आव्यूह ज्यामितीय विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 14:03, 14 June 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, आव्यूह ज्यामितीय विधि अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए एक विधि होती है, निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला जिसका संक्रमण दर आव्यूह एक दोहरावदार संरचना के साथ होता है।^[1] इस पद्धति का विकास बड़े पैमाने पर मार्सेल एफ न्यूट्स और उनके छात्रों द्वारा 1975 के आसपास प्रारंभ किया गया था।^[2]

विधि विवरण

इस विधि को निम्न प्रकार से त्रिकोणीय आव्यूह संरचना के साथ एक संक्रमण दर आव्यूह की आवश्यकता होती है

Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}

जहां प्रत्येक B₀₀, B₀₁, B₁₀, A₀, A₁ और A₂ आव्यूह है। स्थिर वितरण π लेखन π Q = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए संतुलन समीकरणों पर विचार किया जाता है_i

{\begin{aligned}\pi _{0}B_{00}+\pi _{1}B_{10}&=0\\\pi _{0}B_{01}+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+\pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}

गौर कीजिए कि संबंध

\pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1}

रखता है जहां R की दर आव्यूह है,^[3] जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते है

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}+RA_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}

जिसे π₀ और π₁ खोजने के लिए हल किया जा सकता है और इसलिए पुनरावृत्त रूप से सभी है π_i

R की गणना

आव्यूह R की गणना चक्रीय कमी^[4] या लघुगणकीय कमी का उपयोग करके की जा सकती है।^[5]^[6]

आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि

आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि आव्यूह ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण होता है जिसका उपयोग M/G/1 आव्यूह के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।^[7] ऐसे मॉडल कठिन होते है क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है= π_i = π₁ R^{i – 1} उपरोक्त का उपयोग किया जाता है।^[8]

बाहरी संबंध

Performance Modelling and Markov Chains (part 2) by William J. Stewart at 7th International School on Formal Methods for the Design of Computer, Communication and Software Systems: Performance Evaluation

संदर्भ

↑ Harrison, Peter G.; Patel, Naresh M. (1992). संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग. Addison-Wesley. pp. 317–322. ISBN 0-201-54419-9.
↑ Asmussen, S. R. (2003). "Random Walks". एप्लाइड संभावना और कतारें. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 220–243. doi:10.1007/0-387-21525-5_8. ISBN 978-0-387-00211-8.
↑ Ramaswami, V. (1990). "कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय". Communications in Statistics. Stochastic Models. 6: 151–161. doi:10.1080/15326349908807141.
↑ Bini, D.; Meini, B. (1996). "पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 17 (4): 906. doi:10.1137/S0895479895284804.
↑ Latouche, Guy; Ramaswami, V. (1993). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 30 (3): 650–674. JSTOR 3214773.
↑ Pérez, J. F.; Van Houdt, B. (2011). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ" (PDF). Performance Evaluation. 68 (2): 126. doi:10.1016/j.peva.2010.04.003. hdl:10067/859850151162165141.
↑ Alfa, A. S.; Ramaswami, V. (2011). "Matrix Analytic Method: Overview and History". संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया. doi:10.1002/9780470400531.eorms0631. ISBN 9780470400531.
↑ Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor Shridharbhai (2006). Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2 ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 259. ISBN 0471565253.

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[1] Harrison, Peter G.; Patel, Naresh M. (1992). संचार नेटवर्क और कंप्यूटर आर्किटेक्चर का प्रदर्शन मॉडलिंग. Addison-Wesley. pp. 317–322. ISBN 0-201-54419-9.

[2] Asmussen, S. R. (2003). "Random Walks". एप्लाइड संभावना और कतारें. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 220–243. doi:10.1007/0-387-21525-5_8. ISBN 978-0-387-00211-8.

[3] Ramaswami, V. (1990). "कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय". Communications in Statistics. Stochastic Models. 6: 151–161. doi:10.1080/15326349908807141.

[4] Bini, D.; Meini, B. (1996). "पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 17 (4): 906. doi:10.1137/S0895479895284804.

[5] Latouche, Guy; Ramaswami, V. (1993). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 30 (3): 650–674. JSTOR 3214773.

[6] Pérez, J. F.; Van Houdt, B. (2011). "अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ" (PDF). Performance Evaluation. 68 (2): 126. doi:10.1016/j.peva.2010.04.003. hdl:10067/859850151162165141.

[7] Alfa, A. S.; Ramaswami, V. (2011). "Matrix Analytic Method: Overview and History". संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया. doi:10.1002/9780470400531.eorms0631. ISBN 9780470400531.

[8] Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor Shridharbhai (2006). Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2 ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 259. ISBN 0471565253.

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@@ Line 12: / Line 12: @@
 &&&& \ddots & \ddots & \ddots
 \end{pmatrix}</math>
-जहां प्रत्येक बी<sub>00</sub>, बी<sub>01</sub>, बी<sub>10</sub>, ए<sub>0</sub>, ए<sub>1</sub> और ए<sub>2</sub> आव्यूह है। स्थिर वितरण π लेखन π Q = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए [[संतुलन समीकरण|संतुलन समीकरणों]] पर विचार किया जाता है<sub>''i''</sub>
+जहां प्रत्येक ''B''<sub>00</sub>, ''B''<sub>01</sub>, ''B''<sub>10</sub>, ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub> और ''A''<sub>2</sub> आव्यूह है। स्थिर वितरण ''π'' लेखन ''π'' ''Q'' = 0 की गणना करने के लिए उप-वैक्टर π के लिए [[संतुलन समीकरण|संतुलन समीकरणों]] पर विचार किया जाता है<sub>''i''</sub>
 ::<math>\begin{align}
 \pi_0 B_{00} + \pi_1 B_{10} &= 0\\
@@ Line 24: / Line 24: @@
 ::<math>\pi_i = \pi_1 R^{i-1}</math>
-रखता है जहां आर न्यूट की दर आव्यूह है,<ref>{{Cite journal | last1 = Ramaswami | first1 = V. | doi = 10.1080/15326349908807141 | title = कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय| journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 6 | pages = 151–161 | year = 1990 }}</ref> जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते है
+रखता है जहां R की दर आव्यूह है,<ref>{{Cite journal | last1 = Ramaswami | first1 = V. | doi = 10.1080/15326349908807141 | title = कतारबद्ध सिद्धांत में मैट्रिक्स प्रतिमानों के लिए एक द्वैत प्रमेय| journal = Communications in Statistics. Stochastic Models | volume = 6 | pages = 151–161 | year = 1990 }}</ref> जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है। इसका प्रयोग करके हम लिखते है
 ::<math>\begin{align}
@@ Line 31: / Line 31: @@
 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}
 \end{align}</math>
-जिसे π खोजने के लिए हल किया जा सकता है<sub>0</sub> और π<sub>1</sub> और इसलिए क्रमिक रूप से सभी π<sub>''i''</sub>.
+जिसे π<sub>0</sub> और π<sub>1</sub> खोजने के लिए हल किया जा सकता है और इसलिए पुनरावृत्त रूप से सभी है π<sub>''i''</sub>
-== आर == की गणना
-[[चक्रीय कमी]] का उपयोग करके आव्यूह आर की गणना की जा सकती है<ref>{{Cite journal | last1 = Bini | first1 = D. | last2 = Meini | first2 = B.|author2-link=Beatrice Meini | doi = 10.1137/S0895479895284804 | title = पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर| journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 17 | issue = 4 | pages = 906 | year = 1996 }}</ref> या लघुगणकीय कमी।<ref>{{cite journal | year = 1993 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम| journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | pages = 650–674 | publisher = Applied Probability Trust | jstor = 3214773 | first1 = Guy | last1 = Latouche | first2 = V. | last2 = Ramaswami}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Pérez | first1 = J. F. | last2 = Van Houdt | first2 = B. | doi = 10.1016/j.peva.2010.04.003 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ| journal = [[Performance Evaluation]]| volume = 68 | issue = 2 | pages = 126 | year = 2011 | url = http://www.doc.ic.ac.uk/~jperezbe/data/PerezVanHoudt_PEVA_2011.pdf| hdl = 10067/859850151162165141 | hdl-access = free }}</ref>
+== R की गणना ==
+आव्यूह R की गणना [[चक्रीय कमी]]<ref>{{Cite journal | last1 = Bini | first1 = D. | last2 = Meini | first2 = B.|author2-link=Beatrice Meini | doi = 10.1137/S0895479895284804 | title = पंक्तिबद्ध समस्याओं में उत्पन्न होने वाले अरैखिक मैट्रिक्स समीकरण के समाधान पर| journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 17 | issue = 4 | pages = 906 | year = 1996 }}</ref> या लघुगणकीय कमी का उपयोग करके की जा सकती है।<ref>{{cite journal | year = 1993 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के लिए एक लघुगणक न्यूनीकरण एल्गोरिथम| journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | pages = 650–674 | publisher = Applied Probability Trust | jstor = 3214773 | first1 = Guy | last1 = Latouche | first2 = V. | last2 = Ramaswami}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Pérez | first1 = J. F. | last2 = Van Houdt | first2 = B. | doi = 10.1016/j.peva.2010.04.003 | title = अर्ध-जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएं प्रतिबंधित संक्रमण और इसके अनुप्रयोगों के साथ| journal = [[Performance Evaluation]]| volume = 68 | issue = 2 | pages = 126 | year = 2011 | url = http://www.doc.ic.ac.uk/~jperezbe/data/PerezVanHoudt_PEVA_2011.pdf| hdl = 10067/859850151162165141 | hdl-access = free }}</ref>
 == आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि ==
-{{Main|Matrix analytic method}}
+{{Main|आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि}}
-आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि आव्यूह ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है जिसका उपयोग ब्लॉक M/G/1 क्यू | M/G/1 मैट्रिसेस के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।<ref>{{Cite book | last1 = Alfa | first1 = A. S. | last2 = Ramaswami | first2 = V. | doi = 10.1002/9780470400531.eorms0631 | chapter = Matrix Analytic Method: Overview and History | title = संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया| year = 2011 | isbn = 9780470400531 }}</ref> ऐसे मॉडल कठिन है क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है<sub>''i''</sub>= पी<sub>1</sub>आर<sup>i – 1</sup> उपरोक्त होल्ड का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite book|first1=Gunter|last1= Bolch|first2=Stefan |last2= Greiner |first3=Hermann  |last3=de Meer |author4-link=Kishor S. Trivedi|first4= Kishor Shridharbhai|last4=  Trivedi | year=2006| edition=2 | page=259| title=Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications |publisher= John Wiley & Sons, Inc|isbn=0471565253}}</ref>
+आव्यूह विश्लेषणात्मक विधि आव्यूह ज्यामितीय समाधान विधि का एक अधिक जटिल संस्करण होता है जिसका उपयोग M/G/1 आव्यूह के साथ मॉडल का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।<ref>{{Cite book | last1 = Alfa | first1 = A. S. | last2 = Ramaswami | first2 = V. | doi = 10.1002/9780470400531.eorms0631 | chapter = Matrix Analytic Method: Overview and History | title = संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया| year = 2011 | isbn = 9780470400531 }}</ref> ऐसे मॉडल कठिन होते है क्योंकि π जैसा कोई संबंध नहीं है= ''π<sub>i</sub>'' = ''π''<sub>1</sub> R<sup>''i'' – 1</sup> उपरोक्त का उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book|first1=Gunter|last1= Bolch|first2=Stefan |last2= Greiner |first3=Hermann  |last3=de Meer |author4-link=Kishor S. Trivedi|first4= Kishor Shridharbhai|last4=  Trivedi | year=2006| edition=2 | page=259| title=Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications |publisher= John Wiley & Sons, Inc|isbn=0471565253}}</ref>
 ==बाहरी संबंध==
 * [http://www.sti.uniurb.it/events/sfm07pe/slides/Stewart_2.pdf Performance Modelling and Markov Chains (part 2)] by William J. Stewart at ''7th International School on Formal Methods for the Design of Computer, Communication and Software Systems: Performance Evaluation''
 ==संदर्भ==
@@ Line 55: / Line 49: @@
 {{Queueing theory}}
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v t e Queueing theory
Single queueing nodes	D/M/1 queue M/D/1 queue M/D/c queue M/M/1 queue Burke's theorem M/M/c queue M/M/∞ queue M/G/1 queue Pollaczek–Khinchine formula Matrix analytic method M/G/k queue G/M/1 queue G/G/1 queue Kingman's formula Lindley equation Fork–join queue Bulk queue
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