परिमित चरित्र: Difference between revisions

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{{Distinguish|एक परिमित समूह का चरित्र}}
गणित में, समुच्चयों का परिवार  <math>\mathcal{F}</math> [[सेट (गणित)]] प्रत्येक के लिए परिमित चरित्र का है <math>A</math>, <math>A</math> से संबंधित  <math>\mathcal{F}</math> अगर और केवल अगर हर परिमित [[सबसेट]] सेट करता है <math>A</math> से संबंधित  <math>\mathcal{F}</math>. वह है,
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#प्रत्येक के लिए <math>A\in \mathcal{F}</math>, का प्रत्येक परिमित समुच्चय <math>A</math> से संबंधित  <math>\mathcal{F}</math>.
 
# यदि किसी दिए गए सेट का हर परिमित उपसमुच्चय <math>A</math> से संबंधित  <math>\mathcal{F}</math>, तब <math>A</math> से संबंधित  <math>\mathcal{F}</math>.
जैसे कि -
#प्रत्येक <math>A\in \mathcal{F}</math> के लिए <math>A</math> का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय <math>\mathcal{F}</math> से संबंधित होता है।
# यदि किसी दिए गए समुच्चय <math>A</math> का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय <math>\mathcal{F}</math> से संबंधित है, तो <math>A</math>, <math>\mathcal{F}</math> से संबंधित होता है।


== गुण ==
== गुण ==
एक परिवार <math>\mathcal{F}</math> परिमित चरित्र के समुच्चय निम्नलिखित गुणों का आनंद लेते हैं:
परिमित चरित्र के समुच्चय समूह <math>\mathcal{F}</math> मे निम्नलिखित विशेषताएँ सम्मिलित होती है:


#प्रत्येक के लिए <math>A\in \mathcal{F}</math>, प्रत्येक (परिमित या अनंत) उपसमुच्चय <math>A</math> से संबंधित  <math>\mathcal{F}</math>.
#प्रत्येक <math>A\in \mathcal{F}</math> के लिए <math>A</math> का प्रत्येक (परिमित या अनंत) उपसमुच्चय <math>\mathcal{F}</math> से संबंधित होता है।
# परिमित चरित्र के प्रत्येक गैर-खाली परिवार में [[समावेशन (सेट सिद्धांत)]] (तुके की लेम्मा) के संबंध में एक [[अधिकतम तत्व]] होता है: में <math>\mathcal{F}</math>, आंशिक रूप से शामिल किए जाने का आदेश दिया, हर कुल आदेश के [[संघ (सेट सिद्धांत)]] # तत्वों की जंजीरों <math>\mathcal{F}</math> का भी है <math>\mathcal{F}</math>, इसलिए, Zorn_Lemma|Zorn's lemma द्वारा, <math>\mathcal{F}</math> कम से कम एक अधिकतम तत्व शामिल है।
# परिमित चरित्र के प्रत्येक गैर-रिक्त समूह में समावेशन के संबंध में एक अधिकतम तत्व <math>\mathcal{F}</math> होता है। इसलिए तुके लेम्मा और ज़ोर्न लेम्मा द्वारा <math>\mathcal{F}</math> में कम से कम एक अधिकतम तत्व होता है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
होने देना <math>V</math> एक सदिश स्थान बनें, और दें <math>\mathcal{F}</math> के [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] उपसमुच्चय का परिवार हो <math>V</math>. तब <math>\mathcal{F}</math> परिमित चरित्र का एक परिवार है (क्योंकि एक सबसेट <math>X \subseteq V </math> रैखिक रूप से निर्भर है अगर और केवल अगर <math>X</math> एक परिमित उपसमुच्चय है जो रैखिक रूप से निर्भर है)।
माना कि <math>V</math> एक सदिश समष्टि है और <math>\mathcal{F}</math>, <math>V</math> के [[रैखिक रूप से स्वतंत्र|एकघाततः स्वतंत्र]] उपसमुच्चय का समूह है। तब <math>\mathcal{F}</math> परिमित चरित्र का एक समूह है क्योंकि उपसमुच्चय <math>X \subseteq V </math> एकघाततः परतंत्र है यदि और केवल यदि <math>X</math> का एक परिमित उपसमुच्चय है जो एकघाततः परतंत्र है। इसलिए प्रत्येक सदिश समष्टि में एकघाततः स्वतंत्र तत्वों का एक अधिकतम समूह सम्मिलित होता है। जैसा कि अधिकतम समूह एक सदिश आधार है, प्रत्येक सदिश समष्टि का संभवतः अनंत सदिश आधार होता है।
इसलिए, प्रत्येक वेक्टर अंतरिक्ष में, रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्वों का एक अधिकतम परिवार मौजूद होता है। जैसा कि अधिकतम परिवार एक सदिश आधार है, प्रत्येक सदिश स्थान का एक (संभवतः अनंत) सदिश आधार होता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[वंशानुगत रूप से परिमित सेट]]
* [[वंशानुगत रूप से परिमित सेट|वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 08:56, 15 June 2023

गणित में, समुच्चय का एक समूह समुच्चय परिमित चरित्र का होता है यदि प्रत्येक के लिए , से संबंधित होता है तब का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय से संबंधित होता है।

जैसे कि -

  1. प्रत्येक के लिए का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय से संबंधित होता है।
  2. यदि किसी दिए गए समुच्चय का प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय से संबंधित है, तो , से संबंधित होता है।

गुण

परिमित चरित्र के समुच्चय समूह मे निम्नलिखित विशेषताएँ सम्मिलित होती है:

  1. प्रत्येक के लिए का प्रत्येक (परिमित या अनंत) उपसमुच्चय से संबंधित होता है।
  2. परिमित चरित्र के प्रत्येक गैर-रिक्त समूह में समावेशन के संबंध में एक अधिकतम तत्व होता है। इसलिए तुके लेम्मा और ज़ोर्न लेम्मा द्वारा में कम से कम एक अधिकतम तत्व होता है।

उदाहरण

माना कि एक सदिश समष्टि है और , के एकघाततः स्वतंत्र उपसमुच्चय का समूह है। तब परिमित चरित्र का एक समूह है क्योंकि उपसमुच्चय एकघाततः परतंत्र है यदि और केवल यदि का एक परिमित उपसमुच्चय है जो एकघाततः परतंत्र है। इसलिए प्रत्येक सदिश समष्टि में एकघाततः स्वतंत्र तत्वों का एक अधिकतम समूह सम्मिलित होता है। जैसा कि अधिकतम समूह एक सदिश आधार है, प्रत्येक सदिश समष्टि का संभवतः अनंत सदिश आधार होता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  • Jech, Thomas J. (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.
  • Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [1996]. Set Theory and the Continuum Problem. Dover Publications. ISBN 978-0-486-47484-7.

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