सामग्री (माप सिद्धांत): Difference between revisions

Latest revision as of 16:14, 15 June 2023

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, सामग्री $\mu$ उपसम्मुचय के संग्रह पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फलन ${\mathcal {A}}$ है जैसे कि

$\mu (A)\in \ [0,\infty ]{\text{ जब }}A\in {\mathcal {A}}.$
$\mu (\varnothing )=0.$
$\mu (A_{1}\cup A_{2})=\mu (A_{1})+\mu (A_{2}){\text{ जब }}A_{1},A_{2},A_{1}\cup A_{2}\ \in {\mathcal {A}}{\text{ तथा }}A_{1}\cap A_{2}=\varnothing .$

अर्थात्, सामग्री माप (गणित) का सामान्यीकरण है: जबकि उत्तरार्द्ध को योगात्मक रूप से योगात्मक होना चाहिए, पूर्व को केवल परिमित योगात्मक होना चाहिए।

कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में ${\mathcal {A}}$ वलय का सम्मुचय या कम से कम सम्मुचयो के अर्ध वलय के लिए चुना जाता है, जिसमें कुछ अतिरिक्त गुणों को घटाया जा सकता है जो नीचे वर्णित हैं। इस कारण से कुछ लेखक केवल अर्ध वलय या यहां तक कि वलयो कि स्थितियों में सामग्री को परिभाषित करना पसंद करते हैं।

यदि कोई सामग्री अतिरिक्त रूप से σ-योजक है तो इसे पूर्व-माप कहा जाता है और यदि इसके अलावा ${\mathcal {A}}$ σ-बीजगणित, सामग्री को माप (गणित) कहा जाता है। इसलिए प्रत्येक (वास्तविक-मूल्यवान) माप एक सामग्री है, परन्तु इसके विपरीत नहीं हैं। सामग्री एक स्थान पर बंधे हुए कार्यों को एकीकृत करने की एक अच्छी धारणा देती है परन्तु असीमित एकीकृत फलन करते समय बहुत गलत व्यवहार कर सकती है, जबकि उपाय असीमित एकीकृत फलन की अच्छी धारणा देते हैं।

उदाहरण

सभी अधिविवृत अंतराल $[a,b)\subseteq \mathbb {R}$ पर एक सामग्री को उनकी सामग्री को अंतराल की लंबाई पर समुच्चय परिभाषित करने का एक प्राचीन उदाहरण है, अर्थात, $\mu ([a,b))=b-a.$ आगे यह दिखाया जा सकता है कि यह सामग्री वास्तव में σ-योगात्मक है और इस प्रकार सभी अधिविवृत अंतराल की संगोष्ठी पर एक पूर्व-माप को परिभाषित करता है। इसका उपयोग कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय का उपयोग करके वास्तविक संख्या रेखा के लिए लेबेसेग माप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। सामान्य निर्माण के विषय में अधिक जानकारी के लिए लेबेसेग माप का निर्माण पर लेख पर ध्यान दे।

सामग्री का उदाहरण जो σ-बीजगणित पर माप नहीं है, धनात्मक पूर्णांकों के सभी उपसमुच्चय पर सामग्री है जिसका मूल्य $1/2^{n}$ है जो किसी भी पूर्णांक पर $n$ और किसी भी अनंत उपसमुच्चय पर अनंत है।

धनात्मक पूर्णांकों पर सामग्री का उदाहरण जो हमेशा परिमित होता है लेकिन माप नहीं होता है, निम्नानुसार दिया जा सकता है। बंधे हुए अनुक्रमों पर एक धनात्मक रैखिक फलन लें जो कि 0 है यदि अनुक्रम में केवल अशून्य अवयवों की परिमित संख्या है और मान 1 लेता है तो अनुक्रम पर $1,1,1,\ldots ,$ इसलिए फलन कुछ अर्थों में किसी भी बाध्य अनुक्रम का औसत मूल्य देता है। (इस प्रकार के फलन को स्पष्ट रूप से नहीं बनाया जा सकता है, परन्तु हैन-बानाच प्रमेय द्वारा उपस्थित है।) फिर धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय की सामग्री अनुक्रम का औसत मान है जो इस समुच्चय पर 1 है और कहीं 0 है। अनौपचारिक रूप से, पूर्णांक के एक उपसमुच्चय की सामग्री के विषय में ध्यान दिया सकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए पूर्णांक इस उपसमुच्चय में निहित है (जबकि यह संभाव्यता सिद्धांत में अवसर की सामान्य परिभाषाओं के साथ संगत नहीं है, जो गणनीय योगात्मकता मानते हैं)।

गुण

प्रायः सामग्री को समुच्चय के संग्रह पर परिभाषित किया जाता है जो आगे की बाधाओं को पूरा करता है। इस स्थिति में अतिरिक्त गुण ज्ञात किये जा सकते हैं जो समुच्चय के किसी भी संग्रह पर परिभाषित सामग्री के लिए सामान्य रूप से धारण करने में विफल रहते हैं।

अर्ध वलय पर

यदि ${\mathcal {A}}$ समुच्चयों का अर्ध वलय निर्मित करता है तो निम्नलिखित कथनों को घटाया जा सकता है:

प्रत्येक सामग्री $\mu$ एकदिस्ट है अर्थात $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B){\text{ के लिए }}A,B\in {\mathcal {A}}.$
प्रत्येक सामग्री $\mu$ उप-योगात्मक है, अर्थात

\mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B)

के लिए

A,B\in {\mathcal {A}}

जैसे कि

A\cup B\in {\mathcal {A}}.

वलय पर

यदि इसके अतिरिक्त ${\mathcal {A}}$ समुच्चयों का वलय है जो अतिरिक्त रूप से मिलता है:

घटाव: के लिए $B\subseteq A$ संतुस्ट करता हैं $\mu (B)<\infty$ जो इस प्रकार है $\mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B).$
$A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).$
उपयोगात्मकता: $A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc ,n)\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).$
$\sigma$ -उपयोगात्मकता: किसी के लिए भी $A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc )\$ योग में अलग करना संतोषजनक $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$ हमारे पास $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$
यदि $\mu$ परिमित सामग्री है, अर्थात् $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A)<\infty ,$ तब समावेश-बहिष्करण सिद्धांत क्रियान्वित होता है: $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,n\}, \atop |I|=k}\!\!\!\!\mu \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$ जहाँ $A_{i}\in {\mathcal {A}}$ सभी के लिए $i\in \{1,\dotsc ,n\}.$

बाध्य फलनों का समाकलन

सामग्री के संबंध में फलनों के सामान्य एकीकरण में अच्छा व्यवहार नहीं होता है। चुकी, समाकलन की सही प्रकार से कार्य करने कि धारणा है, जबकि फलन सीमित हो और रिक्त स्थान की कुल सामग्री परिमित हो, जिसे निम्नानुसार दिया गया है।

मान लीजिए कि किसी स्थान की कुल सामग्री परिमित है। यदि $f$ स्थान पर बाध्य फलन है जैसे कि वास्तविक के किसी भी विवृत उपसमुच्चय की व्युत्क्रम छवि सामग्री है, तो हम अभिन्न को परिभाषित कर सकते हैं $f$ सामग्री के के संबंध के रूप में

\int f\,d\lambda =\lim \sum _{i=1}^{n}f(\alpha _{i})\lambda (f^{-1}(A_{i}))

जहां

A_{i}

अलग-अलग अर्ध विवृत समुच्चयों का परिमित असंयुक्त संग्रह बनाता है जिसका संघ परास को आवर्णित करता हैं

f,

और

\alpha _{i}

का कोई अवयव है

A_{i},

और जहां परास को समुच्चय के व्यास के रूप में लिया जाता है

A_{i}

0 की ओर प्रस्थान करते हैं।

बाध्य फलनों का द्वैध स्थान

माना कि $\mu$ कुछ स्थान $X$ पर एक माप हैं। बाध्य मापांक फलन $X$ का कार्य करता है सर्वोच्च मानदंड के संबंध में एक बैनक स्पेस बनाते हैं। इस स्थान के के द्वैध के धनात्मक अवयव बाध्य सामग्री $\lambda$ $X$ के अनुरूप हैं $\lambda$ पर $f$ , मूल्य के साथ $\int f\,d\lambda$ हैं अभिन्न द्वारा दिया गया हैं। इसी प्रकार कोई अनिवार्य रूप से बाध्य फलन का स्थान बना सकता है, आवश्यक उच्चतम द्वारा दिए गए मानदंड के साथ, और इस स्थान के द्वैध के धनात्मक अवयव बाध्य सामग्री द्वारा दिए जाते हैं जो माप 0 के सम्मुच्चय पर अदृस्य हो जाते हैं।

किसी सामग्री से माप का निर्माण

किसी सामग्री $\lambda$ से एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर माप μ बनाने के कई विधिया हैं। यह खंड स्थानीय रूप से संहत हौसडॉर्फ स्थान के लिए ऐसी विधि देता है जैसे कि सामग्री को सभी संहत उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है। सामान्यतया माप सामग्री का विस्तार नहीं है, क्योंकि सामग्री गणनात्मक रूप से योगात्मक होने में विफल हो सकती है, और सामग्री नहीं होने पर भी माप समान रूप से शून्य हो सकता है।

पहले सामग्री को संहत सम्मुचय तक सीमित करें। यह निम्नलिखित गुणों के साथ संहत सम्मुचय $C$ फलन $\lambda$ देता हैं:

$\lambda (C)\in \ [0,\infty ]$ सभी संहत सम्मुचय $C$ के लिए
$\lambda (\varnothing )=0.$
$\lambda (C_{1})\leq \lambda (C_{2}){\text{ जब }}C_{1}\subseteq C_{2}$
$\lambda (C_{1}\cup C_{2})\leq \lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ संहत सम्मुचय के सभी युग्मो के लिए
$\lambda (C_{1}\cup C_{2})=\lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ असंयुक्त संहत सम्मुचय के सभी युग्मो के लिए।

फलनों $\lambda$ के उदाहरण भी हैं जैसा कि ऊपर सामग्री से निर्मित नहीं है। स्थानीय संहत समूह पर हार माप के निर्माण द्वारा एक उदाहरण दिया गया है। इस प्रकार के हार माप के निर्माण कि विधि बाएं-अपरिवर्तनीय फलन $\lambda$ ऊपर के रूप में समूह के संहत उपसमुच्चय का उत्पादन करना है, जिसे बाद में बाएं-अपरिवर्तनीय माप तक बढ़ाया जा सकता है।

विवृत सम्मुचय पर परिभाषा

ऊपर दिए गए λ को देखते हुए, हम सभी विवृत समुच्चयों पर फलन μ को परिभाषित करते हैं

\mu (U)=\sup _{C\subseteq U}\lambda (C).

इसके निम्नलिखित गुण हैं:

$\mu (U)\in \ [0,\infty ]$
$\mu (\varnothing )=0$
$\mu (U_{1})\leq \mu (U_{2}){\text{ जब }}U_{1}\subseteq U_{2}$
$\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)\leq \sum _{n}\lambda (U_{n})$ विवृत सम्मुचय के किसी भी संग्रह के लिए
$\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)=\sum _{n}\lambda (U_{n})$ असंयुक्त विवृत सम्मुचय के किसी भी संग्रह के लिए।

सभी सम्मुचयों पर परिभाषा

ऊपर दिए गए μ के रूप में, हम फलन μ को सांस्थितिक समष्टि के सभी उपसम्मुचय तक बढ़ाते हैं

\mu (A)=\inf _{A\subseteq U}\mu (U).

यह बाह्य माप है, दूसरे शब्दों में इसके निम्नलिखित गुण हैं:

$\mu (A)\in \ [0,\infty ]$
$\mu (\varnothing )=0.$
$\mu (A_{1})\leq \mu (A_{2}){\text{ जब }}A_{1}\subseteq A_{2}$
$\mu \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\lambda (A_{n})$ सम्मुचय के किसी भी गणनीय संग्रह के लिए।

माप का निर्माण

उपरोक्त फलन μ सभी उपसमूहों के समूह पर बाह्य माप है। इसलिए यह माप बन जाता है जब बाह्य माप के लिए मापने योग्य उपसमुच्चय तक सीमित होता है, जो उपसमुच्चय $E$ होते हैं जैसे कि $\mu (X)=\mu (X\cap E)+\mu (X\setminus E)$ सभी उपसमुच्चयों $X$ के लिए होता हैं। यदि स्थान स्थानतः संहत है तो इस माप के लिए प्रत्येक विवृत सम्मुच्चय को मापा जा सकता है।

मापांक $\mu$ सामग्री के साथ $\lambda$ संहत सम्मुचय पर आवश्यक नहीं है, यद्यपि कि इस अर्थ में $\lambda$ किसी भी संहत $C$ के लिए नियमित है, $\lambda (C)$ का ज्ञान है $\lambda (D)$ संहत समुच्चय के लिए $D$ युक्त $C$ उनके आतंरिक भाग में संज्ञान होता हैं।

यह भी देखें

मिन्कोवस्की सामग्री

संदर्भ

Elstrodt, Jürgen (2018), Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag
Halmos, Paul (1950), Measure Theory, Van Nostrand and Co.
Mayrhofer, Karl (1952), Inhalt und Mass (Content and measure), Springer-Verlag, MR 0053185

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-गणित में, विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में, सामग्री <math>\mu</math> उपसम्मुचय के संग्रह पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फलन <math>\mathcal{A}</math> है जैसे कि
+गणित में, विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में, '''सामग्री''' <math>\mu</math> उपसम्मुचय के संग्रह पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फलन <math>\mathcal{A}</math> है जैसे कि
 # <math>\mu(A)\in\ [0, \infty] \text{ जब  } A \in \mathcal{A}.</math>
 # <math>\mu(\varnothing) = 0.</math>
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 अर्थात्, सामग्री माप (गणित) का सामान्यीकरण है: जबकि उत्तरार्द्ध को योगात्मक रूप से योगात्मक होना चाहिए, पूर्व को केवल परिमित योगात्मक होना चाहिए।
-कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में <math>\mathcal{A}</math> [[सेट की अंगूठी|सम्मुचयो का वलय]] या कम से कम सम्मुचयो के सेमरिंग के लिए चुना जाता है, जिसमें कुछ अतिरिक्त गुणों को घटाया जा सकता है जो नीचे वर्णित हैं। इस कारण से कुछ लेखक केवल सेमीरिंग या यहां तक कि वलयो कि स्थितियों में सामग्री को परिभाषित करना पसंद करते हैं।
+कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में <math>\mathcal{A}</math> [[सेट की अंगूठी|वलय का सम्मुचय]] या कम से कम सम्मुचयो के अर्ध वलय के लिए चुना जाता है, जिसमें कुछ अतिरिक्त गुणों को घटाया जा सकता है जो नीचे वर्णित हैं। इस कारण से कुछ लेखक केवल अर्ध वलय या यहां तक कि वलयो कि स्थितियों में सामग्री को परिभाषित करना पसंद करते हैं।
 यदि कोई सामग्री अतिरिक्त रूप से σ-योजक है तो इसे पूर्व-माप कहा जाता है और यदि इसके अलावा <math>\mathcal{A}</math> σ-बीजगणित, सामग्री को माप (गणित) कहा जाता है। इसलिए प्रत्येक (वास्तविक-मूल्यवान) माप एक सामग्री है, परन्तु इसके विपरीत नहीं हैं। सामग्री एक स्थान पर बंधे हुए कार्यों को एकीकृत करने की एक अच्छी धारणा देती है परन्तु असीमित एकीकृत फलन करते समय बहुत गलत व्यवहार कर सकती है, जबकि उपाय असीमित एकीकृत फलन की अच्छी धारणा देते हैं।
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 == उदाहरण ==
-सभी आधे खुले अंतरालों पर एक सामग्री को परिभाषित करने के लिए एक शास्त्रीय उदाहरण है <math>[a,b) \subseteq \R</math> उनकी सामग्री को अंतराल की लंबाई पर सेट करके, यानी, <math>\mu([a,b))=b-a.</math> आगे यह दिखाया जा सकता है कि यह सामग्री वास्तव में σ-योगात्मक है और इस प्रकार सभी आधे-खुले अंतरालों की संगोष्ठी पर एक पूर्व-माप को परिभाषित करता है। इसका उपयोग कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय का उपयोग करके वास्तविक संख्या रेखा के लिए लेबेसेग माप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। सामान्य निर्माण के बारे में अधिक जानकारी के लिए लेबेसेग माप # लेबेसेग माप का निर्माण पर लेख देखें।
+सभी अधिविवृत अंतराल <math>[a,b) \subseteq \R</math> पर एक सामग्री को उनकी सामग्री को अंतराल की लंबाई पर समुच्चय परिभाषित करने का एक प्राचीन उदाहरण है, अर्थात, <math>\mu([a,b))=b-a. </math> आगे यह दिखाया जा सकता है कि यह सामग्री वास्तव में σ-योगात्मक है और इस प्रकार सभी अधिविवृत अंतराल की संगोष्ठी पर एक पूर्व-माप को परिभाषित करता है। इसका उपयोग कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय का उपयोग करके वास्तविक संख्या रेखा के लिए लेबेसेग माप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। सामान्य निर्माण के विषय में अधिक जानकारी के लिए लेबेसेग माप का निर्माण पर लेख पर ध्यान दे।
-सामग्री का एक उदाहरण जो σ-बीजगणित पर माप नहीं है, सकारात्मक पूर्णांकों के सभी उपसमुच्चय पर सामग्री है जिसका मूल्य है <math>1/2^n</math> किसी भी पूर्णांक पर <math>n</math> और किसी भी अनंत उपसमुच्चय पर अनंत है।
+सामग्री का उदाहरण जो σ-बीजगणित पर माप नहीं है, धनात्मक पूर्णांकों के सभी उपसमुच्चय पर सामग्री है जिसका मूल्य <math>1/2^n</math> है जो किसी भी पूर्णांक पर <math>n</math> और किसी भी अनंत उपसमुच्चय पर अनंत है।
-सकारात्मक पूर्णांकों पर सामग्री का एक उदाहरण जो हमेशा परिमित होता है लेकिन माप नहीं होता है, निम्नानुसार दिया जा सकता है। बंधे हुए अनुक्रमों पर एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक लें जो कि 0 है यदि अनुक्रम में केवल गैर-शून्य तत्वों की एक परिमित संख्या है और अनुक्रम पर मान 1 लेता है <math>1, 1, 1, \ldots,</math> इसलिए कार्यात्मक कुछ अर्थों में किसी भी बंधे अनुक्रम का औसत मूल्य देता है। (इस तरह के कार्यात्मक को स्पष्ट रूप से नहीं बनाया जा सकता है, लेकिन हैन-बानाच प्रमेय द्वारा मौजूद है।) फिर सकारात्मक पूर्णांकों के एक सेट की सामग्री अनुक्रम का औसत मान है जो इस सेट पर 1 है और कहीं और 0 है। अनौपचारिक रूप से, एक पूर्णांक के एक उपसमुच्चय की सामग्री के बारे में सोच सकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए पूर्णांक इस उपसमुच्चय में निहित है (हालांकि यह संभाव्यता सिद्धांत में मौका की सामान्य परिभाषाओं के साथ संगत नहीं है, जो गणनीय योगात्मकता मानते हैं)।
+धनात्मक पूर्णांकों पर सामग्री का उदाहरण जो हमेशा परिमित होता है लेकिन माप नहीं होता है, निम्नानुसार दिया जा सकता है। बंधे हुए अनुक्रमों पर एक धनात्मक रैखिक फलन लें जो कि 0 है यदि अनुक्रम में केवल अशून्य अवयवों की परिमित संख्या है और मान 1 लेता है तो अनुक्रम पर <math>1, 1, 1, \ldots,</math> इसलिए फलन कुछ अर्थों में किसी भी बाध्य अनुक्रम का औसत मूल्य देता है। (इस प्रकार के फलन को स्पष्ट रूप से नहीं बनाया जा सकता है, परन्तु हैन-बानाच प्रमेय द्वारा उपस्थित है।) फिर धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय की सामग्री अनुक्रम का औसत मान है जो इस समुच्चय पर 1 है और कहीं 0 है। अनौपचारिक रूप से, पूर्णांक के एक उपसमुच्चय की सामग्री के विषय में ध्यान दिया सकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए पूर्णांक इस उपसमुच्चय में निहित है (जबकि यह संभाव्यता सिद्धांत में अवसर की सामान्य परिभाषाओं के साथ संगत नहीं है, जो गणनीय योगात्मकता मानते हैं)।
 == गुण ==
-अक्सर सामग्री को सेट के संग्रह पर परिभाषित किया जाता है जो आगे की बाधाओं को पूरा करता है। इस मामले में अतिरिक्त गुण निकाले जा सकते हैं जो सेट के किसी भी संग्रह पर परिभाषित सामग्री के लिए सामान्य रूप से धारण करने में विफल रहते हैं।
+प्रायः सामग्री को समुच्चय के संग्रह पर परिभाषित किया जाता है जो आगे की बाधाओं को पूरा करता है। इस स्थिति में अतिरिक्त गुण ज्ञात किये जा सकते हैं जो समुच्चय के किसी भी संग्रह पर परिभाषित सामग्री के लिए सामान्य रूप से धारण करने में विफल रहते हैं।
-=== सेमीरिंग्स पर ===
+=== अर्ध वलय पर ===
-अगर <math>\mathcal{A}</math> सेमिरिंग#सेमिरिंग ऑफ सेट बनाता है तो निम्नलिखित कथनों को घटाया जा सकता है:
+यदि <math>\mathcal{A}</math> समुच्चयों का अर्ध वलय निर्मित करता है तो निम्नलिखित कथनों को घटाया जा सकता है:
-* हर सामग्री <math>\mu</math> मोनोटोन है यानी <math display=block>A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B) \text{ for } A, B \in \mathcal{A}.</math>
+* प्रत्येक सामग्री <math>\mu</math> एकदिस्ट है अर्थात  <math display="block">A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B) \text{ के लिए  } A, B \in \mathcal{A}.</math>
-* हर सामग्री <math>\mu</math> उप-योगात्मक है, अर्थात
+* प्रत्येक सामग्री <math>\mu</math> उप-योगात्मक है, अर्थात
-:<math>\mu(A \cup B) \leq \mu(A) + \mu(B)</math> के लिए <math>A, B \in \mathcal{A}</math> ऐसा है कि <math>A \cup B \in \mathcal{A}.</math>
+:<math>\mu(A \cup B) \leq \mu(A) + \mu(B)</math> के लिए <math>A, B \in \mathcal{A}</math> जैसे कि <math>A \cup B \in \mathcal{A}.</math>
+=== वलय पर ===
+यदि इसके अतिरिक्त <math>\mathcal{A}</math> समुच्चयों का वलय है जो अतिरिक्त रूप से मिलता है:
-=== अंगूठियों पर ===
+* घटाव: के लिए <math>B \subseteq A</math> संतुस्ट करता हैं <math>\mu (B) < \infty</math> जो इस प्रकार है <math>\mu (A \setminus B) = \mu (A) - \mu (B).</math>
-अगर इसके अलावा <math>\mathcal{A}</math> एक रिंग ऑफ़ सेट्स है जो अतिरिक्त रूप से मिलता है:
-* घटाव: के लिए <math>B \subseteq A</math> संतुष्टि देने वाला <math>\mu (B) < \infty</math> यह इस प्रकार है <math>\mu (A \setminus B) = \mu (A) - \mu (B).</math>
 * <math>A,B\in\mathcal{A} \Rightarrow \mu(A\cup B)+\mu(A\cap B) = \mu(A)+\mu(B).</math>
-* उप-विषमता: <math>A_i\in \mathcal{A}\; (i=1,2,\dotsc,n) \Rightarrow \mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \mu(A_i).</math>
+* उपयोगात्मकता: <math>A_i\in \mathcal{A}\; (i=1,2,\dotsc,n) \Rightarrow \mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \mu(A_i).</math>
-*<math>\sigma</math>-सुपरएडिटिविटी: किसी के लिए भी <math>A_i \in \mathcal{A}\; (i=1,2,\dotsc)\ </math> जोड़ो में अलग करना संतोषजनक <math>\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in \mathcal{A}</math> अपने पास <math>\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \geq \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).</math>
+*<math>\sigma</math>-उपयोगात्मकता: किसी के लिए भी <math>A_i \in \mathcal{A}\; (i=1,2,\dotsc)\ </math>योग में अलग करना संतोषजनक <math>\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in \mathcal{A}</math> हमारे पास <math>\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \geq \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).</math>
-* अगर <math>\mu</math> एक परिमित सामग्री है, अर्थात् <math>A \in\mathcal{A} \Rightarrow \mu(A)<\infty,</math> तब समावेश-बहिष्करण सिद्धांत लागू होता है: <math display=block>\mu\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dotsc,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!\mu\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)</math> कहाँ <math>A_i\in \mathcal{A}</math> सभी के लिए <math>i\in\{1,\dotsc,n\}.</math>
+* यदि <math>\mu</math> परिमित सामग्री है, अर्थात् <math>A \in\mathcal{A} \Rightarrow \mu(A)<\infty,</math> तब समावेश-बहिष्करण सिद्धांत क्रियान्वित होता है: <math display=block>\mu\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dotsc,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!\mu\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)</math> जहाँ <math>A_i\in \mathcal{A}</math> सभी के लिए <math>i\in\{1,\dotsc,n\}.</math>
+== बाध्य फलनों का समाकलन ==
-== बंधे हुए कार्यों का एकीकरण ==
-सामग्री के संबंध में कार्यों के सामान्य एकीकरण में अच्छा व्यवहार नहीं होता है। हालाँकि, एकीकरण की एक अच्छी तरह से व्यवहार की गई धारणा है, बशर्ते कि कार्य सीमित हो और अंतरिक्ष की कुल सामग्री परिमित हो, जिसे निम्नानुसार दिया गया है।
+सामग्री के संबंध में फलनों के सामान्य एकीकरण में अच्छा व्यवहार नहीं होता है। चुकी, समाकलन की सही प्रकार से कार्य करने कि धारणा है, जबकि फलन सीमित हो और रिक्त स्थान की कुल सामग्री परिमित हो, जिसे निम्नानुसार दिया गया है।
-मान लीजिए कि किसी स्थान की कुल सामग्री परिमित है।
+मान लीजिए कि किसी स्थान की कुल सामग्री परिमित है। यदि <math>f</math> स्थान पर बाध्य फलन है जैसे कि वास्तविक के किसी भी विवृत उपसमुच्चय की व्युत्क्रम छवि सामग्री है, तो हम अभिन्न को परिभाषित कर सकते हैं <math>f</math> सामग्री के के संबंध के रूप में
-अगर <math>f</math> अंतरिक्ष पर एक बंधा हुआ कार्य है जैसे कि वास्तविक के किसी भी खुले उपसमुच्चय की व्युत्क्रम छवि में एक सामग्री है, तो हम अभिन्न को परिभाषित कर सकते हैं <math>f</math> सामग्री के रूप में के संबंध में
 <math display=block>\int f \, d\lambda = \lim \sum_{i=1}^n f(\alpha_i)\lambda (f^{-1}(A_i))</math>
-जहां <math>A_i</math> अलग-अलग आधे खुले सेटों का एक परिमित संग्रह बनाता है जिसका संघ की सीमा को कवर करता है <math>f,</math> और <math>\alpha_i</math> का कोई तत्व है <math>A_i,</math> और जहां सीमा को सेट के व्यास के रूप में लिया जाता है <math>A_i</math> 0 की ओर रुख करें।
+जहां <math>A_i</math> अलग-अलग अर्ध विवृत समुच्चयों का परिमित असंयुक्त संग्रह बनाता है जिसका संघ परास को आवर्णित करता हैं <math>f,</math> और <math>\alpha_i</math> का कोई अवयव है <math>A_i,</math> और जहां परास को समुच्चय के व्यास के रूप में लिया जाता है <math>A_i</math> 0 की ओर प्रस्थान करते हैं।
-== बंधे हुए कार्यों के रिक्त स्थान के दोहरे ==
+== बाध्य फलनों का द्वैध स्थान ==
-लगता है कि <math>\mu</math> कुछ जगह पर एक उपाय है <math>X.</math> परिबद्ध औसत दर्जे का कार्य करता है <math>X</math> सुप्रीम नॉर्म के संबंध में एक बैनच स्पेस बनाते हैं। इस स्थान के दोहरे के सकारात्मक तत्व बंधी हुई सामग्री के अनुरूप हैं <math>\lambda</math> <math>X,</math> के मूल्य के साथ <math>\lambda</math> पर <math>f</math> अभिन्न द्वारा दिया गया <math>\int f \, d\lambda.</math> इसी तरह कोई अनिवार्य रूप से बंधे हुए कार्यों का स्थान बना सकता है, आवश्यक उच्चतम द्वारा दिए गए मानदंड के साथ, और इस स्थान के दोहरे के सकारात्मक तत्व बाध्य सामग्री द्वारा दिए जाते हैं जो माप 0 के सेट पर गायब हो जाते हैं।
+माना कि <math>\mu</math> कुछ स्थान <math>X</math> पर एक माप हैं। बाध्य मापांक फलन <math>X</math> का कार्य करता है सर्वोच्च मानदंड के संबंध में एक बैनक स्पेस बनाते हैं। इस स्थान के के द्वैध के धनात्मक अवयव बाध्य सामग्री <math>\lambda</math> <math>X</math> के अनुरूप हैं <math>\lambda</math> पर <math>f</math>, मूल्य के साथ<math>\int f \, d\lambda</math> हैं अभिन्न द्वारा दिया गया हैं। इसी प्रकार कोई अनिवार्य रूप से बाध्य फलन का स्थान बना सकता है, आवश्यक उच्चतम द्वारा दिए गए मानदंड के साथ, और इस स्थान के द्वैध के धनात्मक अवयव बाध्य सामग्री द्वारा दिए जाते हैं जो माप 0 के सम्मुच्चय पर अदृस्य हो जाते हैं।
 == किसी सामग्री से माप का निर्माण ==
-किसी सामग्री से माप μ बनाने के कई तरीके हैं <math>\lambda</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर। यह खंड [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए एक ऐसी विधि देता है जैसे कि सामग्री को सभी कॉम्पैक्ट सबसेट पर परिभाषित किया गया है। सामान्य तौर पर माप सामग्री का विस्तार नहीं है, क्योंकि सामग्री गणनात्मक रूप से योगात्मक होने में विफल हो सकती है, और सामग्री नहीं होने पर भी माप समान रूप से शून्य हो सकता है।
+किसी सामग्री <math>\lambda</math> से एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर माप μ बनाने के कई विधिया हैं। यह खंड [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|स्थानीय रूप से संहत हौसडॉर्फ स्थान]] के लिए ऐसी विधि देता है जैसे कि सामग्री को सभी संहत उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है। सामान्यतया माप सामग्री का विस्तार नहीं है, क्योंकि सामग्री गणनात्मक रूप से योगात्मक होने में विफल हो सकती है, और सामग्री नहीं होने पर भी माप समान रूप से शून्य हो सकता है।
-पहले सामग्री को कॉम्पैक्ट सेट तक सीमित करें। यह एक कार्य देता है <math>\lambda</math> कॉम्पैक्ट सेट की <math>C</math> निम्नलिखित गुणों के साथ:
+पहले सामग्री को संहत सम्मुचय तक सीमित करें। यह निम्नलिखित गुणों के साथ संहत सम्मुचय <math>C</math> फलन <math>\lambda</math> देता हैं:
-# <math>\lambda(C) \in\ [0, \infty]</math> सभी कॉम्पैक्ट सेट के लिए <math>C</math>
+# <math>\lambda(C) \in\ [0, \infty]</math> सभी संहत सम्मुचय <math>C</math> के लिए
 # <math>\lambda(\varnothing) = 0.</math>
-# <math>\lambda(C_1) \leq \lambda(C_2) \text{ whenever } C_1\subseteq C_2</math>
+# <math>\lambda(C_1) \leq \lambda(C_2) \text{ जब  } C_1\subseteq C_2</math>
-# <math>\lambda(C_1 \cup C_2) \leq \lambda(C_1) + \lambda(C_2)</math> कॉम्पैक्ट सेट के सभी जोड़े के लिए
+# <math>\lambda(C_1 \cup C_2) \leq \lambda(C_1) + \lambda(C_2)</math> संहत सम्मुचय के सभी युग्मो के लिए
-# <math>\lambda(C_1 \cup C_2) = \lambda(C_1) + \lambda(C_2)</math> असंयुक्त कॉम्पैक्ट सेट के सभी जोड़े के लिए।
+# <math>\lambda(C_1 \cup C_2) = \lambda(C_1) + \lambda(C_2)</math> असंयुक्त संहत सम्मुचय के सभी युग्मो के लिए।
-कार्यों के उदाहरण भी हैं <math>\lambda</math> जैसा कि ऊपर सामग्री से निर्मित नहीं है।
+फलनों <math>\lambda</math> के उदाहरण भी हैं जैसा कि ऊपर सामग्री से निर्मित नहीं है।
-[[स्थानीय कॉम्पैक्ट समूह]] पर हार माप के निर्माण द्वारा एक उदाहरण दिया गया है। इस तरह के हार माप के निर्माण का एक तरीका बाएं-अपरिवर्तनीय कार्य का उत्पादन करना है <math>\lambda</math> ऊपर के रूप में समूह के कॉम्पैक्ट सबसेट पर, जिसे बाद में बाएं-अपरिवर्तनीय माप तक बढ़ाया जा सकता है।
+[[स्थानीय कॉम्पैक्ट समूह|स्थानीय संहत समूह]] पर '''हार माप''' के निर्माण द्वारा एक उदाहरण दिया गया है। इस प्रकार के हार माप के निर्माण कि विधि बाएं-अपरिवर्तनीय फलन <math>\lambda</math> ऊपर के रूप में समूह के संहत उपसमुच्चय का उत्पादन करना है, जिसे बाद में बाएं-अपरिवर्तनीय माप तक बढ़ाया जा सकता है।
-=== खुले सेट पर परिभाषा ===
+=== विवृत सम्मुचय पर परिभाषा ===
-ऊपर दिए गए λ को देखते हुए, हम सभी खुले सेटों पर एक फ़ंक्शन μ परिभाषित करते हैं
+ऊपर दिए गए λ को देखते हुए, हम सभी विवृत समुच्चयों पर फलन μ को परिभाषित करते हैं
- <math display=block>\mu(U) = \sup_{C\subseteq U} \lambda (C).</math>
+<math display=block>\mu(U) = \sup_{C\subseteq U} \lambda (C).</math>
 इसके निम्नलिखित गुण हैं:
 # <math>\mu(U) \in\ [0, \infty]</math>
 # <math>\mu(\varnothing) = 0</math>
-# <math>\mu(U_1) \leq \mu(U_2) \text{ whenever } U_1\subseteq U_2</math>
+# <math>\mu(U_1) \leq \mu(U_2) \text{ जब  } U_1\subseteq U_2</math>
-# <math>\mu\left(\bigcup_nU_n\right) \leq \sum_n\lambda(U_n)</math> खुले सेट के किसी भी संग्रह के लिए
+# <math>\mu\left(\bigcup_nU_n\right) \leq \sum_n\lambda(U_n)</math> विवृत सम्मुचय के किसी भी संग्रह के लिए
-# <math>\mu\left(\bigcup_nU_n\right) = \sum_n\lambda(U_n)</math> असंयुक्त खुले सेट के किसी भी संग्रह के लिए।
+# <math>\mu\left(\bigcup_nU_n\right) = \sum_n\lambda(U_n)</math> असंयुक्त विवृत सम्मुचय के किसी भी संग्रह के लिए।
-=== सभी सेटों पर परिभाषा ===
+=== सभी सम्मुचयों पर परिभाषा ===
-ऊपर दिए गए μ के रूप में, हम फ़ंक्शन μ को टोपोलॉजिकल स्पेस के सभी सबसेट तक बढ़ाते हैं
+ऊपर दिए गए μ के रूप में, हम फलन μ को सांस्थितिक समष्टि के सभी उपसम्मुचय तक बढ़ाते हैं
- <math display=block>\mu(A) = \inf_{A\subseteq U}\mu (U).</math>
+<math display=block>\mu(A) = \inf_{A\subseteq U}\mu (U).</math>
-यह एक [[बाहरी माप]] है, दूसरे शब्दों में इसके निम्नलिखित गुण हैं:
+यह [[बाहरी माप|बाह्य माप]] है, दूसरे शब्दों में इसके निम्नलिखित गुण हैं:
 # <math>\mu(A) \in\ [0, \infty]</math>
 # <math>\mu(\varnothing) = 0.</math>
-# <math>\mu(A_1) \leq \mu(A_2) \text{ whenever } A_1\subseteq A_2</math>
+# <math>\mu(A_1) \leq \mu(A_2) \text{ जब  } A_1\subseteq A_2</math>
-# <math>\mu\left(\bigcup_nA_n\right) \leq \sum_n\lambda(A_n)</math> सेट के किसी भी गणनीय संग्रह के लिए।
+# <math>\mu\left(\bigcup_nA_n\right) \leq \sum_n\lambda(A_n)</math> सम्मुचय के किसी भी गणनीय संग्रह के लिए।
 ===माप का निर्माण===
-उपरोक्त फ़ंक्शन μ सभी उपसमूहों के परिवार पर एक बाहरी उपाय है। इसलिए यह एक उपाय बन जाता है जब बाहरी माप के लिए मापने योग्य सबसेट तक सीमित होता है, जो सबसेट होते हैं <math>E</math> ऐसा है कि <math>\mu(X) = \mu(X \cap E) + \mu(X \setminus E)</math> सभी उपसमूहों के लिए <math>X.</math> यदि स्थान स्थानीय रूप से सघन है तो इस माप के लिए प्रत्येक खुले सेट को मापा जा सकता है।
+उपरोक्त फलन μ सभी उपसमूहों के समूह पर बाह्य माप है। इसलिए यह माप बन जाता है जब बाह्य माप के लिए मापने योग्य उपसमुच्चय तक सीमित होता है, जो उपसमुच्चय <math>E</math> होते हैं जैसे कि <math>\mu(X) = \mu(X \cap E) + \mu(X \setminus E)</math> सभी उपसमुच्चयों <math>X</math> के लिए होता हैं। यदि स्थान स्थानतः संहत है तो इस माप के लिए प्रत्येक विवृत सम्मुच्चय को मापा जा सकता है।
-पैमाना <math>\mu</math> सामग्री के साथ जरूरी नहीं है <math>\lambda</math> कॉम्पैक्ट सेट पर, हालांकि यह करता है <math>\lambda</math> इस अर्थ में नियमित है कि
+मापांक <math>\mu</math> सामग्री के साथ <math>\lambda</math> संहत सम्मुचय पर आवश्यक नहीं है, यद्यपि कि इस अर्थ में <math>\lambda</math> किसी भी संहत <math>C</math> के लिए नियमित है, <math>\lambda(C)</math> का ज्ञान है <math>\lambda(D)</math> संहत समुच्चय के लिए <math>D</math> युक्त <math>C</math> उनके आतंरिक भाग में संज्ञान होता हैं।
-किसी भी कॉम्पैक्ट के लिए <math>C,</math> <math>\lambda(C)</math> की जानकारी है <math>\lambda(D)</math> कॉम्पैक्ट सेट के लिए <math>D</math> युक्त <math>C</math> उनके अंदरूनी हिस्सों में।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Minkowski content}}
+* {{annotated link|मिन्कोवस्की सामग्री }}
 ==संदर्भ==
 {{reflist|group=note}}
-{{reflist}}
 * {{citation|last=Elstrodt|first=Jürgen|title=Maß- und Integrationstheorie|publisher=Springer-Verlag|year=2018}}
 * {{citation|last=Halmos|first=Paul|authorlink=Paul Halmos|year=1950|title=Measure Theory|publisher=Van Nostrand and Co.}}
 * {{citation|last=Mayrhofer|first=Karl|title=Inhalt und Mass (Content and measure)|publisher=Springer-Verlag|mr=0053185|year=1952}}
-{{Measure theory}}
-[[Category: माप सिद्धांत]] [[Category: सेट के परिवार]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 25/05/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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+[[Category:माप सिद्धांत]]
+[[Category:सेट के परिवार]]

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