लोरेंत्ज़ समष्टि: Difference between revisions

Latest revision as of 14:05, 15 June 2023

गणितीय विश्लेषण में, 1950 के दशक में जॉर्ज जी लोरेंत्ज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया लोरेंत्ज़ समष्टि,^[1]^[2] अधिक सामान्य $L^{p}$ समष्टि का सामान्यीकरण है।

लोरेंत्ज़ समष्टि $L^{p,q}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $L^{p}$ समष्टि की तरह, वे एक मानदंड (तकनीकी रूप से एक क्वासिनॉर्म) की विशेषता रखते है जो किसी फलन के ''आकार'' के बारे में जानकारी को एन्कोड करते है, जैसे कि $L^{p}$ मानदंड करता है। किसी फलन के ''आकार'' की दो मूलभूत गुणात्मक धारणाएँ हैं: फलन का ग्राफ़ कितना लंबा है, और यह कितना फैला हुआ है। श्रेणी ( $p$ ) और प्रक्षेत्र ( $q$ ) दोनों में माप को घातीय रूप से कम करके, लोरेंत्ज़ मानदंड $L^{p}$ मानदंडों की तुलना में दोनों गुणों पर सख्त नियंत्रण प्रदान करते हैं। लोरेंत्ज़ मानदंड, $L^{p}$ मानदंडों की तरह, एक फलन के मानो की स्वेच्छ पुनर्व्यवस्था के तहत निश्चर हैं।

परिभाषा

एक माप समष्टि $(X,\mu )$ पर लोरेंत्ज़ समष्टि X पर सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलन f का समष्टि है, जैसे कि निम्नलिखित क्वासिनॉर्म परिमित है

\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}

जहां

0<p<\infty

और

0<q\leq \infty

. इस प्रकार, जब

q<\infty

,

\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.

और जब

q=\infty

,

\|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).

यह समुच्चय करने के लिए भी शर्तें है $L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )$ |

ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन

अनिवार्य रूप से परिभाषा के अनुसार, फलन $f$ के मानों को पुनर्व्यवस्थित करने के तहत क्वासिनॉर्म निश्चर है| विशेष रूप से, एक माप समष्टि पर परिभाषित एक सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलन $f$ दिया गया है, $(X,\mu )$ , इसका ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन फलन, $f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}

जहाँ $d_{f}$ , $f$ का तथाकथित वितरण फलन है, जिसके द्वारा दिया गया है

d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).

यहाँ, सांकेतिक सुविधा के लिए, $\inf \varnothing$ को ∞ मे परिभाषित किया गया है |

दो फलन $|f|$ और $f^{\ast }$ समतुल्य हैं, जिसका अर्थ है

\mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,

जहां $\lambda$ वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप है। संबंधित सममित ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन फलन,जो $f$ के साथ भी समतुल्य है, को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जाएगा

\mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).

इन परिभाषाओं को देखते हुए, $0<p<\infty$ और $0<q\leq \infty$ , लोरेंत्ज़ क्वासिनॉर्म द्वारा दिए गए हैं

\|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}

लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि

जब $(X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)$ ( $\mathbb {N}$ पर गणन माप), परिणामी लोरेंत्ज़ समष्टि एक अनुक्रम समष्टि है। हालांकि, इस स्थिति में विभिन्न संकेतन का उपयोग करना सुविधाजनक है।

परिभाषा।

$(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ (या $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ सम्मिश्र स्थिति में) के लिए, चलो ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ $1\leq p<\infty$ के लिए पी-मानदंड को दर्शाता है और ∞-मानक को ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$ करता है। परिमित पी-नॉर्म के साथ सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि को $\ell _{p}$ द्वारा निरूपित करें। चलो $c_{0}$ को संतुष्ट करने वाले सभी अनुक्रमों का बानाच समष्टि $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ , ∞-नॉर्म के साथ संपन्न है। $c_{00}$ द्वारा सभी अनुक्रमों के आदर्श समष्टि को केवल परिमित रूप से कई अशून्य प्रविष्टियों के साथ निरूपित करें।ये सभी समष्टि लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि की एक भूमिका $d(w,p)$ नीचे निभाते हैं।

मान लीजिए $w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}$ सन्तुष्ट धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम बनाए $1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots$ , और मानदंड ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}$ परिभाषित करें | लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि $d(w,p)$ को सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है जहां यह मानदंड परिमित है। समान रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $d(w,p)$ के तहत $c_{00}$ के पूरा होने के रूप में $\|\cdot \|_{d(w,p)}$ है |

गुण

लोरेंत्ज़ समष्टि वास्तव में $L^{p}$ समष्टि के सामान्यीकरण हैं इस अर्थ में कि, किसी भी $p$ , $L^{p,p}=L^{p}$ के लिए जो कैवेलियरी के सिद्धांत से अनुकरण करता है। इसके अलावा, $L^{p,\infty }$ निर्बल $L^{p}$ के साथ संपाती है। वे अर्ध-बनच समष्टि हैं (अर्थात, अर्ध-सामान्य समष्टि जो पूर्ण भी हैं) और $1<p<\infty$ और $1\leq q\leq \infty$ के लिए सामान्य हैं। जब $p=1$ , $L^{1,1}=L^{1}$ एक मानदंड से लैस है, लेकिन $L^{1,\infty }$ , निर्बल $L^{1}$ समष्टि के क्वासिनॉर्म के तुल्य मानक को परिभाषित करना संभव नहीं है। एक ठोस उदाहरण के रूप में कि त्रिभुज असमिका $L^{1,\infty }$ में विफल हो जाती है, विचार करें

f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),

जिसका

L^{1,\infty }

अर्ध-मानक एक के बराबर है, जबकि उनके योग का अर्ध-मानक

f+g

चार के बराबर है।

समष्टि $L^{p,q}$ $L^{p,r}$ में निहित होता है जब भी $q<r$ | लोरेंत्ज़ समष्टि के बीच वास्तविक अंतर्वेशन समष्टि $L^{1}$ और $L^{\infty }$ हैं |

होल्डर की असमता

$\|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}$ जहां $0<p,p_{1},p_{2}<\infty$ , $0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty$ , $1/p=1/p_{1}+1/p_{2}$ , और $1/q=1/q_{1}+1/q_{2}$ .

द्वैत समष्‍टि

अगर $(X,\mu )$ एक गैर-परमाणु σ-परिमित माप समष्‍टि है, तो
(i) $(L^{p,q})^{*}=\{0\}$ के लिए $0<p<1$ , या $1=p<q<\infty$ ;
(ii) $(L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}$ के लिए $1<p<\infty ,0<q\leq \infty$ , या $0<q\leq p=1$ ;
(iii) $(L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}$ के लिए $1\leq p\leq \infty$ . यहाँ $p'=p/(p-1)$ के लिए $1<p<\infty$ , $p'=\infty$ के लिए $0<p\leq 1$ , और $\infty '=1$ .

परमाणु अपघटन

निम्नलिखित $0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty$ के लिए तुल्य हैं|
(i) $\|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C$ .
(ii) $f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}$ जहाँ $f_{n}$ ने असंयुक्त आधार दिया है, माप $\leq 2^{n}$ के साथ, जिस पर $0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}$ लगभग हर जगह, और $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$ .
(iii) $|f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}$ लगभग हर जगह, जहाँ $\mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}$ और $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$
(iv) $f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}$ जहाँ $f_{n}$ का असंयुक्त आधार $E_{n}$ है, अशून्य माप के साथ, जिस पर $B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}$ लगभग हर जगह, $B_{0},B_{1}$ और $\|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$ धनात्मक नियतांक हैं|
(v) $|f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}$ लगभग हर जगह, जहाँ $\|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$ .

यह भी देखें

संदर्भ

Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, MR 2445437.

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-[[गणितीय विश्लेषण]] में, 1950 के दशक में जॉर्ज जी लोरेंत्ज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया लोरेंत्ज़ स्थान,<ref>G. Lorentz, "Some new function spaces", ''Annals of Mathematics'' '''51''' (1950), pp. 37-55.</ref><ref>G. Lorentz, "On the theory of spaces Λ", ''Pacific Journal of Mathematics'' '''1''' (1951), pp. 411-429.</ref> अधिक परिचित एलपी स्पेस के सामान्यीकरण हैं<math>L^{p}</math> रिक्त स्थान।
+[[गणितीय विश्लेषण]] में, 1950 के दशक में [[जॉर्ज जी लोरेंत्ज़]] द्वारा प्रस्तुत किया गया लोरेंत्ज़ समष्टि,<ref>G. Lorentz, "Some new function spaces", ''Annals of Mathematics'' '''51''' (1950), pp. 37-55.</ref><ref>G. Lorentz, "On the theory of spaces Λ", ''Pacific Journal of Mathematics'' '''1''' (1951), pp. 411-429.</ref> अधिक सामान्य <math>L^{p}</math> [[अंतरिक्षों|समष्टि]] का सामान्यीकरण है।
-लोरेंत्ज़ रिक्त स्थान द्वारा निरूपित किया जाता है <math>L^{p,q}</math>. की तरह <math>L^{p}</math> रिक्त स्थान, वे एक मानक (गणित) (तकनीकी रूप से एक [[ quesinorm ]]) की विशेषता है जो किसी फ़ंक्शन के आकार के बारे में जानकारी को एन्कोड करता है, जैसे कि <math>L^{p}</math> मानदंड करता है। किसी फलन के आकार की दो बुनियादी गुणात्मक धारणाएँ हैं: फलन का ग्राफ़ कितना लंबा है, और यह कितना फैला हुआ है। लोरेंट्ज़ मानदंड दोनों गुणों पर सख्त नियंत्रण प्रदान करते हैं <math>L^{p}</math> मानदंड, दोनों रेंज में माप को घातांकी रूप से पुनः स्केल करके (<math>p</math>) और डोमेन (<math>q</math>). लोरेंत्ज़ मानदंड, जैसे <math>L^{p}</math> मानदंड, किसी फलन के मूल्यों की मनमानी पुनर्व्यवस्था के तहत अपरिवर्तनीय हैं।
+लोरेंत्ज़ समष्टि <math>L^{p,q}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।  <math>L^{p}</math> समष्टि की तरह, वे एक [[मानदंड]] (तकनीकी रूप से एक [[ quesinorm |क्वासिनॉर्म]]) की विशेषता रखते है जो किसी फलन के <nowiki>''आकार''</nowiki> के बारे में जानकारी को एन्कोड करते है, जैसे कि <math>L^{p}</math> मानदंड करता है। किसी फलन के <nowiki>''</nowiki>आकार<nowiki>''</nowiki> की दो मूलभूत गुणात्मक धारणाएँ हैं: फलन का ग्राफ़ कितना लंबा है, और यह कितना फैला हुआ है। श्रेणी (<math>p</math>)  और प्रक्षेत्र (<math>q</math>) दोनों में माप को घातीय रूप से कम करके, लोरेंत्ज़ मानदंड <math>L^{p}</math> मानदंडों की तुलना में दोनों गुणों पर सख्त नियंत्रण प्रदान करते हैं। लोरेंत्ज़ मानदंड, <math>L^{p}</math> मानदंडों की तरह, एक फलन के मानो की स्वेच्छ पुनर्व्यवस्था के तहत निश्चर हैं।
 == परिभाषा ==
-माप स्थान पर लोरेंत्ज़ स्थान <math>(X, \mu)</math> जटिल-मूल्यवान मापने योग्य कार्यों का स्थान है <math>f</math> X पर इस प्रकार है कि निम्नलिखित क्वासिनॉर्म परिमित है
+एक माप समष्टि <math>(X, \mu)</math> पर लोरेंत्ज़ समष्टि ''X'' पर सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलन ''f'' का समष्टि है, जैसे कि निम्नलिखित क्वासिनॉर्म परिमित है
 :<math>\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu)} = p^{\frac{1}{q}} \left \|t\mu\{|f|\ge t\}^{\frac{1}{p}} \right \|_{L^q \left (\mathbf{R}^+, \frac{dt}{t} \right)}
-</math> कहाँ <math>0 < p < \infty</math> और <math>0 < q \leq \infty</math>. इस प्रकार, कब <math>q < \infty</math>,
+</math> जहां <math>0 < p < \infty</math> और <math>0 < q \leq \infty</math>. इस प्रकार, जब <math>q < \infty</math>,<math>\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu)}=p^{\frac{1}{q}}\left(\int_0^\infty t^q \mu\left\{x : |f(x)| \ge t\right\}^{\frac{q}{p}}\,\frac{dt}{t}\right)^{\frac{1}{q}}
-:<math>\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu)}=p^{\frac{1}{q}}\left(\int_0^\infty t^q \mu\left\{x : |f(x)| \ge t\right\}^{\frac{q}{p}}\,\frac{dt}{t}\right)^{\frac{1}{q}}
 = \left(\int_0^\infty \bigl(\tau \mu\left\{x : |f(x)|^p \ge \tau \right\}\bigr)^{\frac{q}{p}}\,\frac{d\tau}{\tau}\right)^{\frac{1}{q}}
-.</math>
+.</math>और जब <math>q = \infty</math>,<math>\|f\|_{L^{p,\infty}(X,\mu)}^p = \sup_{t>0}\left(t^p\mu\left\{x : |f(x)| > t \right\}\right).</math>
-और जब <math>q = \infty</math>,
+यह समुच्चय करने के लिए भी शर्तें है <math>L^{\infty,\infty}(X, \mu) = L^{\infty}(X, \mu)</math> |
-:<math>\|f\|_{L^{p,\infty}(X,\mu)}^p = \sup_{t>0}\left(t^p\mu\left\{x : |f(x)| > t \right\}\right).</math>
-यह सेट करने के लिए भी पारंपरिक है <math>L^{\infty,\infty}(X, \mu) = L^{\infty}(X, \mu)</math>.
-== घटती व्यवस्था ==
+== ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन ==
-फ़ंक्शन के मानों को पुनर्व्यवस्थित करने के तहत क्वासिनॉर्म अपरिवर्तनीय है <math>f</math>अनिवार्य रूप से परिभाषा के अनुसार। विशेष रूप से, एक जटिल-मूल्यवान औसत दर्जे का कार्य दिया गया <math>f</math> माप स्थान पर परिभाषित, <math>(X, \mu)</math>, इसका घटता पुनर्व्यवस्था समारोह, <math>f^{\ast}: [0, \infty) \to [0, \infty]</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
+अनिवार्य रूप से परिभाषा के अनुसार, फलन <math>f</math> के मानों को पुनर्व्यवस्थित करने के तहत क्वासिनॉर्म निश्चर है| विशेष रूप से, एक माप समष्टि पर परिभाषित एक  सम्मिश्र-मान माप्य योग्य फलन <math>f</math> दिया गया है, <math>(X, \mu)</math>, इसका '''ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन''' फलन, <math>f^{\ast}: [0, \infty) \to [0, \infty]</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 :<math>f^{\ast}(t) = \inf \{\alpha \in \mathbf{R}^{+}: d_f(\alpha) \leq t\}</math>
-कहाँ <math>d_{f}</math> का तथाकथित वितरण कार्य है <math>f</math>, द्वारा दिए गए
+जहाँ <math>d_{f}</math>, <math>f</math> का तथाकथित '''वितरण फलन''' है, जिसके द्वारा दिया गया है
 :<math>d_f(\alpha) = \mu(\{x \in X : |f(x)| > \alpha\}).</math>
-यहाँ, सांकेतिक सुविधा के लिए, <math>\inf \varnothing</math> होना परिभाषित किया गया है <math>\infty</math>.
+यहाँ, सांकेतिक सुविधा के लिए, <math>\inf \varnothing</math> को ∞ मे परिभाषित किया गया है |
-दो कार्य <math>|f|</math> और <math>f^{\ast}</math> समतुल्य हैं, जिसका अर्थ है
+दो फलन <math>|f|</math> और <math>f^{\ast}</math> समतुल्य हैं, जिसका अर्थ है
 :<math> \mu \bigl( \{ x \in X : |f(x)| > \alpha\} \bigr) = \lambda \bigl( \{ t > 0 : f^{\ast}(t) > \alpha\} \bigr), \quad \alpha > 0, </math>
-कहाँ <math>\lambda</math> वास्तविक रेखा पर Lebesgue माप है। संबंधित सममित ह्रासमान पुनर्व्यवस्था फलन, जिसके साथ समतुल्य भी है <math>f</math>, द्वारा वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जाएगा
+जहां <math>\lambda</math> वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप है। संबंधित सममित ह्रासमान पुनर्व्यवस्थापन फलन,जो <math>f</math> के साथ भी समतुल्य है, को वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया जाएगा
 :<math>\mathbf{R} \ni t \mapsto \tfrac{1}{2} f^{\ast}(|t|).</math>
-इन परिभाषाओं को देखते हुए, के लिए <math>0 < p < \infty</math> और <math>0 < q \leq \infty</math>, लोरेंत्ज़ क्वासिनॉर्म द्वारा दिए गए हैं
+इन परिभाषाओं को देखते हुए, <math>0 < p < \infty</math> और <math>0 < q \leq \infty</math>, लोरेंत्ज़ क्वासिनॉर्म द्वारा दिए गए हैं
 :<math>\| f \|_{L^{p, q}} = \begin{cases}
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-== लोरेंत्ज़ अनुक्रम रिक्त स्थान ==
+== लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि ==
-कब <math>(X,\mu)=(\mathbb{N},\#)</math> (गिनती माप चालू है <math>\mathbb{N}</math>), परिणामी लोरेंत्ज़ स्थान एक [[अनुक्रम स्थान]] है। हालांकि, इस मामले में विभिन्न संकेतन का उपयोग करना सुविधाजनक है।
+जब <math>(X,\mu)=(\mathbb{N},\#)</math> (<math>\mathbb{N}</math> पर गणन माप), परिणामी लोरेंत्ज़ समष्टि एक [[अनुक्रम स्थान|अनुक्रम समष्टि]] है। हालांकि, इस स्थिति में विभिन्न संकेतन का उपयोग करना सुविधाजनक है।
 === परिभाषा। ===
-के लिए <math>(a_n)_{n=1}^\infty\in\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> (या <math>\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> जटिल मामले में), चलो <math display="inline">\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_p = \left(\sum_{n=1}^\infty|a_n|^p\right)^{1/p}</math> के लिए पी-नॉर्म को निरूपित करें <math>1\leq p<\infty</math> और <math display="inline">\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_\infty = \sup_{n\in\N}|a_n|</math> ∞-आदर्श। द्वारा निरूपित करें <math>\ell_p</math> परिमित पी-नॉर्म के साथ सभी अनुक्रमों का बानाच स्थान। होने देना <math>c_0</math> संतोषजनक सभी अनुक्रमों का बानाच स्थान <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>, ∞-आदर्श के साथ संपन्न। द्वारा निरूपित करें <math>c_{00}</math> केवल सूक्ष्म रूप से कई अशून्य प्रविष्टियों के साथ सभी अनुक्रमों का आदर्श स्थान। ये सभी स्थान लोरेंत्ज़ अनुक्रम रिक्त स्थान की परिभाषा में एक भूमिका निभाते हैं <math>d(w,p)</math> नीचे।
+<math>(a_n)_{n=1}^\infty\in\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> (या <math>\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> सम्मिश्र स्थिति में) के लिए, चलो <math display="inline">\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_p = \left(\sum_{n=1}^\infty|a_n|^p\right)^{1/p}</math> <math>1\leq p<\infty</math>  के लिए पी-मानदंड को दर्शाता है और ∞-मानक को <math display="inline">\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_\infty = \sup_{n\in\N}|a_n|</math> करता है।  परिमित पी-नॉर्म के साथ सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि को <math>\ell_p</math> द्वारा निरूपित करें। चलो <math>c_0</math> को संतुष्ट करने वाले सभी अनुक्रमों का बानाच समष्टि <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>, ∞-नॉर्म के साथ संपन्न है। <math>c_{00}</math> द्वारा सभी अनुक्रमों के आदर्श समष्टि को केवल परिमित रूप से कई अशून्य प्रविष्टियों के साथ निरूपित करें।ये सभी समष्टि लोरेंत्ज़ अनुक्रम समष्टि की एक भूमिका <math>d(w,p)</math> नीचे निभाते हैं।
-होने देना <math>w=(w_n)_{n=1}^\infty\in c_0\setminus\ell_1</math> संतोषजनक सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम बनें <math>1 = w_1 \geq w_2 \geq w_3 \geq \cdots</math>, और मानदंड परिभाषित करें <math display="inline">\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_{d(w,p)} = \sup_{\sigma\in\Pi}\left\|(a_{\sigma(n)}w_n^{1/p})_{n=1}^\infty\right\|_p</math>. लोरेंत्ज़ अनुक्रम स्थान <math>d(w,p)</math> सभी अनुक्रमों के बनच स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है जहां यह मानदंड परिमित है। समान रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं <math>d(w,p)</math> पूरा होने के रूप में <math>c_{00}</math> अंतर्गत <math>\|\cdot\|_{d(w,p)}</math>.
+मान लीजिए <math>w=(w_n)_{n=1}^\infty\in c_0\setminus\ell_1</math> सन्तुष्ट धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम बनाए <math>1 = w_1 \geq w_2 \geq w_3 \geq \cdots</math>, और मानदंड <math display="inline">\left\|(a_n)_{n=1}^\infty\right\|_{d(w,p)} = \sup_{\sigma\in\Pi}\left\|(a_{\sigma(n)}w_n^{1/p})_{n=1}^\infty\right\|_p</math>परिभाषित करें | लोरेंत्ज़ ''अनुक्रम समष्टि'' <math>d(w,p)</math> को सभी अनुक्रमों के बानाच समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है जहां यह मानदंड परिमित है। समान रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं <math>d(w,p)</math> के तहत <math>c_{00}</math> के पूरा होने के रूप में<math>\|\cdot\|_{d(w,p)}</math>है |
 == गुण ==
-लोरेंत्ज़ रिक्त स्थान वास्तव में के सामान्यीकरण हैं <math>L^{p}</math> रिक्त स्थान इस अर्थ में कि, किसी के लिए <math>p</math>, <math>L^{p,p} = L^{p}</math>, जो कैवलियरी के सिद्धांत से चलता है। आगे, <math>L^{p, \infty}</math> एलपी स्पेस #कमजोर एलपी|कमजोर के साथ मेल खाता है <math>L^{p}</math>. वे Quasinorm|quasi-Banach रिक्त स्थान हैं (अर्थात, अर्ध-सामान्य स्थान जो पूर्ण भी हैं) और इसके लिए आदर्श हैं <math>1 < p < \infty</math> और <math>1 \leq q \leq \infty</math>. कब <math>p = 1</math>, <math>L^{1, 1} = L^{1}</math> एक मानदंड से लैस है, लेकिन यह संभव नहीं है कि एक मानदंड को क्वासिनॉर्म के समतुल्य परिभाषित किया जाए <math>L^{1,\infty}</math>, कमज़ोर <math>L^{1}</math> अंतरिक्ष। एक ठोस उदाहरण के रूप में कि त्रिभुज असमानता विफल हो जाती है <math>L^{1,\infty}</math>, विचार करना
+लोरेंत्ज़ समष्टि वास्तव में <math>L^{p}</math> समष्टि के सामान्यीकरण हैं इस अर्थ में कि, किसी भी <math>p</math>, <math>L^{p,p} = L^{p}</math> के लिए जो कैवेलियरी के सिद्धांत से अनुकरण करता है।  इसके अलावा, <math>L^{p, \infty}</math> निर्बल <math>L^{p}</math> के साथ संपाती है। वे अर्ध-बनच समष्टि हैं (अर्थात, अर्ध-सामान्य समष्टि जो पूर्ण भी हैं) और <math>1 < p < \infty</math> और <math>1 \leq q \leq \infty</math> के लिए सामान्य हैं। जब <math>p = 1</math>, <math>L^{1, 1} = L^{1}</math> एक मानदंड से लैस है, लेकिन <math>L^{1,\infty}</math>, निर्बल <math>L^{1}</math> समष्टि के क्वासिनॉर्म के तुल्य मानक को परिभाषित करना संभव नहीं है। एक ठोस उदाहरण के रूप में कि त्रिभुज असमिका <math>L^{1,\infty}</math> में विफल हो जाती है, विचार करें
-:<math>f(x) = \tfrac{1}{x} \chi_{(0,1)}(x)\quad \text{and} \quad g(x) = \tfrac{1}{1-x} \chi_{(0,1)}(x),</math> किसका <math>L^{1,\infty}</math> अर्ध-मानक एक के बराबर है, जबकि उनके योग का अर्ध-मानक <math>f + g</math> चार के बराबर।
+:<math>f(x) = \tfrac{1}{x} \chi_{(0,1)}(x)\quad \text{and} \quad g(x) = \tfrac{1}{1-x} \chi_{(0,1)}(x),</math> जिसका <math>L^{1,\infty}</math> अर्ध-मानक एक के बराबर है, जबकि उनके योग का अर्ध-मानक <math>f + g</math> चार के बराबर है।
-अंतरिक्ष <math>L^{p,q}</math> में निहित है <math>L^{p, r}</math> जब कभी भी <math>q < r</math>. लोरेंत्ज़ रिक्त स्थान के बीच वास्तविक प्रक्षेप स्थान हैं <math>L^{1}</math> और <math>L^{\infty}</math>.
+समष्टि <math>L^{p,q}</math> <math>L^{p, r}</math> में निहित होता है जब भी <math>q < r</math> | लोरेंत्ज़ समष्टि के बीच वास्तविक अंतर्वेशन समष्टि <math>L^{1}</math> और <math>L^{\infty}</math> हैं |
-=== धारक की असमानता ===
+=== होल्डर की असमता ===
-<math>\|fg\|_{L^{p,q}}\le A_{p_1,p_2,q_1,q_2}\|f\|_{L^{p_1,q_1}}\|g\|_{L^{p_2,q_2}}</math> कहाँ <math>0<p,p_1,p_2<\infty</math>, <math>0<q,q_1,q_2\le\infty</math>, <math>1/p=1/p_1+1/p_2</math>, और <math>1/q=1/q_1+1/q_2</math>.
+<math>\|fg\|_{L^{p,q}}\le A_{p_1,p_2,q_1,q_2}\|f\|_{L^{p_1,q_1}}\|g\|_{L^{p_2,q_2}}</math>जहां <math>0<p,p_1,p_2<\infty</math>, <math>0<q,q_1,q_2\le\infty</math>, <math>1/p=1/p_1+1/p_2</math>, और <math>1/q=1/q_1+1/q_2</math>.
-=== दोहरी जगह ===
+=== द्वैत समष्‍टि ===
-अगर <math>(X,\mu)</math> एक गैर-परमाणु σ-परिमित माप स्थान है, तो <br />(i) <math>(L^{p,q})^*=\{0\}</math> के लिए <math>0<p<1</math>, या <math>1=p<q<\infty</math>; <br />(ii) <math>(L^{p,q})^*=L^{p',q'}</math> के लिए <math>1<p<\infty,0<q\le\infty</math>, या <math>0<q\le p=1</math>; <br />(iii) <math>(L^{p,\infty})^*\ne\{0\}</math> के लिए <math>1\le p\le\infty</math>. यहाँ <math>p'=p/(p-1)</math> के लिए <math>1<p<\infty</math>, <math>p'=\infty</math> के लिए <math>0<p\le1</math>, और <math>\infty'=1</math>.
+अगर <math>(X,\mu)</math> एक गैर-परमाणु σ-परिमित माप समष्‍टि है, तो <br />(i) <math>(L^{p,q})^*=\{0\}</math> के लिए <math>0<p<1</math>, या <math>1=p<q<\infty</math>; <br />(ii) <math>(L^{p,q})^*=L^{p',q'}</math> के लिए <math>1<p<\infty,0<q\le\infty</math>, या <math>0<q\le p=1</math>; <br />(iii) <math>(L^{p,\infty})^*\ne\{0\}</math> के लिए <math>1\le p\le\infty</math>. यहाँ <math>p'=p/(p-1)</math> के लिए <math>1<p<\infty</math>, <math>p'=\infty</math> के लिए <math>0<p\le1</math>, और <math>\infty'=1</math>.
 === परमाणु अपघटन ===
-निम्नलिखित के लिए समकक्ष हैं <math>0<p\le\infty, 1\le q\le\infty</math>. <br />
+निम्नलिखित <math>0<p\le\infty, 1\le q\le\infty</math> के लिए तुल्य हैं| <br />(i) <math>\|f\|_{L^{p,q}}\le A_{p,q}C</math>. <br />(ii) <math>f=\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_n</math> जहाँ <math>f_n</math> ने असंयुक्त आधार दिया है, माप <math>\le2^n</math> के साथ, जिस पर <math>0<H_{n+1}\le|f_n|\le H_n</math> लगभग हर जगह, और <math>\|H_n2^{n/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math>. <br />(iii) <math>|f|\le\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}H_n\chi_{E_n}</math>लगभग हर जगह, जहाँ <math>\mu(E_n)\le A_{p,q}'2^n</math> और <math>\|H_n2^{n/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math><br />(iv) <math>f=\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_n</math> जहाँ <math>f_n</math> का असंयुक्त आधार <math>E_n</math> है, अशून्य माप के साथ, जिस पर <math>B_02^n\le|f_n|\le B_12^n</math> लगभग हर जगह, <math>B_0,B_1</math> और <math>\|2^n\mu(E_n)^{1/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math> धनात्मक नियतांक हैं| <br />(v)<math>|f|\le\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}2^n\chi_{E_n}</math> लगभग हर जगह, जहाँ <math>\|2^n\mu(E_n)^{1/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math>.
-(मैं) <math>\|f\|_{L^{p,q}}\le A_{p,q}C</math>. <br />
-(द्वितीय) <math>f=\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_n</math> कहाँ <math>f_n</math> माप के साथ, समर्थन को अलग कर दिया है <math>\le2^n</math>, जिस पर <math>0<H_{n+1}\le|f_n|\le H_n</math> लगभग हर जगह, और <math>\|H_n2^{n/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math>. <br />
-(iii) <math>|f|\le\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}H_n\chi_{E_n}</math> लगभग हर जगह, जहाँ <math>\mu(E_n)\le A_{p,q}'2^n</math> और <math>\|H_n2^{n/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math><br />
-(iv) <math>f=\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_n</math> कहाँ <math>f_n</math> अलग समर्थन है <math>E_n</math>, अशून्य माप के साथ, जिस पर <math>B_02^n\le|f_n|\le B_12^n</math> लगभग हर जगह, <math>B_0,B_1</math> सकारात्मक स्थिरांक हैं, और <math>\|2^n\mu(E_n)^{1/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math><br />
-(वी) <math>|f|\le\textstyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}2^n\chi_{E_n}</math> लगभग हर जगह, जहाँ <math>\|2^n\mu(E_n)^{1/p}\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}\le A_{p,q}C</math>.
 == यह भी देखें ==
-* इंटरपोलेशन स्पेस
+* [[अंतर्वेशन समष्टिहार्डी-लिटिलवुड असमता|अंतर्वेशन समष्टि]]
-* हार्डी-लिटिलवुड असमानता
+* [[अंतर्वेशन समष्टिहार्डी-लिटिलवुड असमता|हार्डी-लिटिलवुड असमता]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 81: / Line 71: @@
 {{reflist}}
-{{Lp spaces}}
+[[Category:Collapse templates]]
-{{Functional analysis}}
-[[Category: बनच रिक्त स्थान]] [[Category: एलपी स्पा]] [[Category: एलपी स्पा]] [Category:Lp spac
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 25/05/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
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