शून्य आकारिता: Difference between revisions

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{{Short description|Bi-universal property in category theory}[[श्रेणी सिद्धांत]] में, गणित की एक शाखा, एक शून्य रूपवाद एक विशेष प्रकार का रूपवाद है जो एक [[शून्य वस्तु]] से और उससे आकारिकी जैसे गुणों को प्रदर्शित करता है।
गणित की शाखा के रूप में [[श्रेणी सिद्धांत]] में, शून्य सारूप एक विशेष प्रकार का सारूप है जो [[शून्य वस्तु]] से परिभाषित आकारिता के समान और उनसे होने वाली गुणधर्म को प्रदर्शित करता है।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
मान लीजिए C एक [[श्रेणी (गणित)]] है, और ''f'' : ''X'' → ''Y'' C में एक रूपवाद है। आकृतिवाद ''f'' को निरंतर आकारिकी कहा जाता है (या कभी-कभी शून्य छोड़ दिया जाता है) morphism) यदि किसी [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] के लिए 'W'' C और किसी में {{nowrap|''g'', ''h'' : ''W'' → ''X''}}, एफजी = एफएच। दोहरी रूप से, f को 'कोकॉन्स्टेंट मोर्फिज्म' (या कभी-कभी 'सही शून्य मोर्फिज्म') कहा जाता है, यदि किसी वस्तु Z के लिए 'C' और किसी भी g में, h : Y → Z, gf = hf। एक 'शून्य रूपवाद' वह है जो एक स्थिर आकारिकी और सह-अस्थिर आकारिकी दोनों है।
मान लीजिए C एक [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] है, और ''f'' : ''X'' → ''Y,'' C में एक सारूप है। सारूप f को एक स्थिर सारूप या कभी-कभी वाम शून्य सारूप कहा जाता है यदि C में किसी भी वस्तु W और किसी भी g, h: W → X के लिए fg = fh हो। उलट रूप से, f को एक समकालीन सारूप या कभी-कभी दायीं शून्य सारूप कहा जाता है यदि C में किसी भी वस्तु Z और किसी भी g, h: Y → Z के लिए gf = hf हो। शून्य सारूप वह सारूप होता है जो स्थिर सारूप तथा समकालीन सारूप दोनों होता है।


एक 'शून्य आकारिकी वाली श्रेणी' वह है जहाँ 'C' में प्रत्येक दो वस्तुओं A और B के लिए, एक निश्चित आकारिकी 0 है<sub>''AB''</sub> : A → B, और आकारिकी का यह संग्रह ऐसा है कि सभी वस्तुओं X, Y, Z में 'C' और सभी morphisms f : Y → Z, g : X → Y के लिए, निम्न आरेख बदल जाता है:
शून्य सारूपों वाली एक श्रेणी में, हर दो वस्तुओं A और B के लिए, एक निर्दिष्ट सारूप 0AB: A → B होता है, और इस सारूप का संग्रह ऐसा होता है कि सभी वस्तुओं X, Y, Z और सभी सारूप f: Y → Z, g: X → Y के लिए, निम्न आरेख विज्ञान यात्रा को समाप्त करती है:


[[Image:ZeroMorphism.png|center|160px]]आकारिकी 0<sub>''XY''</sub> आवश्यक रूप से शून्य आकारिकी हैं और शून्य आकारिकी की संगत प्रणाली बनाते हैं।
[[Image:ZeroMorphism.png|center|160px]]आकारिकी 0<sub>''XY''</sub> आवश्यक रूप से शून्य आकारिकी हैं और शून्य आकारिकी की संगत प्रणाली बनाते हैं।


यदि C शून्य morphisms वाली श्रेणी है, तो 0 का संग्रह<sub>''XY''</sub> निराला है।<ref>{{cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/189818 |title=शून्य आकारिकी वाली श्रेणी|website=Math.stackexchange.com |date=2015-01-17 |access-date=2016-03-30}}</ref>
यदि C शून्य सारूपों वाली श्रेणी है, तो 0<sub>''XY''</sub> का संग्रह अद्वितीय है।<ref>{{cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/189818 |title=शून्य आकारिकी वाली श्रेणी|website=Math.stackexchange.com |date=2015-01-17 |access-date=2016-03-30}}</ref>  
शून्य रूपवाद को परिभाषित करने का यह तरीका और वाक्यांश को शून्य आकारिकी वाली श्रेणी अलग से दुर्भाग्यपूर्ण है, लेकिन यदि प्रत्येक [[ होम सेट ]] में "शून्य आकारिकी" है, तो श्रेणी में शून्य आकारिकी है।
 
एक "शून्य सारूप" को परिभाषित करने और वाक्य "शून्य सारूपों वाली श्रेणी" को अलग-अलग परिभाषित करने की विधि अद्वितीय  है, परन्तु यदि प्रत्येक होम-समुच्चय में एक "शून्य सारूप" होता है, तो श्रेणी "शून्य सारूपों वाली होती है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
{{unordered list
{{unordered list
|1= In the [[category of groups]] (or of [[module (mathematics)|modules]]), a zero morphism is a [[homomorphism]] ''f'' : ''G'' → ''H'' that maps all of ''G'' to the [[identity element]] of ''H''.  The zero object in the category of groups is the [[trivial group]] '''1''' = {1}, which is unique up to [[isomorphism]].  Every zero morphism can be factored through '''1''', i. e., ''f'' : ''G'' → '''1''' → ''H''.
|1= [[समूहों की श्रेणी]] ([[मॉड्यूल]]) में, शून्य सारूप एक [[सारूप]] f: G → H होता है जो सभी G को H के [[पहचान तत्व]] में चित्रित करता है। समूहों की श्रेणी में शून्य वस्तु '''1''' = {1} होती है, जो [[खाली समूह]] है और यथार्थ [[समतावधि]] तक अद्वितीय है। प्रत्येक शून्य सारूप को '''1''' के माध्यम से अंशीकृत किया जा सकता है, अर्थात्, f: G → '''1''' → H।
|2= More generally, suppose '''C''' is any category with a zero object '''0'''. Then for all objects ''X'' and ''Y'' there is a unique sequence of morphisms
|2= और अधिक सामान्य रूप से कहें तो मान लें '''C''' एक शून्य वस्तु '''0''' के साथ कोई भी श्रेणी है। तब सभी वस्तुओं ''X'' और ''Y'' के लिए एक अद्वितीय सारूप अनुक्रम होता है:
: 0<sub>''XY''</sub> : ''X'' → '''0''' → ''Y''
: 0''XY'' : ''X'' → '''0''' → ''Y''


The family of all morphisms so constructed endows '''C''' with the structure of a category with zero morphisms.
इस रूप में निर्मित सभी सारूपों का समूह '''C''' को शून्य सारूपों वाली एक श्रेणी की संरचना प्रदान करता है।
|3= If '''C''' is a [[preadditive category]], then every hom-set Hom(''X'',''Y'') is an [[abelian group]] and therefore has a zero element. These zero elements form a compatible family of zero morphisms for '''C''' making it into a category with zero morphisms.
|3= यदि '''C''' एक [[पूर्वसंयोज्य श्रेणी]] है, तो प्रत्येक होम-समूह होम(''X'',''Y'') एक [[अभेदी समूह]] होता है और इसलिए शून्य तत्व होता है। ये शून्य तत्व एक संगत समूह के रूप में शून्य सारूपों की गणना करते हैं, जो '''C''' को शून्य सारूपों वाली एक श्रेणी में निर्मित होतें हैं।
|4= The [[category of sets]] does not have a zero object, but it does have an [[initial object]], the [[empty set]] ∅. The only right zero morphisms in '''Set''' are the functions ∅ → ''X'' for a set ''X''.
|4= [[समुच्चयों की श्रेणी]] में कोई शून्य वस्तु नहीं होती है, परन्तु इसमें एक प्रारंभिक वस्तु, रिक्त समुच्चय (∅) होता है। '''Set''' में केवल दायीं शून्य सारूप फलन ∅ → ''X'' होती हैं, जहां ''X'' एक समुच्चय है।
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== संबंधित अवधारणाएं ==
== संबंधित अवधारणाएं ==
यदि C में एक शून्य वस्तु 0 है, C में दो वस्तुएँ ''X'' और ''Y'' दी गई हैं, तो कैनोनिकल morphisms ''f'' : ''X'' → 0 और ''g'' : 0 हैं → '' वाई ''। फिर, '' gf '' मोर में एक शून्य रूपवाद है<sub>'''C'''</sub>(एक्स, वाई)। इस प्रकार, शून्य वस्तु वाली प्रत्येक श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें रचना 0 द्वारा दी गई शून्य आकारिकी होती है<sub>''XY''</sub> : एक्स → '0' → वाई।
यदि सी में एक शून्य वस्तु 0 होती है, तो दो वस्तुओं X और Y के लिए, विहित सारूप f: X → 0 और g: 0 → Y होते हैं। फिर, gf MorC(X, Y) में एक शून्य सारूप होता है। इस प्रकार, हर एक शून्य वस्तु वाली श्रेणी MorC(X, Y) को शून्य सारूपों वाली श्रेणी बना देती है, जो 0XY: X → 0 → Y समीकरण द्वारा प्रदर्शित की जाती है।


यदि किसी श्रेणी में शून्य आकारिकी है, तो उस श्रेणी में किसी भी आकृतिवाद के लिए कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और [[cokernel]] की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।
यदि किसी श्रेणी में शून्य आकारिकी है, तो उस श्रेणी में किसी भी आकृतिवाद के लिए कर्नेल और उप-कर्नेल की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।


==संदर्भ==
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[[Category:Created On 25/05/2023]]
[[Category:Created On 25/05/2023]]
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Latest revision as of 16:47, 30 October 2023

गणित की शाखा के रूप में श्रेणी सिद्धांत में, शून्य सारूप एक विशेष प्रकार का सारूप है जो शून्य वस्तु से परिभाषित आकारिता के समान और उनसे होने वाली गुणधर्म को प्रदर्शित करता है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए C एक श्रेणी है, और f : X → Y, C में एक सारूप है। सारूप f को एक स्थिर सारूप या कभी-कभी वाम शून्य सारूप कहा जाता है यदि C में किसी भी वस्तु W और किसी भी g, h: W → X के लिए fg = fh हो। उलट रूप से, f को एक समकालीन सारूप या कभी-कभी दायीं शून्य सारूप कहा जाता है यदि C में किसी भी वस्तु Z और किसी भी g, h: Y → Z के लिए gf = hf हो। शून्य सारूप वह सारूप होता है जो स्थिर सारूप तथा समकालीन सारूप दोनों होता है।

शून्य सारूपों वाली एक श्रेणी में, हर दो वस्तुओं A और B के लिए, एक निर्दिष्ट सारूप 0AB: A → B होता है, और इस सारूप का संग्रह ऐसा होता है कि सभी वस्तुओं X, Y, Z और सभी सारूप f: Y → Z, g: X → Y के लिए, निम्न आरेख विज्ञान यात्रा को समाप्त करती है:

ZeroMorphism.png

आकारिकी 0XY आवश्यक रूप से शून्य आकारिकी हैं और शून्य आकारिकी की संगत प्रणाली बनाते हैं।

यदि C शून्य सारूपों वाली श्रेणी है, तो 0XY का संग्रह अद्वितीय है।[1]

एक "शून्य सारूप" को परिभाषित करने और वाक्य "शून्य सारूपों वाली श्रेणी" को अलग-अलग परिभाषित करने की विधि अद्वितीय है, परन्तु यदि प्रत्येक होम-समुच्चय में एक "शून्य सारूप" होता है, तो श्रेणी "शून्य सारूपों वाली होती है।

उदाहरण

  • समूहों की श्रेणी (मॉड्यूल) में, शून्य सारूप एक सारूप f: G → H होता है जो सभी G को H के पहचान तत्व में चित्रित करता है। समूहों की श्रेणी में शून्य वस्तु 1 = {1} होती है, जो खाली समूह है और यथार्थ समतावधि तक अद्वितीय है। प्रत्येक शून्य सारूप को 1 के माध्यम से अंशीकृत किया जा सकता है, अर्थात्, f: G → 1 → H।
  • और अधिक सामान्य रूप से कहें तो मान लें C एक शून्य वस्तु 0 के साथ कोई भी श्रेणी है। तब सभी वस्तुओं X और Y के लिए एक अद्वितीय सारूप अनुक्रम होता है:
    0XY : X → 0 → Y
    इस रूप में निर्मित सभी सारूपों का समूह C को शून्य सारूपों वाली एक श्रेणी की संरचना प्रदान करता है।
  • यदि C एक पूर्वसंयोज्य श्रेणी है, तो प्रत्येक होम-समूह होम(X,Y) एक अभेदी समूह होता है और इसलिए शून्य तत्व होता है। ये शून्य तत्व एक संगत समूह के रूप में शून्य सारूपों की गणना करते हैं, जो C को शून्य सारूपों वाली एक श्रेणी में निर्मित होतें हैं।
  • समुच्चयों की श्रेणी में कोई शून्य वस्तु नहीं होती है, परन्तु इसमें एक प्रारंभिक वस्तु, रिक्त समुच्चय (∅) होता है। Set में केवल दायीं शून्य सारूप फलन ∅ → X होती हैं, जहां X एक समुच्चय है।

संबंधित अवधारणाएं

यदि सी में एक शून्य वस्तु 0 होती है, तो दो वस्तुओं X और Y के लिए, विहित सारूप f: X → 0 और g: 0 → Y होते हैं। फिर, gf MorC(X, Y) में एक शून्य सारूप होता है। इस प्रकार, हर एक शून्य वस्तु वाली श्रेणी MorC(X, Y) को शून्य सारूपों वाली श्रेणी बना देती है, जो 0XY: X → 0 → Y समीकरण द्वारा प्रदर्शित की जाती है।

यदि किसी श्रेणी में शून्य आकारिकी है, तो उस श्रेणी में किसी भी आकृतिवाद के लिए कर्नेल और उप-कर्नेल की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

संदर्भ

  • Section 1.7 of Pareigis, Bodo (1970), Categories and functors, Pure and applied mathematics, vol. 39, Academic Press, ISBN 978-0-12-545150-5
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Category Theory, Heldermann Verlag.


टिप्पणियाँ

  1. ↑ "शून्य आकारिकी वाली श्रेणी". Math.stackexchange.com. 2015-01-17. Retrieved 2016-03-30.
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