स्क्लेरोनॉमस: Difference between revisions

Latest revision as of 18:31, 15 June 2023

एक भौतिक प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है यदि बाधा (मौलिक यांत्रिकी) के समीकरणों में स्पष्ट चर (गणित) के रूप में समय नहीं होता है और बाधाओं के समीकरण को सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ऐसी बाधाओं को स्क्लेरोनोमिक बाधाएँ कहा जाता है। स्क्लेरोनॉमस का विपरीत रिओनॉमस होता है।

आवेदन

3-D अंतरिक्ष में, द्रव्यमान वाला एक कण $m\,\!$ , वेग $\mathbf {v} \,\!$ गतिज ऊर्जा $T\,\!$ होती है

T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!.

वेग समय $r\,\!$ के संबंध में स्थिति $t\,\!$ का व्युत्पन्न है। कई चरों के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें:

\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!.

जहाँ

q_{i}\,\!

सामान्यीकृत निर्देशांक हैं।

इसलिए,

T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!.

नियमों को ध्यान से पुनर्व्यवस्थित करना,^[1]

T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!:

T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!,

T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,

T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\,\!,

जहाँ $T_{0}\,\!$ , $T_{1}\,\!$ , $T_{2}\,\!$ सामान्यीकृत वेगों में क्रमशः डिग्री 0, 1 और 2 के सजातीय कार्य हैं। यदि यह प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है तो स्थिति समय के साथ स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करती है:

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!.

इसलिए केवल अवधि $T_{2}\,\!$ विलुप्त नहीं होता:

T=T_{2}\,\!.

काइनेटिक ऊर्जा सामान्यीकृत वेगों में डिग्री 2 का एक सजातीय कार्य है।

उदाहरण: पेंडुलम

एक साधारण पेंडुलम

जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है एक साधारण पेंडुलम एक भार और एक तार से बना एक प्रणाली है। स्ट्रिंग शीर्ष छोर पर एक धुरी से जुड़ी होती है और निचले सिरे पर एक भार से जुड़ी होती है। अवितान्य होने के कारण डोरी की लम्बाई नियत रहती है। इसलिए यह प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है; यह स्क्लेरोनोमिक बाधा का पालन करता है

{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!,

जहाँ $(x,y)\,\!$ वजन की स्थिति है और $L\,\!$ स्ट्रिंग की लंबाई है।

दोलनशील धुरी बिंदु के साथ एक साधारण पेंडुलम

एक और जटिल उदाहरण लें। दाईं ओर अगले चित्र को देखें, मान लें कि स्ट्रिंग का ऊपरी सिरा एक धुरी बिंदु से जुड़ा हुआ है जो एक साधारण हार्मोनिक गति से गुजर रहा है

x_{t}=x_{0}\cos \omega t\,\!,

जहां $x_{0}\,\!$ आयाम $\omega \,\!$ ! कोणीय आवृत्ति है और $t\,\!$ यह समय है।

यद्यपि डोरी का ऊपरी सिरा निश्चित नहीं है फिर भी इस अवितान्य डोरी की लंबाई स्थिर रहती है। शीर्ष सिरे और वजन के बीच की दूरी समान रहनी चाहिए। इसलिए यह प्रणाली लयबद्ध है क्योंकि यह समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर बाधाओं का पालन करती है

{\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!.

यह भी देखें

लैग्रैन्जियन यांत्रिकी
होलोनोमिक प्रणाली
नॉनहोलोनोमिक प्रणाली
रिओनॉमस
मास आव्यूह

संदर्भ

↑ Goldstein, Herbert (1980). शास्त्रीय यांत्रिकी (3rd ed.). United States of America: Addison Wesley. p. 25. ISBN 0-201-65702-3.

[Herb1980-1] Goldstein, Herbert (1980). शास्त्रीय यांत्रिकी (3rd ed.). United States of America: Addison Wesley. p. 25. ISBN 0-201-65702-3.

[1]

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 {{short description|Mechanical system whose constraints are independent of time}}
-एक भौतिक प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है यदि [[बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी)]] के समीकरणों में स्पष्ट [[चर (गणित)]] के रूप में समय नहीं होता है और बाधाओं के समीकरण को सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ऐसी बाधाओं को स्क्लेरोनोमिक बाधाएँ कहा जाता है। स्क्लेरोनॉमस का विपरीत रिओनॉमस होता है।
+एक भौतिक प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है यदि [[बाधा (शास्त्रीय यांत्रिकी)|बाधा (मौलिक यांत्रिकी)]] के समीकरणों में स्पष्ट [[चर (गणित)]] के रूप में समय नहीं होता है और बाधाओं के समीकरण को सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ऐसी बाधाओं को स्क्लेरोनोमिक बाधाएँ कहा जाता है। स्क्लेरोनॉमस का विपरीत रिओनॉमस होता है।
 == आवेदन ==
-{{main|Generalized velocity}}
+{{main|सामान्यीकृत वेग}}
--डी अंतरिक्ष में, द्रव्यमान वाला एक कण <math>m\,\!</math>, वेग <math>\mathbf{v}\,\!</math> [[गतिज ऊर्जा]] होती है <math>T\,\!</math>
+-D अंतरिक्ष में, द्रव्यमान वाला एक कण <math>m\,\!</math>, वेग <math>\mathbf{v}\,\!</math> [[गतिज ऊर्जा]] <math>T\,\!</math> होती है
 :<math>T =\frac{1}{2}m v^2 \,\!.</math>
-वेग स्थिति का व्युत्पन्न है <math> r\,\!</math> समय के संबंध में <math> t\,\!</math>. अनेक चरों के लिए श्रृंखला नियम#श्रृंखला नियम का उपयोग करें:
+वेग समय <math> r\,\!</math> के संबंध में स्थिति <math> t\,\!</math> का व्युत्पन्न है। कई चरों के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें:
 :<math>\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\,\!.</math>
-कहाँ <math> q_i\,\!</math> सामान्यीकृत निर्देशांक हैं#Holonomic_बाधाएं।
+:जहाँ <math> q_i\,\!</math> सामान्यीकृत निर्देशांक हैं।
 इसलिए,
 :<math>T =\frac{1}{2}m \left(\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!.</math>
-शर्तों को ध्यान से पुनर्व्यवस्थित करना,<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=शास्त्रीय यांत्रिकी|url=https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919|url-access=limited|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0-201-65702-3 | page=[https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919/page/n34 25]}}</ref>
+नियमों को ध्यान से पुनर्व्यवस्थित करना,<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=शास्त्रीय यांत्रिकी|url=https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919|url-access=limited|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0-201-65702-3 | page=[https://archive.org/details/classicalmechani00gold_919/page/n34 25]}}</ref>
 :<math>T =T_0+T_1+T_2\,\!:</math>
 :<math>T_0=\frac{1}{2}m\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\!,</math>
 :<math>T_1=\sum_i\ m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i\,\!,</math>
 :<math>T_2=\sum_{i,j}\ \frac{1}{2}m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\dot{q}_i\dot{q}_j\,\!,</math>
-कहाँ <math>T_0\,\!</math>, <math>T_1\,\!</math>, <math>T_2\,\!</math> सामान्यीकृत वेगों में क्रमशः डिग्री 0, 1 और 2 के सजातीय कार्य हैं। यदि यह प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है, तो स्थिति समय के साथ स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करती है:
+जहाँ <math>T_0\,\!</math>, <math>T_1\,\!</math>, <math>T_2\,\!</math> सामान्यीकृत वेगों में क्रमशः डिग्री 0, 1 और 2 के सजातीय कार्य हैं। यदि यह प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है तो स्थिति समय के साथ स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करती है:
 :<math>\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=0\,\!.</math>
-इसलिए, केवल अवधि <math>T_2\,\!</math> गायब नहीं होता:
+इसलिए केवल अवधि <math>T_2\,\!</math> विलुप्त नहीं होता:
 :<math>T = T_2\,\!.</math>
 काइनेटिक ऊर्जा सामान्यीकृत वेगों में डिग्री 2 का एक सजातीय कार्य है।
 == उदाहरण: पेंडुलम ==
-[[File:SimplePendulum01.svg|frame|right|एक साधारण पेंडुलम]]जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है, एक साधारण [[ लंगर ]] एक भार और एक तार से बना एक प्रणाली है। स्ट्रिंग शीर्ष छोर पर एक धुरी से जुड़ी होती है और निचले सिरे पर एक भार से जुड़ी होती है। अवितान्य होने के कारण डोरी की लम्बाई नियत रहती है। इसलिए, यह प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है; यह स्क्लेरोनोमिक बाधा का पालन करता है
+[[File:SimplePendulum01.svg|frame|right|एक साधारण पेंडुलम]]जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है एक साधारण [[ लंगर |पेंडुलम]] एक भार और एक तार से बना एक प्रणाली है। स्ट्रिंग शीर्ष छोर पर एक धुरी से जुड़ी होती है और निचले सिरे पर एक भार से जुड़ी होती है। अवितान्य होने के कारण डोरी की लम्बाई नियत रहती है। इसलिए यह प्रणाली स्क्लेरोनॉमस है; यह स्क्लेरोनोमिक बाधा का पालन करता है
 : <math> \sqrt{x^2+y^2} - L=0\,\!,</math>
-कहाँ <math>(x,y)\,\!</math> वजन की स्थिति है और <math>L\,\!</math> स्ट्रिंग की लंबाई है।
+जहाँ <math>(x,y)\,\!</math> वजन की स्थिति है और <math>L\,\!</math> स्ट्रिंग की लंबाई है।
 [[File:Pendulum02.JPG|frame|right|दोलनशील धुरी बिंदु के साथ एक साधारण पेंडुलम]]एक और जटिल उदाहरण लें। दाईं ओर अगले चित्र को देखें, मान लें कि स्ट्रिंग का ऊपरी सिरा एक धुरी बिंदु से जुड़ा हुआ है जो एक साधारण हार्मोनिक गति से गुजर रहा है
 :<math>x_t=x_0\cos\omega t\,\!,</math>
-कहाँ <math>x_0\,\!</math> आयाम है, <math>\omega\,\!</math> कोणीय आवृत्ति है, और <math>t\,\!</math> यह समय है।
+जहां <math>x_0\,\!</math> आयाम <math>\omega\,\!</math>! कोणीय आवृत्ति है और <math>t\,\!</math> यह समय है।
-यद्यपि डोरी का ऊपरी सिरा निश्चित नहीं है, फिर भी इस अवितान्य डोरी की लंबाई स्थिर रहती है। शीर्ष सिरे और वजन के बीच की दूरी समान रहनी चाहिए। इसलिए, यह प्रणाली लयबद्ध है क्योंकि यह समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर बाधाओं का पालन करती है
+यद्यपि डोरी का ऊपरी सिरा निश्चित नहीं है फिर भी इस अवितान्य डोरी की लंबाई स्थिर रहती है। शीर्ष सिरे और वजन के बीच की दूरी समान रहनी चाहिए। इसलिए यह प्रणाली लयबद्ध है क्योंकि यह समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर बाधाओं का पालन करती है
 :<math> \sqrt{(x - x_0\cos\omega t)^2+y^2} - L=0\,\!.</math>
+== यह भी देखें           ==
-== यह भी देखें ==
 * लैग्रैन्जियन यांत्रिकी
-* [[होलोनोमिक सिस्टम]]
+* [[होलोनोमिक सिस्टम|होलोनोमिक प्रणाली]]
-* [[नॉनहोलोनोमिक सिस्टम]]
+* [[नॉनहोलोनोमिक सिस्टम|नॉनहोलोनोमिक प्रणाली]]
 *रिओनॉमस
-* [[मास मैट्रिक्स]]
+* [[मास मैट्रिक्स|मास आव्यूह]]
 == संदर्भ ==
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