मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा: Difference between revisions

Latest revision as of 13:25, 15 June 2023

मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत से एक लेम्मा (गणित) है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं के समुच्चय सम्मलित होते हैं (सिद्धांत - विकल्प के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-वादक पूर्णांक खेल निर्धारित होते है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।

लेम्मा को सामान्यतः निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

मान लीजिए

Γ

एक गैर-स्व-दोहरी बिंदु वर्ग है जो वास्तविक परिमाणीकरण के अंतर्गत बंद है और

\land

, और

≺

a

Γ

-अच्छी तरह से स्थापित संबंध ω^ω की श्रेणी

θ \in ON

पर है। अनुमान

R \subseteq dom(≺) \times ω ω

ऐसा हो कि

(\forall x \indom(≺))(\exists y)(x R y)

है। फिर एक

Γ

-समुच्चय

A \subseteq dom(≺) \times ω ω

है जो R के लिए एक विकल्प समुच्चय है, वह है:

$(\forall α < θ)(\exists x \indom(≺), y)(| x | ≺ = α \land x A y)$ .
$(\forall x, y)(x A y \to x R y)$ .

एक प्रमाण निम्नानुसार चलता है: मान लीजिए कि विरोधाभास के लिए $θ$ एक न्यूनतम गणक उदाहरण है, और $(ω ω) 2$ के $Γ$ -उपसमुच्चयों के लिए $≺$ , $R$ , और एक उपयुक्त सार्वभौमिक समुच्चय $U \subseteq (ω ω) 3$ निर्धारित है।आसानी से, $θ$ एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए।^[1] $δ < θ$ के लिए, हम कहते हैं कि $u \in ω ω$ कोड एक $δ$ -विकल्प समुच्चय प्रदान करता है, बशर्ते गुण (1) $α \leq δ$ के लिए $A = U u$ का उपयोग करता है और गुण (2) $A = U u$ धारण करता है जहां हम $x \in dom(≺)$ को $x \in dom(≺) \land | x | ≺ [\leq δ]$ से प्रतिस्थापित करते हैं। $θ$ की न्यूनतमता से, सभी $δ < θ$ के लिए, $δ$ -विकल्प समुच्चय हैं।

अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक $u, v \in ω ω$ चयन करते है और II तब विजय होता है जब $u$ कुछ $δ 1 < θ$ के लिए एक $δ 1$ -विकल्प समुच्चय को कोडिंग करता है, तो $v$ कोड कुछ $δ 2 > δ 1$ के लिए $δ 2$ -विकल्प समुच्चय को दर्शाता है। I के लिए एक विजय की रणनीति स्वेच्छतः बड़े $δ < θ$ के लिए वास्तविक संकेतन $δ$ -विकल्प समुच्चय के $Σ 11$ समुच्चय B को परिभाषित करता है। तब परिभाषित करें

x A y \leftrightarrow (\exists w \in B) U (w, x, y)

,

जो आसानी से काम करता है। दूसरी ओर, मान लीजिए II के लिए $τ$ विजय की रणनीति है। s-m-n प्रमेय से, मान लीजिए $s :(ω ω) 2 \to ω ω$ निरंतर ऐसा हो कि सभी $ϵ$ , $x$ , $t$ , और $w$ के लिए,

U (s (ϵ, x), t, w) \leftrightarrow (\exists y, z)(y ≺ x \land U (ϵ, y, z) \land U (z, t, w))

.

पुनरावर्तन प्रमेय के अनुसार, $ϵ 0$ का अस्तित्व है जैसे $U (ϵ 0, x, z) \leftrightarrow z = τ (s (ϵ 0, x))$ हैं। $x \in dom(≺)$ के लिए |x|_≺ पर एक सीधा प्रेरण दर्शाता है कि

(\forall x \indom(≺))(\exists! z) U (ϵ 0, x, z)

,

और

(\forall x \indom(≺), z)(U (ϵ 0, x, z) \to z encodes a choice set of ordinal \geq| x | ≺)

.

तो अनुमान

x A y \leftrightarrow (\exists z \indom(≺), w)(U (ϵ 0, z, w) \land U (w, x, y))

^[2]^[3]^[4]

संदर्भ

↑ User 16278263789; Schweber, Noah (9 October 2011). "वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा". MathOverflow. Retrieved 2020-04-06. {{cite web}}: |last1= has generic name (help)CS1 maint: url-status (link)
↑ Babinkostova, Liljana (2011). Set Theory and Its Applications (in English). American Mathematical Society. ISBN 978-0821848128.
↑ Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (October 27, 2005). Handbook of Set Theory (PDF). Springer. p. 2230. ISBN 978-1402048432.
↑ Moschovakis, Yiannis (October 4, 2006). "Ordinal games and playful models". In Alexander S. Kechris; Donald A. Martin; Yiannis N. Moschovakis (eds.). Cabal Seminar 77 – 79: Proceedings, Caltech-UCLA Logic Seminar 1977 – 79. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 839. Berlin: Springer. pp. 169–201. doi:10.1007/BFb0090241. ISBN 978-3-540-38422-9.

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[1] User 16278263789; Schweber, Noah (9 October 2011). "वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा". MathOverflow. Retrieved 2020-04-06. {{cite web}}: |last1= has generic name (help)CS1 maint: url-status (link)

[2] Babinkostova, Liljana (2011). Set Theory and Its Applications (in English). American Mathematical Society. ISBN 978-0821848128.

[3] Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (October 27, 2005). Handbook of Set Theory (PDF). Springer. p. 2230. ISBN 978-1402048432.

[4] Moschovakis, Yiannis (October 4, 2006). "Ordinal games and playful models". In Alexander S. Kechris; Donald A. Martin; Yiannis N. Moschovakis (eds.). Cabal Seminar 77 – 79: Proceedings, Caltech-UCLA Logic Seminar 1977 – 79. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 839. Berlin: Springer. pp. 169–201. doi:10.1007/BFb0090241. ISBN 978-3-540-38422-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत से एक [[लेम्मा (गणित)]] है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के अंतर्गत [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय सम्मलित होते हैं (सिद्धांत - वरण के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-वादक पूर्णांक खेल निर्धारित होते है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।
+मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत से एक [[लेम्मा (गणित)]] है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के अंतर्गत [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय सम्मलित होते हैं (सिद्धांत - विकल्प के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-वादक पूर्णांक खेल निर्धारित होते है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।
 लेम्मा को सामान्यतः निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
-:होने देना {{mvar|Γ}} क्वांटिफायर (तर्क) # क्वांटिफिकेशन की रेंज और के अंतर्गत बंद एक गैर-स्वयं दोहरी बिंदु वर्ग बनें {{math|∧}}, और {{math|≺}} ए {{mvar|Γ}}-अच्छी तरह से स्थापित संबंध {{math|''ω<sup>ω</sup>''}रैंक का {{math|''θ'' ∈ ON}}. होने देना {{math|R ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} ऐसा हो {{math|(∀''x''∈dom(≺))(∃''y'')(''x'' R ''y'')}}. फिर एक है {{mvar|Γ}}-तय करना {{math|A ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} जो R के लिए एक विकल्प समुच्चय है, वह है:
+:मान लीजिए {{mvar|Γ}} एक गैर-स्व-दोहरी बिंदु वर्ग है जो वास्तविक परिमाणीकरण के अंतर्गत बंद है और {{math|∧}}, और {{math|≺}} a {{mvar|Γ}}-अच्छी तरह से स्थापित संबंध ''ω<sup>ω</sup>'' की श्रेणी {{math|''θ'' ∈ ON}} पर है। अनुमान {{math|R ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} ऐसा हो कि {{math|(∀''x''∈dom(≺))(∃''y'')(''x'' R ''y'')}} है। फिर एक {{mvar|Γ}}-समुच्चय {{math|A ⊆ dom(≺) × ''ω<sup>ω</sup>''}} है जो R के लिए एक विकल्प समुच्चय है, वह है:
- <!--Note that the specific numbering of these properties is used in the proof below.-->
 # {{math|(∀''α''<''θ'')(∃''x''∈dom(≺),''y'')({{mabs|''x''}}<sub>≺</sub>{{=}}''α'' ∧ ''x'' A ''y'')}}.
 # {{math|(∀''x'',''y'')(''x'' A ''y'' → ''x'' R ''y'')}}.
-एक प्रमाण इस प्रकार चलता है: विरोधाभास के लिए मान लीजिए {{mvar|θ}} एक न्यूनतम प्रति उदाहरण है, और ठीक करें {{math|≺}}, {{math|R}}, और एक अच्छा सार्वभौमिक समुच्चय {{math|''U'' ⊆ (''ω<sup>ω</sup>'')<sup>3</sup>}} के लिए {{mvar|Γ}}-के उपसमुच्चय {{math|(''ω<sup>ω</sup>'')<sup>2</sup>}}. आसानी से, {{mvar|θ}} एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए।<ref>{{Cite web|url=https://mathoverflow.net/questions/77573/moschovakis-coding-lemma|title=वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा|last1=User 16278263789|last2=Schweber|first2=Noah|date=|website=MathOverflow|publication-date=9 October 2011|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-04-06}}</ref> के लिए {{math|''δ'' < ''θ''}}, हम कहते हैं {{math|''u'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} कोड ए {{mvar|δ}}-चॉइस समुच्चय प्रदान किया गया संपत्ति (1) रखती है {{math|''α'' ≤ ''δ''}} का उपयोग करना {{math|A {{=}} ''U u''}} और संपत्ति (2) के लिए रखती है {{math|A {{=}} ''U u''}} जहां हम प्रतिस्थापित करते हैं {{math|''x'' ∈ dom(≺)}} साथ {{math|''x'' ∈ dom(≺) ∧ {{mabs|''x''}} ≺ [≤''δ'']}}. कम से कम {{mvar|θ}}, सभी के लिए {{math|''δ'' < ''θ''}}, वहाँ हैं {{math|δ}}-विकल्प समुच्चय।
+एक प्रमाण निम्नानुसार चलता है: मान लीजिए कि विरोधाभास के लिए {{mvar|θ}} एक न्यूनतम गणक उदाहरण है, और {{math|(''ω<sup>ω</sup>'')<sup>2</sup>}} के  {{mvar|Γ}}-उपसमुच्चयों के लिए {{math|≺}}, {{math|R}}, और एक उपयुक्त सार्वभौमिक समुच्चय {{math|''U'' ⊆ (''ω<sup>ω</sup>'')<sup>3</sup>}} निर्धारित है।आसानी से, {{mvar|θ}} एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए।<ref>{{Cite web|url=https://mathoverflow.net/questions/77573/moschovakis-coding-lemma|title=वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत - मॉस्कोवाकिस कोडिंग लेम्मा|last1=User 16278263789|last2=Schweber|first2=Noah|date=|website=MathOverflow|publication-date=9 October 2011|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-04-06}}</ref> {{math|''δ'' < ''θ''}} के लिए, हम कहते हैं कि {{math|''u'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} कोड एक {{mvar|δ}}-विकल्प समुच्चय प्रदान करता है, बशर्ते गुण (1) {{math|''α'' ≤ ''δ''}} के लिए {{math|A {{=}} ''U u''}} का उपयोग करता है और गुण (2) {{math|A {{=}} ''U u''}} धारण करता है जहां हम {{math|''x'' ∈ dom(≺)}} को {{math|''x'' ∈ dom(≺) ∧ {{mabs|''x''}} ≺ [≤''δ'']}} से प्रतिस्थापित करते हैं। {{mvar|θ}} की न्यूनतमता से, सभी {{math|''δ'' < ''θ''}} के लिए, {{math|δ}} -विकल्प समुच्चय हैं।
-अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक चुनते हैं {{math|''u'',''v'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} और II कब जीतता है {{mvar|u}} कोडिंग ए {{math|''δ''<sub>1</sub>}}-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है {{math|''δ''<sub>1</sub> < ''θ''}} तात्पर्य {{mvar|v}} कोड ए {{math|''δ''<sub>2</sub>}}-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है {{math|''δ''<sub>2</sub> > ''δ''<sub>1</sub>}}. I के लिए एक जीतने की रणनीति परिभाषित करती है {{math|Σ{{su|b=1|p=1}}}} तय करना {{mvar|B}वास्तविक एन्कोडिंग की } {{mvar|δ}}-विकल्प मनमाने ढंग से बड़े के लिए समुच्चय करता है {{math|''δ'' < ''θ''}}. तब परिभाषित करें
+अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक {{math|''u'',''v'' ∈ ''ω<sup>ω</sup>''}} चयन करते है और II तब विजय होता है जब {{mvar|u}} कुछ {{math|''δ''<sub>1</sub> < ''θ''}} के लिए एक {{math|''δ''<sub>1</sub>}}-विकल्प समुच्चय को कोडिंग करता है, तो {{mvar|v}} कोड कुछ {{math|''δ''<sub>2</sub> > ''δ''<sub>1</sub>}} के लिए {{math|''δ''<sub>2</sub>}}-विकल्प समुच्चय को दर्शाता है। I के लिए एक विजय की रणनीति स्वेच्छतः बड़े {{math|''δ'' < ''θ''}} के लिए वास्तविक संकेतन {{mvar|δ}}-विकल्प समुच्चय के {{math|Σ{{su|b=1|p=1}}}} समुच्चय B को परिभाषित करता है। तब परिभाषित करें
 :{{math|''x'' A ''y'' ↔ (∃''w''∈''B'')''U''(''w'',''x'',''y'')}},
-जो आसानी से काम करता है। दूसरी ओर, मान लीजिए {{mvar|τ}} II के लिए जीतने की रणनीति है। [[एस-एम-एन प्रमेय]] से, चलो {{math|''s'':(''ω<sup>ω</sup>'')<sup>2</sup> → ''ω<sup>ω</sup>''}} निरंतर ऐसा हो कि सभी के लिए {{mvar|ϵ}}, {{mvar|x}}, {{mvar|t}}, और {{mvar|w}},
+जो आसानी से काम करता है। दूसरी ओर, मान लीजिए II के लिए {{mvar|τ}} विजय की रणनीति है। [[एस-एम-एन प्रमेय|s-m-n प्रमेय]] से, मान लीजिए {{math|''s'':(''ω<sup>ω</sup>'')<sup>2</sup> → ''ω<sup>ω</sup>''}} निरंतर ऐसा हो कि सभी {{mvar|ϵ}}, {{mvar|x}}, {{mvar|t}}, और {{mvar|w}} के लिए,
 :{{math|''U''(''s''(''ϵ'',''x''),''t'',''w'') ↔ (∃''y'',''z'')(''y'' ≺ ''x'' ∧ ''U''(''ϵ'',''y'',''z'') ∧ ''U''(''z'',''t'',''w''))}}.
-पुनरावर्तन प्रमेय द्वारा, मौजूद है {{math|''ϵ''<sub>0</sub>}} ऐसा है कि {{math|''U''(''ϵ''<sub>0</sub>,''x'',''z'') ↔ ''z'' {{=}} ''τ''(''s''(''ϵ''<sub>0</sub>,''x''))}}. एक सीधा इंडक्शन ऑन {{math|{{mabs|''x''}}<sub>≺</sub>}} के लिए {{math|''x'' ∈ dom(≺)}} पता चलता है कि
+पुनरावर्तन प्रमेय के अनुसार, {{math|''ϵ''<sub>0</sub>}} का अस्तित्व है जैसे {{math|''U''(''ϵ''<sub>0</sub>,''x'',''z'') ↔ ''z'' {{=}} ''τ''(''s''(''ϵ''<sub>0</sub>,''x''))}} हैं। {{math|''x'' ∈ dom(≺)}} के लिए |''x''|<sub>≺</sub> पर एक सीधा प्रेरण दर्शाता है कि
 :{{math|(∀''x''∈dom(≺))(∃!''z'')''U''(''ϵ''<sub>0</sub>,''x'',''z'')}},
 और
 :{{math|(∀''x''∈dom(≺),''z'')(''U''(''ϵ''<sub>0</sub>,''x'',''z'') → ''z'' encodes a choice set of ordinal ≥{{mabs|x}}<sub>≺</sub>)}}.
-तो चलो
+तो अनुमान
-:{{math|''x'' A ''y'' ↔ (∃''z''∈dom(≺),''w'')(''U''(''ϵ''<sub>0</sub>,''z'',''w'') ∧ ''U''(''w'',''x'',''y''))}}.<ref>{{cite book
+:{{math|''x'' A ''y'' ↔ (∃''z''∈dom(≺),''w'')(''U''(''ϵ''<sub>0</sub>,''z'',''w'') ∧ ''U''(''w'',''x'',''y''))}}<ref>{{cite book
   | last =Babinkostova
   | first =Liljana
@@ Line 53: / Line 52: @@
   | doi = 10.1007/BFb0090241
   }}</ref>
 == संदर्भ ==
 {{Reflist}}
 {{Set theory}}
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v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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