अविघटनीय सातत्य

यह लेख रचनात्मक गणित द्वारा वास्तविक रेखा के लिए जिम्मेदार अविघटनीयता के बारे में नहीं है। देखें अपघटनीयता (रचनात्मक गणित)।

स्थिर प्रतिच्छेदन की एक श्रृंखला की सीमा के रूप में बकेट नियंत्रण के निर्माण के पहले चार चरण

सामान्य सांस्थिति में, अविघटनीय सातत्य एक सातत्य (सांस्थिति) है जो अविघटनीय है, अर्थात जिसे इसके उचित सबकॉन्टिनुआ के किन्हीं दो के मिलन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। 1910 में, एल. ई. जे. ब्रौवर अविघटनीय सातत्य का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति थे।

प्ररुपविज्ञानी द्वारा अविघटनीय कॉन्टिनुआ का उपयोग प्रति उदाहरण के स्रोत के रूप में किया गया है। वे गतिशील प्रणालियों में भी होते हैं।

परिभाषाएँ

कॉन्टिनुआ $C$ एक गैर-खाली सघन जगह जुड़ा हुआ स्थान मीट्रिक स्थान है। चाप (सांस्थिति), n-वृत्त, और हिल्बर्ट घन पथ-संसक्त कॉन्टिनुआ के उदाहरण हैं; प्ररुपविज्ञानी का ज्या वक्र और वारसॉ वृत्त ग़ैर-पथ-संसक्त कॉन्टिनुआ के उदाहरण हैं। सबकॉन्टिनुआ $C'$ कॉन्टिनुआ $C$ का बंद जुड़ा उपसमुच्चय है। एक स्थान अविकृत है यदि यह एक बिंदु के बराबर नहीं है। सातत्य C विघटित हो सकता है यदि वहाँ $C$ के दो उपमहाद्वीपीय सबकॉन्टिनुआ $A$ और $B$ उपस्थित हैं जैसे कि $A\neq C$ और $B\neq C$ लेकिन $A\cup B=C$ है। सातत्य जो अपघटनीय नहीं है वह अविघटनीय सातत्य है। कॉन्टिनुआ $C$ जिसमें प्रत्येक सबकॉन्टिनुआ अविघटनीय है, वंशानुगत रूप से अविघटनीय कहा जाता है। अविघटनीय सातत्य का एक संघटक $C$ अधिकतम सम्मुच्चय है जिसमें कोई भी दो बिंदु किसी उचित सबकॉन्टिनुआ के भीतर $C$ स्थित होते हैं। कॉन्टिनुआ $C$ के बीच $c$ और $c'$अपरिवर्तनीय है अगर $c,c'\in C$ और किसी भी उचित सबकॉन्टिनुआ में दोनों बिंदु नहीं होते हैं। अविघटनीय सातत्य अपने किन्हीं दो बिन्दुओं के बीच अलघुकरणीय होता है।

इतिहास

वाडा की झीलों का पांचवां चरण

1910 में एल. ई. जे. ब्रौवर ने अविघटनीय सातत्य का वर्णन किया जिसने आर्थर मोरिट्ज़ शोएनफ्लाइज़ द्वारा किए गए एक अनुमान को खारिज कर दिया कि, यदि $X_{1}$ और $X_{2}$ खुले हैं, जुड़े हुए हैं, $\mathbb {R} ^{2}$ में सम्मुच्चय को इस प्रकार अलग करते हैं कि $\partial X_{1}=\partial X_{2}$, तब $\partial X_{1}=\partial X_{2}$ दो बंद, जुड़े उचित उपसमुच्चय का मिलन होना चाहिए। ज़िग्मंट जानिस्ज़ेव्स्की ने समूह नियंत्रण के एक संस्करण सहित इस तरह के और अधिक अपघटनीय कॉन्टिनुआ का वर्णन किया है। जैनिसजेवेस्की ने, तथापि, इन निरंतरताओं की अपरिवर्तनीयता पर ध्यान केंद्रित किया। 1917 में कुनिज़ो योनीयामा ने वाडा की झीलों (ताकेओ वाडा के नाम पर) का वर्णन किया, जिनकी सामान्य सीमा अविघटनीय है। 1920 के दशक में अविघटनीय कॉन्टिनुआ का अध्ययन वॉरसॉ स्कूल (गणित) द्वारा फंडामेंटा मैथेमेटिका में उनके स्वयं के लिए किया जाने लगा, न कि तर्कहीन गणक उदाहरण के रूप में किया गया। अविघटनीयता की परिभाषा देने वाले पहले व्यक्ति स्टीफ़न मज़ुर्कीविक्ज़ थे। 1922 में ब्रॉनिस्लाव नास्टर ने छद्म-आर्क का वर्णन किया, पहला उदाहरण एक आनुवंशिक रूप से अविघटनीय सातत्य का पाया गया।

समूह नियंत्रण उदाहरण

अविच्छिन्न कॉन्टिनुआ प्रायः स्थिर प्रतिच्छेदन के अनुक्रम की सीमा के रूप में निर्मित होते हैं, या (अधिक सामान्यतः) कॉन्टिनुआ के अनुक्रम की व्युत्क्रम सीमा के रूप में निर्मित होते हैं। समूह नियंत्रण, या ब्रौवर-जेनिसजेवेस्की-नास्टर सातत्य, को प्रायः एक अविघटनीय सातत्य का सबसे सरल उदाहरण माना जाता है, और इसे निम्न प्रकार निर्मित किया जा सकता है (ऊपरी दाएं देखें)। वैकल्पिक रूप से, समतल में $x$-अक्ष के अंतराल $[0,1]$ पर प्रक्षेपित कैंटर त्रयी सम्मुच्चय ${\mathcal {C}}$ लें। मान लें कि ${\mathcal {C}}_{0}$ केंद्र $(1/2,0)$ के साथ $x$-अक्ष के ऊपर अर्धवृत्त का वर्ग है और यह ${\mathcal {C}}$ पर समापन बिंदुओं के साथ है (जो लगभग इस बिंदु में सममित है )। मान लें कि ${\mathcal {C}}_{1}$ $x$-अक्ष के नीचे अर्धवृत्तों का वर्ग है, जो अंतराल के मध्यबिंदु को केंद्र में $[2/3,1]$ और अंत बिंदु ${\mathcal {C}}\cap [2/3,1]$ के साथ रखता है। मान लें कि ${\mathcal {C}}_{i}$ $x$-अक्ष के नीचे अर्धवृत्तों का वर्ग है, जिसका केंद्र अंतराल के मध्यबिंदु $[2/3^{i},3/3^{i}]$ और ${\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]$ में अंतिमबिंदु के साथ है। फिर ऐसे सभी का मिलन ${\mathcal {C}}_{i}$समूह का नियंत्रण है। समूह नियंत्रण बोरेल अनुप्रस्थ को स्वीकार नहीं करता है, अर्थात ऐसा कोई बोरेल सम्मुच्चय नहीं है जिसमें प्रत्येक कंपोजेंट से ठीक एक बिंदु हो।

गुण

एक आशय में, 'अधिकांश' निरंतर अविघटनीय हैं। होने देना $M$ को मीट्रिक d के साथ n-सेल होने दें, $2^{M}$ के सभी गैर-खाली बंद उपसमुच्चय का सम्मुच्चय $M$, और $C(M)$ के सभी जुड़े हुए सदस्यों का हाइपरस्पेस $2^{M}$ हॉसडॉर्फ मीट्रिक से लैस $H_{d}$ द्वारा परिभाषित $H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}$ है। फिर अविघटित अविघटनीय सबकॉन्टिनुआ का सम्मुच्चय $M$ सघन रूप से $C(M)$ में स्थापित है।

गतिकीय तंत्र में

1932 में जॉर्ज बिरखॉफ़ ने अपने उल्लेखनीय बंद वक्र का वर्णन किया, एनुलस (गणित) का होमोमोर्फिज्म जिसमें एक अपरिवर्तनीय सातत्य सम्मिलित था। मैरी चारपेंटियर ने दिखाया कि यह सातत्य अविघटनीय था। मार्सी बार्ज और अन्य ने गतिशील प्रणालियों में व्यापक रूप से अविघटनीय कॉन्टिनुआ का अध्ययन किया है।

यह भी देखें

• अपघटनीयता (रचनात्मक गणित)
• वाडा की झीलें, समतल के तीन खुले उपसमुच्चय जिनकी सीमा एक अविघटनीय सातत्य है
• सोलेनॉइड (गणित)
• सीरपिंस्की कालीन

बाहरी संबंध

• Solecki, S. (2002). "टोपोलॉजी में वर्णनात्मक सेट सिद्धांत". In Hušek, एम.; वैन मिल, J. (eds.). Recent progress in general topology II. Elsevier. pp. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
• कैसलमैन, बिल (2014), "कवर के बारे में" (PDF), एम्स के नोटिस, 61: 610, 676 explains Brouwer's picture of his indecomposable continuum that appears on the front cover of the journal.