपना स्थान लेना प्रारंभ कर दिया है।

संख्या सिद्धांत में विशेष फलन

संख्या सिद्धांत में, कुछ विशेष फलनों का पारंपरिक रूप से अध्ययन किया गया है, जैसे कि विशेष डिरिचलेट श्रृंखला और मॉड्यूलर रूप। विशेष फलन सिद्धांत के लगभग सभी पहलुओं को वहां प्रतिबिंबित किया गया है, साथ ही साथ कुछ नए भी, जैसे कि मॉन्स्टरस मूनशाइन सिद्धांत से निकला है।

आव्यूह तर्कों के विशेष फलन

कई विशेष कार्यों के अनुरूप को सकारात्मक निश्चित आव्यूह के स्थान पर परिभाषित किया गया है, उनमें से घातांक फलन जो एटल सेलबर्ग, [6] बहुभिन्नरूपी गामा फलन, [7] और बेसेल कार्यों के प्रकार पर वापस जाता है।[3] गणितीय फलनों के मानक और प्रौद्योगिकी डिजिटल पुस्तकालय के राष्ट्रीय संस्थान में आव्यूह तर्कों के कई विशेष फलनों को सम्मलित करने वाला एक खंड है।[4]


शोधकर्ता


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). इंटीग्रल्स, सीरीज़ और उत्पादों की तालिका (in English). Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
  2. ↑ Vilenkin, N.J. (1968). विशेष कार्य और समूह प्रतिनिधित्व का सिद्धांत. Providence, RI: American Mathematical Society. p. iii. ISBN 978-0821815724.
  3. ↑ Terras 2016, pp. 56ff.
  4. ↑ D. St. P. Richards (n.d.). "मैट्रिक्स तर्क के अध्याय 35 कार्य". Digital Library of Mathematical Functions. Retrieved 23 July 2022.


ग्रन्थसूची


बाहरी कड़ियाँ

श्रेणी: गणित का इतिहास

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