फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया: Difference between revisions

Latest revision as of 08:45, 15 June 2023

फजी समुच्चय संक्रिया फ़ज़ी समुच्चय के सुस्पष्टता समुच्चय संक्रिया (गणित) का एक सामान्यीकरण होता है। वास्तव में एक से अधिक संभावित सामान्यीकरण होते है। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संक्रिया को मानक फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया कहा जाता है, इनमें सम्मलित होते है: फ़ज़ी पूरक, फ़ज़ी प्रतिच्छेदन और फ़ज़ी संघ।

मानक फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया

मान लेते है कि A और B फज़ी समुच्चय है, A,B ⊆ U स्थान में कोई तत्व u (जैसे मूल्य) है: u ∈ U

मानक पूरक है

\mu _{\lnot {A}}(u)=1-\mu _{A}(u)

पूरक को कभी-कभी ∁A या AN द्वारा दर्शाया जाता है

मानक प्रतिच्छेदन

\mu _{A\cap B}(u)=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}

मानक संघ

\mu _{A\cup B}(u)=\max\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}

सामान्यतः, तिहरा (i,u,n) को डी मॉर्गन तिहरा iff कहा जाता है

i एक t-मानक है,
u एक t-कॉनर्म (एक s-नॉर्म) है,
n एक मजबूत नकारात्मक है,

जिससे कि सभी x,y ∈ [0, 1] के लिए निम्नलिखित सत्य है:

u(x,y) = n( i( n(x), n(y) ) )

(सामान्यीकृत डी मॉर्गन संबंध)।^[1] इसका तात्पर्य विस्तार से नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों से है।

फजी पूरक

μ_A(x) को उस डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे x A से संबंधित है। मान लेते है कि ∁A प्रकार c के A के अस्पष्ट पूरक को दर्शाता है। फिर μ_∁A(x) वह डिग्री है जिससे x का संबंध ∁A से है, और वह डिग्री जिससे x का संबंध A से नहीं है। (μ_A(x) इसलिए वह डिग्री है जिससे x ∁A से संबंधित नहीं है। एक पूरक '∁'A को एक फलन द्वारा परिभाषित किया गया है

c : [0,1] → [0,1]

सभी x ∈ U के लिए: μ∁A(x) = c(μA(x))

फ़ज़ी पूरकों के लिए स्वयंसिद्ध

स्वयंसिद्ध c1. सीमारेखा की स्थिति

c(0) = 1 और c(1) = 0

स्वयंसिद्ध c2. दिष्टता

सभी a, b ∈ [0, 1] के लिए, यदि a < b, तो c(a) > c(b)

स्वयंसिद्ध c3. निरंतरता

c निरंतर फलन है।

स्वयंसिद्ध c4. निवेश

c एक विकास (गणित) है, जिसका अर्थ है कि c(c(a)) = a प्रत्येक a ∈ [0,1] के लिए है

c एक मजबूत टी-मानक गैर-मानक नकारात्मक (एक फ़ज़ी पूरक) है।

एक फलन c जो सिद्धांतों को संतुष्ट करता है c1 और c3 में c(a*) = a* के साथ कम से कम एक निश्चित बिंदु a* होता है, और यदि स्वयंसिद्ध c2 भी पूरा होता है तो ठीक ऐसा ही एक निर्धारण बिंदु होता है। मानक नकारात्मक c(x) = 1-x के लिए अद्वितीय निर्धारण बिंदु a* = 0.5 है।^{^[2]}

फजी प्रतिच्छेदन

दो फ़ज़ी समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को सामान्य रूप से इकाई अंतराल पर द्विआधारी संक्रिया द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है,

i:[0,1]×[0,1] → [0,1]।

सभी x ∈ U के लिए: μ∁A(x) = c(μA(x))

फ़ज़ी प्रतिच्छेदन के लिए स्वयंसिद्ध

स्वयंसिद्ध i1. सीमारेखा की स्थिति

i(a, 1) = a

स्वयंसिद्ध i2. दिष्टता

b ≤ d का अर्थ है i(a, b) ≤ i(a, d)

स्वयंसिद्ध i3. क्रमविनिमेयता

i(a, b) = i(b, a)

स्वयंसिद्ध i4. संबद्धता

i(a, i(b, d)) = i(i(a, b), d)

स्वयंसिद्ध i5. निरंतरता

i एक सतत फलन है

स्वयंसिद्ध i6. सबडिमपोटेंसी

i(a, a) <a सबके लिए 0 <a <1

स्वयंसिद्ध i7. सख्त एकरसता

i (a1, b1) <i (a2, b2) यदि a1 <a2 और b1 <b2

स्वयंसिद्ध i1 से i4 तक एक टी-मानदंड (एक फ़ज़ी प्रतिच्छेदन) को परिभाषित करते है। मानक टी-मानदंड न्यूनतम एकमात्र आदर्श टी-मानदंड है (अर्थात, i (a₁, a₁) = सभी के लिए एक ∈ [0,1])।^[2]

फजी संघ

दो फ़ज़ी समुच्चय A और B का संघ सामान्य रूप से इकाई अंतराल फलन पर द्विआधारी संक्रिया द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है

u:[0,1]×[0,1] → [0,1]

सभी x ∈ U के लिए: μA ∪ B(x) = u[μA(x), μB(x)]।

फ़ज़ी संघ के लिए स्वयंसिद्ध

स्वयंसिद्ध u1. सीमारेखा की स्थिति

u(a, 0) =u(0 ,a) = a

स्वयंसिद्ध u2. दिष्टता

b ≤ d का अर्थ है u(a, b) ≤ u(a, d)

स्वयंसिद्ध u3. क्रमविनिमेयता

u(a, b) = u(b, a)

स्वयंसिद्ध u4. संबद्धता

u(a, u(b, d)) = u(u(a, b), d)

स्वयंसिद्ध u5. निरंतरता

u एक निरंतर फलन है

स्वयंसिद्ध u6. अतिशयोक्ति

u(a, a) > a सभी 0 < a < 1 के लिए है

स्वयंसिद्ध u7. सख्त एकरसता: a1 <a2 और b1 <b2 का अर्थ है u(a1, b1) <u(a2, b2)

स्वयंसिद्ध u1 से u4 तक एक टी-कॉनर्म (एक एस-नॉर्म या फ़ज़ी संघ) को परिभाषित करते है। मानक टी-कॉनर्म ही एकमात्र आदर्श टी-कॉनर्म है (अर्थात u (a1, a1) = a सभी a ∈ [0,1] के लिए है)।^[2]

एकत्रीकरण संक्रिया

फ़ज़ी समुच्चय पर एकत्रीकरण संक्रिया एसी संक्रिया है जिनके द्वारा एक फ़ज़ी समुच्चय बनाने के लिए कई फ़ज़ी समुच्चयों को वांछित विधि से जोड़ा जाता है।

n फ़ज़ी समुच्चय (2 ≤ n) पर एकत्रीकरण संक्रिया एक फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है

h:[0,1]ⁿ → [0,1]

एकत्रीकरण संक्रिया फजी समुच्चय के लिए स्वयंसिद्ध

स्वयंसिद्ध h1. सीमारेखा की स्थिति

h(0, 0, ..., 0) = 0 और h(1, 1, ..., 1) = 1

स्वयंसिद्ध h2. दिष्टता

n-टुपल्स की किसी भी समरूप <a₁, a₂, ..., a_n> और <b₁, b₂, ..., b_n> के लिए जैसे कि a_i, b_i ∈ [0,1] सभी i ∈ N_n के लिए, यदि a_i ≤ b₁ सबके लिए i ∈ N_n, फिर h(a₁, a₂, ...,a_n) ≤ h(b₁, b₂, ..., b_n), अर्थात, h अपने सभी तर्कों में दिष्टता बढ़ाता है।

स्वयंसिद्ध h3. निरंतरता

h एक सतत फलन है।

यह भी देखें

अग्रिम पठन

Klir, George J.; Bo Yuan (1995). Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. Prentice Hall. ISBN 978-0131011717.

संदर्भ

↑ Ismat Beg, Samina Ashraf: Similarity measures for fuzzy sets, at: Applied and Computational Mathematics, March 2009, available on Research Gate since November 23rd, 2016
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Günther Rudolph: Computational Intelligence (PPS), TU Dortmund, Algorithm Engineering LS11, Winter Term 2009/10. Note that this power point sheet may have some problems with special character rendering

L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965

[1] Ismat Beg, Samina Ashraf: Similarity measures for fuzzy sets, at: Applied and Computational Mathematics, March 2009, available on Research Gate since November 23rd, 2016

[GR2009-2010-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Günther Rudolph: Computational Intelligence (PPS), TU Dortmund, Algorithm Engineering LS11, Winter Term 2009/10. Note that this power point sheet may have some problems with special character rendering

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''[[फजी सेट]] संचालन''' फ़ज़ी सेट के [[ कुरकुरा सेट |क्रिस्प सेट]] [[ऑपरेशन (गणित)|संचालन (गणित)]] का एक सामान्यीकरण होता है। वास्तव में एक से अधिक संभावित सामान्यीकरण होते है। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संचालन को मानक फ़ज़ी सेट संचालन कहा जाता है, इनमें सम्मलित होते है: फ़ज़ी पूरक, फ़ज़ी प्रतिच्छेदन और फ़ज़ी संघ।
+'''[[फजी सेट|फजी समुच्चय]]''' '''संक्रिया''' फ़ज़ी समुच्चय के [[ कुरकुरा सेट |सुस्पष्टता समुच्चय]] [[ऑपरेशन (गणित)|संक्रिया (गणित)]] का एक सामान्यीकरण होता है। वास्तव में एक से अधिक संभावित सामान्यीकरण होते है। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संक्रिया को मानक फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया कहा जाता है, इनमें सम्मलित होते है: फ़ज़ी पूरक, फ़ज़ी प्रतिच्छेदन और फ़ज़ी संघ।
-== मानक फ़ज़ी सेट संचालन ==
+== मानक फ़ज़ी समुच्चय संक्रिया ==
-मान लेते है कि ए और बी फज़ी सेट करते है कि ए, बी ⊆ यू, यू स्थान में कोई तत्व (जैसे मूल्य) है: यू ∈ यू।
+मान लेते है कि A और B फज़ी समुच्चय है, A,B ⊆ U स्थान में कोई तत्व u (जैसे मूल्य) है: u ∈ U
 ====== मानक पूरक है ======
@@ Line 13: / Line 13: @@
 ====== मानक संघ ======
 :<math>\mu_{A \cup B}(u) = \max\{\mu_A(u), \mu_B(u)\}</math>
-सामान्य तौर पर, ट्रिपल (i,u,n) को टी-नॉर्म#गैर-मानक नकारात्मक [[iff]] कहा जाता है
+सामान्यतः, तिहरा (i,u,n) को डी मॉर्गन तिहरा iff कहा जाता है
-* मैं एक टी-नॉर्म#परिभाषा|टी-नॉर्म है,
+*i एक t-मानक है,
-* यू एक टी-नॉर्म#टी-कॉनॉर्म्स|टी-कॉनॉर्म (उर्फ एस-नॉर्म) है,
+* u एक t-कॉनर्म (एक s-नॉर्म) है,
-* n एक टी-मानक#गैर-मानक नकारात्मक है,
+*n एक मजबूत नकारात्मक है,
-ताकि सभी ''x'',''y'' ∈ [0, 1] के लिए निम्नलिखित सत्य हो:
+जिससे कि सभी ''x'',''y'' ∈ [0, 1] के लिए निम्नलिखित सत्य है:
-:''u''(''x'',''y'') = ''n''(''i''('n''(''x''),''n'' (''य'')))
+:''u''(''x'',''y'') = ''n''( ''i''( ''n''(''x''), ''n''(''y'') ) )
 (सामान्यीकृत डी मॉर्गन संबंध)।<ref>Ismat Beg, Samina Ashraf: [https://www.researchgate.net/publication/228744370_Similarity_measures_for_fuzzy_sets Similarity measures for fuzzy sets], at: Applied and Computational Mathematics, March 2009, available on Research Gate since November 23rd, 2016</ref> इसका तात्पर्य विस्तार से नीचे दिए गए स्वयंसिद्धों से है।
 == फजी पूरक ==
-μ<sub>A</sub>(x) को उस डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे x A से संबंधित है। मान लीजिए कि ∁A प्रकार c के A के अस्पष्ट पूरक को दर्शाता है। फिर μ<sub>∁A</sub>(x) वह डिग्री है जिससे x का संबंध ∁A से है, और वह डिग्री जिससे x का संबंध A से नहीं है। (μ<sub>A</sub>(x) इसलिए वह डिग्री है जिससे x ∁A से संबंधित नहीं है।) एक पूरक '∁'A को एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाना चाहिए
+μ<sub>A</sub>(x) को उस डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे x A से संबंधित है। मान लेते है कि ∁A प्रकार c के A के अस्पष्ट पूरक को दर्शाता है। फिर μ<sub>∁A</sub>(x) वह डिग्री है जिससे x का संबंध ∁A से है, और वह डिग्री जिससे x का संबंध A से नहीं है। (μ<sub>A</sub>(x) इसलिए वह डिग्री है जिससे x ∁A से संबंधित नहीं है। एक पूरक '∁'A को एक फलन द्वारा परिभाषित किया गया है
-:सी : [0,1] → [0,1]
+:''c'' : [0,1] → [0,1]
-: सभी के लिए x ∈ यू: μ<sub>∁A</sub>(एक्स) = सी (एम<sub>A</sub>(एक्स))
+: सभी x ∈ U के लिए: μ∁A(x) = c(μA(x))
-=== फ़ज़ी पूरकों के लिए अभिगृहीत ===
+=== फ़ज़ी पूरकों के लिए स्वयंसिद्ध ===
-अभिगृहीत c1. सीमारेखा की हालत
+====== स्वयंसिद्ध c1. सीमारेखा की स्थिति ======
 :c(0) = 1 और c(1) = 0
-अभिगृहीत सी2. दिष्टता
+====== स्वयंसिद्ध c2. दिष्टता ======
 : सभी a, b ∈ [0, 1] के लिए, यदि a < b, तो c(a) > c(b)
-अभिगृहीत c3. निरंतरता
+====== स्वयंसिद्ध c3. निरंतरता ======
-:c निरंतर कार्य है।
+:c निरंतर फलन है।
-स्वयंसिद्ध सी 4। निवेश
+====== स्वयंसिद्ध c4. निवेश ======
-:c एक इनवोल्यूशन (गणित) है, जिसका अर्थ है कि c(c(a)) = a प्रत्येक a ∈ [0,1] के लिए
+:c एक विकास (गणित) है, जिसका अर्थ है कि c(c(a)) = a प्रत्येक a ∈ [0,1] के लिए है
-c एक मजबूत टी-मानक # गैर-मानक नकारात्मक (उर्फ फ़ज़ी पूरक) है।
+c एक मजबूत टी-मानक गैर-मानक नकारात्मक (एक फ़ज़ी पूरक) है।
-एक फलन c संतोषजनक अभिगृहीत c1 और c3 में कम से कम एक निश्चित बिन्दु a होता है<sup>*</sup> साथ में सी(ए<sup>*</sup>) = ए<sup>*</सुप>,
+एक फलन c जो सिद्धांतों को संतुष्ट करता है c1 और c3 में c(a*) = a* के साथ कम से कम एक निश्चित बिंदु a* होता है, और यदि स्वयंसिद्ध c2 भी पूरा होता है तो ठीक ऐसा ही एक निर्धारण बिंदु होता है। मानक नकारात्मक c(x) = 1-x के लिए अद्वितीय निर्धारण बिंदु a* = 0.5 है।<sup><ref name="GR2009-2010">Günther Rudolph: [https://ls11-www.cs.tu-dortmund.de/people/rudolph/teaching/lectures/CI/WS2009-10/lec06.pps Computational Intelligence (PPS)], TU Dortmund, Algorithm Engineering LS11, Winter Term 2009/10. Note that this power point sheet may have some problems with special character rendering</ref>
-और यदि अभिगृहीत c2 भी पूरा होता है तो ठीक ऐसा ही एक निश्चित बिंदु है। मानक नकारात्मक सी (एक्स) = 1-एक्स के लिए अद्वितीय फिक्सपॉइंट एक है<sup>*</sup> = 0.5 .<ref name="GR2009-2010">Günther Rudolph: [https://ls11-www.cs.tu-dortmund.de/people/rudolph/teaching/lectures/CI/WS2009-10/lec06.pps Computational Intelligence (PPS)], TU Dortmund, Algorithm Engineering LS11, Winter Term 2009/10. Note that this power point sheet may have some problems with special character rendering</ref>
+== फजी प्रतिच्छेदन ==
+{{main|टी-मानदंड}}
+दो फ़ज़ी समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को सामान्य रूप से इकाई अंतराल पर द्विआधारी संक्रिया द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है,
-== फजी चौराहों ==
-{{main|T-norm}}
-दो फ़ज़ी सेट ए और बी के चौराहे को सामान्य रूप से यूनिट अंतराल पर बाइनरी संचालन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, फॉर्म का एक फ़ंक्शन
 :i:[0,1]×[0,1] → [0,1]।
-: सभी के लिए x ∈ यू: μ<sub>''A'' ∩ ''B''</sub>(एक्स) = मैं [एम<sub>A</sub>(एक्स), एम<sub>B</sub>(एक्स)]।
+: सभी x ∈ U के लिए: μ∁A(x) = c(μA(x))
-=== फ़ज़ी चौराहों के लिए अभिगृहीत ===
+=== फ़ज़ी प्रतिच्छेदन के लिए स्वयंसिद्ध ===
-अभिगृहीत i1. सीमारेखा की हालत
-: मैं (ए, 1) = ए
-स्वयंसिद्ध i2। दिष्टता
+====== स्वयंसिद्ध i1. सीमारेखा की स्थिति ======
+: ''i''(''a'', 1) = ''a''
+====== स्वयंसिद्ध i2. दिष्टता ======
 :b ≤ d का अर्थ है i(a, b) ≤ i(a, d)
-स्वयंसिद्ध i3। क्रमविनिमेयता
+====== स्वयंसिद्ध i3. क्रमविनिमेयता ======
-: मैं (ए, बी) = मैं (बी, ए)
+: ''i''(''a'', ''b'') = ''i''(''b'', ''a'')
-स्वयंसिद्ध i4। संबद्धता
+====== स्वयंसिद्ध i4. संबद्धता ======
-: मैं (ए, मैं (बी, डी)) = मैं (मैं (ए, बी), डी)
+: ''i''(''a'', ''i''(''b'', ''d'')) = ''i''(''i''(''a'', ''b''), ''d'')
-स्वयंसिद्ध i5। निरंतरता
+====== स्वयंसिद्ध i5. निरंतरता ======
-: मैं एक सतत कार्य है
+: i एक सतत फलन है
-स्वयंसिद्ध i6। सबडिमपोटेंसी
+====== स्वयंसिद्ध i6. सबडिमपोटेंसी ======
 :i(a, a) <a सबके लिए 0 <a <1
-स्वयंसिद्ध i7। सख्त एकरसता
+====== स्वयंसिद्ध i7. सख्त एकरसता ======
-:मैं एक<sub>1</sub>, बी<sub>1</sub>) <मैं (ए<sub>2</sub>, बी<sub>2</sub>) यदि एक<sub>1</sub> <ए<sub>2</sub> और बी<sub>1</sub> < ख<sub>2</sub>
+:i (a1, b1) <i (a2, b2) यदि a1 <a2 और b1 <b2
-अभिगृहीत i1 से i4 तक एक टी-मानदंड (उर्फ फ़ज़ी इंटरसेक्शन) को परिभाषित करते है। मानक टी-मानदंड न्यूनतम एकमात्र आदर्श टी-मानदंड है (अर्थात, ''i'' (''a''<sub>1</sub>, ए<sub>1</sub>) = सभी के लिए एक ∈ [0,1])।<ref name="GR2009-2010" />
+स्वयंसिद्ध i1 से i4 तक एक टी-मानदंड (एक फ़ज़ी प्रतिच्छेदन) को परिभाषित करते है। मानक टी-मानदंड न्यूनतम एकमात्र आदर्श टी-मानदंड है (अर्थात, ''i'' (''a''<sub>1</sub>, a<sub>1</sub>) = सभी के लिए एक ∈ [0,1])।<ref name="GR2009-2010" />
+== फजी संघ ==
+दो फ़ज़ी समुच्चय A और B का संघ सामान्य रूप से इकाई अंतराल फलन पर द्विआधारी संक्रिया द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है
-== फजी यूनियन्स ==
+: ''u'':[0,1]×[0,1] → [0,1]
-दो फ़ज़ी सेट ए और बी का संघ सामान्य रूप से फॉर्म के यूनिट अंतराल फ़ंक्शन पर बाइनरी संचालन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
-: यू: [0,1] × [0,1] → [0,1]।
+: सभी x ∈ U के लिए: μA ∪ B(x) = u[μA(x), μB(x)]।
-: सभी के लिए x ∈ यू: μ<sub>''A'' ∪ ''B''</sub>(एक्स) = यू [एम<sub>A</sub>(एक्स), एम<sub>B</sub>(एक्स)]।
+=== फ़ज़ी संघ के लिए स्वयंसिद्ध ===
-=== फ़ज़ी यूनियन के लिए अभिगृहीत ===
+====== स्वयंसिद्ध u1. सीमारेखा की स्थिति ======
-अभिगृहीत u1. सीमारेखा की हालत
+: ''u''(''a'', 0) =''u''(0 ,''a'') = ''a''
-: यू (ए, 0) = यू (0, ए) = ए
-अभिगृहीत u2. दिष्टता
+====== स्वयंसिद्ध u2. दिष्टता ======
-: बी ≤ डी का अर्थ है यू (ए, बी) ≤ यू (ए, डी)
+: b ≤ d का अर्थ है u(a, b) ≤ u(a, d)
-स्वयंसिद्ध यू3. क्रमविनिमेयता
+====== स्वयंसिद्ध u3. क्रमविनिमेयता ======
-: यू (ए, बी) = यू (बी, ए)
+: ''u''(''a'', ''b'') = ''u''(''b'', ''a'')
-अभिगृहीत यू4. संबद्धता
+====== स्वयंसिद्ध u4. संबद्धता ======
-: यू (ए, यू (बी, डी)) = यू (यू (ए, बी), डी)
+: ''u''(''a'', ''u''(''b'', ''d'')) = ''u''(''u''(''a,'' b''),'' d'')''
-अभिगृहीत u5. निरंतरता
+====== स्वयंसिद्ध u5. निरंतरता ======
-: यू एक निरंतर कार्य है
+: u एक निरंतर फलन है
-अभिगृहीत u6. अतिशयोक्ति
+====== स्वयंसिद्ध u6. अतिशयोक्ति ======
-: यू (ए, ए)> ए सभी 0 <ए <1 के लिए
+: u(a, a) > a सभी 0 < a < 1 के लिए है
 ;स्वयंसिद्ध u7. सख्त एकरसता
-:ए<sub>1</sub> <ए<sub>2</sub> और बी<sub>1</sub> < ख<sub>2</sub> मतलब आप (ए<sub>1</sub>, बी<sub>1</sub>) <यू (ए<sub>2</sub>, बी<sub>2</sub>)
+:a1 <a2 और b1 <b2 का अर्थ है u(a1, b1) <u(a2, b2)
-अभिगृहीत u1 से u4 तक एक टी-कॉनर्म (उर्फ s-नॉर्म या फ़ज़ी यूनियन) को परिभाषित करते है। मानक t-conorm max ही एकमात्र idempotent t-conorm है (यानी u (a1, a1) = a सभी a ∈ [0,1] के लिए)।<ref name="GR2009-2010" />
+स्वयंसिद्ध u1 से u4 तक एक टी-कॉनर्म (एक एस-नॉर्म या फ़ज़ी संघ) को परिभाषित करते है। मानक टी-कॉनर्म ही एकमात्र आदर्श टी-कॉनर्म है (अर्थात u (a1, a1) = a सभी a ∈ [0,1] के लिए है)।<ref name="GR2009-2010" />
+== एकत्रीकरण संक्रिया ==
+फ़ज़ी समुच्चय पर एकत्रीकरण संक्रिया एसी संक्रिया है जिनके द्वारा एक फ़ज़ी समुच्चय बनाने के लिए कई फ़ज़ी समुच्चयों को वांछित विधि से जोड़ा जाता है।
-== एकत्रीकरण संचालन ==
+n फ़ज़ी समुच्चय (2 ≤ n) पर एकत्रीकरण संक्रिया एक फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है
-फ़ज़ी सेट पर एग्रीगेशन ऑपरेशंस ऐसे ऑपरेशंस है जिनके द्वारा एक फ़ज़ी सेट बनाने के लिए कई फ़ज़ी सेटों को वांछित तरीके से जोड़ा जाता है।
-n फ़ज़ी सेट (2 ≤ n) पर एकत्रीकरण संचालन एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है
+: ''h'':[0,1]<sup>''n''</sup> → [0,1]
-: एच: [0,1]<sup>एन</sup> → [0,1]
+===एकत्रीकरण संक्रिया फजी समुच्चय के लिए स्वयंसिद्ध ===
-===एग्रीगेशन ऑपरेशंस फजी सेट के लिए स्वयंसिद्ध ===
+====== स्वयंसिद्ध h1. सीमारेखा की स्थिति ======
-स्वयंसिद्ध h1। सीमारेखा की हालत
+: ''h''(0, 0, ..., 0) = 0 और ''h''(1, 1, ..., 1) = 1
-: एच (0, 0, ..., 0) = 0 और एच (1, 1, ..., 1) = एक
-स्वयंसिद्ध h2। दिष्टता
+====== स्वयंसिद्ध h2. दिष्टता ======
-: किसी भी जोड़ी के लिए <a<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub>> और <बी<sub>1</sub>, बी<sub>2</sub>, ..., बी<sub>''n''</sub>> एन-टुपल्स जैसे कि a<sub>''i''</sub>, बी<sub>''i''</sub> ∈ [0,1] सभी i ∈ N के लिए<sub>''n''</sub>, यदि एक<sub>''i''</sub> ≤ बी<sub>''i''</sub> सभी के लिए मैं ∈ एन<sub>''n''</sub>, फिर एच (ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ...,ए<sub>''n''</sub>) ≤ एच (बी<sub>1</sub>, बी<sub>2</sub>, ..., बी<sub>''n''</sub>); यानी, एच अपने सभी तर्कों में मोनोटोनिक बढ़ रहा है।
+:n-टुपल्स की किसी भी समरूप <a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>''n''</sub>> और <b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>''n''</sub>> के लिए जैसे कि a<sub>''i''</sub>, b<sub>''i''</sub> ∈ [0,1] सभी i ∈ N<sub>''n''</sub> के लिए, यदि a<sub>''i''</sub> ≤ b<sub>1</sub> सबके लिए i ∈ N<sub>''n''</sub>, फिर h(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...,a<sub>''n''</sub>) ≤ h(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>''n''</sub>), अर्थात, h अपने सभी तर्कों में दिष्टता बढ़ाता है।
-स्वयंसिद्ध h3। निरंतरता
+====== स्वयंसिद्ध h3. निरंतरता ======
-:h एक सतत कार्य है।
+:h एक सतत फलन है।
 == यह भी देखें ==
 * [[फजी लॉजिक]]
-* [[फजी सेट]]
+* [[फजी सेट|फजी समुच्चय]]
 * [[टी-मानदंड]]
-* [[टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम]]
+* [[टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम|टाइप -2 फ़ज़ी समुच्चय और सिस्टम]]
 * डी मॉर्गन बीजगणित
@@ Line 143: / Line 140: @@
 :* [https://web.archive.org/web/20071127005930/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965]
-{{Non-classical logic}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Collapse templates|Fuzzy Set Operations]]
-{{DEFAULTSORT:Fuzzy Set Operations}}[[Category: फजी लॉजिक]]
+[[Category:Created On 31/05/2023|Fuzzy Set Operations]]
+[[Category:Machine Translated Page|Fuzzy Set Operations]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Fuzzy Set Operations]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors|Fuzzy Set Operations]]
-[[Category:Created On 31/05/2023]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Fuzzy Set Operations]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Fuzzy Set Operations]]
+[[Category:Templates generating microformats|Fuzzy Set Operations]]

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