ताऊ-लीपिंग (τ-लीपिंग): Difference between revisions
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संभाव्यता सिद्धांत में '''ताऊ-लीपिंग''' या '''τ-लीपिंग''' एक [[स्टोकेस्टिक प्रणाली|प्रसंभाव्य प्रणाली]] के | संभाव्यता सिद्धांत में '''ताऊ-लीपिंग''' या '''τ-लीपिंग''' एक [[स्टोकेस्टिक प्रणाली|प्रसंभाव्य प्रणाली]] के अनुरूपण के लिए अनुमानित विधि है।<ref>{{Cite journal | last1 = Gillespie | first1 = D. T. | author-link1 = Daniel Gillespie| title = रासायनिक रूप से प्रतिक्रिया करने वाली प्रणालियों का अनुमानित त्वरित स्टोकेस्टिक अनुकरण| doi = 10.1063/1.1378322 | journal = The Journal of Chemical Physics | volume = 115 | issue = 4 | pages = 1716–1733| year = 2001 | url = http://users.soe.ucsc.edu/~msmangel/Gillespie01.pdf| bibcode = 2001JChPh.115.1716G}}</ref> यह [[गिलेस्पी एल्गोरिथम]] पर आधारित है जो प्रवृत्ति फलनों का नवीनीकरण करने से पहले ताऊ-लीपिंग की लंबाई के अंतराल के लिए सभी प्रतिक्रियाओं का प्रदर्शन करती है।<ref>{{Cite book | last1 = Erhard | first1 = F. | last2 = Friedel | first2 = C. C. | last3 = Zimmer | first3 = R. | doi = 10.1007/978-1-4419-5797-9_30 | chapter = FERN – Stochastic Simulation and Evaluation of Reaction Networks | title = सिग्नलिंग नेटवर्क के लिए सिस्टम बायोलॉजी| pages = 751 | year = 2010 | isbn = 978-1-4419-5796-2 }}</ref> दरों को अपेक्षाकृत कम अपडेट (अद्यतन) करने से यह कभी-कभी अधिक कुशल अनुरूपण की स्वीकृति देता है और इस प्रकार बड़ी प्रणालियों पर विचार किया जाता है। | ||
जिसके आधारिक एल्गोरिथम के कई प्रकारों पर विचार किया गया है।<ref>{{Cite journal | last1 = Cao | first1 = Y. | last2 = Gillespie | first2 = D. T. | author-link2 = Daniel Gillespie| last3 = Petzold | first3 = L. R. | author3-link = Linda Petzold| doi = 10.1063/1.1992473 | title = स्पष्ट पोइसन ताऊ-लीपिंग में नकारात्मक आबादी से बचना| journal = The Journal of Chemical Physics | volume = 123 | issue = 5 | pages = 054104 | year = 2005 | pmid = 16108628| bibcode = 2005JChPh.123e4104C | citeseerx = 10.1.1.123.3650 | s2cid = 1652735 }}</ref><ref name="1.215">{{Cite journal | last1 = Cao | first1 = Y. | last2 = Gillespie | first2 = D. T. | author-link2 = Daniel Gillespie| last3 = Petzold | first3 = L. R. | author3-link = Linda Petzold| doi = 10.1063/1.2159468 | title = ताऊ-लीपिंग सिमुलेशन विधि के लिए कुशल चरण आकार चयन| journal = The Journal of Chemical Physics | volume = 124 | issue = 4 | pages = 044109 | year = 2006 | pmid = 16460151| url = http://www.cs.ucsb.edu/~cse/Files/NewTau052.pdf| bibcode = 2006JChPh.124d4109C}}</ref><ref>{{Cite journal|title = ताऊ-लीपिंग में पोस्टलीप चेक शामिल करना|journal = The Journal of Chemical Physics|date = 2008-02-07|issn = 0021-9606|pages = 054103|volume = 128|issue = 5|doi = 10.1063/1.2819665|pmid = 18266441|first = David F.|last = Anderson|arxiv = 0708.0377|bibcode = 2008JChPh.128e4103A| s2cid=1166923 }}</ref><ref>{{Cite journal|title = Binomial distribution based τ-leap accelerated stochastic simulation|journal = The Journal of Chemical Physics|date = 2005-01-08|issn = 0021-9606|pages = 024112|volume = 122|issue = 2|doi = 10.1063/1.1833357|pmid = 15638577|first1 = Abhijit|last1 = Chatterjee|first2 = Dionisios G.|last2 = Vlachos|first3 = Markos A.|last3 = Katsoulakis|bibcode = 2005JChPh.122b4112C}}</ref><ref>{{Cite journal|title = हाइब्रिड चेरनॉफ़ ताऊ-लीप|journal = Multiscale Modeling & Simulation|date = 2014-04-24|issn = 1540-3467|pages = 581–615|volume = 12|issue = 2|doi = 10.1137/130925657|first1 = Alvaro|last1 = Moraes|first2 = Raul|last2 = Tempone|first3 = Pedro|last3 = Vilanova|citeseerx = 10.1.1.756.9799}}</ref> | |||
== एल्गोरिथम == | == एल्गोरिथम == | ||
नियतात्मक प्रणालियों के लिए एल्गोरिथम [[यूलर विधि]] के अनुरूप है, लेकिन एक निश्चित परिवर्तन | नियतात्मक प्रणालियों के लिए एल्गोरिथम [[यूलर विधि]] के अनुरूप है, लेकिन एक निश्चित परिवर्तन <math>x(t+\tau)=x(t)+\tau x'(t)</math> करने के अतिरिक्त रूपान्तरण है: | ||
<math>x(t+\tau)=x(t)+P(\tau x'(t))</math> | <math>x(t+\tau)=x(t)+P(\tau x'(t))</math> | ||
जहाँ <math>P(\tau x'(t))</math> माध्य <math>\tau x'(t)</math> के साथ एक | जहाँ <math>P(\tau x'(t))</math> माध्य <math>\tau x'(t)</math> के साथ एक प्वाइजन वितरित यादृच्छिक चर है। <math>\mathbf{x}(t)=\{X_i(t)\}</math> की अवस्था को देखते हुए <math>E_j</math> की दर <math>R_j(\mathbf{x}(t))</math> और अवस्था रूपान्तरण सदिश के साथ <math>\mathbf{v}_{ij}</math> जहां <math>i</math> अवस्था चरों और <math>j</math> घटनाओं को अनुक्रमित करता है। यह विधि इस प्रकार है: | ||
<math>\mathbf{x}( | # प्रारम्भिक अवस्था चर <math>\mathbf{x}(t_0)=\{X_i(t_0)\}</math> के साथ मॉडल को प्रारम्भ करें। | ||
# <math>R_j(\mathbf{x}(t))</math> घटना दरों की गणना करें। | |||
# | # समय चरण <math>\tau</math> का चयन करे जिससे यह तय किया जा सकता है या कुछ एल्गोरिथ्म द्वारा विभिन्न घटना दरों पर निर्भर किया जा सकता है। | ||
# प्रत्येक <math>E_j</math> घटना के लिए <math>K_j \sim \text{Poisson}(R_j\tau)</math> का चयन करना, जो समय अंतराल के समय प्रत्येक घटना <math>[t,t+\tau)</math> के घटित होने की संख्या है। | |||
# | #कुछ वांछित शर्त पूरी होने तक चरण 2 से आगे दोहराएं उदाहरण के लिए एक विशेष अवस्था चर 0 तक अभिगम्य होता है या समय <math>t_1</math> तक अभिगम्य हो जाता है। | ||
# प्रत्येक | #<math>\mathbf{x}(t+\tau)=\mathbf{x}(t)+\sum_j K_jv_{ij}</math> द्वारा अवस्था को परिवर्तित करें। | ||
# | जहाँ <math>v_{ij}</math> के कारण अवस्था चर <math>X_i</math> में परिवर्तन <math>E_j</math> है। इस बिंदु पर यह जाँचना आवश्यक हो सकता है कि कोई भी जनसंख्या अवास्तविक मान तक नहीं अभिगम्य होती है जैसे कि प्वाइजन चर <math>K_j</math> की असीमित प्रकृति के कारण जनसंख्या ऋणात्मक हो रही है। | ||
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== कुशल चरण आकार चयन के लिए एल्गोरिथम == | == कुशल चरण आकार चयन के लिए एल्गोरिथम == | ||
इस एल्गोरिथ्म का वर्णन काओ | इस एल्गोरिथ्म का वर्णन काओ एटअल द्वारा किया गया है।<ref name="1.215"/> जिनका विचार यह है कि प्रत्येक घटना दर <math>R_j</math> में सापेक्ष परिवर्तन को एक निर्दिष्ट सहनशीलता <math>\epsilon</math> (काओ सुझाव <math>\epsilon=0.03</math>हालांकि यह मॉडल की सूक्ष्मता पर निर्भर हो सकता है) द्वारा सीमित करना है। यह प्रत्येक अवस्था चर <math>X_i</math> में <math>\epsilon/g_i</math> द्वारा सापेक्ष परिवर्तन को बाध्य करके प्राप्त किया जाता है। जहां <math>g_i</math> उस दर पर निर्भर करता है जो <math>X_i</math> में दिए गए परिवर्तन के लिए सबसे अधिक परिवर्तन करता है। विशिष्ट रूप से <math>g_i</math> उच्चतम अनुक्रम घटना दर के बराबर है, लेकिन यह विभिन्न अवस्थाओ जैसे विशेष रूप से गैर-रैखिक घटना दर वाली महामारी विज्ञान मॉडल मे अधिक जटिल हो सकता है। | ||
इस एल्गोरिदम को | इस एल्गोरिदम को सामान्यतः <math>2N</math> सहायक मानों की गणना करने की आवश्यकता होती है। जहाँ <math>N</math> अवस्था चर <math>X_i</math> की संख्या है और केवल पहले से अनुमानित मानों <math>R_j(\mathbf{x})</math> के पुन: उपयोग की आवश्यकता होती है। यदि इसमें महत्वपूर्ण कारक <math>X_i</math> एक पूर्णांक मान है तो <math>X_i</math> वह न्यूनतम मान है जिसके द्वारा यह परिवर्तित किया जा सकता है। <math>R_j</math> में सापेक्ष परिवर्तन को 0 से अपेक्षाकृत कम होने से रोकता है जिसके परिणामस्वरूप <math>\tau</math> स्वतः 0 की ओर अग्रषित होता है। | ||
# प्रत्येक | # प्रत्येक अवस्था चर के लिए <math>X_i</math>, सहायक मानों की गणना करें: | ||
#: <math>\mu_i(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij} R_j(\mathbf{x})</math> | #: <math>\mu_i(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij} R_j(\mathbf{x})</math> | ||
#: <math>\sigma_i^2(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij}^2 R_j(\mathbf{x})</math> | #: <math>\sigma_i^2(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij}^2 R_j(\mathbf{x})</math> | ||
# प्रत्येक | # प्रत्येक अवस्था चर <math>X_i</math> के लिए, उच्चतम अनुक्रम घटना निर्धारित करें जिसमें यह सम्मिलित है और <math>g_i</math> को प्राप्त करें: | ||
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इस | इस अभिकलित मान <math>\tau</math> का उपयोग तब <math>\tau</math> लीपिंग एल्गोरिथम के चरण-3 में किया जाता है। | ||
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Latest revision as of 14:25, 6 June 2023
संभाव्यता सिद्धांत में ताऊ-लीपिंग या τ-लीपिंग एक प्रसंभाव्य प्रणाली के अनुरूपण के लिए अनुमानित विधि है।[1] यह गिलेस्पी एल्गोरिथम पर आधारित है जो प्रवृत्ति फलनों का नवीनीकरण करने से पहले ताऊ-लीपिंग की लंबाई के अंतराल के लिए सभी प्रतिक्रियाओं का प्रदर्शन करती है।[2] दरों को अपेक्षाकृत कम अपडेट (अद्यतन) करने से यह कभी-कभी अधिक कुशल अनुरूपण की स्वीकृति देता है और इस प्रकार बड़ी प्रणालियों पर विचार किया जाता है।
जिसके आधारिक एल्गोरिथम के कई प्रकारों पर विचार किया गया है।[3][4][5][6][7]
एल्गोरिथम
नियतात्मक प्रणालियों के लिए एल्गोरिथम यूलर विधि के अनुरूप है, लेकिन एक निश्चित परिवर्तन करने के अतिरिक्त रूपान्तरण है:
जहाँ माध्य के साथ एक प्वाइजन वितरित यादृच्छिक चर है। की अवस्था को देखते हुए की दर और अवस्था रूपान्तरण सदिश के साथ जहां अवस्था चरों और घटनाओं को अनुक्रमित करता है। यह विधि इस प्रकार है:
- प्रारम्भिक अवस्था चर के साथ मॉडल को प्रारम्भ करें।
- घटना दरों की गणना करें।
- समय चरण का चयन करे जिससे यह तय किया जा सकता है या कुछ एल्गोरिथ्म द्वारा विभिन्न घटना दरों पर निर्भर किया जा सकता है।
- प्रत्येक घटना के लिए का चयन करना, जो समय अंतराल के समय प्रत्येक घटना के घटित होने की संख्या है।
- कुछ वांछित शर्त पूरी होने तक चरण 2 से आगे दोहराएं उदाहरण के लिए एक विशेष अवस्था चर 0 तक अभिगम्य होता है या समय तक अभिगम्य हो जाता है।
- द्वारा अवस्था को परिवर्तित करें।
जहाँ के कारण अवस्था चर में परिवर्तन है। इस बिंदु पर यह जाँचना आवश्यक हो सकता है कि कोई भी जनसंख्या अवास्तविक मान तक नहीं अभिगम्य होती है जैसे कि प्वाइजन चर की असीमित प्रकृति के कारण जनसंख्या ऋणात्मक हो रही है।
कुशल चरण आकार चयन के लिए एल्गोरिथम
इस एल्गोरिथ्म का वर्णन काओ एटअल द्वारा किया गया है।[4] जिनका विचार यह है कि प्रत्येक घटना दर में सापेक्ष परिवर्तन को एक निर्दिष्ट सहनशीलता (काओ सुझाव हालांकि यह मॉडल की सूक्ष्मता पर निर्भर हो सकता है) द्वारा सीमित करना है। यह प्रत्येक अवस्था चर में द्वारा सापेक्ष परिवर्तन को बाध्य करके प्राप्त किया जाता है। जहां उस दर पर निर्भर करता है जो में दिए गए परिवर्तन के लिए सबसे अधिक परिवर्तन करता है। विशिष्ट रूप से उच्चतम अनुक्रम घटना दर के बराबर है, लेकिन यह विभिन्न अवस्थाओ जैसे विशेष रूप से गैर-रैखिक घटना दर वाली महामारी विज्ञान मॉडल मे अधिक जटिल हो सकता है।
इस एल्गोरिदम को सामान्यतः सहायक मानों की गणना करने की आवश्यकता होती है। जहाँ अवस्था चर की संख्या है और केवल पहले से अनुमानित मानों के पुन: उपयोग की आवश्यकता होती है। यदि इसमें महत्वपूर्ण कारक एक पूर्णांक मान है तो वह न्यूनतम मान है जिसके द्वारा यह परिवर्तित किया जा सकता है। में सापेक्ष परिवर्तन को 0 से अपेक्षाकृत कम होने से रोकता है जिसके परिणामस्वरूप स्वतः 0 की ओर अग्रषित होता है।
- प्रत्येक अवस्था चर के लिए , सहायक मानों की गणना करें:
- प्रत्येक अवस्था चर के लिए, उच्चतम अनुक्रम घटना निर्धारित करें जिसमें यह सम्मिलित है और को प्राप्त करें:
- समय चरण की गणना करें जैसे कि:
इस अभिकलित मान का उपयोग तब लीपिंग एल्गोरिथम के चरण-3 में किया जाता है।
संदर्भ
- ↑ Gillespie, D. T. (2001). "रासायनिक रूप से प्रतिक्रिया करने वाली प्रणालियों का अनुमानित त्वरित स्टोकेस्टिक अनुकरण" (PDF). The Journal of Chemical Physics. 115 (4): 1716–1733. Bibcode:2001JChPh.115.1716G. doi:10.1063/1.1378322.
- ↑ Erhard, F.; Friedel, C. C.; Zimmer, R. (2010). "FERN – Stochastic Simulation and Evaluation of Reaction Networks". सिग्नलिंग नेटवर्क के लिए सिस्टम बायोलॉजी. p. 751. doi:10.1007/978-1-4419-5797-9_30. ISBN 978-1-4419-5796-2.
- ↑ Cao, Y.; Gillespie, D. T.; Petzold, L. R. (2005). "स्पष्ट पोइसन ताऊ-लीपिंग में नकारात्मक आबादी से बचना". The Journal of Chemical Physics. 123 (5): 054104. Bibcode:2005JChPh.123e4104C. CiteSeerX 10.1.1.123.3650. doi:10.1063/1.1992473. PMID 16108628. S2CID 1652735.
- ↑ 4.0 4.1 Cao, Y.; Gillespie, D. T.; Petzold, L. R. (2006). "ताऊ-लीपिंग सिमुलेशन विधि के लिए कुशल चरण आकार चयन" (PDF). The Journal of Chemical Physics. 124 (4): 044109. Bibcode:2006JChPh.124d4109C. doi:10.1063/1.2159468. PMID 16460151.
- ↑ Anderson, David F. (2008-02-07). "ताऊ-लीपिंग में पोस्टलीप चेक शामिल करना". The Journal of Chemical Physics. 128 (5): 054103. arXiv:0708.0377. Bibcode:2008JChPh.128e4103A. doi:10.1063/1.2819665. ISSN 0021-9606. PMID 18266441. S2CID 1166923.
- ↑ Chatterjee, Abhijit; Vlachos, Dionisios G.; Katsoulakis, Markos A. (2005-01-08). "Binomial distribution based τ-leap accelerated stochastic simulation". The Journal of Chemical Physics. 122 (2): 024112. Bibcode:2005JChPh.122b4112C. doi:10.1063/1.1833357. ISSN 0021-9606. PMID 15638577.
- ↑ Moraes, Alvaro; Tempone, Raul; Vilanova, Pedro (2014-04-24). "हाइब्रिड चेरनॉफ़ ताऊ-लीप". Multiscale Modeling & Simulation. 12 (2): 581–615. CiteSeerX 10.1.1.756.9799. doi:10.1137/130925657. ISSN 1540-3467.
