वेब्लेन फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:17, 30 October 2023

गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन का पदानुक्रम है (क्रमवाचक संख्या से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन), जिसे वेबलेन (1908) में ओसवाल्ड वेब्लेन द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ₀ कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φ_α β<α के लिए φ_β के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।

वेब्लेन पदानुक्रम

विशेष स्थिति में जब φ₀(α) = ω^α कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। फलन φ₁, ε फलन के समान है: φ₁(α) = ε_α^[1] यदि $\alpha <\beta \,,$ तब $\varphi _{\alpha }(\varphi _{\beta }(\gamma ))=\varphi _{\beta }(\gamma )$ होता है।^[2] इससे और तथ्य यह है कि φ_β कठोरता से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: $\varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )$ यदि और केवल यदि या तो ( $\alpha =\gamma$ और $\beta <\delta$ ) या ( $\alpha <\gamma$ और $\beta <\varphi _{\gamma }(\delta )$ ) या ( $\alpha >\gamma$ और $\varphi _{\alpha }(\beta )<\delta$ ) होता है।^[2]

वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

कोफिनलिटी ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के निकट α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के मध्य स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात रूचि के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम क्रमसूचक्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के अनुसार n की छवि α[n] द्वारा प्रदर्शित की जाएगी।

वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $\alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\varphi _{\beta _{2}}(\gamma _{2})+\cdots +\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})$ , जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पूर्व के पश्चात का प्रत्येक पद पूर्व पद से अल्प या समान है, $\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\geq \varphi _{\beta _{m+1}}(\gamma _{m+1})\,,$ और प्रत्येक $\gamma _{m}<\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\,$ है। यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम $\alpha [n]=\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\cdots +\varphi _{\beta _{k-1}}(\gamma _{k-1})+(\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})[n])\,$ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है $\gamma <\varphi _{\beta }(\gamma )\,,$ तो मान लीजिये $\varphi _{\beta }(\gamma )[n]=\varphi _{\beta }(\gamma [n])\,$ होता है।

ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है $\varphi _{0}(0)$ = ω⁰ = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।

$\varphi _{0}(\gamma +1)=\omega ^{\gamma +1}=\omega ^{\gamma }\cdot \omega \,,$ के लिए, हम $\varphi _{0}(\gamma +1)[n]=\varphi _{0}(\gamma )\cdot n=\omega ^{\gamma }\cdot n\,$ का चयन करते हैं।

$\varphi _{\beta +1}(0)\,$ के लिए हम $\varphi _{\beta +1}(0)[0]=0$ और $\varphi _{\beta +1}(0)[n+1]=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(0)[n])\,,$ का उपयोग करते हैं, अर्थात। 0, $\varphi _{\beta }(0)$ , $\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta }(0))$ , आदि।

$\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)$ के लिए, हम $\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[0]=\varphi _{\beta +1}(\gamma )+1$ और $\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[n+1]=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[n])\,$ का उपयोग करते हैं।

अब मान लीजिए कि β सीमा है:

यदि $\beta <\varphi _{\beta }(0)$ , तो मान लीजिये $\varphi _{\beta }(0)[n]=\varphi _{\beta [n]}(0)\,$ होता है।

$\varphi _{\beta }(\gamma +1)$ के लिए, $\varphi _{\beta }(\gamma +1)[n]=\varphi _{\beta [n]}(\varphi _{\beta }(\gamma )+1)\,$ प्रयोग करें।

अन्यथा, छोटे अध्यादेशों के उपयोग के संदर्भ में क्रमसूचक का वर्णन नहीं किया जा सकता है $\varphi$ और यह योजना उस पर प्रस्तावित नहीं होती है।

Γ फलन

फलन Γ क्रमांक α की गणना करता है जैसे कि φ_α(0) = α होता है। Γ₀ फ़ेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक है, अर्थात यह सबसे छोटा α है जैसे कि φ_α(0) = α।

Γ₀ के लिए, मौलिक अनुक्रम $\Gamma _{0}[0]=0$ और $\Gamma _{0}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{0}[n]}(0)\,$ का चयन किया जा सकता है।

Γ_β+1 के लिए, मान लीजिए $\Gamma _{\beta +1}[0]=\Gamma _{\beta }+1$ और $\Gamma _{\beta +1}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{\beta +1}[n]}(0)\,$ होता है।

Γ_β के लिए जहाँ $\beta <\Gamma _{\beta }$ सीमा है, मान लीजिए $\Gamma _{\beta }[n]=\Gamma _{\beta [n]}\,$ होता है।

सामान्यीकरण

अंत में कई चर

तर्कों की परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फलन) के वेब्लेन फलन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फलन दें $\varphi (\alpha ,\gamma )$ मान लीजिये $\varphi _{\alpha }(\gamma )$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

मान लीजिये $z$ रिक्त स्ट्रिंग या एक से अधिक अल्पविराम से भिन्न किए गए शून्य से युक्त स्ट्रिंग हो $0,0,...,0$ और $s$ रिक्त स्ट्रिंग या एक से अधिक कॉमा-सेपरेटेड क्रमसूचक्स से युक्त स्ट्रिंग हो $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ साथ $\alpha _{1}>0$ है बाइनरी फलन $\varphi (\beta ,\gamma )$ के रूप में लिखा जा सकता है $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$ जहां दोनों $s$ और $z$ रिक्त स्ट्रिंग हैं।

अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }$
$\varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )$
यदि $\beta >0$ , तब $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$ दर्शाता है $(1+\gamma )$ कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु $\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)$ प्रत्येक के लिए $\delta <\beta$ होता है।

उदाहरण के लिए, $\varphi (1,0,\gamma )$ है $(1+\gamma )$ - कार्यों का निश्चित बिंदु $\xi \mapsto \varphi (\xi ,0)$ है, अर्थात् $\Gamma _{\gamma }$ ; तब $\varphi (1,1,\gamma )$ उस फलन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात $\xi \mapsto \Gamma _{\xi }$ फलन; और $\varphi (2,0,\gamma )$ सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है $\xi \mapsto \varphi (1,\xi ,0)$ सामान्यीकृत वेब्लेन फलन का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (अर्थात, यदि वेरिएबल को भिन्न-भिन्न बनाया जाता है और पश्चात के सभी वेरिएबल्स को निरंतर शून्य के समान रखा जाता है)।

क्रमसूचक $\varphi (1,0,0,0)$ कभी-कभी एकरमैन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। $\varphi (1,0,...,0)$ की सीमा जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है।

प्रत्येक गैर-शून्य क्रमसूचक $\alpha$ छोटे वेब्लेन क्रमसूचक (एसवीओ) से अल्प विशिष्ट वेब्लेन फलन के लिए सामान्य रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

$\alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})$

जहाँ

$k$ सकारात्मक पूर्णांक है।
$\varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})$
$s_{m}$ स्ट्रिंग है जिसमें एक या अधिक कॉमा-सेपरेटेड क्रमसूचक्स होते हैं $\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}$ जहाँ $\alpha _{m,1}>0$ और प्रत्येक $\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})$ होता है।

अंतिम वेब्लेन फलन की सीमा क्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

सीमा अध्यादेशों के लिए $\alpha <SVO$ , परिमित वेब्लेन फलन के लिए सामान्य रूप में लिखा गया है:

$(\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k}))[n]=\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})[n]$ ,
$\varphi (\gamma )[n]=\left\{{\begin{array}{lcr}n\quad {\text{if}}\quad \gamma =1\\\varphi (\gamma -1)\cdot n\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a successor ordinal}}\\\varphi (\gamma [n])\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a limit ordinal}}\\\end{array}}\right.$ ,
$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=0$ और $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)$ यदि $\gamma =0$ और $\beta$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है,
$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1$ और $\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)$ यदि $\gamma$ और $\beta$ उत्तराधिकारी अध्यादेश हैं,
$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta ,z,\gamma [n])$ यदि $\gamma$ सीमा क्रमसूचक है,
$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],z,\gamma )$ यदि $\gamma =0$ और $\beta$ सीमा क्रमसूचक है,
$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1,z)$ यदि $\gamma$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और $\beta$ सीमा क्रमसूचक है।

अनंत रूप से अनेक चर

सामान्यतः, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को क्रमसूचक्स α_β के ट्रांसफिनिट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, उनमें से परिमित संख्या को त्यागकर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि क्रमसूचक्स का ऐसा क्रम उन असंख्य नियमित कार्डिनल κ से अल्प में से चयन किया जाता है, तो अनुक्रम को κ^k (क्रमिक घातांक) से अल्प एकल क्रमसूचक के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। अतः कोई फलन φ को k^κ से κ में परिभाषित कर रहा है।

परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए α क्रमसूचकों का ट्रांसफिनिट अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, जैसे कि α₀=0), और माना α[γ@0] उसी फलन को प्रदर्शित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ(α[γ@0]) को फलन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फलन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ(β) जहां β उन सभी अनुक्रमों पर होता है जो α के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर प्राप्त किया जाता है। और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (अर्थात्, βα[ζ@ι₀,ξ@ι] के साथ प्रतिस्थापित करना जिसका अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι₀ के लिए ऐसा है कि α_ι₀ गैर-शून्य है पश्चात वाले को कुछ मूल्य ζ<α_ι₀ से परिवर्तित कर दिया गया है और कि कुछ छोटे सूचकांक ι<ι₀ के लिए, मान α_ι= 0 को ξ से परिवर्तित कर दिया गया है)।

उदाहरण के लिए, यदि α=(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक हैं)।

सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फलन पर प्रारम्भ होता है (अर्थात्, जिसे नीचे से ट्रांसफ़ाइनली कई चरों के वेब्लेन फलन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक या महान वेबलेन संख्या के रूप में जाना जाता है।^[3]

मूल्य

फलन कई प्रमुख मान लेता है:

$\varphi (\omega ,0)$ , सूक्ष्मता से कई फलन प्रतीकों के साथ पुनरावर्ती पथ क्रमों के क्रम प्रकारों पर सीमित होते है। ^[4]
फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक $\Gamma _{0}$ के समान $\varphi (1,0,0)$ है।^[5]
लघु वेब्लेन क्रमसूचक $\varphi {\begin{pmatrix}1\\\omega \end{pmatrix}}$ के समान होता है।^[6]

संदर्भ

Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated, expository article (8 pages, in PostScript)
Pohlers, Wolfram (1989), Proof theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-46825-7, ISBN 978-3-540-51842-6, MR 1026933
Schütte, Kurt (1977), Proof theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299, ISBN 978-3-540-07911-8, MR 0505313
Takeuti, Gaisi (1987), Proof theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-87943-1, MR 0882549
Smorynski, C. (1982), "The varieties of arboreal experience", Math. Intelligencer, 4 (4): 182–189, doi:10.1007/BF03023553 contains an informal description of the Veblen hierarchy.
Veblen, Oswald (1908), "Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals", Transactions of the American Mathematical Society, 9 (3): 280–292, doi:10.2307/1988605, JSTOR 1988605
Miller, Larry W. (1976), "Normal Functions and Constructive Ordinal Notations", The Journal of Symbolic Logic, 41 (2): 439–459, doi:10.2307/2272243, JSTOR 2272243

उद्धरण

↑ Stephen G. Simpson, Subsystems of Second-order Arithmetic (2009, p.387)
↑ ^2.0 ^2.1 M. Rathjen, Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal, (1990, p.251). Accessed 16 August 2022.
↑ M. Rathjen, "The Art of Ordinal Analysis" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.
↑ M. Dershowitz, N. Okada, Proof Theoretic Techniques for Term Rewriting Theory (1988). p.105
↑ D. Madore, "A Zoo of Ordinals" (2017). Accessed 02 November 2022.
↑ Ranzi, Florian; Strahm, Thomas (2019). "छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के लिए एक लचीली प्रकार प्रणाली" (PDF). Archive for Mathematical Logic. 58 (5–6): 711–751. doi:10.1007/s00153-019-00658-x. S2CID 253675808.

[1] Stephen G. Simpson, Subsystems of Second-order Arithmetic (2009, p.387)

[Rathjen90-2] 2.0 ^2.1 M. Rathjen, Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal, (1990, p.251). Accessed 16 August 2022.

[3] M. Rathjen, "The Art of Ordinal Analysis" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.

[4] M. Dershowitz, N. Okada, Proof Theoretic Techniques for Term Rewriting Theory (1988). p.105

[5] D. Madore, "A Zoo of Ordinals" (2017). Accessed 02 November 2022.

[6] Ranzi, Florian; Strahm, Thomas (2019). "छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के लिए एक लचीली प्रकार प्रणाली" (PDF). Archive for Mathematical Logic. 58 (5–6): 711–751. doi:10.1007/s00153-019-00658-x. S2CID 253675808.

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 {{Short description|Mathematical function on ordinals}}
-गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन का पदानुक्रम है ([[क्रमसूचक संख्या|क्रमवाचक संख्या]] से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन) , जिसे {{harvtxt|वेबलेन |1908}} में [[ओसवाल्ड वेब्लेन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ<sub>0</sub> कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φ<sub>α</sub> β<α के लिए φ<sub>β</sub> के सामान्य [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदुओं]] की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।
+गणित में, '''वेब्लेन फलन''', सामान्य फलन का पदानुक्रम है ([[क्रमसूचक संख्या|क्रमवाचक संख्या]] से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन), जिसे {{harvtxt|वेबलेन |1908}} में [[ओसवाल्ड वेब्लेन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ<sub>0</sub> कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φ<sub>α</sub> β<α के लिए φ<sub>β</sub> के सामान्य [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदुओं]] की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।
 == वेब्लेन पदानुक्रम ==
 विशेष स्थिति में जब φ<sub>0</sub>(α) = ω<sup>α</sup> कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। फलन φ<sub>1</sub>, ε फलन के समान है: φ<sub>1</sub>(α) = ε<sub>α</sub><ref>Stephen G. Simpson, ''Subsystems of Second-order Arithmetic'' (2009, p.387)</ref> यदि <math>\alpha < \beta \,,</math> तब <math>\varphi_{\alpha}(\varphi_{\beta}(\gamma)) = \varphi_{\beta}(\gamma)</math> होता है।<ref name="Rathjen90">M. Rathjen, [https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/Ord_Notation_Weakly_Mahlo.pdf Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal], (1990, p.251). Accessed 16 August 2022.</ref> इससे और तथ्य यह है कि φ<sub>β</sub> कठोरता से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: <math>\varphi_\alpha(\beta) < \varphi_\gamma(\delta) </math> यदि और केवल यदि या तो (<math>\alpha = \gamma </math> और <math>\beta < \delta </math>) या (<math>\alpha < \gamma </math> और <math>\beta < \varphi_\gamma(\delta) </math>) या (<math>\alpha > \gamma </math> और <math>\varphi_\alpha(\beta) < \delta </math>) होता है।<ref name="Rathjen90" />
 === वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम ===
-[[cofinality]] ω के साथ  क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम  विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के पास α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के बीच  स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम ऑर्डिनल्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के तहत n की छवि α[n] द्वारा इंगित की जाएगी।
+[[cofinality|कोफिनलिटी]] ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के निकट α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के मध्य स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात रूचि के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम क्रमसूचक्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के अनुसार n की छवि α[n] द्वारा प्रदर्शित की जाएगी।
-वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकगणित # कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>\alpha = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)</math>, जहाँ k>0  प्राकृत संख्या है और पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले पद से कम या बराबर है, <math>\varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \geq \varphi_{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1}) \,,</math> और प्रत्येक <math>\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \,.</math> यदि अंतिम पद के लिए  मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम से प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>\alpha [n] = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + (\varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]) \,.</math>
+वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>\alpha = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)</math>, जहाँ k>0  प्राकृत संख्या है और पूर्व के पश्चात का प्रत्येक पद पूर्व पद से अल्प या समान है, <math>\varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \geq \varphi_{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1}) \,,</math> और प्रत्येक <math>\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \,</math>है। यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम  <math>\alpha [n] = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + (\varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]) \,</math>से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
-किसी भी β के लिए, यदि γ  सीमा है <math>\gamma < \varphi_{\beta} (\gamma) \,,</math> तो करने दें <math>\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n]) \,.</math>
-ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है <math>\varphi_0(0)</math> = ओ<sup>0</sup> = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।
-के लिए <math>\varphi_0(\gamma+1) = \omega ^{\gamma+1} = \omega^ \gamma \cdot \omega \,,</math> हम चुनते हैं <math>\varphi_0(\gamma+1) [n] = \varphi_0(\gamma) \cdot n  = \omega^{\gamma} \cdot n \,.</math>
+किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है <math>\gamma < \varphi_{\beta} (\gamma) \,,</math> तो  मान लीजिये <math>\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n]) \,</math>होता है।
-के लिए <math>\varphi_{\beta+1}(0) \,,</math> हम उपयोग करते हैं <math>\varphi_{\beta+1}(0) [0] = 0 </math> और <math>\varphi_{\beta+1}(0) [n+1] = \varphi_{\beta}(\varphi_{\beta+1}(0) [n]) \,,</math> अर्थात। 0, <math>\varphi_{\beta}(0)</math>, <math>\varphi_{\beta}(\varphi_{\beta}(0))</math>, वगैरह..
-के लिए <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)</math>, हम उपयोग करते हैं <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [0] = \varphi_{\beta+1}(\gamma)+1 </math> और <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n+1] = \varphi_{\beta} (\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n]) \,.</math>
+ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है <math>\varphi_0(0)</math> =  ω<sup>0</sup> = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।
-अब मान लीजिए कि β  सीमा है:
-यदि <math>\beta < \varphi_{\beta}(0)</math>, तो करने दें <math>\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0) \,.</math>
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-अन्यथा, छोटे अध्यादेशों के उपयोग के संदर्भ में क्रमसूचक का वर्णन नहीं किया जा सकता है <math>\varphi</math> और यह योजना उस पर लागू नहीं होती है।
+<math>\varphi_{\beta+1}(0) \,</math> के लिए हम <math>\varphi_{\beta+1}(0) [0] = 0 </math> और <math>\varphi_{\beta+1}(0) [n+1] = \varphi_{\beta}(\varphi_{\beta+1}(0) [n]) \,,</math> का उपयोग करते हैं, अर्थात। 0, <math>\varphi_{\beta}(0)</math>, <math>\varphi_{\beta}(\varphi_{\beta}(0))</math>, आदि।
+<math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)</math> के लिए, हम <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [0] = \varphi_{\beta+1}(\gamma)+1 </math> और <math>\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n+1] = \varphi_{\beta} (\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n]) \,</math>का उपयोग करते हैं।
+अब मान लीजिए कि β सीमा है:
+यदि <math>\beta < \varphi_{\beta}(0)</math>, तो मान लीजिये <math>\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0) \,</math>होता है।
+<math>\varphi_{\beta}(\gamma+1)</math> के लिए, <math>\varphi_{\beta}(\gamma+1) [n] = \varphi_{\beta [n]}(\varphi_{\beta}(\gamma)+1) \,</math> प्रयोग करें।
+अन्यथा, छोटे अध्यादेशों के उपयोग के संदर्भ में क्रमसूचक का वर्णन नहीं किया जा सकता है <math>\varphi</math> और यह योजना उस पर प्रस्तावित नहीं होती है।
 === Γ फलन ===
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 === अंत में कई चर ===
-तर्कों की  परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन) के वेब्लेन फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फ़ंक्शन दें <math>\varphi(\alpha, \gamma)</math> होना <math>\varphi_\alpha(\gamma)</math> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।
+तर्कों की परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फलन) के वेब्लेन फलन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फलन दें <math>\varphi(\alpha, \gamma)</math> मान लीजिये <math>\varphi_\alpha(\gamma)</math> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।
+मान लीजिये <math>z</math>  रिक्त स्ट्रिंग या एक से अधिक अल्पविराम से भिन्न किए गए शून्य से युक्त  स्ट्रिंग हो <math>0,0,...,0</math> और <math>s</math>  रिक्त स्ट्रिंग या एक से अधिक कॉमा-सेपरेटेड क्रमसूचक्स से युक्त स्ट्रिंग हो <math>\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}</math> साथ <math>\alpha _{1}>0</math> है बाइनरी फलन <math>\varphi (\beta ,\gamma )</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> जहां दोनों <math>s</math> और <math>z</math> रिक्त स्ट्रिंग हैं।
-होने देना <math>z</math>  खाली स्ट्रिंग या  या  से अधिक अल्पविराम से अलग किए गए शून्य से युक्त  स्ट्रिंग हो <math>0,0,...,0</math> और <math>s</math>  खाली स्ट्रिंग या  या  से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स से युक्त स्ट्रिंग हो <math>\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}</math> साथ <math>\alpha _{1}>0</math>. बाइनरी फ़ंक्शन <math>\varphi (\beta ,\gamma )</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> जहां दोनों <math>s</math> और <math>z</math> खाली तार हैं।
 अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * <math>\varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }</math>
 * <math>\varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )</math>
-* यदि <math>\beta >0</math>, तब <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> दर्शाता है <math>(1+\gamma )</math>कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु <math>\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)</math> प्रत्येक के लिए <math>\delta <\beta</math>
+* यदि <math>\beta >0</math>, तब <math>\varphi (s,\beta ,z,\gamma )</math> दर्शाता है <math>(1+\gamma )</math> कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु <math>\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)</math> प्रत्येक के लिए <math>\delta <\beta</math> होता है।
-उदाहरण के लिए, <math>\varphi(1,0,\gamma)</math> है <math>(1+\gamma)</math>- कार्यों का निश्चित बिंदु <math>\xi\mapsto\varphi(\xi,0)</math>, अर्थात् <math>\Gamma_\gamma</math>; तब <math>\varphi(1,1,\gamma)</math> उस फ़ंक्शन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात <math>\xi\mapsto\Gamma_\xi</math> समारोह; और <math>\varphi(2,0,\gamma)</math> सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है <math>\xi\mapsto\varphi(1,\xi,0)</math>. सामान्यीकृत वेब्लेन फ़ंक्शंस का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (यानी, यदि  वेरिएबल को अलग-अलग बनाया जाता है और बाद के सभी वेरिएबल्स को लगातार शून्य के बराबर रखा जाता है)।
+उदाहरण के लिए, <math>\varphi(1,0,\gamma)</math> है <math>(1+\gamma)</math>- कार्यों का निश्चित बिंदु <math>\xi\mapsto\varphi(\xi,0)</math> है, अर्थात् <math>\Gamma_\gamma</math>; तब <math>\varphi(1,1,\gamma)</math> उस फलन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात <math>\xi\mapsto\Gamma_\xi</math> फलन; और <math>\varphi(2,0,\gamma)</math> सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है <math>\xi\mapsto\varphi(1,\xi,0)</math> सामान्यीकृत वेब्लेन फलन का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (अर्थात, यदि वेरिएबल को भिन्न-भिन्न बनाया जाता है और पश्चात के सभी वेरिएबल्स को निरंतर शून्य के समान रखा जाता है)।
-क्रमसूचक <math>\varphi(1,0,0,0)</math> कभी-कभी [[एकरमैन ऑर्डिनल]] के रूप में जाना जाता है। की सीमा <math>\varphi(1,0,...,0)</math> जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है छोटा वेब्लेन ऑर्डिनल।
+क्रमसूचक <math>\varphi(1,0,0,0)</math> कभी-कभी [[एकरमैन ऑर्डिनल|एकरमैन क्रमसूचक]] के रूप में जाना जाता है। <math>\varphi(1,0,...,0)</math> की सीमा जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है।
-प्रत्येक गैर-शून्य क्रमसूचक <math>\alpha</math> छोटे वेब्लेन ऑर्डिनल (एसवीओ) से कम विशिष्ट वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:
+प्रत्येक गैर-शून्य क्रमसूचक <math>\alpha</math> छोटे वेब्लेन क्रमसूचक (एसवीओ) से अल्प विशिष्ट वेब्लेन फलन के लिए सामान्य रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:
 <math>\alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})</math>
-कहाँ
-* <math>k</math>  सकारात्मक पूर्णांक है
+जहाँ
+* <math>k</math>  सकारात्मक पूर्णांक है।
 * <math>\varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})</math>
-* <math>s_{m}</math>  स्ट्रिंग है जिसमें  या  से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स होते हैं <math>\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}</math> कहाँ <math>\alpha _{m,1}>0</math> और प्रत्येक <math>\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})</math>
+* <math>s_{m}</math> स्ट्रिंग है जिसमें एक या अधिक कॉमा-सेपरेटेड क्रमसूचक्स होते हैं <math>\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}</math> जहाँ <math>\alpha _{m,1}>0</math> और प्रत्येक <math>\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})</math> होता है।
-=== अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन === की सीमा क्रम के लिए मौलिक अनुक्रम
-सीमा अध्यादेशों के लिए <math>\alpha<SVO</math>, परिमित वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में लिखा गया है:
+=== अंतिम वेब्लेन फलन की सीमा क्रम के लिए मौलिक अनुक्रम ===
+सीमा अध्यादेशों के लिए <math>\alpha<SVO</math>, परिमित वेब्लेन फलन के लिए सामान्य रूप में लिखा गया है:
 * <math>(\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k))[n]=\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k)[n]</math>,
 * <math>\varphi(\gamma)[n]=\left\{\begin{array}{lcr}
@@ Line 68: / Line 74: @@
 * <math>\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1,z)</math> यदि <math>\gamma</math>  उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और <math>\beta</math>  सीमा क्रमसूचक है।
-=== ट्रांसफिनिटली कई वेरिएबल्स ===
+=== अनंत रूप से अनेक चर ===
-अधिक आम तौर पर, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को ऑर्डिनल्स α के ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है<sub>β</sub>, बशर्ते कि उनमें से  परिमित संख्या को छोड़कर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि ऑर्डिनल्स का ऐसा क्रम उन बेशुमार [[नियमित कार्डिनल]] κ से कम में से चुना जाता है, तो अनुक्रम को κ से कम एकल ऑर्डिनल के रूप में एन्कोड किया जा सकता है।<sup>k</sup> (क्रमिक घातांक)। अतः कोई k से  फलन φ को परिभाषित कर रहा है<sup>κ</sup> में κ.
+सामान्यतः, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को क्रमसूचक्स α<sub>β</sub> के ट्रांसफिनिट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, उनमें से परिमित संख्या को त्यागकर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि क्रमसूचक्स का ऐसा क्रम उन असंख्य [[नियमित कार्डिनल]] κ से अल्प में से चयन किया जाता है, तो अनुक्रम को κ<sup>k</sup> (क्रमिक घातांक) से अल्प एकल क्रमसूचक के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। अतः कोई फलन φ को k<sup>κ</sup> से κ में परिभाषित कर रहा है।
-परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए <u>α</u> क्रमसूचकों का  पार परिमित अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला  क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, ऐसा कि α<sub>0</sub>=0), और माना <u>α</u>[γ@0] उसी फ़ंक्शन को इंगित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ(<u>α</u>[γ@0]) को फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फ़ंक्शन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ(<u>β</u>) जहां <u>β </u> उन सभी अनुक्रमों पर है जो <u>α</u> के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (यानी, <u>β</u>) के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। =<यू>α</यू>[ζ@ι<sub>0</sub>, ξ@ι] का अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι के लिए<sub>0</sub> ऐसा है कि α<sub>ι<sub>0</sub></sub> अशून्य है बाद वाले को कुछ मान ζ<α से बदल दिया गया है उप>मैं<sub>0</sub> और वह कुछ छोटे सूचकांक ι<ι के लिए उप>0</उप>, मान α<sub>ι</sub>= 0 को ξ से बदल दिया गया है)।
+परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए <u>α</u> क्रमसूचकों का ट्रांसफिनिट अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, जैसे कि α<sub>0</sub>=0), और माना <u>α</u>[γ@0] उसी फलन को प्रदर्शित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ(<u>α</u>[γ@0]) को फलन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फलन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ(<u>β</u>) जहां <u>β </u> उन सभी अनुक्रमों पर होता है जो <u>α</u> के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर प्राप्त किया जाता है। और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (अर्थात्, <u>βα[ζ@ι<sub>0</sub>,ξ@ι]</u> के साथ प्रतिस्थापित करना जिसका अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι<sub>0</sub> के लिए ऐसा है कि α<sub>ι<sub>0</sub></sub> गैर-शून्य है पश्चात वाले को कुछ मूल्य ζ<α<sub>ι</sub><sub>0</sub> से परिवर्तित कर दिया गया है और कि कुछ छोटे सूचकांक ι<ι<sub>0</sub> के लिए, मान α<sub>ι</sub>= 0 को ξ से परिवर्तित कर दिया गया है)।
-उदाहरण के लिए, यदि <u>α</u>=(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक)।
+उदाहरण के लिए, यदि <u>α</u>=(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक हैं)।
-सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फ़ंक्शन पर लागू होता है (यानी, जिसे नीचे से कई चरों के वेब्लेन फ़ंक्शन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। बड़ा Veblen क्रमसूचक, या महान Veblen संख्या।<ref>M. Rathjen, "[https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/ICMend.pdf The Art of Ordinal Analysis]" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.</ref>
+सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फलन पर प्रारम्भ होता है (अर्थात्, जिसे नीचे से ट्रांसफ़ाइनली कई चरों के वेब्लेन फलन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक या महान वेबलेन संख्या के रूप में जाना जाता है।<ref>M. Rathjen, "[https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/ICMend.pdf The Art of Ordinal Analysis]" (2006), appearing in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2006.</ref>
 == मूल्य ==
 फलन कई प्रमुख मान लेता है:
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 ===उद्धरण===
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