कनिंघम चेन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:03, 29 May 2023

गणित में, कनिंघम शृंखला अभाज्य संख्याओं का निश्चित पूर्णांक अनुक्रम है। कनिंघम श्रृंखलाओं का नाम गणितज्ञ एलन जोसेफ चम्पनीस कनिंघम के नाम पर रखा गया है। उन्हें लगभग दोगुनी प्राइम्स की चेन भी कहा जाता है।

परिभाषा

पहली तरह की लंबाई n की कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (p) का क्रम है (p₁, ..., p_n) ऐसा है कि p_i₊₁ = 2p_i + 1 सभी के लिए 1 ≤ i < n. (इसलिए अंतिम को छोड़कर ऐसी श्रृंखला का प्रत्येक पद सोफी जर्मेन अभाज्य है, और पहले को छोड़कर प्रत्येक पद सुरक्षित अभाज्य है।)

यह इस प्रकार है कि

{\begin{aligned}p_{2}&=2p_{1}+1,\\p_{3}&=4p_{1}+3,\\p_{4}&=8p_{1}+7,\\&{}\ \vdots \\p_{i}&=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}-1),\end{aligned}}

या, सेटिंग द्वारा $a={\frac {p_{1}+1}{2}}$ (जो नंबर $a$ अनुक्रम का भाग नहीं है और अभाज्य संख्या होने की आवश्यकता नहीं है), हमारे पास $p_{i}=2^{i}a-1.$ है।

इसी तरह, दूसरी तरह की लंबाई n की कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (p) का क्रम है (p₁, ..., p_n) ऐसा है कि p_i₊₁ = 2p_i − 1 सबके लिए 1 ≤ i < n.

यह इस प्रकार है कि सामान्य शब्द है।

p_{i}=2^{i-1}p_{1}-(2^{i-1}-1).

अब, सेटिंग करके $a={\frac {p_{1}-1}{2}}$ , अपने पास $p_{i}=2^{i}a+1$ .

कनिंघम शृंखलाओं को भी कभी-कभी अभाज्य संख्याओं के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है (p₁, ..., p_n) ऐसा है कि p_i₊₁ = ap_i + b_i सभी 1 ≤ i ≤ n के लिए निश्चित सह अभाज्य पूर्णांक a और b के लिए; परिणामी श्रृंखलाओं को 'सामान्यीकृत कनिंघम श्रृंखला' कहा जाता है।

कनिंघम श्रृंखला को 'पूर्ण' कहा जाता है यदि इसे आगे बढ़ाया नहीं जा सकता है, अर्थात, यदि श्रृंखला में पिछले और अगले पद अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

उदाहरण

पहली तरह की पूर्ण कनिंघम श्रृंखलाओं के उदाहरणों में ये सम्मिलित हैं:

2, 5, 11, 23, 47 (अगली संख्या 95 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

3, 7 (अगली संख्या 15 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

29, 59 (अगली संख्या 119 = 7×17 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

41, 83, 167 (अगली संख्या 335 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (अगली संख्या 5759 = 13×443 होगी, लेकिन यह अभाज्य संख्या नहीं है।)

दूसरी तरह की पूर्ण कनिंघम श्रृंखलाओं के उदाहरणों में ये सम्मिलित हैं:

2, 3, 5 (अगली संख्या 9 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

7, 13 (अगली संख्या 25 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

19, 37, 73 (अगली संख्या 145 होगी, लेकिन वह अभाज्य संख्या नहीं है।)

31, 61 (अगली संख्या 121 = 11² होगी, लेकिन वह प्राइम नहीं है।)

कनिंघम चेन को अब क्रिप्टोग्राफिक प्रणाली में उपयोगी माना जाता है क्योंकि वे एलगमाल एन्क्रिप्शन के लिए दो समवर्ती उपयुक्त सेटिंग्स प्रदान करते हैं ... [जो] किसी भी क्षेत्र में प्रयुक्त किया जा सकता है जहां असतत लघुगणक समस्या कठिन है।^[1]

सबसे बड़ी ज्ञात कनिंघम चेन

यह डिक्सन के अनुमान और व्यापक शिनजेल की परिकल्पना H से अनुसरण करता है, दोनों को व्यापक रूप से सच माना जाता है, कि प्रत्येक k के लिए अनंत रूप से लंबाई k की कई कनिंघम श्रृंखलाएँ हैं। चुकीं, ऐसी श्रृंखलाएँ उत्पन्न करने की कोई ज्ञात प्रत्यक्ष विधियाँ नहीं हैं।

सबसे लंबी कनिंघम श्रृंखला के लिए या सबसे बड़े अभाज्यों से बने एक के लिए कंप्यूटिंग प्रतियोगिताएं होती हैं, लेकिन बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ की सफलता के विपरीत - ग्रीन-ताओ प्रमेय, कि मनमानी लंबाई के अभाज्यों की अंकगणितीय प्रगति होती है - बड़ी कनिंघम श्रृंखलाओं पर आज तक कोई सामान्य परिणाम ज्ञात नहीं है।

लंबाई k की सबसे बड़ी ज्ञात कनिंघम श्रृंखला (17 मार्च 2023 तक^[2])
k	प्रकार	p₁ (प्राइम प्रारंभ करना)	अंक	वर्ष	खोजकर्ता
1	1st / 2nd	2^82589933 − 1	24862048	2018	पैट्रिक लारोचे,, जिम्प्स
2	1st	2618163402417×2^1290000 − 1	388342	2016	प्राइमग्रिड
2	2nd	213778324725×2⁵⁶¹⁴¹⁷ + 1	169015	2023	रयान प्रॉपर और सर्ज बतालोव
3	1st	1128330746865×2⁶⁶⁴³⁹ − 1	20013	2020	माइकल पैरिडॉन
3	2nd	742478255901×2⁴⁰⁰⁶⁷ + 1	12074	2016	माइकल एंजेल और डिर्क ऑगस्टिन
4	1st	13720852541×7877# − 1	3384	2016	माइकल एंजेल और डिर्क ऑगस्टिन
4	2nd	49325406476×9811# + 1	4234	2019	ऑस्कर ऑस्टलिन
5	1st	31017701152691334912×4091# − 1	1765	2016	एंड्री बाल्याकिन
5	2nd	181439827616655015936×4673# + 1	2018	2016	एंड्री बाल्याकिन
6	1st	2799873605326×2371# - 1	1016	2015	सर्ज बतालोव
6	2nd	52992297065385779421184×1531# + 1	668	2015	एंड्री बाल्याकिन
7	1st	82466536397303904×1171# − 1	509	2016	एंड्री बाल्याकिन
7	2nd	25802590081726373888×1033# + 1	453	2015	एंड्री बाल्याकिन
8	1st	89628063633698570895360×593# − 1	265	2015	एंड्री बाल्याकिन
8	2nd	2373007846680317952×761# + 1	337	2016	एंड्री बाल्याकिन
9	1st	553374939996823808×593# − 1	260	2016	एंड्री बाल्याकिन
9	2nd	173129832252242394185728×401# + 1	187	2015	एंड्री बाल्याकिन
10	1st	3696772637099483023015936×311# − 1	150	2016	एंड्री बाल्याकिन
10	2nd	2044300700000658875613184×311# + 1	150	2016	एंड्री बाल्याकिन
11	1st	73853903764168979088206401473739410396455001112581722569026969860983656346568919×151# − 1	140	2013	प्राइमकॉइन (ब्लॉक 95569)
11	2nd	341841671431409652891648×311# + 1	149	2016	एंड्री बाल्याकिन
12	1st	288320466650346626888267818984974462085357412586437032687304004479168536445314040×83# − 1	113	2014	प्राइमकॉइन (ब्लॉक 558800)
12	2nd	906644189971753846618980352×233# + 1	121	2015	एंड्री बाल्याकिन
13	1st	106680560818292299253267832484567360951928953599522278361651385665522443588804123392×61# − 1	107	2014	प्राइमकॉइन (ब्लॉक 368051)
13	2nd	38249410745534076442242419351233801191635692835712219264661912943040353398995076864×47# + 1	101	2014	प्राइमकॉइन (ब्लॉक 539977)
14	1st	4631673892190914134588763508558377441004250662630975370524984655678678526944768×47# − 1	97	2018	प्राइमकॉइन (ब्लॉक 2659167)
14	2nd	5819411283298069803200936040662511327268486153212216998535044251830806354124236416×47# + 1	100	2014	प्राइमकॉइन (ब्लॉक 547276)
15	1st	14354792166345299956567113728×43# - 1	45	2016	एंड्री बाल्याकिन
15	2nd	67040002730422542592×53# + 1	40	2016	एंड्री बाल्याकिन
16	1st	91304653283578934559359	23	2008	जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की
16	2nd	2×1540797425367761006138858881 − 1	28	2014	चेरमोनी और व्रॉब्ल्व्स्की
17	1st	2759832934171386593519	22	2008	जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की
17	2nd	1540797425367761006138858881	28	2014	चेरमोनी और व्रॉब्ल्व्स्की
18	2nd	658189097608811942204322721	27	2014	चेरमोनी और व्रॉब्ल्व्स्की
19	2nd	79910197721667870187016101	26	2014	चेरमोनी और व्रॉब्ल्व्स्की

q# प्रारंभिक 2 × 3 × 5 × 7 × ... × q को दर्शाता है।

As of 2018^[update], किसी भी तरह की सबसे लंबी ज्ञात कनिंघम श्रृंखला की लंबाई 19 है, जिसे 2014 में जारोस्लाव व्रॉब्ल्व्स्की द्वारा खोजा गया था।^[2]

कनिंघम श्रृंखला की बधाई

समता (गणित) को प्रधान होने दें $p_{1}$ पहली तरह की कनिंघम श्रृंखला का पहला प्रधान बनें। इस प्रकार पहला अभाज्य विषम है $p_{1}\equiv 1{\pmod {2}}$ . चूँकि श्रृंखला में प्रत्येक क्रमिक अभाज्य है $p_{i+1}=2p_{i}+1$ यह इस प्रकार है कि $p_{i}\equiv 2^{i}-1{\pmod {2^{i}}}$ . इस प्रकार, $p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}$ , $p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}$ , इत्यादि।

उपरोक्त संपत्ति को आधार 2 में श्रृंखला के अभाज्यों पर विचार करके अनौपचारिक रूप से देखा जा सकता है। (ध्यान दें कि, सभी आधारों के साथ, आधार से गुणा करने पर अंकों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है; उदाहरण के लिए दशमलव में हमारे पास 314 × 10 = 3140 है।) जब हम विचार करते हैं $p_{i+1}=2p_{i}+1$ आधार 2 में, हम देखते हैं कि गुणा करके $p_{i}$ 2 से, का कम से कम महत्वपूर्ण अंक $p_{i}$ का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक बन जाता है $p_{i+1}$ . क्योंकि $p_{i}$ विषम है—अर्थात् आधार 2 में सबसे कम महत्वपूर्ण अंक 1 है—हम जानते हैं कि का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक $p_{i+1}$ भी 1 है। और अंत में, हम उसे देख सकते हैं $p_{i+1}$ में 1 जोड़ने के कारण विषम होगा $2p_{i}$ . इस तरह कनिंघम श्रृंखला में क्रमिक अभाज्य अनिवार्य रूप से बाइनरी में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाते हैं, जिसमें कम से कम महत्वपूर्ण अंक भरते हैं। उदाहरण के लिए, यहां पूरी लंबाई वाली 6 चेन है जो 141361469 से प्रारंभ होती है:

बाइनरी	डेसीमल
1000011011010000000100111101	141361469
10000110110100000001001111011	282722939
100001101101000000010011110111	565445879
1000011011010000000100111101111	1130891759
10000110110100000001001111011111	2261783519
100001101101000000010011110111111	4523567039

इसी तरह का परिणाम दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के लिए भी है। अवलोकन से कि $p_{1}\equiv 1{\pmod {2}}$ और संबंध $p_{i+1}=2p_{i}-1$ यह इस प्रकार है कि $p_{i}\equiv 1{\pmod {2^{i}}}$ . बाइनरी नोटेशन में, दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखला में प्राइम 0...01 पैटर्न के साथ समाप्त होते हैं, जहां, प्रत्येक के लिए $i$ , के पैटर्न में शून्यों की संख्या $p_{i+1}$ के लिए शून्यों की संख्या से एक अधिक है $p_{i}$ . पहली तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के साथ, पैटर्न के बचे हुए टुकड़े प्रत्येक क्रमिक प्रधान के साथ स्थान से चले गए।

इसी प्रकार, क्योंकि $p_{i}=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}-1)\,$ यह इस प्रकार है कि $p_{i}\equiv 2^{i-1}-1{\pmod {p_{1}}}$ . लेकिन, फेर्मत की छोटी प्रमेय द्वारा, $2^{p_{1}-1}\equiv 1{\pmod {p_{1}}}$ , इसलिए $p_{1}$ विभाजित $p_{p_{1}}$ (यानी साथ $i=p_{1}$ ). इस प्रकार, कोई कनिंघम शृंखला अनंत लंबाई की नहीं हो सकती।^[3]

यह भी देखें

प्राइमकॉइन , जो कनिंघम चेन का उपयोग प्रूफ-ऑफ-वर्क प्रणाली के रूप में करता है
द्वि-जुड़वां श्रृंखला
अंकगणितीय प्रगति में प्रधान

संदर्भ

↑ Joe Buhler, Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III. New York: Springer (1998): 290
↑ ^2.0 ^2.1 Norman Luhn & Dirk Augustin, Cunningham Chain records. Retrieved on 2018-06-08.
↑ Löh, Günter (October 1989). "लगभग दोगुनी प्राइम्स की लंबी श्रृंखला". Mathematics of Computation. 53 (188): 751–759. doi:10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8.

बाहरी संबंध

The Prime Glossary: Cunningham chain
प्राइमकॉइन discoveries (primes.zone): online database of प्राइमकॉइन findings with list of records and visualization
PrimeLinks++: Cunningham chain
OEIS sequence A005602 (Smallest prime beginning a complete Cunningham chain of length n (of the first kind)) -- the first term of the lowest complete Cunningham chains of the first kind of length n, for 1 ≤ n ≤ 14
OEIS sequence A005603 (Chains of length n of nearly doubled primes) -- the first term of the lowest complete Cunningham chains of the second kind with length n, for 1 ≤ n ≤ 15

[1] Joe Buhler, Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III. New York: Springer (1998): 290

[records-2] 2.0 ^2.1 Norman Luhn & Dirk Augustin, Cunningham Chain records. Retrieved on 2018-06-08.

[3] Löh, Günter (October 1989). "लगभग दोगुनी प्राइम्स की लंबी श्रृंखला". Mathematics of Computation. 53 (188): 751–759. doi:10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8.

[1]

[2]

[3]

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-गणित में, कनिंघम शृंखला [[अभाज्य संख्या]]ओं का एक निश्चित [[पूर्णांक अनुक्रम]] है। कनिंघम श्रृंखलाओं का नाम [[गणितज्ञ]] एलन जोसेफ चम्पनीस कनिंघम| ए के नाम पर रखा गया है। '''जे सी कनिंघम।''' उन्हें लगभग दोगुनी प्राइम्स की चेन भी कहा जाता है।
+गणित में, कनिंघम शृंखला [[अभाज्य संख्या]]ओं का निश्चित [[पूर्णांक अनुक्रम]] है। कनिंघम श्रृंखलाओं का नाम [[गणितज्ञ]] एलन जोसेफ चम्पनीस कनिंघम के नाम पर रखा गया है। उन्हें लगभग दोगुनी प्राइम्स की चेन भी कहा जाता है।
 == परिभाषा ==
-पहली तरह की लंबाई ''n'' की एक कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (''p'') का एक क्रम है (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'')  ऐसा है कि  ''p<sub>i</sub>''<sub>+1</sub> = 2''p<sub>i</sub>'' + 1 सभी के लिए 1 ≤ i < n. (इसलिए अंतिम को छोड़कर ऐसी श्रृंखला का प्रत्येक पद सोफी जर्मेन अभाज्य है, और पहले को छोड़कर प्रत्येक पद एक सुरक्षित अभाज्य है)।
+पहली तरह की लंबाई ''n'' की कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (''p'') का क्रम है (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'') ऐसा है कि ''p<sub>i</sub>''<sub>+1</sub> = 2''p<sub>i</sub>'' + 1 सभी के लिए 1 ≤ i < n. (इसलिए अंतिम को छोड़कर ऐसी श्रृंखला का प्रत्येक पद सोफी जर्मेन अभाज्य है, और पहले को छोड़कर प्रत्येक पद सुरक्षित अभाज्य है।)
 यह इस प्रकार है कि
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 \end{align}
 </math>
-या, सेटिंग द्वारा <math>a = \frac{p_1 + 1}{2}</math> (जो नंबर <math>a</math> अनुक्रम का भाग नहीं है और अभाज्य संख्या होने की आवश्यकता नहीं है), हमारे पास है <math>p_i = 2^{i} a - 1.</math>
+या, सेटिंग द्वारा <math>a = \frac{p_1 + 1}{2}</math> (जो नंबर <math>a</math> अनुक्रम का भाग नहीं है और अभाज्य संख्या होने की आवश्यकता नहीं है), हमारे पास <math>p_i = 2^{i} a - 1.</math> है।
-इसी तरह, दूसरी तरह की लंबाई ''n'' की एक कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (''p'') का एक क्रम है (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'') ऐसा है कि ''p<sub>i</sub>''<sub>+1</sub> = 2''p<sub>i</sub>'' − 1 सबके लिए 1 ≤ i < n.
+इसी तरह, दूसरी तरह की लंबाई ''n'' की कनिंघम श्रृंखला अभाज्य संख्याओं (''p'') का क्रम है (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'') ऐसा है कि ''p<sub>i</sub>''<sub>+1</sub> = 2''p<sub>i</sub>'' − 1 सबके लिए 1 ≤ i < n.
-यह इस प्रकार है कि सामान्य शब्द है
+यह इस प्रकार है कि सामान्य शब्द है।
 : <math>p_i = 2^{i-1}p_1 - (2^{i-1}-1).</math>
 अब, सेटिंग करके <math>a = \frac{p_1 - 1}{2} </math>, अपने पास <math> p_i = 2^{i} a + 1</math>.
-कनिंघम शृंखलाओं को भी कभी-कभी अभाज्य संख्याओं के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'') ऐसा है कि  ''p<sub>i</sub>''<sub>+1</sub> = ''ap<sub>i</sub>'' + ''b<sub>i</sub>'' सभी 1 ≤ i ≤ n के लिए '''+ b''' निश्चित [[सह अभाज्य]] [[पूर्णांक]] a और b के लिए; परिणामी श्रृंखलाओं को 'सामान्यीकृत कनिंघम श्रृंखला' कहा जाता है।
+कनिंघम शृंखलाओं को भी कभी-कभी अभाज्य संख्याओं के अनुक्रमों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'') ऐसा है कि ''p<sub>i</sub>''<sub>+1</sub> = ''ap<sub>i</sub>'' + ''b<sub>i</sub>'' सभी 1 ≤ i ≤ n के लिए निश्चित [[सह अभाज्य]] [[पूर्णांक]] a और b के लिए; परिणामी श्रृंखलाओं को 'सामान्यीकृत कनिंघम श्रृंखला' कहा जाता है।
-एक कनिंघम श्रृंखला को 'पूर्ण' कहा जाता है यदि इसे आगे बढ़ाया नहीं जा सकता है, अर्थात, यदि श्रृंखला में पिछले और अगले पद अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।
+कनिंघम श्रृंखला को 'पूर्ण' कहा जाता है यदि इसे आगे बढ़ाया नहीं जा सकता है, अर्थात, यदि श्रृंखला में पिछले और अगले पद अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।
 == उदाहरण ==
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 [[समता (गणित)]] को प्रधान होने दें <math>p_1</math> पहली तरह की कनिंघम श्रृंखला का पहला प्रधान बनें। इस प्रकार पहला अभाज्य विषम है <math>p_1 \equiv 1 \pmod{2}</math>. चूँकि श्रृंखला में प्रत्येक क्रमिक अभाज्य है <math>p_{i+1} = 2p_i + 1</math> यह इस प्रकार है कि <math>p_i \equiv 2^i - 1 \pmod{2^i}</math>. इस प्रकार, <math>p_2 \equiv 3 \pmod{4}</math>, <math>p_3 \equiv 7 \pmod{8}</math>, इत्यादि।
-उपरोक्त संपत्ति को [[आधार 2]] में एक श्रृंखला के अभाज्यों पर विचार करके अनौपचारिक रूप से देखा जा सकता है। (ध्यान दें कि, सभी आधारों के साथ, आधार से गुणा करने पर अंकों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है; उदाहरण के लिए दशमलव में हमारे पास 314 × 10 = 3140 है।) जब हम विचार करते हैं <math>p_{i+1} = 2p_i + 1</math> आधार 2 में, हम देखते हैं कि गुणा करके <math>p_i</math> 2 से, का कम से कम महत्वपूर्ण अंक <math>p_i</math> का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक बन जाता है <math>p_{i+1}</math>. क्योंकि <math>p_i</math> विषम है—अर्थात् आधार 2 में सबसे कम महत्वपूर्ण अंक 1 है—हम जानते हैं कि का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक <math>p_{i+1}</math> भी 1 है। और अंत में, हम उसे देख सकते हैं <math>p_{i+1}</math> में 1 जोड़ने के कारण विषम होगा <math>2p_i</math>. इस तरह, एक कनिंघम श्रृंखला में क्रमिक अभाज्य अनिवार्य रूप से बाइनरी में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाते हैं, जिसमें कम से कम महत्वपूर्ण अंक भरते हैं। उदाहरण के लिए, यहां पूरी लंबाई वाली 6 चेन है जो 141361469 से प्रारंभ होती है:
+उपरोक्त संपत्ति को [[आधार 2]] में श्रृंखला के अभाज्यों पर विचार करके अनौपचारिक रूप से देखा जा सकता है। (ध्यान दें कि, सभी आधारों के साथ, आधार से गुणा करने पर अंकों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है; उदाहरण के लिए दशमलव में हमारे पास 314 × 10 = 3140 है।) जब हम विचार करते हैं <math>p_{i+1} = 2p_i + 1</math> आधार 2 में, हम देखते हैं कि गुणा करके <math>p_i</math> 2 से, का कम से कम महत्वपूर्ण अंक <math>p_i</math> का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक बन जाता है <math>p_{i+1}</math>. क्योंकि <math>p_i</math> विषम है—अर्थात् आधार 2 में सबसे कम महत्वपूर्ण अंक 1 है—हम जानते हैं कि का दूसरा सबसे कम महत्वपूर्ण अंक <math>p_{i+1}</math> भी 1 है। और अंत में, हम उसे देख सकते हैं <math>p_{i+1}</math> में 1 जोड़ने के कारण विषम होगा <math>2p_i</math>. इस तरह कनिंघम श्रृंखला में क्रमिक अभाज्य अनिवार्य रूप से बाइनरी में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाते हैं, जिसमें कम से कम महत्वपूर्ण अंक भरते हैं। उदाहरण के लिए, यहां पूरी लंबाई वाली 6 चेन है जो 141361469 से प्रारंभ होती है:
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-इसी तरह का परिणाम दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के लिए भी है। अवलोकन से कि <math>p_1 \equiv 1 \pmod{2}</math> और संबंध <math>p_{i+1} = 2 p_i - 1</math> यह इस प्रकार है कि <math>p_i \equiv 1 \pmod{2^i}</math>. बाइनरी नोटेशन में, दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखला में प्राइम 0...01 पैटर्न के साथ समाप्त होते हैं, जहां, प्रत्येक के लिए <math>i</math>, के पैटर्न में शून्यों की संख्या <math>p_{i+1}</math> के लिए शून्यों की संख्या से एक अधिक है <math>p_i</math>. पहली तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के साथ, पैटर्न के बचे हुए टुकड़े प्रत्येक क्रमिक प्रधान के साथ एक स्थान से चले गए।
+इसी तरह का परिणाम दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के लिए भी है। अवलोकन से कि <math>p_1 \equiv 1 \pmod{2}</math> और संबंध <math>p_{i+1} = 2 p_i - 1</math> यह इस प्रकार है कि <math>p_i \equiv 1 \pmod{2^i}</math>. बाइनरी नोटेशन में, दूसरी तरह की कनिंघम श्रृंखला में प्राइम 0...01 पैटर्न के साथ समाप्त होते हैं, जहां, प्रत्येक के लिए <math>i</math>, के पैटर्न में शून्यों की संख्या <math>p_{i+1}</math> के लिए शून्यों की संख्या से एक अधिक है <math>p_i</math>. पहली तरह की कनिंघम श्रृंखलाओं के साथ, पैटर्न के बचे हुए टुकड़े प्रत्येक क्रमिक प्रधान के साथ स्थान से चले गए।
 इसी प्रकार, क्योंकि <math> p_i = 2^{i-1}p_1 + (2^{i-1}-1) \, </math> यह इस प्रकार है कि <math>p_i \equiv 2^{i-1} - 1 \pmod{p_1}</math>. लेकिन, फेर्मत की छोटी प्रमेय द्वारा, <math>2^{p_1-1} \equiv 1 \pmod{p_1}</math>, इसलिए <math>p_1</math> विभाजित <math>p_{p_1}</math> (यानी साथ <math> i = p_1 </math>). इस प्रकार, कोई कनिंघम शृंखला अनंत लंबाई की नहीं हो सकती।<ref>{{cite journal|last=Löh|first=Günter|title=लगभग दोगुनी प्राइम्स की लंबी श्रृंखला|journal=Mathematics of Computation|date=October 1989|volume=53|issue=188|pages=751–759|doi=10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1989-53-188/S0025-5718-1989-0979939-8/|doi-access=free}}</ref>
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 {{Prime number classes}}
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v t e प्राइम नंबर कक्षाएं
सूत्र द्वारा	[[Fermat संख्या \| fermat ( $2 2 n + 1$ )]] [[Mersenne Prime \| Mersenne ( $2 p - 1$ )]] [[डबल मर्सन नंबर \| डबल मर्सन ( $2 2 p -1 - 1$ 0]] [[Wagstaff Prime \| Wagstaff $(2 p + 1)/3$ ]] [[प्रोथ प्राइम \| प्रोथ ( $k \cdot2 n + 1$ )]] [[फैक्टरियल प्राइम \| फैक्टरियल ( $n! \pm 1$ )]] [[प्राइमोरियल प्राइम \| प्राइमोरियल ( $p n # \pm 1$ )]] [[यूक्लिड नंबर \| Euclid ( $p n # + 1$ )]] [[पाइथागोरियन प्राइम \| पाइथागोरियन ( $4 n + 1$ )]] [[पियरपॉन्ट प्राइम \| पियरपोंट ( $2 m \cdot3 n + 1$ )]] [[फौयन प्राइम \| क्वार्टन ( $x 4 + y 4$ )]] [[प्राइम सोलिनास \| सोलिनास ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ )]] [[कुलेन नंबर \| कुलेन ( $n \cdot2 n + 1$ )]] [[वुडल नंबर \| वुडल ( $n \cdot2 n - 1$ )]] [[क्यूबन प्राइम \| क्यूबन (क्यूबन () $x 3 - y 3)/(x - y$ ]] [[Leyland संख्या \| Leyland ( $x y + y x$ )]] [[Thabit संख्या \| thabit ( $3\cdot2 n - 1$ )]] [[विलियम्स नंबर \| विलियम्स ( $(b -1)\cdot b n - 1$ )]] [[मिल्स निरंतर \| मिल्स ( $⌊ A 3 n ⌋$ )]]
पूर्णांक अनुक्रम द्वारा	Fibonacci लुकास पेल न्यूमैन -शैंक्स -विलियम्स पेरिन विभाजन बेल Motzkin
संपत्ति से	Wieferich ( जोड़ी) वॉल -सन -सन वोल्स्टेनहोल्मे विल्सन भाग्यशाली भाग्यशाली रामानुजन पिल्लई नियमित मजबूत स्टर्न सुपरसिंगुलर (अण्डाकार वक्र) सुपरसिंगुलर (मूनशाइन थ्योरी) अच्छा सुपर हिग्स अत्यधिक cototient अद्वितीय
आधार-आश्रित	पालिंड्रोमिक एमिर्प [[Repunit \| repunit $(10 n - 1)/9$ ]] पारगम्य परिपत्र truncatable न्यूनतम नाजुक प्राइमवेल पूर्ण रेप्टेंड अद्वितीय [हैप्पी नंबर # हैप्पी प्राइम्स
पैटर्न्स	[[ट्विन प्राइम \| ट्विन ( $p, p + 2$ ]] [[पिंडली के पेट \| शिन पेट ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ]] [[प्राइम ट्रिपल \| ट्रिपल ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ]] [[प्राइम क्वाड्रुप्लेट \| क्वाड्रुलेट ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ]] k -tuple [[चचेरे भाई प्राइम \| चचेरे भाई ( $p, p + 4$ ]] [[सेक्सी प्राइम \| सेक्सी ( $p, p + 6$ ]] चेन [[सेफ एंड सोफी जर्मेन प्राइम्स \| सोफी जर्मेन/सेफ ( $p, 2 p + 1$ ]] [[कनिंघम श्रृंखला \| कनिंघम ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ]] [[अंकगणितीय प्रगति में primes \| अंकगणितीय प्रगति ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ]] [[संतुलित प्राइम \| संतुलित ( $consecutive p - n, p, p + n$ ]]
आकार से	मेगा(1,000,000+ अंक) सबसे बड़ा ज्ञात सूची
जटिल संख्या	Eisenstein Prime गाऊसी प्राइम
समग्र संख्या	स्यूडोप्राइम कैटलन अण्डाकार यूलर Euler -Jacobi Fermat फ्रोबेनियस लुकास सोमर -लुकास मजबूत कारमाइकल नंबर लगभग प्रमुख सेमीप्रीम इंटरप्राइम घबराहट
संबंधित विषय	संभावित प्राइम औद्योगिक-ग्रेड प्राइम अवैध प्राइम प्राइम्स के लिए सूत्र प्राइम गैप
पहला60अभाज्य	२ ३ ५ 7 ११ १३ 17 19 २३ २ ९ ३१ 37 ४१ ४३ 47 ५३ ५ ९ ६१ 67 71 73 79 83 89 97 १०१ १०३ 107 १० ९ ११३ 127 १३१ 137 १३ ९ १४ ९ १५१ 157 १६३ 167 173 179 181 १ ९ १ १ ९ ३ 197 199 211 २२३ 227 २२ ९ २३३ २३ ९ २४१ २५१ 257 २६३ 269 271 277 281
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