सदिश माप: Difference between revisions

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गणित में, सदिश माप फलन (गणित) है। जो समुच्चयों के वर्ग पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्पेस मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का सामान्यीकरण है। जो केवल गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] मान लेता है।
गणित में, सदिश माप एक फलन (गणित) है जो समुच्चयों के परिवार पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्थान मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो केवल गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] मान लेता है।
 
== परिभाषाएं और पहला परिणाम ==
== परिभाषाएं और पहला परिणाम ==


सेट का एक क्षेत्र दिया <math>(\Omega, \mathcal F)</math> और एक [[बनच स्थान]] <math>X,</math> एक सूक्ष्म योगात्मक सदिश माप (या संक्षेप में माप) एक फलन है <math>\mu:\mathcal {F} \to X</math> ऐसा कि किन्हीं भी दो असम्बद्ध समुच्चयों के लिए <math>A</math> और <math>B</math> में <math>\mathcal{F}</math> किसी के पास
समुच्चय के क्षेत्र को देखते हुए <math>(\Omega, \mathcal F)</math> और [[बनच स्थान|बनच स्पेस]] <math>X,</math> परिमित रूप से योज्य सदिश माप (या माप, संक्षेप में) फलन <math>\mu:\mathcal {F} \to X</math> है। ऐसा है कि के लिए <math>\mathcal{F}</math> में कोई भी दो असंयुक्त समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> हैं
<math display="block">\mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B).</math>
<math display="block">\mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B).</math>
एक वेक्टर माप <math>\mu</math> किसी भी [[अनुक्रम]] के लिए काउंटेबल एडिटिव कहा जाता है <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> असंबद्ध सेट में <math>\mathcal F</math> ऐसा है कि उनका संघ अंदर है <math>\mathcal F</math> यह मानता है
<math>\mathcal F</math> में असंयुक्त समुच्चयों के किसी [[अनुक्रम]] <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> के लिए सदिश माप <math>\mu</math> को गणनीय योगात्मक कहा जाता है। जिससे उनका मिलन हो <math>\mathcal F</math> में यह इसे धारण करता है |
<math display="block">\mu{\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)} = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)</math>
<math display="block">\mu{\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)} = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)</math>
बानाच अंतरिक्ष के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर [[श्रृंखला (गणित)]] के साथ <math>X.</math>
बानाच स्पेस के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर [[श्रृंखला (गणित)]] के साथ <math>X.</math> यह सिद्ध किया जा सकता है कि योज्य सदिश माप <math>\mu</math> किसी भी अनुक्रम के लिए यदि और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> है। जैसा ऊपर वाले के पास है।
यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक योज्य वेक्टर माप <math>\mu</math> किसी भी अनुक्रम के लिए अगर और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक है <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> जैसा ऊपर वाले के पास है
{{NumBlk||<math display="block">\lim_{n\to\infty} \left\|\mu{\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)}\right\| = 0, </math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}
{{NumBlk||<math display="block">\lim_{n\to\infty} \left\|\mu{\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)}\right\| = 0, </math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}
कहाँ <math>\|\cdot\|</math> मानदंड चालू है <math>X.</math>
जहाँ <math>\|\cdot\|</math> [[सिग्मा-बीजगणित]] पर परिभाषित <math>X.</math> गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। <math>[0, \infty),</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।
[[सिग्मा-बीजगणित]] पर परिभाषित गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। <math>[0, \infty),</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


अंतराल से बने सेट के क्षेत्र पर विचार करें <math>[0, 1]</math> परिवार के साथ <math>\mathcal F</math> इस अंतराल में शामिल सभी Lebesgue औसत दर्जे का सेट। ऐसे किसी भी सेट के लिए <math>A,</math> परिभाषित करना
अंतराल <math>[0, 1]</math> से बने समुच्चय के क्षेत्र पर विचार करें वर्ग के साथ इस अंतराल में सम्मिलित सभी लेबेस्ग औसत दर्जे का समुच्चय <math>\mathcal F</math> के साथ ऐसे किसी भी समुच्चय के लिए <math>A,</math> परिभाषित कीजिए |
<math display="block">\mu(A) = \chi_A</math>
 
कहाँ <math>\chi</math> का सूचक कार्य है <math>A.</math> कहां पर निर्भर करता है <math>\mu</math> मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है, तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।
जहाँ <math>\chi</math> <math>A.</math> का सूचक कार्य है। जहाँ <math>\mu</math> मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।


* <math>\mu,</math> से एक समारोह के रूप में देखा गया <math>\mathcal F</math> एलपी अंतरिक्ष के लिए|<math>L^p</math>-अंतरिक्ष <math>L^\infty([0, 1]),</math> एक सदिश माप है जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
* <math>\mu,</math> <math>\mathcal F</math> से <math>L^p</math>-स्पेस <math>L^\infty([0, 1]),</math> फलन के रूप में देखा गया सदिश माप है। जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
* <math>\mu,</math> से एक समारोह के रूप में देखा गया <math>\mathcal F</math> तक <math>L^p</math>-अंतरिक्ष <math>L^1([0, 1]),</math> एक गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।
* <math>\mu,</math> जिसे <math>\mathcal F</math> तक <math>L^p</math>-स्पेस <math>L^1([0, 1]),</math>तक फलन के रूप में देखा गया गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।


ये दोनों कथन कसौटी से काफी आसानी से अनुसरण करते हैं ({{EquationNote|*}}) ऊपरोक्त।
ये दोनों कथन ऊपर बताए गए मानदंड ({{EquationNote|*}}) से अधिक सरलता से अनुसरण करते हैं।


== वेक्टर माप की भिन्नता ==
== सदिश माप की भिन्नता ==


एक वेक्टर माप दिया गया <math>\mu : \mathcal{F} \to X,</math> भिन्नता <math>|\mu|</math> का <math>\mu</math> परिभाषित किया जाता है
सदिश माप दिया गया <math>\mu : \mathcal{F} \to X,</math> भिन्नता <math>|\mu|</math> का <math>\mu</math> परिभाषित किया जाता है।
<math display="block">|\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|</math>
<math display="block">|\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|</math>
जहां एक सेट के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है
जहां समुच्चय के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है।
<math display="block">A = \bigcup_{i=1}^n A_i</math>
<math display="block">A = \bigcup_{i=1}^n A_i</math>
का <math>A</math> सभी के लिए अलग-अलग सेटों की एक परिमित संख्या में <math>A</math> में <math>\mathcal{F}.</math> यहाँ, <math>\|\cdot\|</math> मानदंड चालू है <math>X.</math>
<math>\mathcal{F}.</math> में सभी <math>A</math> के लिए <math>A</math> का असंयुक्त समुच्चय की परिमित संख्या में यहाँ <math>\|\cdot\|</math><math>\mu</math> का परिवर्तन <math>[0, \infty].</math> में मान लेने वाला परिमित रूप से योज्य फलन है। यह मानता है।
की भिन्नता <math>\mu</math> में मान लेने वाला एक परिमित योज्य फलन है <math>[0, \infty].</math> यह मानता है
<math display="block">\|\mu(A)\| \leq |\mu|(A)</math>
<math display="block">\|\mu(A)\| \leq |\mu|(A)</math>
किसी के लिए <math>A</math> में <math>\mathcal{F}.</math> अगर <math>|\mu|(\Omega)</math> परिमित है, उपाय है <math>\mu</math> परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई साबित कर सकता है कि अगर <math>\mu</math> परिबद्ध भिन्नता का एक सदिश माप है, तब <math>\mu</math> गिनती योगात्मक है अगर और केवल अगर <math>|\mu|</math> गणनीय योगात्मक है।
किसी <math>\mathcal{F}.</math> के लिए <math>A</math> में यदि <math>|\mu|(\Omega)</math> परिमित है, <math>\mu</math> परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई प्रमाणित कर सकता है कि यदि <math>\mu</math> परिबद्ध भिन्नता का सदिश माप है, तब <math>\mu</math> गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि <math>|\mu|</math> गणनीय योगात्मक है।


== ल्यपुनोव का प्रमेय ==
== ल्यपुनोव का प्रमेय ==


सदिश माप के सिद्धांत में, [[एलेक्सी लायपुनोव]]<nowiki> का प्रमेय</nowiki> बताता है कि एक ([[परमाणु (माप सिद्धांत)]]|गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा [[बंद सेट]] और [[उत्तल सेट]] है।<ref name="KluvanekKnowles">[[Igor Kluvánek|Kluvánek, I.]], Knowles, G., ''Vector Measures and Control Systems'', North-Holland Mathematics Studies&nbsp;'''20''', Amsterdam, 1976.</ref><ref name="DiestelUhl" >{{cite book|last1=Diestel|first1=Joe| last2=Uhl|first2=Jerry&nbsp;J.,&nbsp;Jr.|title=वेक्टर उपाय|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I|year=1977|isbn=0-8218-1515-6}}</ref><ref name="RolewiczControl">{{Cite book|title=Functional analysis and control theory: Linear systems|last=Rolewicz |first=Stefan|year=1987| isbn=90-277-2186-6| publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers|oclc=13064804|edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk|series=Mathematics and its Applications (East European Series)|location=Dordrecht; Warsaw|volume=29|pages=xvi+524|mr=920371}}</ref> <!-- Lyapunov's theorem --> वास्तव में, एक गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा एक ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल सेट जो [[ज़ोनोटोप]]्स के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)।<ref name="DiestelUhl"/>इसका उपयोग [[गणितीय अर्थशास्त्र]] में किया जाता है,<ref>{{Cite book | last=Roberts|first=John |author-link=Donald John Roberts|chapter=Large economies|title=''न्यू पालग्रेव'' में योगदान|editor=David M. Kreps|editor1-link=David M. Kreps|editor2=John Roberts|editor2-link=Donald John Roberts|editor3=Robert B. Wilson |editor3-link=Robert B. Wilson|date=July 1986|pages=30–35|url=https://gsbapps.stanford.edu/researchpapers/library/RP892.pdf |access-date=7 February 2011|series=Research paper|volume=892|publisher=Graduate School of Business, Stanford University |location=Palo Alto,&nbsp;CA|id=(Draft of articles for the first edition of ''New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics'')}}</ref><ref name="Aumann" >{{cite journal|author-link=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann|title=व्यापारियों की निरंतरता के साथ बाजारों में प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व|journal=Econometrica|volume=34|number=1|date=January 1966 |pages=1–17 |jstor=1909854|mr=191623|doi=10.2307/1909854|s2cid=155044347 }} This paper builds on two papers by Aumann: <p> {{cite journal <!-- | authorlink=Robert Aumann-->|title=Markets with a continuum of traders |journal=Econometrica |volume=32|number=1–2|date=January–April 1964|pages=39–50|jstor=1913732|mr=172689 |doi=10.2307/1913732 |last1=Aumann |first1=Robert J.}}</p>
सदिश माप के सिद्धांत में, [[एलेक्सी लायपुनोव]]<nowiki> का प्रमेय</nowiki> बताता है कि ([[परमाणु (माप सिद्धांत)]] गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] और [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] है।<ref name="KluvanekKnowles">[[Igor Kluvánek|Kluvánek, I.]], Knowles, G., ''Vector Measures and Control Systems'', North-Holland Mathematics Studies&nbsp;'''20''', Amsterdam, 1976.</ref><ref name="DiestelUhl" >{{cite book|last1=Diestel|first1=Joe| last2=Uhl|first2=Jerry&nbsp;J.,&nbsp;Jr.|title=वेक्टर उपाय|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I|year=1977|isbn=0-8218-1515-6}}</ref><ref name="RolewiczControl">{{Cite book|title=Functional analysis and control theory: Linear systems|last=Rolewicz |first=Stefan|year=1987| isbn=90-277-2186-6| publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers|oclc=13064804|edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk|series=Mathematics and its Applications (East European Series)|location=Dordrecht; Warsaw|volume=29|pages=xvi+524|mr=920371}}</ref> वास्तव में, गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल समुच्चय जो [[ज़ोनोटोप]] के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)।<ref name="DiestelUhl"/> इसका उपयोग [[गणितीय अर्थशास्त्र]] में किया जाता है,<ref>{{Cite book | last=Roberts|first=John |author-link=Donald John Roberts|chapter=Large economies|title=''न्यू पालग्रेव'' में योगदान|editor=David M. Kreps|editor1-link=David M. Kreps|editor2=John Roberts|editor2-link=Donald John Roberts|editor3=Robert B. Wilson |editor3-link=Robert B. Wilson|date=July 1986|pages=30–35|url=https://gsbapps.stanford.edu/researchpapers/library/RP892.pdf |access-date=7 February 2011|series=Research paper|volume=892|publisher=Graduate School of Business, Stanford University |location=Palo Alto,&nbsp;CA|id=(Draft of articles for the first edition of ''New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics'')}}</ref><ref name="Aumann" >{{cite journal|author-link=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann|title=व्यापारियों की निरंतरता के साथ बाजारों में प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व|journal=Econometrica|volume=34|number=1|date=January 1966 |pages=1–17 |jstor=1909854|mr=191623|doi=10.2307/1909854|s2cid=155044347 }} This paper builds on two papers by Aumann: <p> {{cite journal <!-- | authorlink=Robert Aumann-->|title=Markets with a continuum of traders |journal=Econometrica |volume=32|number=1–2|date=January–April 1964|pages=39–50|jstor=1913732|mr=172689 |doi=10.2307/1913732 |last1=Aumann |first1=Robert J.}}</p>
<p> {{cite journal <!-- authorlink=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann -->|title=Integrals of set-valued functions |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=12|number=1|date=August 1965|pages=1–12 | doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |mr=185073|last1=Aumann|first1=Robert J.}}</p></ref><ref>{{cite news|last=Vind|first=Karl | date=May 1964|title=कई व्यापारियों के साथ विनिमय अर्थव्यवस्था में एजवर्थ-आवंटन|journal=International Economic Review | volume=5|pages=165–77|number=2|jstor=2525560}} Vind's article was noted by {{harvtxt|Debreu|1991|p=4}} with this comment:
<p> {{cite journal <!-- authorlink=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann -->|title=Integrals of set-valued functions |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=12|number=1|date=August 1965|pages=1–12 | doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1 |mr=185073|last1=Aumann|first1=Robert J.}}</p></ref><ref>{{cite news|last=Vind|first=Karl | date=May 1964|title=कई व्यापारियों के साथ विनिमय अर्थव्यवस्था में एजवर्थ-आवंटन|journal=International Economic Review | volume=5|pages=165–77|number=2|jstor=2525560}} Vind's article was noted by {{harvtxt|Debreu|1991|p=4}} with this comment:
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{{cite news|title=The Mathematization of economic theory|first=Gérard|last=Debreu|author-link=Gérard Debreu|issue=Presidential address delivered at the&nbsp;103rd meeting of the American Economic Association,&nbsp;29 December&nbsp;1990, Washington,&nbsp;DC | journal=The American Economic Review |volume=81, number 1|date=March 1991|pages=1–7|jstor=2006785}}
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</ref> जिसमें (बैंग-बैंग नियंत्रण) [[नियंत्रण सिद्धांत]],<ref name="KluvanekKnowles"/><ref name="RolewiczControl"/><ref>{{cite book|title=कार्यात्मक विश्लेषण और समय इष्टतम नियंत्रण|last1=Hermes|first1=Henry |last2=LaSalle|first2=Joseph&nbsp;P.|series=Mathematics in Science and Engineering|volume=56|publisher=Academic Press|location=New York—London|year=1969|pages=viii+136|mr=420366}}</ref><ref name="Artstein"/> और [[सांख्यिकीय सिद्धांत]] में <ref name="Artstein" >{{cite journal|last=Artstein|first=Zvi|title=Discrete&nbsp;and&nbsp;continuous bang-bang and facial&nbsp;spaces, or: Look for the extreme points|journal=SIAM Review|volume=22|year=1980|number=2|pages=172–185|doi=10.1137/1022026|jstor=2029960|mr=564562}}</ref> लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।<ref>{{cite journal|last=Tardella|first=Fabio|title=A new proof of the Lyapunov convexity&nbsp;theorem|journal=SIAM Journal on Control and Optimization|volume=28|year=1990|number=2| pages=478–481|doi=10.1137/0328026|mr=1040471}}</ref> जिसे असतत असतत गणित के रूप में देखा गया है। लायपुनोव के प्रमेय के निरंतर गणित के असतत अनुरूप है।<ref name="Artstein" /><ref name="Starr08" >{{cite book|last=Starr|first=Ross&nbsp;M.|author-link=Ross Starr|chapter=Shapley–Folkman theorem|title=The New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics|editor-first=Steven&nbsp;N.|editor-last=Durlauf|editor2-first=Lawrence&nbsp;E.,&nbsp;ed.|editor2-last=Blume|publisher=Palgrave Macmillan|year=2008|edition=Second|pages=317–318 (1st&nbsp;ed.)| url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000107|doi=10.1057/9780230226203.1518| isbn=978-0-333-78676-5}}</ref><ref>Page 210: {{cite journal|last=Mas-Colell|first=Andreu|author-link=Andreu Mas-Colell|title=A note on the core&nbsp;equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?|journal=Journal of Mathematical Economics| volume=5| year=1978| number=3| pages=207–215|doi=10.1016/0304-4068(78)90010-1|mr=514468}}</ref>
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* {{annotated link|Bochner measurable function}}
* {{annotated link|बोचनर मापने योग्य कार्य}}
* {{annotated link|Bochner integral}}
* {{annotated link|बोचनर अभिन्न}}
* {{annotated link|Bochner space}}
* {{annotated link|बॉचनर स्पेस}}
* {{annotated link|Complex measure}}
* {{annotated link|जटिल मापदंड}}
* {{annotated link|Signed measure}}
* {{annotated link|हस्ताक्षरित परिमाण}}
* {{annotated link|Vector-valued functions}}
* {{annotated link|सदिश-मूल्यवान कार्य}}
* {{annotated link|Weakly measurable function}}
* {{annotated link|अशक्त परिमाण का कार्य}}


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==

Latest revision as of 11:48, 8 June 2023

गणित में, सदिश माप फलन (गणित) है। जो समुच्चयों के वर्ग पर परिभाषित होता है और कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सदिश स्पेस मान लेता है। यह परिमित माप (गणित) की अवधारणा का सामान्यीकरण है। जो केवल गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या मान लेता है।

परिभाषाएं और पहला परिणाम

समुच्चय के क्षेत्र को देखते हुए और बनच स्पेस परिमित रूप से योज्य सदिश माप (या माप, संक्षेप में) फलन है। ऐसा है कि के लिए में कोई भी दो असंयुक्त समुच्चय और हैं

में असंयुक्त समुच्चयों के किसी अनुक्रम के लिए सदिश माप को गणनीय योगात्मक कहा जाता है। जिससे उनका मिलन हो में यह इसे धारण करता है |
बानाच स्पेस के मानक (गणित) में अभिसरण के दाईं ओर श्रृंखला (गणित) के साथ यह सिद्ध किया जा सकता है कि योज्य सदिश माप किसी भी अनुक्रम के लिए यदि और केवल तभी योगात्मक रूप से योगात्मक है। जैसा ऊपर वाले के पास है।

 

 

 

 

(*)

जहाँ सिग्मा-बीजगणित पर परिभाषित गणना योगात्मक सदिश माप परिमित माप (गणित), परिमित हस्ताक्षरित माप और जटिल माप से अधिक सामान्य हैं, जो वास्तविक अंतराल पर क्रमशः मान लेने वाले योगात्मक कार्य हैं। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

उदाहरण

अंतराल से बने समुच्चय के क्षेत्र पर विचार करें वर्ग के साथ इस अंतराल में सम्मिलित सभी लेबेस्ग औसत दर्जे का समुच्चय के साथ ऐसे किसी भी समुच्चय के लिए परिभाषित कीजिए |

जहाँ का सूचक कार्य है। जहाँ मूल्य लेने के लिए घोषित किया जाता है तो दो अलग-अलग परिणाम देखे जाते हैं।

  • से -स्पेस फलन के रूप में देखा गया सदिश माप है। जो गणनीय-योगात्मक नहीं है।
  • जिसे तक -स्पेस तक फलन के रूप में देखा गया गणनीय-योगात्मक सदिश माप है।

ये दोनों कथन ऊपर बताए गए मानदंड (*) से अधिक सरलता से अनुसरण करते हैं।

सदिश माप की भिन्नता

सदिश माप दिया गया भिन्नता का परिभाषित किया जाता है।

जहां समुच्चय के सभी विभाजनों पर सर्वोच्चता ले ली जाती है।
में सभी के लिए का असंयुक्त समुच्चय की परिमित संख्या में यहाँ का परिवर्तन में मान लेने वाला परिमित रूप से योज्य फलन है। यह मानता है।
किसी के लिए में यदि परिमित है, परिबद्ध परिवर्तन कहा गया है। कोई प्रमाणित कर सकता है कि यदि परिबद्ध भिन्नता का सदिश माप है, तब गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि गणनीय योगात्मक है।

ल्यपुनोव का प्रमेय

सदिश माप के सिद्धांत में, एलेक्सी लायपुनोव का प्रमेय बताता है कि (परमाणु (माप सिद्धांत) गैर-परमाणु) परिमित-आयामी सदिश माप की सीमा बंद समुच्चय और उत्तल समुच्चय है।[1][2][3] वास्तव में, गैर-परमाणु सदिश माप की सीमा ज़ोनॉइड है (बंद और उत्तल समुच्चय जो ज़ोनोटोप के अभिसरण अनुक्रम की सीमा है)।[2] इसका उपयोग गणितीय अर्थशास्त्र में किया जाता है,[4][5][6] जिसमें (बैंग-बैंग नियंत्रण) नियंत्रण सिद्धांत,[1][3][7][8] और सांख्यिकीय सिद्धांत में [8] लायपुनोव के प्रमेय को शेपले-फोकमैन लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।[9] जिसे असतत असतत गणित के रूप में देखा गया है। लायपुनोव के प्रमेय के निरंतर गणित के असतत अनुरूप है।[8][10][11]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
  2. ↑ 2.0 2.1 Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). वेक्टर उपाय. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1515-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. ↑ 3.0 3.1 Rolewicz, Stefan (1987). Functional analysis and control theory: Linear systems. Mathematics and its Applications (East European Series). Vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers. pp. xvi+524. ISBN 90-277-2186-6. MR 0920371. OCLC 13064804.
  4. ↑ Roberts, John (July 1986). "Large economies". In David M. Kreps; John Roberts; Robert B. Wilson (eds.). न्यू पालग्रेव में योगदान (PDF). Research paper. Vol. 892. Palo Alto, CA: Graduate School of Business, Stanford University. pp. 30–35. (Draft of articles for the first edition of New Palgrave Dictionary of Economics). Retrieved 7 February 2011.
  5. ↑ Aumann, Robert J. (January 1966). "व्यापारियों की निरंतरता के साथ बाजारों में प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व". Econometrica. 34 (1): 1–17. doi:10.2307/1909854. JSTOR 1909854. MR 0191623. S2CID 155044347. This paper builds on two papers by Aumann:

    Aumann, Robert J. (January–April 1964). "Markets with a continuum of traders". Econometrica. 32 (1–2): 39–50. doi:10.2307/1913732. JSTOR 1913732. MR 0172689.

    Aumann, Robert J. (August 1965). "Integrals of set-valued functions". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1. MR 0185073.
  6. ↑ Vind, Karl (May 1964). "कई व्यापारियों के साथ विनिमय अर्थव्यवस्था में एजवर्थ-आवंटन". International Economic Review. Vol. 5, no. 2. pp. 165–77. JSTOR 2525560. Vind's article was noted by Debreu (1991, p. 4) with this comment:

    The concept of a convex set (i.e., a set containing the segment connecting any two of its points) had repeatedly been placed at the center of economic theory before 1964. It appeared in a new light with the introduction of integration theory in the study of economic competition: If one associates with every agent of an economy an arbitrary set in the commodity space and if one averages those individual sets over a collection of insignificant agents, then the resulting set is necessarily convex. [Debreu appends this footnote: "On this direct consequence of a theorem of A. A. Lyapunov, see Vind (1964)."] But explanations of the ... functions of prices ... can be made to rest on the convexity of sets derived by that averaging process. Convexity in the commodity space obtained by aggregation over a collection of insignificant agents is an insight that economic theory owes ... to integration theory. [Italics added]

    Debreu, Gérard (March 1991). "The Mathematization of economic theory". The American Economic Review. Vol. 81, number 1, no. Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC. pp. 1–7. JSTOR 2006785.

  7. ↑ Hermes, Henry; LaSalle, Joseph P. (1969). कार्यात्मक विश्लेषण और समय इष्टतम नियंत्रण. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 56. New York—London: Academic Press. pp. viii+136. MR 0420366.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 Artstein, Zvi (1980). "Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points". SIAM Review. 22 (2): 172–185. doi:10.1137/1022026. JSTOR 2029960. MR 0564562.
  9. ↑ Tardella, Fabio (1990). "A new proof of the Lyapunov convexity theorem". SIAM Journal on Control and Optimization. 28 (2): 478–481. doi:10.1137/0328026. MR 1040471.
  10. ↑ Starr, Ross M. (2008). "Shapley–Folkman theorem". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E., ed. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 317–318 (1st ed.). doi:10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: editors list (link)
  11. ↑ Page 210: Mas-Colell, Andreu (1978). "A note on the core equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?". Journal of Mathematical Economics. 5 (3): 207–215. doi:10.1016/0304-4068(78)90010-1. MR 0514468.


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