दोहरी शंकु और ध्रुवीय शंकु: Difference between revisions

Latest revision as of 09:30, 13 June 2023

एक समुच्चय C और इसका द्विशंकु C^*.

एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C^{हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित है।}

दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु उत्तल विश्लेषण, गणित की एक शाखा से संबंधित अवधारणाएं होती है।

दोहरी शंकु

एक वेक्टर स्थान में

वास्तविक संख्याओ के ऊपर एक रैखिक स्थान X में उपसमुच्चय की दोहरी शंकु है C उदाहरण यूक्लिडियन स्थान Rⁿ, दोहरे स्थान X के साथ है

C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},

जहाँ $\langle y,x\rangle$ X और X के बीच की दोहरी प्रणाली होती है, अर्थात $\langle y,x\rangle =y(x)$

C हमेशा एक उत्तल शंकु होता है, C न तो उत्तल समुच्चय होता है और न ही एक रैखिक शंकु होता है।

एक सामयिक सदिश स्थान में

यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X के 'दोहरे शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित समुच्चय है:

C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}

,^[1]

जो समुच्चय C का ध्रुवीय समुच्चय होता है।^[1] कोई फर्क नहीं पड़ता कि C क्या है, $C^{\prime }$ उत्तल शंकु होता है। यदि C ⊆ {0} है तो $C^{\prime }=X^{\prime }$

हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु)

वैकल्पिक रूप से, कई लेखक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान के संदर्भ में दोहरे शंकु को परिभाषित करते है (जैसे कि Rⁿ यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित) जिसे कभी-कभी आंतरिक दोहरा शंकु कहा जाता है।

C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.

C के लिए इस परिभाषा का उपयोग करता है, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु होता है, तो निम्नलिखित गुण होते है:^[2]

एक शून्येतर सदिश y, C में होता है यदि और केवल निम्न दोनों शर्तें लागू होती है:

y एक हाइपरप्लेन के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन C का समर्थन करता है।
y और C उस हाइपरप्लेन का समर्थन करते है जो के एक ही तरफ स्थित होते है।

C बंद सेट और उत्तल होता है।
$C_{1}\subseteq C_{2}$ तात्पर्य है $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$ .
यदि C का अभ्यंतर खाली नहीं होता है, तो C तीक्ष्ण होता है, अर्थात C में पूरी तरह से कोई रेखा नही होती है।
यदि C एक शंकु होता है और C तीक्ष्ण होता है, तो C गैर-खाली आंतरिक होता है।
C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय का एक परिणाम होता है।

स्व-दोहरी शंकु

सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर होता है।^[3] वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते है, सामान्यतः कहते है कि एक शंकु स्वयं-दोहरी तब होता है जब यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर होता है। यह उपरोक्त परिभाषा से थोड़ा अलग होता है, जो आंतरिक उत्पाद में बदलाव की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त परिभाषा Rⁿ में दीर्घवृत्ताभ आधार स्व-दोहरी के साथ एक शंकु बनाती है, क्योंकि आधार को गोलाकार बनाने के लिए आंतरिक उत्पाद को बदला जाता है, और Rⁿ में गोलाकार आधार वाला एक शंकु इसके आंतरिक दोहरे के बराबर होता है।

Rⁿ का गैर-नकारात्मक और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह का स्थान स्व-द्वैत होता है, जैसे कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु होते है (अधिकांशतः गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु कहा जाता है)। अतः सभी शंकु R³ में होते है। R³ में शंकु का एक नियमित उदाहरण होता है: एक वर्ग का उत्तल हल और वर्ग के बाहर एक बिंदु वर्ग के पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है।

ध्रुवीय शंकु

बंद उत्तल शंकु C का ध्रुव बंद उत्तल शंकु C है^ओ, और इसके विपरीत।

X में समुच्चय C के लिए, C का ध्रुवीय शंकु समुच्चय होता है^[4]

C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.

यह देखा जा सकता है कि ध्रुवीय शंकु दोहरे शंकु के ऋणात्मक के बराबर होता है, अर्थात Co = -C

X में एक बंद उत्तल शंकु C के लिए होता है, ध्रुवीय शंकु C ध्रुवीय समुच्चय के बराबर होता है।^[5]

यह भी देखें

द्विध्रुवी प्रमेय
ध्रुवीय सेट

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Schaefer & Wolff 1999, pp. 215–222.
↑ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). उत्तल अनुकूलन (pdf). Cambridge University Press. pp. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.
↑ Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. उत्तल विश्लेषण. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.
↑ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

ग्रन्थसूची

Boltyanski, V. G.; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Excursions into combinatorial geometry. New York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
Goh, C. J.; Yang, X.Q. (2002). Duality in optimization and variational inequalities. London; New York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Ramm, A.G. (2000). Shivakumar, P.N.; Strauss, A.V. (eds.). Operator theory and its applications. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] 1.0 ^1.1 Schaefer & Wolff 1999, pp. 215–222.

[Boyd-2] Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). उत्तल अनुकूलन (pdf). Cambridge University Press. pp. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.

[3] Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.

[Rockafellar-4] Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. उत्तल विश्लेषण. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.

[5] Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

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 {{Short description|Concepts in convex analysis}}
 [[File:Dual cone illustration.svg|right|thumb|एक समुच्चय C और इसका द्विशंकु C{{sup|*}}.]]
-[[File:Polar cone illustration1.svg|right|thumb|एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C<sup>हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित है।]]'''दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु''' [[उत्तल विश्लेषण]], गणित की एक शाखा में बारीकी से संबंधित अवधारणाएं होती है।
+[[File:Polar cone illustration1.svg|right|thumb|एक समुच्चय C और इसका ध्रुवीय शंकु C<sup>हे</सुप>. दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु मूल बिंदु के संबंध में एक दूसरे के सममित है।]]'''दोहरे शंकु और ध्रुवीय शंकु''' [[उत्तल विश्लेषण]], गणित की एक शाखा से संबंधित अवधारणाएं होती है।
 == दोहरी शंकु ==
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 === एक वेक्टर स्थान में ===
-''[[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओ]]'' के ऊपर एक ''[[रैखिक स्थान]]'' X में उपसमुच्चय की दोहरी शंकु है सी उदाहरण ''[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]]'' R''<sup>n</sup>'', ''[[ दोहरी जगह |दोहरे स्थान]]'' X के साथ ''समुच्चय'' है
+''[[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओ]]'' के ऊपर एक ''[[रैखिक स्थान]]'' X में उपसमुच्चय की दोहरी शंकु है C उदाहरण ''[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]]'' R''<sup>n</sup>'', ''[[ दोहरी जगह |दोहरे स्थान]]'' X के साथ है
 :<math>C^* = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C  \right \},</math>
 जहाँ <math>\langle y, x \rangle</math> X और X के बीच की [[दोहरी प्रणाली]] होती है, अर्थात <math>\langle y, x\rangle = y(x)</math>
-सी हमेशा एक [[उत्तल शंकु]] होता है, सी न तो [[उत्तल सेट]] होता है और न ही एक [[रैखिक शंकु]] होता है।
+C हमेशा एक [[उत्तल शंकु]] होता है, C न तो [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] होता है और न ही एक [[रैखिक शंकु]] होता है।
 === एक सामयिक सदिश स्थान में ===
-यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X का 'दोहरा  शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित समुच्चय है:
+यदि X वास्तविक या जटिल संख्याओं पर एक सामयिक सदिश स्थान है, तो एक उपसमुच्चय C ⊆ X के 'दोहरे शंकु' X पर निरंतर रैखिक क्रियाओं का निम्नलिखित समुच्चय है:
 :<math>C^{\prime} := \left\{ f \in X^{\prime} : \operatorname{Re} \left( f (x) \right) \geq 0 \text{ for all } x \in C \right\}</math>,{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | pp=215–222}}
-जो समुच्चय -C का ध्रुवीय समुच्चय होता है।{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | pp=215–222}} कोई फर्क नहीं पड़ता कि सी क्या है, <math>C^{\prime}</math> उत्तल शंकु होता है। यदि सी ⊆ {0} तो <math>C^{\prime} = X^{\prime}</math>.
+जो समुच्चय C का ध्रुवीय समुच्चय होता है।{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | pp=215–222}} कोई फर्क नहीं पड़ता कि C क्या है, <math>C^{\prime}</math> उत्तल शंकु होता है। यदि C ⊆ {0} है तो <math>C^{\prime} = X^{\prime}</math>
 === हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु) ===
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 :<math>C^*_\text{internal} := \left \{y\in X: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C  \right \}.</math>
-सी के लिए इस बाद की परिभाषा का उपयोग करता है, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु है, तो निम्नलिखित गुण होते है:<ref name="Boyd">{{cite book|title=उत्तल अनुकूलन| first1=Stephen P. |last1=Boyd |first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3 | url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=65 |format=pdf|access-date=October 15, 2011|pages=51–53}}</ref>
+C के लिए इस परिभाषा का उपयोग करता है, हमारे पास यह है कि जब C एक शंकु होता है, तो निम्नलिखित गुण होते है:<ref name="Boyd">{{cite book|title=उत्तल अनुकूलन| first1=Stephen P. |last1=Boyd |first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3 | url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=65 |format=pdf|access-date=October 15, 2011|pages=51–53}}</ref>
-* एक शून्येतर सदिश y, C में है यदि और केवल निम्न दोनों शर्तें लागू हों:
+* एक शून्येतर सदिश y, C में होता है यदि और केवल निम्न दोनों शर्तें लागू होती है:
-#y एक [[ hyperplane |हाइपरप्लेन]] के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन सी का समर्थन करता है।
+#y एक [[ hyperplane |हाइपरप्लेन]] के मूल में सामान्य सतह है जो हाइपरप्लेन C का समर्थन करता है।
 #y और C उस [[ हाइपरप्लेन का समर्थन करना | हाइपरप्लेन का समर्थन करते है]] जो के एक ही तरफ स्थित होते है।
-*सी [[बंद सेट]] और उत्तल होता है।
+*C [[बंद सेट]] और उत्तल होता है।
 *<math>C_1 \subseteq C_2</math> तात्पर्य है <math>C_2^* \subseteq C_1^*</math>.
 *यदि C का अभ्यंतर खाली नहीं होता है, तो C तीक्ष्ण होता है, अर्थात C में पूरी तरह से कोई रेखा नही होती है।
-*यदि C एक शंकु है और C का बंद होना तीक्ष्ण होता है, तो C गैर-खाली आंतरिक होता है।
+*यदि C एक शंकु होता है और C तीक्ष्ण होता है, तो C गैर-खाली आंतरिक होता है।
-*C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना होता है ([[हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय]] का एक परिणाम)।
+*C युक्त सबसे छोटे उत्तल शंकु का बंद होना [[हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय]] का एक परिणाम होता है।
 == स्व-दोहरी शंकु ==
-सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर होता है।<ref>Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.</ref> वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते है, सामान्यतः कहते है कि एक शंकु स्वयं-दोहरी तब होता है जब यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर है। यह उपरोक्त परिभाषा से थोड़ा अलग है, जो आंतरिक उत्पाद में बदलाव की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त परिभाषा R<sup>n</sup> में दीर्घवृत्ताभ आधार स्व-दोहरी के साथ एक शंकु बनाती है, क्योंकि आधार को गोलाकार बनाने के लिए आंतरिक उत्पाद को बदला जाता है, और R<sup>n</sup> में गोलाकार आधार वाला एक शंकु इसके आंतरिक दोहरे के बराबर होता है।
+सदिश स्थान X में एक शंकु C को स्व-दोहरी कहा जाता है यदि X को एक आंतरिक उत्पाद ⟨⋅,⋅⟩ से सुसज्जित किया जा सकता है जैसे कि इस आंतरिक उत्पाद के सापेक्ष आंतरिक दोहरा शंकु C के बराबर होता है।<ref>Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.</ref> वे लेखक जो दोहरे शंकु को एक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान में आंतरिक दोहरे शंकु के रूप में परिभाषित करते है, सामान्यतः कहते है कि एक शंकु स्वयं-दोहरी तब होता है जब यह इसके आंतरिक दोहरे के बराबर होता है। यह उपरोक्त परिभाषा से थोड़ा अलग होता है, जो आंतरिक उत्पाद में बदलाव की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त परिभाषा R<sup>n</sup> में दीर्घवृत्ताभ आधार स्व-दोहरी के साथ एक शंकु बनाती है, क्योंकि आधार को गोलाकार बनाने के लिए आंतरिक उत्पाद को बदला जाता है, और R<sup>n</sup> में गोलाकार आधार वाला एक शंकु इसके आंतरिक दोहरे के बराबर होता है।
-R<sup>n</sup> का गैर-नकारात्मक और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह का स्थान स्व-द्वैत होता है, जैसा कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु होते है (अधिकांशतः गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु, या कभी-कभी कुल्फी शंकु कहा जाता है)। अतः सभी शंकु R<sup>3</sup> में होते है। R<sup>3</sup> में शंकु एक नियमित उदाहरण होता है: एक वर्ग का उत्तल हल और वर्ग के बाहर एक बिंदु वर्ग के पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है।
+R<sup>n</sup> का गैर-नकारात्मक और सभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह का स्थान स्व-द्वैत होता है, जैसे कि दीर्घवृत्तीय आधार वाले शंकु होते है (अधिकांशतः गोलाकार शंकु, लोरेंत्ज़ शंकु कहा जाता है)। अतः सभी शंकु R<sup>3</sup> में होते है। R<sup>3</sup> में शंकु का एक नियमित उदाहरण होता है: एक वर्ग का उत्तल हल और वर्ग के बाहर एक बिंदु वर्ग के पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है।
 == ध्रुवीय शंकु ==
-[[File:Polar cone illustration.svg|right|thumb|बंद उत्तल शंकु C का ध्रुव बंद उत्तल शंकु C है<sup>ओ</sup>, और इसके विपरीत।]]X में समुच्चय C के लिए, C का 'ध्रुवीय शंकु' समुच्चय होता है<ref name="Rockafellar">{{cite book|author=Rockafellar, R. Tyrrell|author-link=Rockafellar, R. Tyrrell|title=उत्तल विश्लेषण| publisher=Princeton University Press |location=Princeton, NJ|year=1997|orig-year=1970|isbn=978-0-691-01586-6|pages=121–122}}</ref>
+[[File:Polar cone illustration.svg|right|thumb|बंद उत्तल शंकु C का ध्रुव बंद उत्तल शंकु C है<sup>ओ</sup>, और इसके विपरीत।]]X में समुच्चय C के लिए, C का ध्रुवीय शंकु समुच्चय होता है<ref name="Rockafellar">{{cite book|author=Rockafellar, R. Tyrrell|author-link=Rockafellar, R. Tyrrell|title=उत्तल विश्लेषण| publisher=Princeton University Press |location=Princeton, NJ|year=1997|orig-year=1970|isbn=978-0-691-01586-6|pages=121–122}}</ref>
 :<math>C^o = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \leq 0 \quad \forall x\in C  \right \}.</math>
 यह देखा जा सकता है कि ध्रुवीय शंकु दोहरे शंकु के ऋणात्मक के बराबर होता है, अर्थात Co = -C
-X में एक बंद उत्तल शंकु C के लिए, ध्रुवीय शंकु C के लिए ध्रुवीय समुच्चय के बराबर होता है।<ref>{{cite book|last1=Aliprantis |first1=C.D.|last2=Border |first2=K.C. |title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=215}}</ref>
+X में एक बंद उत्तल शंकु C के लिए होता है, ध्रुवीय शंकु C ध्रुवीय समुच्चय के बराबर होता है।<ref>{{cite book|last1=Aliprantis |first1=C.D.|last2=Border |first2=K.C. |title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=215}}</ref>
 == यह भी देखें ==
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 {{Ordered topological vector spaces}}
-[[Category: उत्तल विश्लेषण]] [[Category: उत्तल ज्यामिति]] [[Category: रैखिक प्रोग्रामिंग]]
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 25/05/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
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+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:उत्तल ज्यामिति]]
+[[Category:उत्तल विश्लेषण]]
+[[Category:रैखिक प्रोग्रामिंग]]

v t e Ordered topological vector spaces
Basic concepts	Ordered vector space Partially ordered space Riesz space Order topology Order unit Positive linear operator Topological vector lattice Vector lattice
Types of orders/spaces	AL-space AM-space Archimedean Banach lattice Fréchet lattice Locally convex vector lattice Normed lattice Order bound dual Order dual Order complete Regularly ordered
Types of elements/subsets	Band Cone-saturated Lattice disjoint Dual/Polar cone Normal cone Order complete Order summable Order unit Quasi-interior point Solid set Weak order unit
Topologies/Convergence	Order convergence Order topology
Operators	Positive State
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दोहरी शंकु

एक वेक्टर स्थान में

एक सामयिक सदिश स्थान में

हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु)

स्व-दोहरी शंकु

ध्रुवीय शंकु

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दोहरी शंकु

एक वेक्टर स्थान में

एक सामयिक सदिश स्थान में

हिल्बर्ट स्थान में (आंतरिक दोहरी शंकु)

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ध्रुवीय शंकु

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