स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 09:33, 12 June 2023

यह आरेख स्मोलुचोव्स्की एकत्रीकरण समीकरण के अनुसार असतत कणों के एकत्रीकरण गतिज का वर्णन करता है।

सांख्यिकीय भौतिकी में, स्मोलुचोव्स्की स्कंदन समीकरण एक जनसंख्या संतुलन समीकरण है जो मैरियन स्मोलुचोव्स्की द्वारा 1916 के एक मौलिक प्रकाशन में पेश किया गया था,^[1] कणों की संख्या घनत्व के समय के विकास का वर्णन करते हुए वे स्कंदन करते हैं (इस संदर्भ में "एक साथ टकराते हुए") समय t पर x आकार में।

बहुलकीकरण,^[2] एयरोसौल्ज़ का सहसंयोजन,^[3] पायसीकरण,^[4] फ्लोकुलेशन ^[5] से जुड़ी प्रक्रियाओं में एक साथ स्कंदन (या एकत्रीकरण) का सामना करना पड़ता है।

समीकरण

तंत्र के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार कण आकार का वितरण समय में बदलता है। इसलिए, स्मोलुचोव्स्की स्कंदन समीकरण कण-आकार के वितरण का एक पूर्णांक समीकरण है। कारको में जब जमा हुए कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक अभिन्न अंग सम्मलित होता है:

यदि dy की व्याख्या असतत माप के रूप में की जाती है, अर्थात जब कण असतत आकारों में जुड़ते हैं, तो समीकरण का असतत रूप योग होता है:

{\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{i-1}K(x_{i}-x_{j},x_{j})n(x_{i}-x_{j},t)n(x_{j},t)-\sum _{j=1}^{\infty }K(x_{i},x_{j})n(x_{i},t)n(x_{j},t).

चुने गए कर्नेल प्रकार्य के लिए एक अद्वितीय उपाय मौजूद है।^[6]

स्कंदन गिरी

संचालिका, K, को स्कंदन कर्नेल के रूप में जाना जाता है और यह बताता है कि आकार के कण किस दर पर हैं $x_{1}$ आकार के कणों के साथ जमना $x_{2}$ . समीकरण के विश्लेषणात्मक घोल तब मौजूद होते हैं जब कर्नेल तीन सरल रूपों में से एक लेता है:

K=1,\quad K=x_{1}+x_{2},\quad K=x_{1}x_{2},

स्थिरांक (गणित), योज्य मानचित्र, और गुणात्मक फलन गुठली के रूप में जाना जाता है।^[7] कारक के लिए $K=1$ यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि स्मोलुचोव्स्की स्कंदन समीकरणों के घोल में विषम रूप से गतिशील मापन संपत्ति है।^[8] यह स्व-समान व्यवहार स्केल इनवेरियन(स्तर निश्चरता) से निकटता से संबंधित है जो एक चरण संक्रमण की एक विशेषता हो सकती है।

यद्यपि, अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में कर्नेल काफी अधिक जटिल रूप धारण कर लेता है। उदाहरण के लिए, मुक्त-आण्विक कर्नेल जो तनु गैस-चरण (पदार्थ) प्रणाली में टकराव का वर्णन करता है,

K={\sqrt {\frac {\pi k_{B}T}{2}}}\left({\frac {1}{m(x_{1})}}+{\frac {1}{m(x_{2})}}\right)^{1/2}\left(d(x_{1})+d(x_{2})\right)^{2}.

कुछ स्कंदन गुठली समूहों के एक विशिष्ट भग्न आयाम के लिए खाते हैं, जैसा कि प्रसार-सीमित एकत्रीकरण में है:

K={\frac {2}{3}}{\frac {k_{B}T}{\eta }}\left(x_{1}^{1/y_{1}}+x_{2}^{1/y_{2}}\right)\left(x_{1}^{-1/y_{1}}+x_{2}^{-1/y_{2}}\right),

या अभिक्रिया-सीमित एकत्रीकरण:

K={\frac {2}{3}}{\frac {k_{B}T}{\eta }}{\frac {(x_{1}x_{2})^{\gamma }}{W}}\left(x_{1}^{1/y_{1}}+x_{2}^{1/y_{2}}\right)\left(x_{1}^{-1/y_{1}}+x_{2}^{-1/y_{2}}\right),

कहाँ $y_{1},y_{2}$ समूहों के भग्न आयाम हैं, $k_{B}$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है, $T$ तापमान है, $W$ फुच्स स्थिरता अनुपात है, $\eta$ निरंतर चरण चिपचिपाहट है, और $\gamma$ उत्पाद कर्नेल का प्रतिपादक है, जिसे समान्यता एक उपयुक्त पैरामीटर माना जाता है।^[9] क्लाउड(बादल) के लिए, क्लाउड(बादल) कणों के जमाव के लिए कर्नेल को समान्यता इस रूप में व्यक्त किया जाता है:

K=\pi [r(x_{1})+r(x_{2})]^{2}|v(x_{1})-v(x_{2})|E_{coll}(x_{1},x_{2}),

कहाँ

r(x)

और

v(x)

क्लाउड(बादल) के कणों की त्रिज्या और गिरने की गति को समान्यता शक्ति कानून का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

समान्यता इस तरह के भौतिक रूप से यथार्थवादी गुठली से उत्पन्न स्कंदन समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, संख्यात्मक विश्लेषण के लिए अपील करना आवश्यक है। अधिकांश नियतात्मक विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज की केवल एक कण संपत्ति (x) हो, क्षणों की विधि (संभाव्यता सिद्धांत)^[10]^[11]^[12]^[13]^[14] और अनुभागीय तरीके दो प्रमुख हैं।^[15] बहुभिन्नरूपी कारक में, यद्यपि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकृति, संरचना, आदि) पेश किए जाते हैं, तो किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित हों। गॉसियन रेडियल(त्रिज्या) आधार कार्यों के आधार पर सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में स्कंदन समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।^[16]^[17]

जब घोल की सटीकता प्राथमिक महत्व की नहीं है, स्टोकेस्टिक कण या प्रसंभाव्य कण ( मोंटे कार्लो) विधियां एक आकर्षक विकल्प हैं।^{[उद्धरण वांछित]}

संघनन-चालित एकत्रीकरण

एकत्रीकरण के अलावा, कण संघनन, निक्षेपण या अभिवृद्धि द्वारा आकार में भी बढ़ सकते हैं। हसन और हसन ने हाल ही में एक संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण (CDA) मॉडल(नमूना) का प्रस्ताव किया है जिसमें एकत्रीकरण कण टकराव पर विलय के बीच लगातार बढ़ते रहते हैं।^[18]^[19] CDA मॉडल(नमूना) को निम्नलिखित अभिक्रिया योजना द्वारा समझा जा सकता है

A_{x}(t)+A_{y}(t){\stackrel {v(x,t)}{\longrightarrow }}A_{(\alpha +1)(x+y)}(t+\tau ),

कहाँ $A_{x}(t)$ आकार के योग को दर्शाता है $x$ समय पर $t$ और $\tau$ बीता हुआ समय है। इस अभिक्रिया योजना को निम्नलिखित सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है

{\Big [}{{\partial } \over {\partial t}}+{{\partial } \over {\partial x}}v(x,t){\Big ]}n(x,t)=-n(x,t)\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(y,t)dy+{{1} \over {2}}\int _{0}^{x}dyK(y,x-y)n(y,t)n(x-y,t).

आकार का एक कण मानते हुए $x$ टक्कर के समय के बीच संघनन के कारण बढ़ता है $\tau (x)$ के व्युत्क्रम के बराबर $\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(y,t)dy$ एक राशि द्वारा $\alpha x$ अर्थात।

v(x,t)={{\alpha x} \over {\tau (x)}}=\alpha x\int _{0}^{\infty }dyK(x,y)n(y,t).

निरंतर कर्नेल देने के लिए कोई भी सामान्यीकृत स्मोलुचोव्स्की समीकरण को हल कर सकता है

n(x,t)\sim t^{-(2+2\alpha )}e^{-{{x} \over {t^{1+2\alpha }}}},

जो गतिशील मापन प्रदर्शित करता है। एक साधारण भग्न विश्लेषण से पता चलता है कि संक्षेपण-संचालित एकत्रीकरण को आयाम के भग्न का सबसे अच्छा वर्णन किया जा सकता है

d_{f}={{1} \over {1+2\alpha }}.

 $d_{f}$  वें क्षण  $n(x,t)$  हमेशा एक संरक्षित मात्रा होती है जो गतिशील मापन के सभी घातांकों को ठीक करने के लिए जिम्मेदार होती है। ऐसा संरक्षण नियम कैंटर सेट में भी पाया गया है।

यह भी देखें

आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध
फ्लोकुलेशन
स्मोलुचोव्स्की कारक
विलियम्स स्प्रे समीकरण

संदर्भ

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+[[बहुलकीकरण]],<ref name="BlatzTobolsky1945">{{cite journal|last1=Blatz|first1=P. J.|last2=Tobolsky|first2=A. V.|title=एक साथ पॉलीमराइज़ेशन-डिपॉलीमराइज़ेशन फेनोमेना को प्रकट करने वाले सिस्टम के कैनेटीक्स पर ध्यान दें|journal=The Journal of Physical Chemistry|volume=49|issue=2|year=1945|pages=77–80|issn=0092-7325|doi=10.1021/j150440a004}}</ref> [[एयरोसौल्ज़]] का सहसंयोजन,<ref>{{cite book
-|last1=Agranovski|first1=Igor|title=Aerosols: Science and Technology|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|pages=492|isbn=978-3527632084}}</ref> पायसीकरण,<ref name="DanovIvanov1994">{{cite journal|last1=Danov|first1=Krassimir D.|last2=Ivanov|first2=Ivan B.|last3=Gurkov|first3=Theodor D.|last4=Borwankar|first4=Rajendra P.|title=इमल्शन सिस्टम्स में फ़्लोकुलेशन और कोलेसेंस की एक साथ होने वाली प्रक्रियाओं के लिए काइनेटिक मॉडल|journal=Journal of Colloid and Interface Science|volume=167|issue=1|year=1994|pages=8–17|issn=0021-9797|doi=10.1006/jcis.1994.1328|bibcode=1994JCIS..167....8D}}</ref> [[flocculation|फ्लोकुलेशन]] <ref name="ThomasJudd1999">{{cite journal|last1=Thomas|first1=D.N.|last2=Judd|first2=S.J.|last3=Fawcett|first3=N.|title=Flocculation modelling: a review|journal=Water Research|volume=33|issue=7|year=1999|pages=1579–1592|issn=0043-1354|doi=10.1016/S0043-1354(98)00392-3}}</ref> से जुड़ी प्रक्रियाओं में एक साथ जमावट (या एकत्रीकरण) का सामना करना पड़ता है
+|last1=Agranovski|first1=Igor|title=Aerosols: Science and Technology|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|pages=492|isbn=978-3527632084}}</ref> पायसीकरण,<ref name="DanovIvanov1994">{{cite journal|last1=Danov|first1=Krassimir D.|last2=Ivanov|first2=Ivan B.|last3=Gurkov|first3=Theodor D.|last4=Borwankar|first4=Rajendra P.|title=इमल्शन सिस्टम्स में फ़्लोकुलेशन और कोलेसेंस की एक साथ होने वाली प्रक्रियाओं के लिए काइनेटिक मॉडल|journal=Journal of Colloid and Interface Science|volume=167|issue=1|year=1994|pages=8–17|issn=0021-9797|doi=10.1006/jcis.1994.1328|bibcode=1994JCIS..167....8D}}</ref> [[flocculation|फ्लोकुलेशन]] <ref name="ThomasJudd1999">{{cite journal|last1=Thomas|first1=D.N.|last2=Judd|first2=S.J.|last3=Fawcett|first3=N.|title=Flocculation modelling: a review|journal=Water Research|volume=33|issue=7|year=1999|pages=1579–1592|issn=0043-1354|doi=10.1016/S0043-1354(98)00392-3}}</ref> से जुड़ी प्रक्रियाओं में एक साथ स्कंदन (या एकत्रीकरण) का सामना करना पड़ता है।
 == समीकरण ==
-तंत्र के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार कण आकार का वितरण समय में बदलता है। इसलिए, स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरण कण-आकार के वितरण का एक पूर्णांक समीकरण है। कारको में जब जमा हुए कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक [[अभिन्न]] अंग सम्मलित होता है:
+तंत्र के सभी कणों के परस्पर संबंध के अनुसार कण आकार का वितरण समय में बदलता है। इसलिए, स्मोलुचोव्स्की स्कंदन समीकरण कण-आकार के वितरण का एक पूर्णांक समीकरण है। कारको में जब जमा हुए कणों के आकार निरंतर चर होते हैं, तो समीकरण में एक [[अभिन्न]] अंग सम्मलित होता है:
 यदि dy की व्याख्या असतत माप के रूप में की जाती है, अर्थात जब कण असतत आकारों में जुड़ते हैं, तो समीकरण का असतत रूप योग होता है:
@@ Line 22: / Line 22: @@
 K(x_i-x_j,x_j)n(x_i-x_j,t)n(x_j,t) - \sum^\infty_{j=1}K(x_i,x_j)n(x_i,t)n(x_j,t).</math>
 चुने गए [[कर्नेल समारोह|कर्नेल प्रकार्य]] के लिए एक अद्वितीय उपाय मौजूद है।<ref name="Melzak1957">{{cite journal|last1=Melzak|first1=Z. A.|title=एक अदिश परिवहन समीकरण|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=85|issue=2|year=1957|pages=547–560|issn=0002-9947|doi=10.1090/S0002-9947-1957-0087880-6|doi-access=free}}</ref>
-== जमावट गिरी ==
+== स्कंदन गिरी ==
-संचालिका, K, को जमावट कर्नेल के रूप में जाना जाता है और यह बताता है कि आकार के कण किस दर पर हैं <math>x_1</math> आकार के कणों के साथ जमना <math>x_2</math>. समीकरण के विश्लेषणात्मक घोल तब मौजूद होते हैं जब कर्नेल तीन सरल रूपों में से एक लेता है:
+संचालिका, K, को स्कंदन कर्नेल के रूप में जाना जाता है और यह बताता है कि आकार के कण किस दर पर हैं <math>x_1</math> आकार के कणों के साथ जमना <math>x_2</math>. समीकरण के विश्लेषणात्मक घोल तब मौजूद होते हैं जब कर्नेल तीन सरल रूपों में से एक लेता है:
 : <math>K = 1,\quad K = x_1 + x_2, \quad K = x_1x_2,</math>
-स्थिरांक (गणित), योज्य मानचित्र, और गुणात्मक फलन गुठली के रूप में जाना जाता है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.physd.2006.07.024| title = An introduction to mathematical models of coagulation–fragmentation processes: A discrete deterministic mean-field approach| journal = Physica D: Nonlinear Phenomena| volume = 222| issue = 1–2| pages = 1–20| year = 2006| last1 = Wattis | first1 = J. A. D. |bibcode = 2006PhyD..222....1W | url = http://eprints.nottingham.ac.uk/934/1/tut11.pdf}}</ref> कारक के लिए <math>K = 1</math> यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि स्मोलुचोव्स्की जमावट समीकरणों के घोल में विषम रूप से [[गतिशील स्केलिंग|गतिशील मापन]] संपत्ति है।<ref name=constkernel>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF02186868| title = स्मोलुचोव्स्की के जमावट समीकरण में निरंतर कर्नेल के साथ गतिशील स्केलिंग का प्रमाण| journal = Journal of Statistical Physics| volume = 75| issue = 3| pages = 389–407| year = 1994| last1 = Kreer | first1 = Markus | last2=Penrose | first2 = Oliver | bibcode = 1994JSP....75..389K| s2cid = 17392921}}</ref> यह स्व-समान व्यवहार [[स्केल इनवेरियन]](स्तर निश्चरता) से निकटता से संबंधित है जो एक [[चरण संक्रमण]] की एक विशेषता हो सकती है।
+स्थिरांक (गणित), योज्य मानचित्र, और गुणात्मक फलन गुठली के रूप में जाना जाता है।<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.physd.2006.07.024| title = An introduction to mathematical models of coagulation–fragmentation processes: A discrete deterministic mean-field approach| journal = Physica D: Nonlinear Phenomena| volume = 222| issue = 1–2| pages = 1–20| year = 2006| last1 = Wattis | first1 = J. A. D. |bibcode = 2006PhyD..222....1W | url = http://eprints.nottingham.ac.uk/934/1/tut11.pdf}}</ref> कारक के लिए <math>K = 1</math> यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि स्मोलुचोव्स्की स्कंदन समीकरणों के घोल में विषम रूप से [[गतिशील स्केलिंग|गतिशील मापन]] संपत्ति है।<ref name=constkernel>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF02186868| title = स्मोलुचोव्स्की के जमावट समीकरण में निरंतर कर्नेल के साथ गतिशील स्केलिंग का प्रमाण| journal = Journal of Statistical Physics| volume = 75| issue = 3| pages = 389–407| year = 1994| last1 = Kreer | first1 = Markus | last2=Penrose | first2 = Oliver | bibcode = 1994JSP....75..389K| s2cid = 17392921}}</ref> यह स्व-समान व्यवहार [[स्केल इनवेरियन]](स्तर निश्चरता) से निकटता से संबंधित है जो एक [[चरण संक्रमण]] की एक विशेषता हो सकती है।
 यद्यपि, अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में कर्नेल काफी अधिक जटिल रूप धारण कर लेता है। उदाहरण के लिए, मुक्त-आण्विक कर्नेल जो तनु [[गैस]]-[[चरण (पदार्थ)]] प्रणाली में टकराव का वर्णन करता है,
 : <math>K = \sqrt{\frac{\pi k_B T}{2}}\left(\frac{1}{m(x_1)}+\frac{1}{m(x_2)}\right)^{1/2}\left(d(x_1)+d(x_2)\right)^2.</math>
-कुछ जमावट गुठली समूहों के एक विशिष्ट [[भग्न आयाम]] के लिए खाते हैं, जैसा कि [[प्रसार-सीमित एकत्रीकरण]] में है:
+कुछ स्कंदन गुठली समूहों के एक विशिष्ट [[भग्न आयाम]] के लिए खाते हैं, जैसा कि [[प्रसार-सीमित एकत्रीकरण]] में है:
 : <math>K = \frac{2}{3} \frac{ k_B T} {\eta} \left(x_1^{1/y_1} +x_2^{1/y_2}\right)\left(x_1^{-1/y_1} +x_2^{-1/y_2}\right),</math>
 या अभिक्रिया-सीमित एकत्रीकरण:
@@ Line 40: / Line 40: @@
 :कहाँ <math> r(x)</math> और <math> v(x)</math> क्लाउड(बादल) के कणों की त्रिज्या और गिरने की गति को समान्यता शक्ति कानून का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।
-समान्यता इस तरह के भौतिक रूप से यथार्थवादी गुठली से उत्पन्न जमावट समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए अपील करना आवश्यक है। अधिकांश [[नियतात्मक]] विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज की केवल एक कण संपत्ति (x) हो, [[क्षणों की विधि (संभाव्यता सिद्धांत)]]<ref>{{cite journal |last1=Marchisio |first1=D. L. |last2=Fox |first2=R. O. |year=2005 |title=क्षणों की प्रत्यक्ष चतुर्भुज विधि का उपयोग करके जनसंख्या संतुलन समीकरणों का समाधान|journal=J. Aerosol Sci. |volume=36 |issue=1 |pages=43–73 |doi=10.1016/j.jaerosci.2004.07.009 |bibcode=2005JAerS..36...43M }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Yu |first1=M. |last2=Lin |first2=J. |last3=Chan |first3=T. |year=2008 |title=ब्राउनियन मोशन में कणों के लिए जमावट समीकरण को हल करने के लिए एक नई क्षण विधि|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=42 |issue=9 |pages=705–713 |doi=10.1080/02786820802232972 |bibcode=2008AerST..42..705Y |hdl=10397/9612 |s2cid=120582575 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=McGraw |first=R. |year=1997 |title=क्षणों की चतुर्भुज विधि द्वारा एरोसोल डायनेमिक्स का विवरण|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=27 |issue=2 |pages=255–265 |doi=10.1080/02786829708965471 |bibcode=1997AerST..27..255M |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=Frenklach |first=M. |year=2002 |title=इंटरपोलेटिव क्लोजर के साथ मोमेंट्स की विधि|journal=Chem. Eng. Sci. |volume=57 |issue=12 |pages=2229–2239 |doi=10.1016/S0009-2509(02)00113-6 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Lee |first1=K. W. |last2=Chen |first2=H. |last3=Gieseke |first3=J. A. |year=1984 |title=मुक्त-अणु व्यवस्था में ब्राउनियन जमावट के लिए लॉग-नॉर्मली प्रिजर्विंग साइज डिस्ट्रीब्यूशन|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=3 |issue=1 |pages=53–62 |doi=10.1080/02786828408958993 |bibcode=1984AerST...3...53L }}</ref> और अनुभागीय तरीके दो प्रमुख हैं।<ref>{{cite journal |last1=Landgrebe |first1=J. D. |last2=Pratsinis |first2=S. E. |year=1990 |title=मुक्त-आणविक व्यवस्था में गैस-चरण रासायनिक प्रतिक्रिया और एरोसोल जमावट द्वारा कण उत्पादन के लिए एक असतत-अनुभागीय मॉडल|journal=J. Colloid Interface Sci. |volume=139 |issue=1 |pages=63–86 |doi=10.1016/0021-9797(90)90445-T |bibcode=1990JCIS..139...63L }}</ref> बहुभिन्नरूपी कारक में, यद्यपि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकृति, संरचना, आदि) पेश किए जाते हैं, तो किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित हों। गॉसियन रेडियल(त्रिज्या) आधार कार्यों के आधार पर सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में जमावट समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref name=Kryven2013>{{cite journal |last1=Kryven |first1=I. |last2=Iedema |first2=P. D. |title=Predicting multidimensional distributive properties of hyperbranched polymer resulting from AB2 polymerization with substitution, cyclization and shielding
+समान्यता इस तरह के भौतिक रूप से यथार्थवादी गुठली से उत्पन्न स्कंदन समीकरण हल करने योग्य नहीं होते हैं, और इस तरह, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए अपील करना आवश्यक है। अधिकांश [[नियतात्मक]] विधियों का उपयोग तब किया जा सकता है जब ब्याज की केवल एक कण संपत्ति (x) हो, [[क्षणों की विधि (संभाव्यता सिद्धांत)]]<ref>{{cite journal |last1=Marchisio |first1=D. L. |last2=Fox |first2=R. O. |year=2005 |title=क्षणों की प्रत्यक्ष चतुर्भुज विधि का उपयोग करके जनसंख्या संतुलन समीकरणों का समाधान|journal=J. Aerosol Sci. |volume=36 |issue=1 |pages=43–73 |doi=10.1016/j.jaerosci.2004.07.009 |bibcode=2005JAerS..36...43M }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Yu |first1=M. |last2=Lin |first2=J. |last3=Chan |first3=T. |year=2008 |title=ब्राउनियन मोशन में कणों के लिए जमावट समीकरण को हल करने के लिए एक नई क्षण विधि|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=42 |issue=9 |pages=705–713 |doi=10.1080/02786820802232972 |bibcode=2008AerST..42..705Y |hdl=10397/9612 |s2cid=120582575 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=McGraw |first=R. |year=1997 |title=क्षणों की चतुर्भुज विधि द्वारा एरोसोल डायनेमिक्स का विवरण|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=27 |issue=2 |pages=255–265 |doi=10.1080/02786829708965471 |bibcode=1997AerST..27..255M |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=Frenklach |first=M. |year=2002 |title=इंटरपोलेटिव क्लोजर के साथ मोमेंट्स की विधि|journal=Chem. Eng. Sci. |volume=57 |issue=12 |pages=2229–2239 |doi=10.1016/S0009-2509(02)00113-6 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Lee |first1=K. W. |last2=Chen |first2=H. |last3=Gieseke |first3=J. A. |year=1984 |title=मुक्त-अणु व्यवस्था में ब्राउनियन जमावट के लिए लॉग-नॉर्मली प्रिजर्विंग साइज डिस्ट्रीब्यूशन|journal=Aerosol Sci. Technol. |volume=3 |issue=1 |pages=53–62 |doi=10.1080/02786828408958993 |bibcode=1984AerST...3...53L }}</ref> और अनुभागीय तरीके दो प्रमुख हैं।<ref>{{cite journal |last1=Landgrebe |first1=J. D. |last2=Pratsinis |first2=S. E. |year=1990 |title=मुक्त-आणविक व्यवस्था में गैस-चरण रासायनिक प्रतिक्रिया और एरोसोल जमावट द्वारा कण उत्पादन के लिए एक असतत-अनुभागीय मॉडल|journal=J. Colloid Interface Sci. |volume=139 |issue=1 |pages=63–86 |doi=10.1016/0021-9797(90)90445-T |bibcode=1990JCIS..139...63L }}</ref> बहुभिन्नरूपी कारक में, यद्यपि, जब दो या दो से अधिक गुण (जैसे आकार, आकृति, संरचना, आदि) पेश किए जाते हैं, तो किसी को विशेष सन्निकटन विधियों की तलाश करनी होती है जो आयामीता के अभिशाप से कम पीड़ित हों। गॉसियन रेडियल(त्रिज्या) आधार कार्यों के आधार पर सन्निकटन को एक से अधिक आयामों में स्कंदन समीकरण पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref name=Kryven2013>{{cite journal |last1=Kryven |first1=I. |last2=Iedema |first2=P. D. |title=Predicting multidimensional distributive properties of hyperbranched polymer resulting from AB2 polymerization with substitution, cyclization and shielding
 |journal=Polymer |year=2013 |volume=54 |issue=14 |pages=3472–3484 |doi=10.1016/j.polymer.2013.05.009|arxiv=1305.1034 |s2cid=96697123 }}</ref><ref>{{Cite journal | doi = 10.1002/mats.201300121| title = पॉलिमर संशोधन में टोपोलॉजी इवोल्यूशन| journal = Macromolecular Theory and Simulations| volume = 23| pages = 7–14| year = 2014| last1 = Kryven | first1 = I. | last2 = Iedema | first2 = P. D. }}</ref>
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 {{Reflist|30em}}
-{{DEFAULTSORT:Smoluchowski Coagulation Equation}}[[Category: विभेदक समीकरण]] [[Category: सांख्यिकीय यांत्रिकी]]
+{{DEFAULTSORT:Smoluchowski Coagulation Equation}}
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+[[Category:Created On 18/05/2023|Smoluchowski Coagulation Equation]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Lua-based templates|Smoluchowski Coagulation Equation]]
-[[Category:Created On 18/05/2023]]
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