वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी: Difference between revisions

Latest revision as of 16:59, 29 May 2023

भौतिक विज्ञान में, जॉन वॉन न्यूमैन के नाम पर नामित वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी से क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी तक गिब्स एंट्रॉपी की अवधारणा का विस्तार है। घनत्व आव्यूह $ρ$ द्वारा वर्णित क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली के लिए , वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित की गई है।^[1]

S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),

जहाँ $\operatorname {tr}$ रैखिक बीजगणित में ट्रेस तथा ln आव्यूह लघुगणक को दर्शाता है। यदि घनत्व आव्यूह $ρ$ , इसके ईगेनवेक्टर्स $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ के आधार पर निम्नलिखित प्रकार से लिखा गया है

\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,

तो वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी मात्र $S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}$ है। ^[1]:

इस रूप में, एस को सूचना सिद्धांत शैनन एंट्रॉपी के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।^[1]

क्वांटम सूचना सिद्धांत के ढांचे में वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी का उपयोग विभिन्न रूपों जैसे सशर्त एन्ट्रापी, सापेक्ष एन्ट्रापी, आदि में भी किया जाता है जिससे जटिल की एन्ट्रापी को चिह्नित किया जा सके।^[2]

पृष्ठभूमि

जॉन वॉन न्यूमैन ने अपने 1932 के कार्य क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय आधार में क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक कठोर गणितीय ढाँचे की स्थापना की।^[3] इसमें, उन्होंने माप का एक सिद्धांत प्रदान किया, जहां तरंग-फलन क्षय की सामान्य धारणा को एक अपरिवर्तनीय प्रक्रिया तथाकथित वॉन न्यूमैन या प्रक्षेपी माप के रूप में वर्णित किया गया है।

घनत्व आव्यूह को वॉन न्यूमैन और लेव लैंडौ द्वारा विभिन्न प्रेरणाओं के साथ प्रस्तुत किया गया था। लन्दौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक स्थिति सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी।^[4] दूसरी ओर, वॉन न्यूमैन ने क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए घनत्व आव्यूह का प्रारंभ किया।

घनत्व आव्यूह औपचारिकता द्वारा विकसित हुई, पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी के उपकरण को क्वांटम क्षेत्र तक विस्तारित किया गया। पारंपरिक ढांचे में, तंत्र के संभाव्यता वितरण और विभाजन फलन हमें सभी संभावित ऊष्मागतिकी मात्राओं की गणना करने की अनुमति देता है। वॉन न्यूमैन ने एक जटिल हिल्बर्ट समष्टि में क्वांटम स्थितियों और संक्रियाओ के संदर्भ में समान भूमिका निभाने के लिए घनत्व आव्यूह को प्रारंभ किया। सांख्यिकीय घनत्व आव्यूह संक्रिया का ज्ञान हमें वैचारिक रूप से समान, परंतु गणितीय रूप से भिन्न विधि से सभी औसत क्वांटम संस्थाओं की गणना करने की अनुमति देता है।

मान लीजिए कि हमारे पास तरंग फलनों का एक समुच्चय |Ψ〉है जो क्वांटम संख्या एन₁, एन₂, ..., एन_N के समुच्चय पर प्राचलिक रूप से निर्भर करता है। हमारे पास वह प्राकृतिक परिवर्तक है जो निश्चित समुच्चय के एक विशेष तरंगसूत्र का प्रामाणिक विशेषतांश, वास्तविक तरंगसूत्र के रूप में प्रदर्शित होता है। मान लीजिए हम इस प्रामाणिक विशेषतांश के वर्ग को p(n1, n2, ..., nN) से चिह्नित करते है। हमारा लक्ष्य इस मात्रा p को तारकीय स्थिति-स्थान में पारंपरिक घनत्व फलन में परिवर्तित करना है। हमें यह सत्यापित करना होगा कि पी पारंपरिक सीमा में घनत्व फलन में परिवर्तित होता है तथा इसमें ऊर्जापंथी गुण होते हैं। यह जाँचने के उपरांत की p(n₁, एन₂, ..., एन_N) गति का एक स्थिरांक है, प्रायिकता p(n₁, एन₂, ..., एन_N) p को केवल ऊर्जा का फलन बनाता है।

इस प्रक्रिया के बाद, एक रूप की तलाश करते समय अंततः घनत्व आव्यूह औपचारिकता पर पहुंच जाता है जहां पी (एन₁, एन₂, ..., एन_N) प्रयुक्त प्रतिनिधित्व के संबंध में अपरिवर्तनीय है। जिस रूप में यह लिखा गया है, यह केवल उन मात्राओं के लिए सही अपेक्षित मान देगा जो क्वांटम संख्या एन₁, एन₂, ..., एन_N. के संबंध में विकर्ण हैं।

संक्रियाों के अपेक्षा अन्य मान जो विकर्ण नहीं हैं, उनमें क्वांटम आयाम के चरण सम्मिलित हैं। मान लीजिए कि हम क्वांटम संख्या एन₁, एन₂, ..., एन_N कोएकल सूची i या j में कूटबद्ध करते हैं। तब हमारे तरंग फलन का रूप निम्नलिखित होता है

\left|\Psi \right\rangle =\sum _{i}a_{i}\left|\psi _{i}\right\rangle .

जो किसी संक्रिया बी का अपेक्षित मान है जो इन तरंग कार्यों में विकर्ण नहीं है, इसलिए

\left\langle B\right\rangle =\sum _{i,j}a_{i}^{*}a_{j}\left\langle i\right|B\left|j\right\rangle .

वह भूमिका $\left|a_{i}\right|^{2}$ जो मूल रूप से मात्राओं के लिए आरक्षित थी इस प्रकार तंत्र एस के घनत्व आव्यूह द्वारा प्रदर्शित की जाती है।

\left\langle j\right|\rho \left|i\right\rangle =a_{j}a_{i}^{*}.

इसलिए, 〈बी

\left\langle B\right\rangle =\operatorname {tr} (\rho B).

द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

उपरोक्त शब्दों की अविषमता को आव्यूह सिद्धांत से वर्णित किया जाता है। त्रिशीर्ष संख्यात्मक परिवर्तनों के अन्तर्गत गुणांक अपरिवर्ती होता है, और विशेष रूप से ये प्रमाण-मान मात्रिका (ρ) और बी (B) को किसी भी सुविधाजनक आधार में, सामान्यतः ईगेनवेक्टर के आधार में परिवर्तित किया जा सकता है। आव्यूह उत्पाद के चक्रीय क्रमपरिवर्तन से, यह देखा जा सकता है कि एक इकाई आव्यूह उत्पन्न होता है और इसलिए आधार में परिवर्तन से ट्रेस प्रभावित नहीं होता है। एक ऐसे गणितीय ढांचे का वर्णन किया गया था जहां घनत्व संक्रिया के उत्पाद का पता लगाने के द्वारा आव्यूहों द्वारा वर्णित क्वांटम संक्रियाों के अपेक्षा मान ${\hat {\rho }}$ और एक संक्रिया ${\hat {B}}$ को प्राप्त किया जाता है। यहां मात्रिका सूचनात्मक यांत्रिकी की सरचना में है, यद्यपि यह अन्तिम रूप में प्रायः अप्रतिसंक्षेप्त क्वांटम प्रणालियों के लिए भी लागू होता है, जहां प्रणाली की स्थिति एक उपयुक्त स्थिति द्वारा वर्णित नहीं की जा सकती है, बल्कि ऊपर दिए गए आकार ${\hat {\rho }}$ के रूप में एक सांख्यिक सक्रिया के रूप में वर्णित की जाती है। उपरोक्त प्रपत्र का। गणितीय रूप से, ${\hat {\rho }}$ एक सकारात्मक-आधारित हर्मिटियन आव्यूह है जिसकी अविषमता 1 है।

परिभाषा

घनत्व आव्यूह ρ को देखते हुए, वॉन न्यूमैन ने एन्ट्रापी को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया^[5]^[6]

S(\rho )=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),

जो गिब्स एंट्रॉपी (एक कारक केबी तक) और क्वांटम परिप्रेक्ष्य में शैनन एंट्रॉपी का उचित विस्तार है। वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी को तब निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है

S(\rho )=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.

चूंकि, शुद्ध अवस्था के लिए, घनत्व आव्यूह इडेम्पोटेन्ट आव्यूह है, ρ = ρ² के लिए एन्ट्रापी S(ρ) लुप्त हो जाता है। इस प्रकार, यदि तंत्र परिमित है, तो एन्ट्रापी S(ρ) शुद्ध अवस्था से तंत्र के प्रस्थान की मात्रा निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी दिए गए परिमित प्रणाली का वर्णन करते हुए स्थिति के मिश्रण की श्रेणी को संहिताबद्ध करता है।

मापन एक क्वांटम प्रणाली को गैर-हस्तक्षेप और घनत्व आव्यूह एंट्रॉपी में परिवर्तित कर देता है; इसलिए, उदाहरण के लिए, एक शुद्ध अवस्था की लुप्त एन्ट्रापी $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ , एक घनत्व आव्यूह के अनुरूप

\rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}

$S=\ln 2\approx 0.69$ तक बढ़ जाती है तथा माप परिणाम मिश्रण के लिए निम्नलिखित हों जाती है।

\rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

क्योंकि क्वांटम हस्तक्षेप की जानकारी को लुप्त कर दिया जाता है।

गुण

वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी के कुछ गुण:

$S (ρ)$ शून्य है यदि और केवल यदि $ρ$ शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है।
$S (ρ)$ मिश्रित क्वांटम स्थिति के लिए अधिकतम और $\ln N$ के समान है तथा $N$ हिल्बर्ट समष्टि का आयाम है।
$S (ρ)$ के आधार पर परिवर्तन के अंतर्गत $ρ$ अपरिवर्तनीय है, वह है।
$S (ρ)$ अवतल है, अर्थात धनात्मक संख्याओं का संग्रह $λ i$ दिया गया है जो $\Sigma _{i}\lambda _{i}=1$ और घनत्व संक्रिया $ρ i$ का योग है।

S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\geq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i}).

$S (ρ)$ बाध्यता को संतुष्ट करता है

S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\leq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.

जहां समानता प्राप्त की जाती है यदि

ρ i

ओर्थोगोनल समर्थन है, और पहले की तरह

ρ i

घनत्व संचालक हैं और

λ i

सकारात्मक संख्याओं का एक संग्रह है जो

\Sigma _{i}\lambda _{i}=1

एकता के समान है।

$S (ρ)$ स्वतंत्र प्रणालियों के लिए योगात्मक है। स्वतंत्र तंत्र ए और बी का वर्णन करते हुए दो घनत्व आव्यूह $ρ A, ρ B$ दिए गए हैं। इस प्रकार

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

.

$S (ρ)$ किसी भी तीन प्रणालियों ए, बी, और सी के लिए दृढ़ता से सहायक है:

S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).

इसका तात्पर्य है की

S (ρ)

उप-योगात्मक है:

S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{C}).

नीचे, उप-विषमता की अवधारणा पर चर्चा की गई है, इसके उपरांत उपयुक्त उप-विषमता के लिए इसका सामान्यीकरण किया गया है।

उपविभाजन

यदि $ρ A, ρ B$ सामान्य स्थिति के कम घनत्व वाले आव्यूह $ρ AB$ हैं , तब

\left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).

इस दाहिने हाथ की असमानता को उप-विषमता के रूप में जाना जाता है। दो असमानताओं को एक साथ कभी-कभी त्रिभुज असमानता के रूप में जाना जाता है। इन्हे 1970 में फुजीहिरो अर्की और इलियट एच. लीब द्वारा सिद्ध किया गया था।^[7] जबकि शैनन के सिद्धांत में एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी कभी भी इसके किसी भी भाग की एन्ट्रापी से कम नहीं हो सकती, क्वांटम सिद्धांत में यह स्थिति नहीं है, अर्थात यह संभव है कि $S (ρ AB) = 0$ , जबकि $S (ρ A) = S (ρ B) > 0$ .

सरल रूप में कहें तों इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: क्वांटम यांत्रिकी में, संयुक्त प्रणाली की एन्ट्रापी उसके घटकों की एन्ट्रापी के योग से कम हो सकती है क्योंकि घटक क्वांटम जटिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, जैसा कि स्पष्ट रूप से देखा गया है, दो स्पिन-½s की बेल स्थिति को निम्नलिखित रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है।

\left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle ,

शून्य एन्ट्रापी के साथ एक शुद्ध अवस्था है, परंतु जब इसे क्वांटम जटिल आव्यूह में व्यक्तिगत रूप से प्रदर्शित किया जाता है तों प्रत्येक स्पिन में अधिकतम एन्ट्रापी होती है ।^[8] एक स्पिन में एंट्रॉपी को दूसरे स्पिन की एंट्रॉपी से सहसंबंधित करके रद्द किया जा सकता है। बाएं हाथ की असमानता को सामान्यतः यह कहते हुए व्याख्या किया जा सकता है कि एंट्रॉपी को समान मात्रा में एंट्रॉपी द्वारा ही रद्द किया जा सकता है।

यदि तंत्र $A$ और तंत्र $B$ में एंट्रॉपी की भिन्न-भिन्न मात्रा होती है तों छोटी एन्ट्रॉपी बड़ी एन्ट्रॉपी को केवल आंशिक रूप से रद्द कर सकती है, और कुछ एन्ट्रापी शेष रह जाती है। इसी प्रकार, दाहिने हाथ की असमानता की व्याख्या यह कहते हुए की जा सकती है कि जब समग्र प्रणाली के घटक असंबद्ध होते हैं तों इसकी एन्ट्रापी अधिकतम होती है , इस स्थिति में कुल एन्ट्रापी केवल उप-एन्ट्रॉपी का योग होती है। यह हिल्बर्ट समष्टि इकाई के अतिरिक्त चरण समष्टि सूत्रीकरण में अधिक सहज हो सकता है, जहां वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी मात्रा के अपेक्षित मान को घटा देता है।^[6] इस सामान्यीकरण उपसमुच्चय परिवर्तन तक, एंट्रॉपी इसकी पारंपरिक सीमा के द्वारा प्रदर्शित होती है।

मजबूत उप-विषमता

वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी क्वांटम एंट्रॉपी की शक्तिशाली उप-विषमता भी है। तीन हिल्बर्ट रिक्त स्थान दिए गए हैं, ए, बी, सी,

S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).

यह अत्यधिक कठिन प्रमेय है और इसे सबसे पहले जैक कीफर द्वारा 1959 में ^[9]^[10] और 1973 में स्वतंत्र रूप से इलियट एच. लीब और मैरी बेथ रुस्काई द्वारा,^[11] इलियट एच. लीब की आव्यूह असमानता का उपयोग किया गया। ^[12] उपरोक्त त्रिभुज असमानता के बाईं ओर स्थापित करने वाली प्रमाण तकनीक का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि शक्तिशाली उप-विषमता असमानता निम्नलिखित असमानता के समान है।

S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})

जहा $ρ AB$ , आदि घनत्व आव्यूह $ρ ABC$ के कम घनत्व वाले आव्यूह है। यदि हम इस असमानता के बाईं ओर सामान्य उप-विषमता को लागू करते हैं, और ए, बी, सी के सभी क्रमपरिवर्तनों पर विचार करते हैं, तो हमें त्रिभुज असमानता $ρ ABC$ प्राप्त होती है। तीन संख्याओं में से प्रत्येक $S (ρ AB), S (ρ BC), S (ρ AC)$ अन्य दो के योग से कम या उसके समान है।

यह भी देखें

संदर्भ

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[bengtsson301-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Bengtsson, Ingemar; Zyczkowski, Karol. Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (1st ed.). p. 301.

[2] Nielsen, Michael A. and Isaac Chuang (2001). क्वांटम संगणना और क्वांटम जानकारी (Repr. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. p. 700. ISBN 978-0-521-63503-5.

[3] Von Neumann, John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-59207-5.; Von Neumann, John (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02893-4.

[4] Landau, L. (1927). "तरंग यांत्रिकी में अवमंदन की समस्या". Zeitschrift für Physik. 45 (5–6): 430–464. Bibcode:1927ZPhy...45..430L. doi:10.1007/BF01343064. S2CID 125732617.

[5] Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement, by Ingemar Bengtsson, Karol Życzkowski, p301

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[11] Lieb, Elliott H.; Ruskai, Mary Beth (1973). "Proof of the Strong Subadditivity of Quantum-Mechanical Entropy". Journal of Mathematical Physics. 14 (12): 1938–1941. Bibcode:1973JMP....14.1938L. doi:10.1063/1.1666274.

[12] Lieb, Elliott H. (1973). "Convex Trace Functions and the Wigner–Yanase–Dyson Conjecture". Advances in Mathematics. 11 (3): 267–288. doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.

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+[[भौतिक विज्ञान]] में, [[जॉन वॉन न्यूमैन]] के नाम पर नामित वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी पारंपरिक [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] से [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]] तक [[गिब्स एंट्रॉपी]] की अवधारणा का विस्तार है। [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] {{mvar|ρ}} द्वारा वर्णित क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली के लिए , वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित की गई है।<ref name="bengtsson301">{{cite book|last1=Bengtsson|first1=Ingemar|last2=Zyczkowski|first2=Karol|title=Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement|page=301|edition=1st}}</ref>
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-क्वांटम सूचना सिद्धांत के ढांचे में वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी का उपयोग विभिन्न रूपों ([[सशर्त एन्ट्रापी]], [[सापेक्ष एन्ट्रापी]], आदि) में भी किया जाता है ताकि [[उलझाव की एन्ट्रापी]] को चिह्नित किया जा सके।<ref>{{cite book|last=Nielsen|first=Michael A. and Isaac Chuang|title=क्वांटम संगणना और क्वांटम जानकारी|year=2001|publisher=Cambridge Univ. Press|location=Cambridge [u.a.]|isbn=978-0-521-63503-5|pages=700|edition=Repr.}}</ref>
 == पृष्ठभूमि ==
-{{multiple issues|section=Y|
+जॉन वॉन न्यूमैन ने अपने 1932 के कार्य [[क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव|क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय आधार]] में क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक कठोर गणितीय ढाँचे की स्थापना की।<ref>{{Cite book |last=Von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann |title=[[Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik]] |year=1932 |publisher=Springer |location=Berlin |isbn=3-540-59207-5 }};  {{Cite book |last=Von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann |title=[[Mathematical Foundations of Quantum Mechanics]] | year=1955|publisher=Princeton University Press | isbn= 978-0-691-02893-4 }}</ref> इसमें, उन्होंने माप का एक सिद्धांत प्रदान किया, जहां तरंग-फलन क्षय की सामान्य धारणा को एक अपरिवर्तनीय प्रक्रिया तथाकथित वॉन न्यूमैन या प्रक्षेपी माप के रूप में वर्णित किया गया है।
-{{primary sources|section|date=October 2021}}
-{{refimprove section|date=October 2021}}
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-जॉन वॉन न्यूमैन ने अपने 1932 के कार्य [[क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव]] में क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक कठोर गणितीय ढाँचे की स्थापना की।<ref>{{Cite book |last=Von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann |title=[[Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik]] |year=1932 |publisher=Springer |location=Berlin |isbn=3-540-59207-5 }};  {{Cite book |last=Von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann |title=[[Mathematical Foundations of Quantum Mechanics]] | year=1955|publisher=Princeton University Press | isbn= 978-0-691-02893-4 }}</ref> इसमें, उन्होंने माप का एक सिद्धांत प्रदान किया, जहां लहर-फ़ंक्शन पतन की सामान्य धारणा को एक अपरिवर्तनीय प्रक्रिया (तथाकथित वॉन न्यूमैन या प्रक्षेपी माप) के रूप में वर्णित किया गया है।
-घनत्व मैट्रिक्स को वॉन न्यूमैन और [[लेव लैंडौ]] द्वारा विभिन्न प्रेरणाओं के साथ पेश किया गया था। लन्दौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक राज्य सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी।<ref>{{Cite journal | last1 = Landau | first1 = L. | title = तरंग यांत्रिकी में अवमंदन की समस्या| doi = 10.1007/BF01343064 | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 45 | issue = 5–6 | pages = 430–464 | year = 1927 |bibcode = 1927ZPhy...45..430L | s2cid = 125732617 }}</ref> दूसरी ओर, वॉन न्यूमैन ने क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए घनत्व मैट्रिक्स की शुरुआत की।
+घनत्व आव्यूह को वॉन न्यूमैन और [[लेव लैंडौ]] द्वारा विभिन्न प्रेरणाओं के साथ प्रस्तुत किया गया था। लन्दौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक स्थिति सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी।<ref>{{Cite journal | last1 = Landau | first1 = L. | title = तरंग यांत्रिकी में अवमंदन की समस्या| doi = 10.1007/BF01343064 | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 45 | issue = 5–6 | pages = 430–464 | year = 1927 |bibcode = 1927ZPhy...45..430L | s2cid = 125732617 }}</ref> दूसरी ओर, वॉन न्यूमैन ने क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए घनत्व आव्यूह का प्रारंभ किया।
-घनत्व मैट्रिक्स औपचारिकता, इस प्रकार विकसित हुई, शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के उपकरण को क्वांटम डोमेन तक बढ़ाया। शास्त्रीय ढांचे में, सिस्टम के संभाव्यता वितरण और [[विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] हमें सभी संभावित थर्मोडायनामिक मात्राओं की गणना करने की अनुमति देता है। वॉन न्यूमैन ने एक जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष में क्वांटम राज्यों और ऑपरेटरों के संदर्भ में समान भूमिका निभाने के लिए घनत्व मैट्रिक्स की शुरुआत की। सांख्यिकीय घनत्व मैट्रिक्स ऑपरेटर का ज्ञान हमें वैचारिक रूप से समान, लेकिन गणितीय रूप से भिन्न तरीके से सभी औसत क्वांटम संस्थाओं की गणना करने की अनुमति देगा।
+घनत्व आव्यूह औपचारिकता द्वारा विकसित हुई, पारंपरिक सांख्यिकीय यांत्रिकी के उपकरण को क्वांटम क्षेत्र तक विस्तारित किया गया। पारंपरिक ढांचे में, तंत्र के संभाव्यता वितरण और [[विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|विभाजन फलन]] हमें सभी संभावित ऊष्मागतिकी मात्राओं की गणना करने की अनुमति देता है। वॉन न्यूमैन ने एक जटिल हिल्बर्ट समष्टि में क्वांटम स्थितियों और संक्रियाओ के संदर्भ में समान भूमिका निभाने के लिए घनत्व आव्यूह को प्रारंभ किया। सांख्यिकीय घनत्व आव्यूह संक्रिया का ज्ञान हमें वैचारिक रूप से समान, परंतु गणितीय रूप से भिन्न विधि से सभी औसत क्वांटम संस्थाओं की गणना करने की अनुमति देता है।
-मान लें कि हमारे पास तरंग कार्यों का एक सेट है |Ψ〉 जो क्वांटम संख्या n के सेट पर पैरामीट्रिक रूप से निर्भर करता है<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>. हमारे पास जो प्राकृतिक चर है वह आयाम है जिसके साथ मूल सेट का एक विशेष तरंग प्रणाली के वास्तविक तरंग समारोह में भाग लेता है। आइए हम इस आयाम के वर्ग को p(n<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>). लक्ष्य इस मात्रा p को फेज स्पेस में क्लासिकल डेंसिटी फंक्शन में बदलना है। हमें यह सत्यापित करना होगा कि पी शास्त्रीय सीमा में घनत्व समारोह में चला जाता है, और इसमें [[एर्गोडिक]] गुण होते हैं। जाँचने के बाद p(n<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>) गति का एक स्थिरांक है, प्रायिकता p(n<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>) p को केवल ऊर्जा का फलन बनाता है।
+मान लीजिए कि हमारे पास तरंग फलनों का एक समुच्चय |''Ψ''〉है जो क्वांटम संख्या एन<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub> के समुच्चय पर प्राचलिक रूप से निर्भर करता है। हमारे पास वह प्राकृतिक परिवर्तक है जो निश्चित समुच्चय के एक विशेष तरंगसूत्र का प्रामाणिक विशेषतांश, वास्तविक तरंगसूत्र के रूप में प्रदर्शित होता है। मान लीजिए हम इस प्रामाणिक विशेषतांश के वर्ग को p(n1, n2, ..., nN) से चिह्नित करते है। हमारा लक्ष्य इस मात्रा p को तारकीय स्थिति-स्थान में पारंपरिक घनत्व फलन में परिवर्तित करना है। हमें यह सत्यापित करना होगा कि पी पारंपरिक सीमा में घनत्व फलन में परिवर्तित होता है तथा इसमें [[एर्गोडिक|ऊर्जापंथी]] गुण होते हैं। यह जाँचने के उपरांत की p(n<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>) गति का एक स्थिरांक है, प्रायिकता p(n<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>) p को केवल ऊर्जा का फलन बनाता है।
-इस प्रक्रिया के बाद, एक फॉर्म की तलाश करते समय अंततः घनत्व मैट्रिक्स औपचारिकता पर पहुंच जाता है जहां पी (एन<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>) प्रयुक्त प्रतिनिधित्व के संबंध में अपरिवर्तनीय है। जिस रूप में यह लिखा गया है, यह केवल उन मात्राओं के लिए सही अपेक्षा मान देगा जो क्वांटम संख्या n के संबंध में विकर्ण हैं<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>.
+इस प्रक्रिया के बाद, एक रूप की तलाश करते समय अंततः घनत्व आव्यूह औपचारिकता पर पहुंच जाता है जहां पी (एन<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>) प्रयुक्त प्रतिनिधित्व के संबंध में अपरिवर्तनीय है। जिस रूप में यह लिखा गया है, यह केवल उन मात्राओं के लिए सही अपेक्षित मान देगा जो क्वांटम संख्या एन<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>. के संबंध में विकर्ण हैं।
-ऑपरेटरों के अपेक्षा मूल्य जो विकर्ण नहीं हैं, उनमें क्वांटम आयाम के चरण शामिल हैं। मान लीजिए कि हम क्वांटम संख्या n को एनकोड करते हैं<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub> सिंगल इंडेक्स i या j में। तब हमारे वेव फंक्शन का रूप होता है
+संक्रियाों के अपेक्षा अन्य मान जो विकर्ण नहीं हैं, उनमें क्वांटम आयाम के चरण सम्मिलित हैं। मान लीजिए कि हम क्वांटम संख्या एन<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub> कोएकल सूची i या j में कूटबद्ध करते हैं। तब हमारे तरंग फलन का रूप निम्नलिखित होता है
 :<math> \left| \Psi \right\rangle = \sum_i a_i \left| \psi_i \right\rangle . </math>
-एक ऑपरेटर बी का अपेक्षित मूल्य जो इन तरंग कार्यों में विकर्ण नहीं है, इसलिए
+जो किसी संक्रिया बी का अपेक्षित मान है जो इन तरंग कार्यों में विकर्ण नहीं है, इसलिए
 :<math> \left\langle B \right\rangle = \sum_{i,j} a_i^{*}a_j \left\langle i \right| B \left| j \right\rangle .</math>
-वह भूमिका जो मूल रूप से मात्राओं के लिए आरक्षित थी <math> \left| a_i \right| ^2</math> इस प्रकार सिस्टम एस के घनत्व मैट्रिक्स द्वारा लिया जाता है।
+वह भूमिका <math> \left| a_i \right| ^2</math> जो मूल रूप से मात्राओं के लिए आरक्षित थी  इस प्रकार तंत्र एस के घनत्व आव्यूह द्वारा प्रदर्शित की जाती है।
 :<math> \left\langle j \right| \rho \left| i \right\rangle = a_j a_i^{*} .</math>
-इसलिए, 〈बी〉 पढ़ता है
+इसलिए, 〈बी
 :<math> \left\langle B \right\rangle = \operatorname{tr} (\rho B) .</math>
-उपरोक्त शब्द का व्युत्क्रम मैट्रिक्स सिद्धांत द्वारा वर्णित है। ट्रेस चक्रीय क्रमपरिवर्तन और दोनों मैट्रिक्स के तहत अपरिवर्तनीय है {{mvar|ρ}} और B को किसी भी आधार पर सुविधाजनक बनाया जा सकता है, आमतौर पर eigenvectors का आधार। मैट्रिक्स उत्पाद के चक्रीय क्रमपरिवर्तन से, यह देखा जा सकता है कि एक पहचान मैट्रिक्स उत्पन्न होगा और इसलिए आधार में परिवर्तन से ट्रेस प्रभावित नहीं होगा। एक गणितीय ढांचे का वर्णन किया गया था जहां घनत्व ऑपरेटर के उत्पाद का पता लगाने के द्वारा मेट्रिसेस द्वारा वर्णित क्वांटम ऑपरेटरों की अपेक्षा मूल्य प्राप्त किया जाता है।  <math>\hat{\rho}</math> और एक ऑपरेटर  <math>\hat{B}</math> (ऑपरेटरों के बीच हिल्बर्ट स्केलर उत्पाद)। यहाँ मैट्रिक्स औपचारिकता सांख्यिकीय यांत्रिकी ढांचे में है, हालांकि यह परिमित [[जितना राज्य]] के लिए भी लागू होता है, जो आमतौर पर होता है, जहां सिस्टम की स्थिति को क्वांटम राज्य द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, लेकिन एक सांख्यिकीय ऑपरेटर के रूप में <math>\hat{\rho}</math> उपरोक्त प्रपत्र का। गणितीय रूप से,  <math>\hat{\rho}</math> यूनिट ट्रेस के साथ एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] है।
+:द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
+उपरोक्त शब्दों की अविषमता को आव्यूह सिद्धांत से वर्णित किया जाता है। त्रिशीर्ष संख्यात्मक परिवर्तनों के अन्तर्गत गुणांक अपरिवर्ती होता है, और विशेष रूप से ये प्रमाण-मान मात्रिका (ρ) और बी (B) को किसी भी सुविधाजनक आधार में, सामान्यतः ईगेनवेक्टर के आधार में परिवर्तित किया जा सकता है। आव्यूह उत्पाद के चक्रीय क्रमपरिवर्तन से, यह देखा जा सकता है कि एक इकाई आव्यूह उत्पन्न होता है और इसलिए आधार में परिवर्तन से ट्रेस प्रभावित नहीं होता है। एक ऐसे गणितीय ढांचे का वर्णन किया गया था जहां घनत्व संक्रिया के उत्पाद का पता लगाने के द्वारा आव्यूहों द्वारा वर्णित क्वांटम संक्रियाों के अपेक्षा मान <math>\hat{\rho}</math> और एक संक्रिया  <math>\hat{B}</math> को प्राप्त किया जाता है। यहां मात्रिका सूचनात्मक यांत्रिकी की सरचना में है, यद्यपि यह अन्तिम रूप में प्रायः अप्रतिसंक्षेप्त क्वांटम प्रणालियों के लिए भी लागू होता है, जहां प्रणाली की स्थिति एक उपयुक्त स्थिति द्वारा वर्णित नहीं की जा सकती है, बल्कि ऊपर दिए गए आकार <math>\hat{\rho}</math> के रूप में एक सांख्यिक सक्रिया के रूप में वर्णित की जाती है।  उपरोक्त प्रपत्र का। गणितीय रूप से, <math>\hat{\rho}</math> एक सकारात्मक-आधारित [[Index.php?title=हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] है जिसकी अविषमता 1 है।
 == परिभाषा ==
-घनत्व मैट्रिक्स ρ को देखते हुए, वॉन न्यूमैन ने एन्ट्रापी को परिभाषित किया<ref>[https://books.google.com/books?id=aA4vXMbuOTUC&pg=PA301 Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement, by Ingemar Bengtsson, Karol Życzkowski, p301]</ref><ref name=Zachos/>जैसा
+घनत्व आव्यूह ρ को देखते हुए, वॉन न्यूमैन ने एन्ट्रापी को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया<ref>[https://books.google.com/books?id=aA4vXMbuOTUC&pg=PA301 Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement, by Ingemar Bengtsson, Karol Życzkowski, p301]</ref><ref name=Zachos/>
 :<math>S(\rho) = -\operatorname{tr} (\rho \ln \rho),</math>
-जो एंट्रॉपी (सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी) का एक उचित विस्तार है#गिब्स एन्ट्रापी सूत्र (एक कारक तक) {{math|''k''<sub>B</sub>}}) और शैनन क्वांटम मामले में एन्ट्रापी। S(ρ) की गणना करने के लिए यह सुविधाजनक है (मैट्रिक्स का लघुगणक देखें) के मैट्रिक्स के Eigedecomposition की गणना करना  <math>~\rho = \sum_j \eta_j \left| j \right\rangle \left\langle j \right| </math>. वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी तब द्वारा दिया जाता है
+जो गिब्स एंट्रॉपी (एक कारक केबी तक) और क्वांटम परिप्रेक्ष्य में शैनन एंट्रॉपी का उचित विस्तार है। वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी को तब निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है
 :<math>S(\rho) = - \sum_j \eta_j \ln \eta_j .</math>
-चूंकि, शुद्ध अवस्था के लिए, घनत्व मैट्रिक्स Idempotent मैट्रिक्स है, {{nowrap|1=''ρ'' = ''ρ''<sup>2</sup>}}, इसके लिए एन्ट्रापी S(ρ) गायब हो जाता है। इस प्रकार, यदि सिस्टम परिमित (परिमित-आयामी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व) है, तो एन्ट्रापी S(ρ) शुद्ध अवस्था से सिस्टम के प्रस्थान की मात्रा निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी दिए गए परिमित प्रणाली का वर्णन करते हुए राज्य के मिश्रण की डिग्री को संहिताबद्ध करता है।
+चूंकि, शुद्ध अवस्था के लिए, घनत्व आव्यूह इडेम्पोटेन्ट आव्यूह है, {{nowrap|1=''ρ'' = ''ρ''<sup>2</sup>}} के लिए एन्ट्रापी S(ρ) लुप्त हो जाता है। इस प्रकार, यदि तंत्र परिमित है, तो एन्ट्रापी S(ρ) शुद्ध अवस्था से तंत्र के प्रस्थान की मात्रा निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, यह किसी दिए गए परिमित प्रणाली का वर्णन करते हुए स्थिति के मिश्रण की श्रेणी को संहिताबद्ध करता है।
-मापन एक क्वांटम प्रणाली को गैर-हस्तक्षेप और घनत्व मैट्रिक्स # एंट्रॉपी में बदल देता है; इसलिए, उदाहरण के लिए, एक शुद्ध अवस्था की लुप्त एन्ट्रापी <math>\Psi = ( \left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle ) / \sqrt{2}</math>, एक घनत्व मैट्रिक्स के अनुरूप
+मापन एक क्वांटम प्रणाली को गैर-हस्तक्षेप और घनत्व आव्यूह एंट्रॉपी में परिवर्तित कर देता है; इसलिए, उदाहरण के लिए, एक शुद्ध अवस्था की लुप्त एन्ट्रापी <math>\Psi = ( \left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle ) / \sqrt{2}</math>, एक घनत्व आव्यूह के अनुरूप
 :<math>\rho = {1\over 2} \begin{pmatrix}
 & 1 \\
 & 1 \end{pmatrix}   </math>
-तक बढ़ जाता है {{nowrap|1= <math>S = \ln 2 \approx 0.69</math>}} माप परिणाम मिश्रण के लिए
+{{nowrap|1= <math>S = \ln 2 \approx 0.69</math>}} तक बढ़ जाती है तथा माप परिणाम मिश्रण के लिए निम्नलिखित हों जाती है।
 :<math>\rho = {1\over 2} \begin{pmatrix}
 & 0 \\
 & 1 \end{pmatrix}   </math>
-क्योंकि क्वांटम हस्तक्षेप की जानकारी मिटा दी जाती है।
+क्योंकि क्वांटम हस्तक्षेप की जानकारी को लुप्त कर दिया जाता है।
 == गुण ==
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 वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी के कुछ गुण:
-* {{math|''S''(''ρ'')}} शून्य है अगर और केवल अगर {{math|''ρ''}} शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है।
+* {{math|''S''(''ρ'')}} शून्य है यदि और केवल यदि {{math|''ρ''}} शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है।
-* {{math|''S''(''ρ'')}} अधिकतम और बराबर है <math>\ln N</math> मिश्रित क्वांटम स्थिति के लिए, {{math|''N''}} [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] का आयाम होना।
+* {{math|''S''(''ρ'')}} मिश्रित क्वांटम स्थिति के लिए अधिकतम और <math>\ln N</math> के समान है तथा {{math|''N''}} [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट समष्टि]] का आयाम है।
-* {{math|''S''(''ρ'')}} के आधार पर परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है {{math|''ρ''}}, वह है, {{math|''S''(''ρ'') {{=}} ''S''(''UρU''<sup>†</sup>)}}, साथ {{math|''U''}} एक एकात्मक परिवर्तन।
+* {{math|''S''(''ρ'')}} के आधार पर परिवर्तन के अंतर्गत {{math|''ρ''}} अपरिवर्तनीय है, वह है।
-* {{math|''S''(''ρ'')}} अवतल है, अर्थात धनात्मक संख्याओं का संग्रह दिया गया है {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} जो एकता का योग है (<math>\Sigma_i \lambda_i = 1</math>) और घनत्व ऑपरेटर {{math|''ρ''<sub>''i''</sub>}}, अपने पास
+* {{math|''S''(''ρ'')}} अवतल है, अर्थात धनात्मक संख्याओं का संग्रह {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} दिया गया है जो <math>\Sigma_i \lambda_i = 1</math> और घनत्व संक्रिया {{math|''ρ''<sub>''i''</sub>}}  का योग है।
 ::<math> S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) \geq \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i). </math>
 * {{math|''S''(''ρ'')}} बाध्यता को संतुष्ट करता है
 ::<math> S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) \leq \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i) -  \sum_{i=1}^k \lambda_i \log \lambda_i. </math>
-: जहां समानता हासिल की जाती है {{math|''ρ<sub>i</sub>''}} ओर्थोगोनल समर्थन है, और पहले की तरह {{math|''ρ''<sub>''i''</sub>}} घनत्व संचालक हैं और {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} सकारात्मक संख्याओं का एक संग्रह है जो एकता के बराबर है (<math>\Sigma_i \lambda_i = 1</math>)
+: जहां समानता प्राप्त की जाती है यदि  {{math|''ρ<sub>i</sub>''}} ओर्थोगोनल समर्थन है, और पहले की तरह {{math|''ρ''<sub>''i''</sub>}} घनत्व संचालक हैं और {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} सकारात्मक संख्याओं का एक संग्रह है जो <math>\Sigma_i \lambda_i = 1</math> एकता के समान है।
-* {{math|''S''(''ρ'')}} स्वतंत्र प्रणालियों के लिए योगात्मक है। दो घनत्व मैट्रिक्स दिए गए हैं  {{math| ''ρ''<sub>''A''</sub>   , ''ρ''<sub>''B''</sub>}} स्वतंत्र सिस्टम ए और बी का वर्णन करते हुए, हमारे पास है
+* {{math|''S''(''ρ'')}} स्वतंत्र प्रणालियों के लिए योगात्मक है। स्वतंत्र तंत्र ए और बी का वर्णन करते हुए दो घनत्व आव्यूह {{math| ''ρ''<sub>''A''</sub>   , ''ρ''<sub>''B''</sub>}} दिए गए हैं। इस प्रकार
 ::<math>S(\rho_A \otimes \rho_B)=S(\rho_A)+S(\rho_B)</math>.
 * {{math|''S''(''ρ'')}} किसी भी तीन प्रणालियों ए, बी, और सी के लिए दृढ़ता से सहायक है:
 ::<math>S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).</math>
-: इसका अपने आप मतलब है {{math|''S''(''ρ'')}} उप-योगात्मक है:
+: इसका तात्पर्य है की {{math|''S''(''ρ'')}} उप-योगात्मक है:
 ::<math>S(\rho_{AC}) \leq  S(\rho_{A}) +S(\rho_{C}).</math>
-नीचे, सबअडिटिविटी की अवधारणा पर चर्चा की गई है, इसके बाद मजबूत सबअडिटिविटी के लिए इसका सामान्यीकरण किया गया है।
+नीचे, उप-विषमता की अवधारणा पर चर्चा की गई है, इसके उपरांत उपयुक्त उप-विषमता के लिए इसका सामान्यीकरण किया गया है।
 === उपविभाजन ===
-अगर {{math|''ρ''<sub>''A''</sub>, ''ρ''<sub>''B''</sub>}} सामान्य स्थिति के कम घनत्व वाले मैट्रिक्स हैं {{math|''ρ''<sub>''AB''</sub>}}, तब
+यदि {{math|''ρ''<sub>''A''</sub>, ''ρ''<sub>''B''</sub>}} सामान्य स्थिति के कम घनत्व वाले आव्यूह {{math|''ρ''<sub>''AB''</sub>}} हैं , तब
 :<math> \left| S(\rho_A) - S(\rho_B) \right| \leq S(\rho_{AB}) \leq S(\rho_A) + S(\rho_B) . </math>
-इस दाहिने हाथ की असमानता को [[उप-विषमता]] के रूप में जाना जाता है। दो असमानताओं को एक साथ कभी-कभी त्रिभुज असमानता के रूप में जाना जाता है। वे 1970 में [[फुजीहिरो अर्की]] और इलियट एच. लीब द्वारा सिद्ध किए गए थे।<ref>{{cite journal
+इस दाहिने हाथ की असमानता को [[उप-विषमता]] के रूप में जाना जाता है। दो असमानताओं को एक साथ कभी-कभी त्रिभुज असमानता के रूप में जाना जाता है। इन्हे 1970 में [[फुजीहिरो अर्की]] और इलियट एच. लीब द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite journal
 | last1=Araki | first1=Huzihiro | authorlink1=Huzihiro Araki
 | last2=Lieb | first2=Elliott H. | authorlink2=Elliott H. Lieb
@@ Line 95: / Line 90: @@
 | pages=160&ndash;170
 | date=1970
-| issue=2 | doi=10.1007/BF01646092 | bibcode=1970CMaPh..18..160A | doi-access=free}}</ref> जबकि शैनन के सिद्धांत में एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी कभी भी इसके किसी भी हिस्से की एन्ट्रापी से कम नहीं हो सकती, क्वांटम सिद्धांत में यह मामला नहीं है, अर्थात यह संभव है कि {{math| ''S''(''ρ''<sub>''AB''</sub>) {{=}} 0}}, जबकि {{math| ''S''(''ρ''<sub>''A''</sub>) {{=}} ''S''(''ρ''<sub>''B''</sub>) > 0}}.
+| issue=2 | doi=10.1007/BF01646092 | bibcode=1970CMaPh..18..160A | doi-access=free}}</ref> जबकि शैनन के सिद्धांत में एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी कभी भी इसके किसी भी भाग की एन्ट्रापी से कम नहीं हो सकती, क्वांटम सिद्धांत में यह स्थिति नहीं है, अर्थात यह संभव है कि {{math| ''S''(''ρ''<sub>''AB''</sub>) {{=}} 0}}, जबकि {{math| ''S''(''ρ''<sub>''A''</sub>) {{=}} ''S''(''ρ''<sub>''B''</sub>) > 0}}.
-सहज रूप से, इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: क्वांटम यांत्रिकी में, संयुक्त प्रणाली की एन्ट्रापी उसके घटकों की एन्ट्रापी के योग से कम हो सकती है क्योंकि घटक क्वांटम उलझाव हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, जैसा कि स्पष्ट रूप से देखा गया है, दो स्पिन-½s की बेल स्थिति,
+सरल रूप में कहें तों इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: क्वांटम यांत्रिकी में, संयुक्त प्रणाली की एन्ट्रापी उसके घटकों की एन्ट्रापी के योग से कम हो सकती है क्योंकि घटक क्वांटम जटिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, जैसा कि स्पष्ट रूप से देखा गया है, दो स्पिन-½s की बेल स्थिति को निम्नलिखित रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है।
 :<math> \left| \psi \right\rangle = \left| \uparrow \downarrow \right\rangle + \left| \downarrow \uparrow \right\rangle ,</math>
-शून्य एन्ट्रापी के साथ एक शुद्ध अवस्था है, लेकिन प्रत्येक स्पिन में अधिकतम एन्ट्रापी होती है जब इसे क्वांटम उलझाव # कम घनत्व मैट्रिक्स में व्यक्तिगत रूप से माना जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Zurek | first1 = W. H. | title = डिकॉरेन्स, इनसिलेक्शन, और शास्त्रीय की क्वांटम उत्पत्ति| doi = 10.1103/RevModPhys.75.715 | journal = Reviews of Modern Physics | volume = 75 | issue = 3 | pages = 715–775 | year = 2003 |arxiv = quant-ph/0105127 |bibcode = 2003RvMP...75..715Z | s2cid = 14759237 }}</ref> एक स्पिन में एंट्रॉपी को दूसरे स्पिन की एंट्रॉपी से सहसंबंधित करके रद्द किया जा सकता है। बाएं हाथ की असमानता को मोटे तौर पर यह कहते हुए व्याख्या किया जा सकता है कि एंट्रॉपी को समान मात्रा में एंट्रॉपी द्वारा ही रद्द किया जा सकता है।
+शून्य एन्ट्रापी के साथ एक शुद्ध अवस्था है, परंतु जब इसे क्वांटम जटिल आव्यूह में व्यक्तिगत रूप से प्रदर्शित किया जाता है तों प्रत्येक स्पिन में अधिकतम एन्ट्रापी होती है ।<ref>{{Cite journal | last1 = Zurek | first1 = W. H. | title = डिकॉरेन्स, इनसिलेक्शन, और शास्त्रीय की क्वांटम उत्पत्ति| doi = 10.1103/RevModPhys.75.715 | journal = Reviews of Modern Physics | volume = 75 | issue = 3 | pages = 715–775 | year = 2003 |arxiv = quant-ph/0105127 |bibcode = 2003RvMP...75..715Z | s2cid = 14759237 }}</ref> एक स्पिन में एंट्रॉपी को दूसरे स्पिन की एंट्रॉपी से सहसंबंधित करके रद्द किया जा सकता है। बाएं हाथ की असमानता को सामान्यतः यह कहते हुए व्याख्या किया जा सकता है कि एंट्रॉपी को समान मात्रा में एंट्रॉपी द्वारा ही रद्द किया जा सकता है।
-अगर सिस्टम {{mvar|A}} और सिस्टम {{mvar|B}} में एंट्रॉपी की अलग-अलग मात्रा होती है, छोटा केवल आंशिक रूप से बड़े को रद्द कर सकता है, और कुछ एन्ट्रापी को छोड़ देना चाहिए। इसी तरह, दाहिने हाथ की असमानता की व्याख्या यह कहते हुए की जा सकती है कि एक समग्र प्रणाली की एन्ट्रापी अधिकतम होती है जब इसके घटक असंबद्ध होते हैं, इस मामले में कुल एन्ट्रापी केवल उप-एन्ट्रॉपी का योग होता है। यह हिल्बर्ट स्पेस वन के बजाय [[चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण]] में अधिक सहज ज्ञान युक्त हो सकता है, जहां वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी मात्रा के अपेक्षित मूल्य को घटा देता है। <small>★</small>विग्नेर अर्ध-प्रायिकता बंटन का लघुगणक,  {{math|−''∫ f'' <small>★</small>  log<sub><sub>★</sub> </sub>''f'' &nbsp;''dx''&nbsp;''dp''}}, एक ऑफ़सेट शिफ्ट तक।<ref name=Zachos>{{Cite journal | last1 = Zachos | first1 = C. K. | title = क्वांटम एन्ट्रापी पर एक क्लासिकल बाउंड| doi = 10.1088/1751-8113/40/21/F02 | journal = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical | volume = 40 | issue = 21 | pages = F407–F412 | year = 2007  |arxiv = hep-th/0609148 |bibcode = 2007JPhA...40..407Z | s2cid = 1619604 }}</ref> इस सामान्यीकरण ऑफसेट शिफ्ट तक, एंट्रॉपी इसकी [[शास्त्रीय सीमा]] के द्वारा [[प्रमुखता]] है।
+यदि तंत्र {{mvar|A}} और तंत्र {{mvar|B}} में एंट्रॉपी की भिन्न-भिन्न मात्रा होती है तों छोटी एन्ट्रॉपी बड़ी एन्ट्रॉपी को केवल आंशिक रूप से रद्द कर सकती है, और कुछ एन्ट्रापी शेष रह जाती है। इसी प्रकार, दाहिने हाथ की असमानता की व्याख्या यह कहते हुए की जा सकती है कि जब समग्र प्रणाली के घटक असंबद्ध होते हैं तों इसकी एन्ट्रापी अधिकतम होती है , इस स्थिति में कुल एन्ट्रापी केवल उप-एन्ट्रॉपी का योग होती है। यह हिल्बर्ट समष्टि इकाई के अतिरिक्त [[चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण|चरण समष्टि सूत्रीकरण]] में अधिक सहज हो सकता है, जहां वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी मात्रा के अपेक्षित मान को घटा देता है।<ref name=Zachos>{{Cite journal | last1 = Zachos | first1 = C. K. | title = क्वांटम एन्ट्रापी पर एक क्लासिकल बाउंड| doi = 10.1088/1751-8113/40/21/F02 | journal = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical | volume = 40 | issue = 21 | pages = F407–F412 | year = 2007  |arxiv = hep-th/0609148 |bibcode = 2007JPhA...40..407Z | s2cid = 1619604 }}</ref> इस सामान्यीकरण उपसमुच्चय परिवर्तन तक, एंट्रॉपी इसकी [[शास्त्रीय सीमा|पारंपरिक सीमा]] के द्वारा प्रदर्शित होती है।
 === मजबूत उप-विषमता ===
-{{main|Strong subadditivity of quantum entropy}}
+{{main|क्वांटम एंट्रोपी की शक्तिशाली उप-विषमता}}
-वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी [[क्वांटम एंट्रॉपी की मजबूत उप-विषमता]] भी है। तीन हिल्बर्ट रिक्त स्थान दिए गए हैं, ए, बी, सी,
+वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी [[क्वांटम एंट्रॉपी की मजबूत उप-विषमता|क्वांटम एंट्रॉपी की शक्तिशाली उप-विषमता]] भी है। तीन हिल्बर्ट रिक्त स्थान दिए गए हैं, ए, बी, सी,
 :<math>S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).</math>
-यह एक अधिक कठिन प्रमेय है और इसे सबसे पहले जैक कीफर (सांख्यिकीविद)|जे. 1959 में कीफर<ref name=kiefer1959>{{cite journal |last1=Kiefer |first1=J. |title=इष्टतम प्रायोगिक डिजाइन|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological) |date=July 1959 |volume=21 |issue=2 |pages=272–310 |doi=10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x |url=https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x}}</ref><ref name=ruskai2013>{{cite web |last1=Ruskai |first1=Mary Beth |title=Evolution of a Fundemental &#91;sic&#93; Theorem on Quantum Entropy |url=https://www.youtube.com/watch?v=P3-xI1u1Y2s  |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/P3-xI1u1Y2s |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|website=youtube.com |publisher=World Scientific |access-date=20 August 2020 |quote=Invited talk at the Conference in Honour of the 90th Birthday of Freeman Dyson, Institute of Advanced Studies, Nanyang Technological University, Singapore, 26–29 August 2013. The note on Kiefer (1959) is at the 26:40 mark.}}{{cbignore}}</ref> और 1973 में स्वतंत्र रूप से इलियट एच. लीब और [[मैरी बेथ रुस्काई]] द्वारा,<ref>{{cite journal
+यह अत्यधिक कठिन प्रमेय है और इसे सबसे पहले जैक कीफर द्वारा 1959 में <ref name=kiefer1959>{{cite journal |last1=Kiefer |first1=J. |title=इष्टतम प्रायोगिक डिजाइन|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological) |date=July 1959 |volume=21 |issue=2 |pages=272–310 |doi=10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x |url=https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x}}</ref><ref name=ruskai2013>{{cite web |last1=Ruskai |first1=Mary Beth |title=Evolution of a Fundemental &#91;sic&#93; Theorem on Quantum Entropy |url=https://www.youtube.com/watch?v=P3-xI1u1Y2s  |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/P3-xI1u1Y2s |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|website=youtube.com |publisher=World Scientific |access-date=20 August 2020 |quote=Invited talk at the Conference in Honour of the 90th Birthday of Freeman Dyson, Institute of Advanced Studies, Nanyang Technological University, Singapore, 26–29 August 2013. The note on Kiefer (1959) is at the 26:40 mark.}}{{cbignore}}</ref> और 1973 में स्वतंत्र रूप से इलियट एच. लीब और [[मैरी बेथ रुस्काई]] द्वारा,<ref>{{cite journal
 | last1=Lieb | first1=Elliott H. | authorlink1=Elliott H. Lieb
 | last2=Ruskai | first2=Mary Beth | authorlink2=Mary Beth Ruskai
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 | pages=1938&ndash;1941
 | date=1973
-| issue=12 | doi=10.1063/1.1666274| bibcode=1973JMP....14.1938L | url=http://www.numdam.org/item/RCP25_1973__19__A5_0/ }}</ref> इलियट एच. लीब की मैट्रिक्स असमानता का उपयोग करना<ref>{{cite journal
+| issue=12 | doi=10.1063/1.1666274| bibcode=1973JMP....14.1938L | url=http://www.numdam.org/item/RCP25_1973__19__A5_0/ }}</ref> इलियट एच. लीब की आव्यूह असमानता का उपयोग किया गया। <ref>{{cite journal
 | last1=Lieb | first1=Elliott H. | authorlink1=Elliott H. Lieb
 | title=Convex Trace Functions and the Wigner&ndash;Yanase&ndash;Dyson Conjecture
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 | pages=267&ndash;288
 | date=1973
-| doi=10.1016/0001-8708(73)90011-X | doi-access=free}}</ref> 1973 में साबित हुआ। उपरोक्त त्रिभुज असमानता के बाईं ओर स्थापित करने वाली सबूत तकनीक का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि मजबूत उप-विषमता असमानता निम्नलिखित असमानता के बराबर है।
+| doi=10.1016/0001-8708(73)90011-X | doi-access=free}}</ref> उपरोक्त त्रिभुज असमानता के बाईं ओर स्थापित करने वाली प्रमाण तकनीक का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि शक्तिशाली उप-विषमता असमानता निम्नलिखित असमानता के समान है।
 :<math>S(\rho_{A}) + S(\rho_{C}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC})</math>
-कब  {{math| ''ρ''<sub>''AB''</sub>}}, आदि घनत्व मैट्रिक्स के कम घनत्व वाले मैट्रिक्स हैं {{math|''ρ''<sub>''ABC''</sub>}}. यदि हम इस असमानता के बाईं ओर सामान्य उप-विषमता लागू करते हैं, और ए, बी, सी के सभी क्रमपरिवर्तनों पर विचार करते हैं, तो हमें त्रिभुज असमानता प्राप्त होती है {{math| ''ρ''<sub>''ABC''</sub>}}: तीन संख्याओं में से प्रत्येक {{math|''S''(''ρ''<sub>''AB''</sub>), ''S''(''ρ''<sub>''BC''</sub>), ''S''(''ρ''<sub>''AC''</sub>)}} अन्य दो के योग से कम या उसके बराबर है।
+जहा{{math| ''ρ''<sub>''AB''</sub>}}, आदि घनत्व आव्यूह {{math|''ρ''<sub>''ABC''</sub>}} के कम घनत्व वाले आव्यूह है।  यदि हम इस असमानता के बाईं ओर सामान्य उप-विषमता को लागू करते हैं, और ए, बी, सी के सभी क्रमपरिवर्तनों पर विचार करते हैं, तो हमें त्रिभुज असमानता {{math| ''ρ''<sub>''ABC''</sub>}} प्राप्त होती है। तीन संख्याओं में से प्रत्येक {{math|''S''(''ρ''<sub>''AB''</sub>), ''S''(''ρ''<sub>''BC''</sub>), ''S''(''ρ''<sub>''AC''</sub>)}} अन्य दो के योग से कम या उसके समान है।
 == यह भी देखें ==
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 {{Statistical mechanics topics}}
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v t e Statistical mechanics
Theory	Principle of maximum entropy ergodic theory
Statistical thermodynamics	Ensembles partition functions equations of state thermodynamic potential: U H F G Maxwell relations
Models	Ferromagnetism models Ising Potts Heisenberg percolation Particles with force field depletion force Lennard-Jones potential
Mathematical approaches	Boltzmann equation H-theorem Vlasov equation BBGKY hierarchy stochastic process mean-field theory and conformal field theory
Critical phenomena	Phase transition Critical exponents correlation length size scaling
Entropy	Boltzmann Shannon Tsallis Rényi von Neumann
Applications	Statistical field theory elementary particle superfluidity Condensed matter physics Complex system chaos information theory Boltzmann machine

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