समूह-योजना कार्रवाई: Difference between revisions

Latest revision as of 15:37, 15 June 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, समूह योजना की एक क्रिया समूह योजना के लिए समूह क्रिया का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, समूह S-स्कीम G दिया गया है, S-स्कीम X पर G की बाईं क्रिया S-मॉर्फिज्म है

\sigma :G\times _{S}X\to X

यह ऐसा है

(साहचर्य) $\sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})$ , जहाँ $m:G\times _{S}G\to G$ समूह नियम है,
(एकता) $\sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}$ , जहाँ $e:S\to G$ का तत्समक खंड है।

X पर G की एक सही क्रिया को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। समूह योजना G की बाएं या दाएं क्रिया से सुसज्जित योजना को G-योजना कहा जाता है। G-स्कीम के बीच एक समान रूपवाद उन स्कीम का आकार है जो संबंधित G-कार्यों को आपस में जोड़ता है।

अधिक सामान्यतः समूह गुणन खंड की क्रिया (कम से कम कुछ विशेष स्थिति) पर भी विचार कर सकता है: G को फ़ंक्टर के रूप में देखते हुए, उपरोक्त के अनुरूप शर्तों को पूरा करने वाले प्राकृतिक परिवर्तन के रूप में एक क्रिया दी जाती है।^[1] वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक समूह क्रिया का अध्ययन समूह की भाषा में करते हैं; ग्रुप-स्कीम क्रिया तब ग्रुपॉइड स्कीम का एक उदाहरण है।

बनाता है

समूह क्रिया (गणित) के लिए सामान्य निर्माण जैसे कक्षाएँ समूह-योजना क्रिया के लिए सामान्यीकृत होती हैं। मान लीजिये $\sigma$ ऊपर के रूप में दी गई समूह-योजना क्रिया हो।

T-मूल्यवान बिंदु $x:T\to X$ दिया गया है, कक्षा मानचित्र $\sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T$ को $(\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})$ के रूप में दिया गया है।
x की कक्षा कक्षा मानचित्र $\sigma _{x}$ की प्रतिकृति है।
x का स्टेबलाइज़र मैप के $\sigma _{x}$ $(x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.$ पर फाइबर है।

भागफल बनाने की समस्या

सेट-सैद्धांतिक समूह क्रिया के विपरीत, समूह-योजना क्रिया के लिए भागफल का निर्माण करने का कोई सीधा तरीका नहीं है। अपवाद तब होता है जब कार्रवाई मुक्त होती है, प्रमुख फाइबर बंडल की स्थिति है।

स्तर संरचना - संभवतया सबसे पुराना, दृष्टिकोण एक वस्तु द्वारा वर्गीकृत करने के लिए स्तर संरचना के साथ वस्तु को प्रतिस्थापित करता है
ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत - दोषपूर्ण कक्षाओं को फेंक दें और फिर अंश लें। दोष यह है कि "दोषपूर्ण कक्षाओं" की धारणा को पेश करने का कोई वैधानिक तरीका नहीं है; धारणा रैखिकरण की पसंद पर निर्भर करती है। यह भी देखें: श्रेणीबद्ध भागफल, GIT भागफल।
बोरेल निर्माण - यह अनिवार्य रूप से बीजीय सांस्थिति से दृष्टिकोण है; इस दृष्टिकोण के लिए अनंत-आयामी अंतरिक्ष के साथ काम करने की आवश्यकता होती है।
विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण, टेकमूलर स्पेस का सिद्धांत।
कोशेंट स्टैक - अर्थ में, यह समस्या का अंतिम उत्तर है। मोटे तौर पर, "भाग्य प्रेस्टैक" कक्षाओं की श्रेणी है और भागफल का अंश प्राप्त करने के लिए स्टैकिफ़ाई (यानी, टोरसर की धारणा का परिचय)।

अनुप्रयोगों के आधार पर, एक और विधि यह होगी कि फ़ोकस को स्पेस से दूर और फिर स्पेस में उपस्थित सामान पर स्थानांतरित किया जाए; जैसे, टोपोस, इसलिए समस्या कक्षाओं के वर्गीकरण से समतुल्य वस्तुओं के वर्गीकरण में बदल जाती है।

यह भी देखें

समूहबद्ध योजना
सुमिहिरो प्रमेय
समतुल्य शीफ
बोरेल निश्चित बिंदु प्रमेय

↑ In details, given a group-scheme action $\sigma$ , for each morphism $T\to S$ , $\sigma$ determines a group action $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; i.e., the group $G(T)$ acts on the set of T-points $X(T)$ . Conversely, if for each $T\to S$ , there is a group action $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

[1] In details, given a group-scheme action $\sigma$ , for each morphism $T\to S$ , $\sigma$ determines a group action $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; i.e., the group $G(T)$ acts on the set of T-points $X(T)$ . Conversely, if for each $T\to S$ , there is a group action $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

[1]

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-[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, [[समूह योजना]] की एक क्रिया समूह योजना के लिए [[समूह क्रिया (गणित)]] का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, एक समूह ''एस''-स्कीम ''जी'' दिया गया है, ''एस''-स्कीम ''एक्स'' पर ''जी'' की एक बाईं कार्रवाई एक ''एस'-मोर्फिज्म है
+[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, [[समूह योजना|'''समूह योजना''']] की एक क्रिया समूह योजना के लिए [[समूह क्रिया (गणित)|समूह]] क्रिया का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, समूह '''''S''-स्कीम''' ''G'' दिया गया है, '''''S''-स्कीम ''X''''' पर ''G'' की बाईं क्रिया ''S''-मॉर्फिज्म है
 :<math>\sigma: G \times_S X \to X</math>
-ऐसा है कि
+यह ऐसा है
-* (साहचर्य) <math>\sigma \circ (1_G \times \sigma) = \sigma \circ (m \times 1_X)</math>, कहाँ <math>m: G \times_S G \to G</math> समूह कानून है,
+* (साहचर्य) <math>\sigma \circ (1_G \times \sigma) = \sigma \circ (m \times 1_X)</math>, जहाँ <math>m: G \times_S G \to G</math> समूह नियम है,
-* (एकता) <math>\sigma \circ (e \times 1_X) = 1_X</math>, कहाँ <math>e: S \to G</math> G का पहचान खंड है।
+*(एकता) <math>\sigma \circ (e \times 1_X) = 1_X</math>, जहाँ <math>e: S \to G</math> का तत्समक खंड है।
-एक 'एक्स पर जी की सही कार्रवाई' को समान रूप से परिभाषित किया गया है। एक समूह योजना जी की बाएं या दाएं कार्रवाई से लैस एक योजना को 'जी-स्कीम' कहा जाता है। जी-योजनाओं के बीच एक समान रूपवाद योजनाओं का एक रूपवाद है जो संबंधित जी-क्रियाओं को आपस में जोड़ता है।
+''X'' पर ''G'' की एक सही क्रिया को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। समूह योजना ''G'' की बाएं या दाएं क्रिया से सुसज्जित योजना को ''G''-योजना कहा जाता है। '''''G''-स्कीम''' के बीच एक समान रूपवाद उन स्कीम का आकार है जो संबंधित ''G''-कार्यों को आपस में जोड़ता है।
-अधिक आम तौर पर, एक समूह फ़ैक्टर की कार्रवाई (कम से कम कुछ विशेष मामला) पर भी विचार कर सकता है: जी को एक फ़ैक्टर के रूप में देखते हुए, उपरोक्त के अनुरूप शर्तों को संतुष्ट करने वाले प्राकृतिक परिवर्तन के रूप में एक क्रिया दी जाती है।<ref>In details, given a group-scheme action <math>\sigma</math>, for each morphism <math>T \to S</math>, <math>\sigma</math> determines a group action <math>G(T) \times X(T) \to X(T)</math>; i.e., the group <math>G(T)</math> acts on the set of ''T''-points <math>X(T)</math>. Conversely, if for each <math>T \to S</math>, there is a group action <math>\sigma_T: G(T) \times X(T) \to X(T)</math> and if those actions are compatible; i.e., they form a [[natural transformation]], then, by the [[Yoneda lemma]], they determine a group-scheme action <math>\sigma: G \times_S X \to X</math>.</ref> वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक ग्रुपाइड की भाषा में ग्रुप एक्शन का अध्ययन करते हैं; एक ग्रुप-स्कीम एक्शन तब [[[[ groupoid ]] योजना]] का एक उदाहरण है।
+अधिक सामान्यतः समूह गुणन खंड की क्रिया (कम से कम कुछ विशेष स्थिति) पर भी विचार कर सकता है: ''G'' को फ़ंक्टर के रूप में देखते हुए, उपरोक्त के अनुरूप शर्तों को पूरा करने वाले प्राकृतिक परिवर्तन के रूप में एक क्रिया दी जाती है।<ref>In details, given a group-scheme action <math>\sigma</math>, for each morphism <math>T \to S</math>, <math>\sigma</math> determines a group action <math>G(T) \times X(T) \to X(T)</math>; i.e., the group <math>G(T)</math> acts on the set of ''T''-points <math>X(T)</math>. Conversely, if for each <math>T \to S</math>, there is a group action <math>\sigma_T: G(T) \times X(T) \to X(T)</math> and if those actions are compatible; i.e., they form a [[natural transformation]], then, by the [[Yoneda lemma]], they determine a group-scheme action <math>\sigma: G \times_S X \to X</math>.</ref> वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक समूह क्रिया का अध्ययन समूह की भाषा में करते हैं; ग्रुप-स्कीम क्रिया तब ग्रुपॉइड स्कीम का एक उदाहरण है।
 == बनाता है ==
-समूह क्रिया (गणित) के लिए सामान्य निर्माण जैसे कक्षाएँ समूह-योजना क्रिया के लिए सामान्यीकृत होती हैं। होने देना <math>\sigma</math> ऊपर के रूप में दी गई समूह-योजना क्रिया हो।
+समूह क्रिया (गणित) के लिए सामान्य निर्माण जैसे कक्षाएँ समूह-योजना क्रिया के लिए सामान्यीकृत होती हैं। मान लीजिये <math>\sigma</math> ऊपर के रूप में दी गई समूह-योजना क्रिया हो।
-* एक टी-वैल्यू पॉइंट दिया गया है <math>x: T \to X</math>, [[कक्षा का नक्शा]] <math>\sigma_x: G \times_S T \to X \times_S T</math> के रूप में दिया जाता है <math>(\sigma \circ (1_G \times x), p_2)</math>.
+* T-मूल्यवान बिंदु <math>x: T \to X</math> दिया गया है, कक्षा मानचित्र <math>\sigma_x: G \times_S T \to X \times_S T</math> को <math>(\sigma \circ (1_G \times x), p_2)</math> के रूप में दिया गया है।
-* एक्स की [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]] कक्षा मानचित्र की छवि है <math>\sigma_x</math>.
+*x की कक्षा कक्षा मानचित्र <math>\sigma_x</math> की प्रतिकृति है।
-*X का [[स्टेबलाइजर उपसमूह]] [[योजना-सैद्धांतिक फाइबर]] ओवर है <math>\sigma_x</math> मानचित्र का <math>(x, 1_T): T \to X \times_S T.</math>
+*x का स्टेबलाइज़र मैप के <math>\sigma_x</math> <math>(x, 1_T): T \to X \times_S T.</math>पर फाइबर है।
+== भागफल बनाने की समस्या ==
+सेट-सैद्धांतिक समूह क्रिया के विपरीत, समूह-योजना क्रिया के लिए भागफल का निर्माण करने का कोई सीधा तरीका नहीं है। अपवाद तब होता है जब कार्रवाई मुक्त होती है, [[प्रमुख फाइबर बंडल]] की स्थिति है।
+* स्तर संरचना - संभवतया सबसे पुराना, दृष्टिकोण एक वस्तु द्वारा वर्गीकृत करने के लिए स्तर संरचना के साथ वस्तु को प्रतिस्थापित करता है
+* [[ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत]] - दोषपूर्ण कक्षाओं को फेंक दें और फिर अंश लें। दोष यह है कि "दोषपूर्ण कक्षाओं" की धारणा को पेश करने का कोई वैधानिक तरीका नहीं है; धारणा रैखिकरण की पसंद पर निर्भर करती है। यह भी देखें: श्रेणीबद्ध भागफल, GIT भागफल।
+* [[बोरेल निर्माण]] - यह अनिवार्य रूप से बीजीय सांस्थिति से दृष्टिकोण है; इस दृष्टिकोण के लिए अनंत-आयामी अंतरिक्ष के साथ काम करने की आवश्यकता होती है।
+* विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण, टेकमूलर स्पेस का सिद्धांत।
+* कोशेंट स्टैक - अर्थ में, यह समस्या का अंतिम उत्तर है। मोटे तौर पर, "भाग्य प्रेस्टैक" कक्षाओं की श्रेणी है और भागफल का अंश प्राप्त करने के लिए स्टैकिफ़ाई (यानी, टोरसर की धारणा का परिचय)।
-== एक भागफल बनाने की समस्या ==
+अनुप्रयोगों के आधार पर, एक और विधि यह होगी कि फ़ोकस को स्पेस से दूर और फिर स्पेस में उपस्थित सामान पर स्थानांतरित किया जाए; जैसे, टोपोस, इसलिए समस्या कक्षाओं के वर्गीकरण से समतुल्य वस्तुओं के वर्गीकरण में बदल जाती है।
-{{expand section|date=June 2018}}
-एक सेट-सैद्धांतिक समूह क्रिया के विपरीत, समूह-योजना क्रिया के लिए भागफल बनाने का कोई सीधा तरीका नहीं है। एक अपवाद वह मामला है जब कार्रवाई मुक्त होती है, एक [[प्रमुख फाइबर बंडल]] का मामला।
-इस कठिनाई को दूर करने के लिए कई उपाय हैं:
-*स्तर संरचना (बीजगणितीय ज्यामिति) - शायद सबसे पुराना, दृष्टिकोण एक वस्तु द्वारा एक स्तर संरचना के साथ वर्गीकृत करने के लिए एक वस्तु को प्रतिस्थापित करता है
-*[[ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत]] - खराब कक्षाओं को फेंक दें और फिर भागफल लें। दोष यह है कि खराब कक्षाओं की धारणा को पेश करने का कोई प्रामाणिक तरीका नहीं है; धारणा रैखिककरण के विकल्प पर निर्भर करती है। यह भी देखें: [[श्रेणीबद्ध भागफल]], GIT भागफल।
-*[[बोरेल निर्माण]] - यह अनिवार्य रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी से एक दृष्टिकोण है; इस दृष्टिकोण के लिए व्यक्ति को [[अनंत-आयामी स्थान]] के साथ काम करने की आवश्यकता होती है।
-*विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण, टेकमूलर अंतरिक्ष का सिद्धांत
-* [[भागफल ढेर]] - एक अर्थ में, यह समस्या का अंतिम उत्तर है। मोटे तौर पर, एक भागफल प्रीस्टैक कक्षाओं की श्रेणी है और एक [[स्टैकिफिकेशन]] (यानी, एक टॉर्सर की धारणा का परिचय) यह एक भागफल स्टैक प्राप्त करने के लिए है।
-अनुप्रयोगों के आधार पर, एक अन्य दृष्टिकोण फोकस को एक स्थान से दूर एक स्थान पर सामान पर स्थानांतरित करना होगा; उदा., [[ topos ]]. तो समस्या कक्षाओं के वर्गीकरण से समभिन्न वस्तुओं के वर्गीकरण में बदल जाती है।<!--
 == यह भी देखें ==
-* ग्रुपॉयड स्कीम
-* सुमिहिरो की प्रमेय
-* [[समतुल्य शीफ]]
-* [[बोरेल फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय]]
-== संदर्भ ==
-{{reflist}}
-*{{Cite book| last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | author3-link=Frances Kirwan | title=Geometric invariant theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] | isbn=978-3-540-56963-3 |mr=1304906 | year=1994 | volume=34}}
-{{algebraic-geometry-stub}}
-[[Category: बीजगणितीय ज्यामिति]]
+* समूहबद्ध योजना
+* सुमिहिरो प्रमेय
+* समतुल्य शीफ
+* बोरेल निश्चित बिंदु प्रमेय
+<references />
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