चिरसम्मत समूह: Difference between revisions

Latest revision as of 15:21, 13 June 2023

गणित में चिरसम्मत समूहों को वास्तविक $R$ पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है परिसर संख्या $C$ और चतुष्कोण $H$ एक साथ सममित या तिरछा-सममित द्विरेखीय रूपों के विशेष ऑटोमोर्फिज़्म समूहों और वास्तविक पर परिभाषित हर्मिटियन या तिरछा-हर्मिटियन सेस्क्विलिनियर रूपों के साथ परिसर और चतुष्कोणीय परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान इनमें से परिसर चिरसम्मत लाई समूह लाई समूहों के चार अनंत वर्ग हैं जो असाधारण समूहों के साथ सरल लाई समूहों के वर्गीकरण को समाप्त करते हैं। कॉम्पैक्ट चिरसम्मत समूह परिसर चिरसम्मत समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। चिरसम्मत समूहों के परिमित अनुरूप लाई प्रकार के चिरसम्मत समूह हैं। "चिरसम्मत समूह" शब्द हरमन वेइल द्वारा गढ़ा गया था^[1] यह उनके 1939 के मोनोग्राफ चिरसम्मत समूहों का शीर्षक था।^[2]^[3]

चिरसम्मत समूह रेखीय लाई समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी भाग हैं।^[4] अधिकांश प्रकार के चिरसम्मत समूह चिरसम्मत और आधुनिक भौतिकी में आवेदन पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं। घूर्णन समूह $SO(3)$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष और भौतिकी के सभी मूलभूत नियमों की एक समरूपता है, लोरेंत्ज़ समूह $O(3,1)$ विशेष सापेक्षता के दिक्-काल का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह $SU(3)$ क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह है और सहानुभूतिपूर्ण समूह $Sp(m)$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिक संस्करणों में अनुप्रयोग पाता है।

चिरसम्मत समूह

चिरसम्मत समूह $R, C$ और $H$ पर पूर्ण रूप से सामान्य रैखिक समूह हैं साथ ही नीचे चर्चा की गई गैर-पतित रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूह भी हैं।^[5] ये समूह सामान्यतः अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक सीमित होते हैं जिनके तत्वों का निर्धारक 1 होता है जिससे उनके केंद्र असतत हों निर्धारक 1 नियम के साथ चिरसम्मत समूह नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। अगली कड़ी में अधिकत्तम व्यापकता के हित में निर्धारक 1 स्थिति का निरन्तर उपयोग नहीं किया जाता है।

नाम	समूह	क्षेत्र	स्वरुप	अधिकत्तम से अधिक्तम कॉम्पैक्ट उपसमूह	झूठ बीजगणित	मूल प्रक्रिया
विशेष रैखिक	[[Special linear group\| $SL(n, R)$ ]]	$R$	—	$SO(n)$
परिसर विशेष रैखिक	[[Special linear group\| $SL(n, C)$ ]]	$C$	—	[[SU(n)\| $SU (n)$ ]]	परिसर	[[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems\| $A m$ , $n = m + 1$ ]]
क्वाटरनियोनिक विशेष रैखिक	$SL(n, H) =$ $SU * (2 n)$	$H$	—	$Sp(n)$
(अनिश्चितकालीन) विशेष ऑर्थोगोनल	[[Indefinite orthogonal group\| $SO(p, q)$ ]]	$R$	सममित	$S(O(p) \times O(q))$
परिसर विशेष ऑर्थोगोनल	[[Special orthogonal group\| $SO(n, C)$ ]]	$C$	सममित	[[SO(n)\| $SO (n)$ ]]	परिसर	$\color {Blue}{\begin{cases}B_{m},&n=2m+1\\D_{m},&n=2m\end{cases}}$
सहानुभूतिपूर्ण	[[Symplectic group\| $Sp(n, R)$ ]]	$R$	तिरछा-सममित	$U(n)$
परिसर सहानुभूति	[[Symplectic group\| $Sp(n, C)$ ]]	$C$	तिरछा-सममित	[[Sp(n)\| $Sp (n)$ ]]	परिसर	[[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems\| $C m$ , $n = 2 m$ ]]
(अनिश्चित) विशेष एकात्मक	[[Special unitary group\| $SU(p, q)$ ]]	$C$	हर्मिटियन	$S(U(p) \times U(q))$
(अनिश्चितकालीन) चतुर्धातुक एकात्मक	$Sp(p, q)$	$H$	हर्मिटियन	$Sp(p) \times Sp(q)$
क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल	$SO * (2 n)$	$H$	तिरछा-हर्मिटियन	$SO(2 n)$

परिसर चिरसम्मत समूह $SL(n, C)$ , $SO(n, C)$ और $Sp(n, C)$ . हैं। एक समूह इस आधार से परिसर होता है कि क्या इसका लाई बीजगणित परिसर है। वास्तविक चिरसम्मत समूह सभी चिरसम्मत समूहों को संदर्भित करता है क्योंकि कोई भी बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। कॉम्पैक्ट चिरसम्मत समूह परिसर चिरसम्मत समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। ये बदले में, $SU(n)$ $SO(n)$ और $Sp(n)$ हैं। कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का एक लक्षण लाई बीजगणित $g$ के संदर्भ में है। यदि $g = u + i u$ , $u$ का जटिलीकरण, और यदि ${exp(X): X \in u$ द्वारा उत्पन्न जुड़ा समूह $K$ संहत है, तो $K$ एक सघन वास्तविक रूप है।^[6]

चिरसम्मत समूहों को समान रूप से वास्तविक रूप का उपयोग करके एक अलग विधि से चित्रित किया जा सकता है। चिरसम्मत समूह (यहां निर्धारक 1 स्थिति के साथ किंतु यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैं:

परिसर रेखीय बीजगणितीय समूह

SL(n, C), SO(n, C)

, और

Sp(n, C)

उनके वास्तविक रूपों के साथ।^[7]

उदाहरण के लिए, $SO * (2 n)$ $SO(2 n, C)$ का वास्तविक रूप है, $SU(p, q)$ $SL(n, C)$ का वास्तविक रूप है, और $SL(n, H)$ इसका वास्तविक रूप है $SL(2 n, C)$ निर्धारक 1 स्थिति के बिना विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों के साथ बदलें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह झूठसमूह हैं, किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है। समूह हैं किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है।

बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर फॉर्म

चिरसम्मत समूहों को $R n$ , $C n$ , और $H n$ पर परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जहां $R$ और $C$ वास्तविक और परिसर संख्याओं के क्षेत्र हैं। चतुष्कोण $H$ एक क्षेत्र का गठन नहीं करते हैं क्योंकि गुणन नहीं होता है; वे एक विभाजन वलय या तिरछा क्षेत्र या गैर-विनिमेय क्षेत्र बनाते हैं। चूँकि , आव्यूह क्वाटरनियोनिक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, सदिश समष्टि $V$ को नीचे $R$ , $C$ और साथ ही $H$ के ऊपर परिभाषित करने की अनुमति है। $H$ के स्थिति में, $V$ एक सही सदिश स्थान है, जो कि $R$ और $C$ के लिए बाईं ओर से आव्यूह गुणन के रूप में समूह क्रिया के प्रतिनिधित्व को संभव बनाता है।^[8]

$F = R, C$ या $H$ पर कुछ परिमित-आयामी सही सदिश स्थान पर एक रूप $φ : V \times V \to F$ द्विरेखीय है यदि

\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.

और यदि

\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.

इसे अर्ध-बिलिनियर रूप कहा जाता है यदि

\varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.

और यदि

\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.

इन सम्मेलनों को चुना जाता है क्योंकि वे सभी स्थिति में काम करते हैं। $φ$ का एक ऑटोमोर्फिज्म $V$ पर रैखिक ऑपरेटरों के सेट में एक नक्शा $Α$ है जैसे कि

\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V.

(1)

φ के सभी ऑटोमोर्फिज़्म का सेट एक समूह बनाता है, इसे φ का ऑटोमोर्फिज़्म समूह कहा जाता है, जिसे ऑट (φ) कहा जाता है। यह चिरसम्मत समूह की प्रारंभिक परिभाषा की ओर जाता है:

चिरसम्मत समूह एक ऐसा समूह है जो R, C और H पर परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान पर बिलिनियर या सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है।

इस परिभाषा में कुछ अतिरेक है। $F = R$ के स्थिति में बिलिनियर सेस्क्विलिनियर के समान है। $F = H$ के स्थिति में गैर-शून्य बिलिनियर रूप नहीं हैं।^[9]

सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूप

एक फॉर्म सममित है यदि

\varphi (x,y)=\varphi (y,x).

यह तिरछा-सममित है यदि

\varphi (x,y)=-\varphi (y,x).

यह हर्मिटियन है यदि

\varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}

अंत में, यह तिरछा-हर्मिटियन है यदि

\varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.

एक द्विरेखीय रूप $φ$ विशिष्ट रूप से सममित रूप और तिरछा-सममित रूप का योग है। एक परिवर्तन संरक्षण $φ$ दोनों भागों को अलग-अलग सुरक्षित रखता है। इस प्रकार सममित और तिरछा-सममित रूपों को संरक्षित करने वाले समूहों का अलग-अलग अध्ययन किया जा सकता है। वही प्रयुक्त होता है, यथोचित परिवर्तनों सहित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूपों पर। इस कारण से वर्गीकरण के प्रयोजनों के लिए, केवल विशुद्ध रूप से सममित तिरछा-सममित, हर्मिटियन, या तिरछा-हर्मिटियन रूपों पर विचार किया जाता है। रूपों के सामान्य रूप आधारों के विशिष्ट उपयुक्त विकल्पों के अनुरूप होते हैं। ये निर्देशांक में निम्नलिखित सामान्य रूप देने वाले आधार हैं:

\begin{aligned} Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis: φ (x, y) = & \pm ξ_{1} η_{1} \pm ξ_{2} η_{2} \pm \dots \pm ξ_{n} η_{n}, & (R) \\ Bilinear symmetric form in orthonormal basis: φ (x, y) = & ξ_{1} η_{1} + ξ_{2} η_{2} + \dots + ξ_{n} η_{n}, & (C) \\ Bilinear skew-symmetric in symplectic basis: φ (x, y) = & ξ_{1} η_{m + 1} + ξ_{2} η_{m + 2} + \dots + ξ_{m} η_{2 m = n} \\ - ξ_{m + 1} η_{1} - ξ_{m + 2} η_{2} - \dots - ξ_{2 m = n} η_{m}, & (R, C) \\ Sesquilinear Hermitian: φ (x, y) = & \pm \bar{ξ_{1}} η_{1} \pm \bar{ξ_{2}} η_{2} \pm \dots \pm \bar{ξ_{n}} η_{n}, & (C, H) \\ Sesquilinear skew-Hermitian: φ (x, y) = & \bar{ξ_{1}} j η_{1} + \end{aligned}

तिरछा-हर्मिटियन रूप में  $j$  ,  $H$  के लिए आधार  $(1, i, j, k)$  में तीसरा आधार तत्व है। इन आधारों के अस्तित्व का प्रमाण और सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम प्लस- और की संख्या की स्वतंत्रता माइनस-साइन,  $p$  और  $q$ , सममित और हर्मिटियन रूपों में साथ ही साथ प्रत्येक अभिव्यक्ति में क्षेत्रों की उपस्थिति या अनुपस्थिति रॉसमैन (2002) या गुडमैन एंड वैलाच (2009) में पाई जा सकती है। जोड़ी  $(p, q)$ , और कभी-कभी  $p - q$ , को प्रपत्र का हस्ताक्षर कहा जाता है।

क्षेत्र

R, C, H

की घटना की व्याख्या:

H

के ऊपर कोई गैर-तुच्छ द्विरेखीय रूप नहीं हैं। सममित द्विरेखीय स्थिति में केवल

R

के ऊपर के रूपों पर हस्ताक्षर होते हैं। दूसरे शब्दों में, "हस्ताक्षर" (

(p, q)

) के साथ एक परिसर द्विरेखीय रूप आधार के परिवर्तन से, एक ऐसे रूप में कम किया जा सकता है जहां उपरोक्त अभिव्यक्ति में सभी चिह्न "+" हैं, जबकि वास्तविक स्थिति में यह असंभव है , जिसमें

p - q

इस रूप में रखे जाने पर आधार से स्वतंत्र होता है। चूँकि हर्मिटियन रूपों में परिसर और चतुष्कोणीय स्थिति दोनों में आधार-स्वतंत्र हस्ताक्षर हैं। (वास्तविक स्थिति सममित स्थिति में कम हो जाता है।) एक परिसर सदिश स्थान पर एक तिरछा-हर्मिटियन रूप

i

द्वारा गुणा करके हर्मिटियन प्रदान किया जाता है इसलिए इस स्थिति में केवल

H

रौचक है।

ऑटोमोर्फिज्म समूह

प्रथम खंड सामान्य रूपरेखा प्रस्तुत करता है। अन्य खंड गुणात्मक रूप से अलग-अलग स्थिति को समाप्त करते हैं जो

R

,

C

और

H

. पर परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान पर बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर रूपों के ऑटोमोर्फिज़्म समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं।

ऑट (φ) - ऑटोमोर्फिज्म समूह

मान लें कि

R, C

या

H

पर परिमित-आयामी सदिश स्थान

V

पर

φ

एक गैर-पतित रूप है। स्थिति (1) के आधार पर ऑटोमोर्फिज़्म समूह को परिभाषित किया गया है, जैसा कि

\mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.

प्रत्येक

A \in M n (V)

में

φ

द्वारा परिभाषित एक संलग्न

A φ

होता है

\varphi (Ax,y)=\varphi (x,A^{\varphi }y),\qquad x,y\in V.

(2)

स्थिति में इस परिभाषा का उपयोग करना (1), ऑटोमोर्फिज्म समूह द्वारा दिया गया देखा जाता है

\operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):A^{\varphi }A=1\}.

^[10]

(3)

$V$ के लिए एक आधार तय करें। इस आधार के संदर्भ में

\varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}

जहां $ξ i, η j$ $x, y$ के घटक हैं। यह बिलिनियर रूपों के लिए उपयुक्त है। सेस्क्विलिनियर रूपों में समान भाव होते हैं और बाद में अलग से व्यवहार किया जाता है। आव्यूह नोटेशन में कोई पाता है

\varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y

और

A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi

^[11]

(4)

(2) से जहां $Φ$ आव्यूह $(φ ij)$ है। गैर-अपकर्ष स्थिति का ठीक-ठीक अर्थ है कि $Φ$ व्युत्क्रमणीय है इसलिए संलग्न सदैव उपस्थित रहता है। $Aut(φ)$ इसके साथ व्यक्त हो जाता है

\operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.

ऑटोमोर्फिज्म समूहों के लाई बीजगणित ऑट (φ) को तुरंत लिखा जा सकता है। संक्षेप में, $X \in aut (φ)$ यदि और केवल यदि

(e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1

सभी के लिए $t$ , में स्थिति के अनुरूप (3) लाई बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) के तहत, जिससे

{\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},

या एक आधार में

{\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{\mathrm {T} }\Phi =-X\right\}

(5)

जैसा कि एक्सपोनेंशियल मैपिंग की शक्ति श्रृंखला विस्तार और सम्मिलित संचालन की रैखिकता का उपयोग करके देखा जाता है। विलोमतः, मान लीजिए कि $X \in aut (φ)$ फिर, उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए, $φ (Xx, y) = φ(x, X φ y) = -φ(x, Xy)$ इस प्रकार लाई बीजगणित को बिना किसी आधार, या आसन्न के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है

{\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.

नीचे प्रत्येक चिरसम्मत समूह के लिए $φ$ का सामान्य रूप दिया जाएगा। उस सामान्य रूप से आव्यूह Φ को सीधे पढ़ा जा सकता है। परिणाम स्वरुप सूत्र (4) और (5) का उपयोग करके आसन्न और लाई बीजगणित के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है। यह अधिकांश गैर-तुच्छ स्थिति में नीचे प्रदर्शित किया गया है।

बिलिनियर केस

जब रूप सममित होता है, तो $Aut(φ)$ को $O(φ)$ कहा जाता है। जब यह तिरछा-सममित होता है तो $Aut(φ)$ को $Sp(φ)$ कहा जाता है। यह वास्तविक और परिसर स्थितियों पर प्रयुक्त होता है। क्वाटरनियोनिक केस खाली है क्योंकि क्वाटरनियोनिक सदिश रिक्त स्थान पर कोई शून्येतर बिलिनियर फॉर्म उपस्थित नहीं है।^[12]

असली स्थिति

वास्तविक स्थिति दो स्थिति में विभाजित होता है, सममित और विषम रूप जिन्हें अलग-अलग व्यवहार किया जाना चाहिए।

O(p, q) और O(n) - ऑर्थोगोनल समूह

यदि $φ$ सममित है और सदिश स्थान वास्तविक है, एक आधार चुना जा सकता है जिससे

\varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.

प्लस और माइनस-साइन की संख्या विशेष आधार से स्वतंत्र है।^[13] स्थिति में $V = R n$ , $O(φ) = O(p, q)$ लिखता है जहां $p$ प्लस संकेतों की संख्या है और $q$ ऋण-चिह्नों की संख्या है, $p + q = n$ यदि $q = 0$ संकेतन $O(n)$ है। इस स्थिति में आव्यूह $Φ$ है

\Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}

यदि आवश्यक हो तो आधार को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद आसन्न ऑपरेशन (4) तो बन जाता है

A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),

जो $p$ या $q$ के 0 होने पर सामान्य स्थानान्तरण को कम कर देता है। लाई बीजगणित समीकरण (5) और एक उपयुक्त अन्सत्ज़ का उपयोग करके पाया जाता है (यह नीचे $Sp(m, R)$ के स्थिति के लिए विस्तृत है)

{\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},

और समूह के अनुसार (3) द्वारा दिया गया है

\mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.

समूह $O(p, q)$ और $O(q, p)$ मानचित्र के माध्यम से आइसोमॉर्फिक हैं

\mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].

उदाहरण के लिए, लोरेंत्ज़ समूह के लाई बीजगणित को इस रूप में लिखा जा सकता है

{\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.

स्वाभाविक रूप से, पुनर्व्यवस्थित करना संभव है जिससे $q$ -ब्लॉक ऊपरी बाएँ (या कोई अन्य ब्लॉक) है। यहां समय घटक एक भौतिक व्याख्या में चौथे समन्वय के रूप में समाप्त होता है, न कि पहले जैसा कि अधिक्तम सामान्य हो सकता है।

Sp(m, R) - वास्तविक सहानुभूतिपूर्ण समूह

यदि $φ$ तिरछा-सममित है और सदिश स्थान वास्तविक है, एक आधार दे रहा है

\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},

जहाँ $n = 2 m$ . के लिए $Aut(φ)$ कोई लिखता है $Sp(φ) = Sp(V)$ यदि $V = R n = R 2 m$ कोई लिखता है $Sp(m, R)$ या $Sp(2 m, R)$ . सामान्य रूप से कोई पढ़ता है

\Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.

दृष्टिकोण बनाकर

V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),

जहाँ $X, Y, Z, W$ हैं $m$ -आयामी आव्यूह और विचार (5),

\left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)

$Sp(m, R)$ का लाई बीजगणित मिलता है,

{\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},

और समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.

परिसर स्थिति

वास्तविक स्थिति की तरह, दो स्थिति हैं सममित और एंटीसिमेट्रिक स्थिति है कि प्रत्येक चिरसम्मत समूहों के एक वर्ग का उत्पादन करता है।

हे (एन, सी) - परिसर ओर्थोगोनल समूह

यदि स्थिति $φ$ सममित है और सदिश स्थान परिसर है एक आधार है

\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}

केवल प्लस-साइन के साथ ही उपयोग किया जा सकता है। ऑटोमोर्फिज्म समूह $V = C n$ के स्थिति में है जिसे $O(n, C)$ कहा जाता है। असत्य बीजगणित बस उसी का एक विशेष स्थिति $o (p, q)$ के लिए है,

{\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},

और समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.

सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के संदर्भ में, $so (n)$ को दो वर्गों में विभाजित किया जाता है, रूट प्रणाली $B n$ के साथ $n$ विषम और रूट प्रणाली $D n$ के साथ $n$ भी है ।

Sp(m, C) - परिसर सहानुभूतिपूर्ण समूह

के लिए $φ$ तिरछा-सममित और सदिश अंतरिक्ष परिसर, एक ही सूत्र,

\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},

वास्तविक स्थिति की तरह प्रयुक्त होता है। $Aut(φ)$ के लिए हम $Sp(φ) = Sp(V)$ लिखते हैं। स्थिति में $V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}$ कोई व्यक्ति $\mathbb {C}$ या $\mathbb {C}$ लिखता है ). लाई बीजगणित $\mathbb {R}$ के समानांतर है,

{\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},

और समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.

सेस्क्विलिनियर केस

सेस्क्विलिनियर स्थिति में, एक आधार के रूप में फॉर्म के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण बनाता है,

\varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.

संशोधित होने वाले अन्य भाव हैं

\varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,

^[14]

\operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},

{\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{*}\Phi =-X\}.

(6)

वास्तविक स्थिति निश्चित रूप से, कुछ भी नया नहीं देता है। परिसर और चतुर्धातुक स्थिति पर नीचे विचार किया जाएगा।

परिसर स्थिति

गुणात्मक दृष्टिकोण से, तिरछा-हर्मिटियन रूपों (समरूपता तक) पर विचार कोई नया समूह प्रदान नहीं करता है; $i$ द्वारा गुणा करने से एक तिरछा-हर्मिटियन रूप हर्मिटियन बनता है, और इसके विपरीत इस प्रकार केवल हर्मिटियन स्थिति पर विचार करने की आवश्यकता है।

यू (पी, क्यू) और यू (एन) - एकात्मक समूह

एक गैर-पतित हेर्मिटियन रूप का सामान्य रूप है

\varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.

बिलिनियर मामले में, हस्ताक्षर (p, q) आधार से स्वतंत्र है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को $U(V)$ , या, $V = C n$ , $V = C n$ के मामले में निरूपित किया जाता है। यदि $q = 0$ अंकन $U(n)$ है। इस स्थिति में, $Φ$ रूप लेता है

\Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},

और लाई बीजगणित द्वारा दिया गया है

{\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.

समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.

जहाँ g एक सामान्य n x n परिसर आव्यूह है और

g^{*}

को g के संयुग्मी स्थानांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे भौतिक विज्ञानी

g^{\dagger }

कहते हैं।

तुलना के रूप में, एक एकात्मक आव्यूह U(n) को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.$

हमने ध्यान दिया कि $\mathrm {U} (n)$ वैसा ही है जैसा कि $\mathrm {U} (n,0)$

चतुर्धातुक स्थिति

अंतरिक्ष $H n$ को एक सही सदिश स्थान के रूप में माना जाता है $H$ . इस तरह, $A (vh) = (Av) h$ चतुष्कोण के लिए $h$ , एक चतुष्कोणीय स्तंभ सदिश $v$ और चतुष्कोणीय आव्यूह $A$ . यदि $H n$ बायाँ सदिश स्थान था $H$ , तो रैखिकता बनाए रखने के लिए दाईं ओर से पंक्ति सदिशों पर आव्यूह गुणन की आवश्यकता होगी। जब एक आधार दिया जाता है, जो स्तम्भ सदिश पर बाईं ओर से आव्यूह गुणन होता है, तो यह एक सदिश स्थान पर एक समूह के सामान्य रैखिक संचालन के अनुरूप नहीं होता है। इस प्रकार $V$ इसके बाद एक सही सदिश समष्टि है $H$ . फिर भी, गैर-विनिमेय प्रकृति के कारण सावधानी बरतनी चाहिए $H$ . (अधिकत्तर स्पष्ट) विवरण छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि परिसर अभ्यावेदन का उपयोग किया जाएगा।

चतुष्कोणीय समूहों के साथ व्यवहार करते समय परिसर 2×2-आव्यूह का उपयोग करके चतुष्कोणों का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है,

q=a\mathrm {1} +b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=Q,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} .

^[15]

(7)

इस प्रतिनिधित्व के साथ चतुष्कोणीय गुणन आव्यूह गुणन बन जाता है और चतुष्कोणीय संयुग्मन हर्मिटियन आसन्न बन जाता है। इसके अतिरिक्त एक चतुर्धातुक परिसर एन्कोडिंग के अनुसार $q = x + j y$ स्तम्भ सदिश के रूप में दिया गया है $(x, y) T$ , फिर बायीं ओर से क्वाटरनियन के आव्यूह प्रतिनिधित्व द्वारा गुणा करने से सही क्वाटरनियन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक नया स्तम्भ सदिश उत्पन्न होता है। यह प्रतिनिधित्व चतुष्कोणीय लेख में पाए जाने वाले अधिक्तम सामान्य प्रतिनिधित्व से थोड़ा अलग है। अधिकत्तम सामान्य सम्मेलन एक ही चीज़ को प्राप्त करने के लिए पंक्ति आव्यूह पर दाईं ओर से गुणन को बाध्य करेगा।

संयोग से, उपरोक्त प्रतिनिधित्व यह स्पष्ट करता है कि इकाई चतुष्कोणों का समूह ( $α α + β β = 1 = det Q$ ) $SU(2)$ समरूप है .

क्वाटरनियोनिक $n \times n$ -आव्यूह, स्पष्ट विस्तार द्वारा परिसर संख्याओं के $2 n \times2 n$ ब्लॉक-आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।^[16] यदि कोई उपरोक्त एन्कोडिंग के अनुसार परिसर संख्याओं के साथ 2n×1 स्तम्भ सदिश द्वारा क्वाटरनियोनिक n×1 स्तम्भ सदिश का प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत है, ऊपरी $n$ संख्या $α i$ और निचला $n$ $β i$ है, तो एक क्वाटरनियोनिक $n \times n$ -आव्यूह ऊपर दिए गए फॉर्म का एक परिसर $2 n \times2 n$ आव्यूह बन जाता है किंतु अब α और β $n \times n$ -आव्यूह के साथ। अधिकत्तम औपचारिक रूप से है

\left(Q\right)_{n\times n}=\left(X\right)_{n\times n}+\mathrm {j} \left(Y\right)_{n\times n}\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\bar {Y}}\\Y&{\bar {X}}\end{matrix}}\right)_{2n\times 2n}.

(8)

एक आव्यूह $T \in GL(2 n, C)$ में (8) प्रपत्र प्रदर्शित किया गया है यदि और केवल यदि $J n T = TJ n$ . इन पहचानों से,

\mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.

स्थान $M n (H) \subset M 2 n (C)$ एक वास्तविक बीजगणित है, किंतु यह $M 2 n (C)$ की परिसर उपसमष्टि नहीं है। $M n (H)$ में $i$ द्वारा प्रवेश-वार क्वाटरनियोनिक गुणन का उपयोग करके (बाएं से) गुणा करना और फिर $M 2 n (C)$ में छवि के लिए मानचित्रण करना सीधे $M 2 n (C)$ में $i$ द्वारा प्रवेश-वार गुणा करने की तुलना में एक अलग परिणाम देता है। चतुष्कोणीय गुणन नियम $i (X + j Y) = (i X) + j (- i Y)$ ) देते हैं जहां नए $X$ और $Y$ कोष्ठक के अंदर हैं।

क्वाटरनियोनिक सदिशों पर क्वाटरनियोनिक आव्यूहों की कार्रवाई अब परिसर मात्राओं द्वारा दर्शायी जाती है, किंतु अन्यथा यह "साधारण" आव्यूहों और सदिशों के समान है। क्वाटरनियोनिक समूह इस प्रकार $M 2 n (C)$ में सन्निहित हैं जहाँ $n$ क्वाटरनियोनिक आव्यूह का आयाम है।

क्वाटरनियोनिक आव्यूह के निर्धारक को इस प्रतिनिधित्व में इसके प्रतिनिधि आव्यूह के सामान्य परिसर निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है। क्वाटरनियोनिक गुणन की गैर-कम्यूटेटिव प्रकृति मेट्रिसेस के क्वाटरनियोनिक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट होगी। जिस तरह से $M n (H)$ $M 2 n (C)$ में एम्बेड किया गया है वह अद्वितीय नहीं है, किंतु ऐसे सभी एम्बेडिंग $g \mapsto AgA -1, g \in GL(2 n, C)$ के माध्यम से संबंधित हैं $A \in O(2 n, C)$ के लिए, छोड़कर निर्धारक अप्रभावित।^[17] इस परिसर आड़ में $SL(n, H)$ का नाम $SU * (2 n)$ है।

$C$ के स्थिति में विरोध के रूप में, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन दोनों स्थिति $H$ पर विचार करते समय कुछ नया लाते हैं, इसलिए इन स्थिति को अलग से माना जाता है।

GL(n, H) और SL(n, H)

उपरोक्त पहचान के तहत,

\mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).

इसका लाई बीजगणित $gl (n, H)$ उपरोक्त के मानचित्रण M_n(H) ↔ M_2n(C) की छवि में सभी आव्यूह का सेट है,

{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).

क्वाटरनियोनिक विशेष रैखिक समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),

जहां $C 2 n$ में आव्यूह पर निर्धारक लिया जाता है। वैकल्पिक रूप से, इसे डाइयूडोने निर्धारक $\mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}$ के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। लाई बीजगणित है

{\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).

Sp(p, q) - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह

जैसा कि ऊपर परिसर स्थिति में, सामान्य रूप है

\varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}

और प्लस-साइन की संख्या आधार से स्वतंत्र है। जब इस रूप में $V = H n$ , $Sp(φ) = Sp(p, q)$ . संकेतन का कारण यह है कि उपरोक्त नुस्खा का उपयोग करते हुए समूह का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, $Sp(n, C)$ के एक उपसमूह के रूप में हस्ताक्षर के एक परिसर-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करते हुए $(2 p, 2 q)$ यदि $p$ या $q = 0$ समूह को $U(n, H)$ दर्शाया गया है। इसे कभी-कभी अतिसक्रिय समूह कहा जाता है।^[18]

चतुर्धातुक संकेतन में,

\Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}

जिसका अर्थ है कि फॉर्म के क्वाटरनियोनिक आव्यूह

{\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\mathcal {X}}_{p\times p}&{\mathcal {Z}}_{p\times q}\\{\mathcal {Z}}^{*}&{\mathcal {Y}}_{q\times q}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {X}}^{*}=-{\mathcal {X}},\quad {\mathcal {Y}}^{*}=-{\mathcal {Y}}

(9)

संतुष्ट करेगा

\Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},

$u (p, q)$ के बारे में अनुभाग देखें। क्वाटरनियोनिक आव्यूह गुणन से निपटने के समय सावधानी बरतने की जरूरत है, किंतु यहां केवल $I$ और $- I$ ही सम्मिलित हैं और ये प्रत्येक क्वाटरनियन आव्यूह के साथ आवागमन करते हैं। अब नुस्खे (8) को प्रत्येक ब्लॉक पर प्रयुक्त करें,

{\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},

और संबंधों में (9) संतुष्ट हो जाएगा यदि

X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.

लाई बीजगणित बन जाता है

{\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.

समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.

$Sp(p, q)$ के लिए $φ (w, z)$ के सामान्य रूप पर लौटते हुए, $w \to u + jv$ और $z \to x + jy$ को $u, v, x, y \in C n$ से प्रतिस्थापित करें। तब

\varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)

$C 2 n$ पर $H$ -वैल्यू फॉर्म के रूप में देखा जाता है।^[19] इस प्रकार $Sp(p, q)$ के तत्व, $C 2 n$ के रैखिक परिवर्तनों के रूप में देखे जाते हैं हस्ताक्षर के हर्मिटियन रूप $(2 p, 2 q)$ और एक गैर-पतित तिरछा-सममित रूप दोनों को संरक्षित करते हैं। दोनों रूप विशुद्ध रूप से परिसर मान लेते हैं और दूसरे रूप के $j$ के पूर्ववर्ती होने के कारण वे अलग-अलग संरक्षित होते हैं। इस का अर्थ है कि

\mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)

और यह समूह के नाम और अंकन दोनों की व्याख्या करता है।

O^∗(2n) = O(n, H)- क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल समूह

तिरछा-हर्मिटियन रूप के लिए सामान्य रूप किसके द्वारा दिया जाता है

\varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},

जहाँ $j$ क्रमित सूची $(1, i, j, k)$ में तीसरा आधार चतुर्धातुक है। इस स्थिति में, $Aut(φ) = O * (2 n)$ को $O(2 n, C)$ के एक उपसमूह के रूप में ऊपर के परिसर आव्यूह एन्कोडिंग का उपयोग करके अनुभव किया जा सकता है जो हस्ताक्षर के एक गैर-पतित परिसर तिरछा-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है $(n, n)$ ^[20] सामान्य रूप से कोई देखता है कि चतुष्कोणीय संकेतन में

\Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}

और से (6) उसका अनुसरण करता है

-\Phi V^{*}\Phi =-V\Leftrightarrow V^{*}=\mathrm {j} _{n}V\mathrm {j} _{n}.

(9)

$V \in o (2 n)$ के लिए अब डालो

V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)

नुस्खे के अनुसार (8) $Φ$ के लिए एक ही नुस्खे की उपज होती है,

\Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.

अब अंतिम नियम में (9) परिसर संकेतन में पढ़ता है

\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.

लाई बीजगणित बन जाता है

{\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},

और समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.

समूह $SO * (2 n)$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है

\mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},

^[21]

जहाँ मानचित्र $θ : GL(2 n, C) \to GL(2 n, C)$ को $g \mapsto - J 2 n gJ 2 n$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

साथ ही, समूह का निर्धारण करने वाले फॉर्म को $C 2 n$ पर $H$ -मूल्यवान रूप के रूप में देखा जा सकता है।^[22] फॉर्म के व्यंजक में $x \to w 1 + iw 2$ और $y \to z 1 + iz 2$ को प्रतिस्थापित करें तब

\varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).

फॉर्म

φ 1

हस्ताक्षर

(n, n)

का हर्मिटियन है (जबकि बाईं ओर का पहला फॉर्म तिरछा-हर्मिटियन है)। हस्ताक्षर को

(e, f)

से

((e + i f)/ \sqrt 2, (e - i f)/ \sqrt 2)

के आधार में परिवर्तन से स्पष्ट किया जाता है, जहां

e, f

क्रमशः पहले और अंतिम

n

आधार सदिश हैं। दूसरा रूप,

φ 2

सममित सकारात्मक निश्चित है। इस प्रकार, कारक

j

के कारण,

O * (2 n)

दोनों को अलग-अलग संरक्षित करता है और यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है

\mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),

और अंकन ओ समझाया गया है।

सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर चिरसम्मत समूह

चिरसम्मत समूह अधिकत्तम व्यापक रूप से बीजगणित में माने जाते हैं, विशेष रूप से रौचक आव्यूह समूह प्रदान करते हैं। जब आव्यूह समूह के गुणांकों का क्षेत्र (गणित) F या तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है तो ये समूह केवल चिरसम्मत लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र होता है तो चिरसम्मत समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। साथ ही कोई चिरसम्मत समूहों को एफ पर एकात्मक सहयोगी बीजगणित R पर विचार कर सकता है; जहाँ R = H (वास्तविकता पर एक बीजगणित) एक महत्वपूर्ण स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। व्यापकता के लिए लेख में R से ऊपर के समूहों का उल्लेख किया जाएगा जहाँ R स्वयं ग्राउंड क्षेत्र F हो सकता है।

उनके अमूर्त समूह सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, कई रेखीय समूहों में एक 'विशेष' उपसमूह होता है, जिसमें सामान्यतः ग्राउंड क्षेत्र पर निर्धारक 1 के तत्व सम्मिलित होते हैं और उनमें से अधिकतर 'प्रक्षेपी' भागफल से जुड़े होते हैं जो समूह के केंद्र द्वारा भागफल होते हैं। . विशेषता 2 एस में ऑर्थोगोनल समूहों के लिए एक अलग अर्थ है।

समूह के नाम के सामने 'सामान्य' शब्द का सामान्यतः अर्थ होता है कि समूह को स्थिर छोड़ने के अतिरिक्त किसी प्रकार के रूप को स्थिरांक से गुणा करने की अनुमति है। सबस्क्रिप्ट एन सामान्यतः मॉड्यूल (बीजगणित) के आयाम को इंगित करता है जिस पर समूह कार्य कर रहा है; यदि R = F है तो यह एक सदिश स्थान है। कैविएट: यह संकेतन डाइंकिन आरेखों के n के साथ कुछ सीमा तक टकराता है जो पद है।

सामान्य और विशेष रैखिक समूह

सामान्य रेखीय समूह GL_n(R), Rⁿ के सभी R-रैखिक स्वाकारणों का समूह है। एक उपसमूह है: विशेष रैखिक समूह SL_n(R), , और उनके भागफल: प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह PGL_n(R) = GL_n(R)/Z(GL_n(R)) और प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL_n(R) = SL_n(R)/Z(SL_n(R)). प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह PSL_n(F) एक क्षेत्र F पर n ≥ 2 के लिए सरल है, दो स्थिति को छोड़कर जब n = 2 और क्षेत्र का क्रम 2 या 3 है।

एकात्मक समूह

एकात्मक समूह U_n(R) एक समूह है जो मॉड्यूल पर एक सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष एकात्मक समूह SU_n(R) और उनके गुणक प्रक्षेपी एकात्मक समूह PU_n(R) = U_n(R)/Z(U_n(R)) और प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह PSU_n(R) = SU_n(R)/Z(SU_n(R))

सहानुभूतिपूर्ण समूह

सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp_2n(R) एक मॉड्यूल पर तिरछा सममित रूप रखता है। इसका एक भागफल है, प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSp_2n(R). सामान्य सहानुभूतिपूर्ण समूह GSp_2n(R) में एक मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज़्म होते हैं जो कुछ उलटा स्केलर द्वारा तिरछे सममित रूप को गुणा करते हैं। दो और तीन तत्वों के क्षेत्र में PSp₂ के स्थिति को छोड़कर, एक परिमित क्षेत्र पर प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSp_2n(F_q) n ≥ 1 के लिए सरल है।

ऑर्थोगोनल समूह

ऑर्थोगोनल ग्रुप O_n(R) एक मॉड्यूल पर एक गैर-पतित द्विघात रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO_n(R) और भागफल, प्रक्षेप्य ऑर्थोगोनल समूह POn(R), और प्रक्षेप्य विशेष ऑर्थोगोनल समूह PSOn(R)। विशेषता 2 में निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह को अधिकांशतः डिक्सन इनवेरिएंट 1 के तत्वों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक अनाम समूह है जिसे अधिकांशतः Ω_n(R) द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसमें संबंधित उपसमूह और भागफल समूह SΩn(R), PΩn(R), PSΩn(R) के साथ, स्पिनर मानदंड 1 के तत्वों के ऑर्थोगोनल समूह के तत्व सम्मिलित होते हैं। (वास्तविक से अधिकत्तम सकारात्मक निश्चित द्विघात रूपों के लिए, समूह Ω ओर्थोगोनल समूह के समान होता है, किंतु सामान्यतः यह छोटा होता है।) Ωn(R) का एक दोहरा आवरण भी होता है, जिसे पिन समूह Pin_n(R), कहा जाता है। ) और इसका एक उपसमूह है जिसे स्पिन समूह Spin_n(R) कहा जाता है। सामान्य ऑर्थोगोनल समूह GO_n(R) में कुछ उलटा स्केलर द्वारा द्विघात रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं।

रल समूहोंया तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है तो ये समूह केवल चिरसम्मत लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र होता है तो चिरसम्मत समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के

सांकेतिक परंपराएं

असाधारण लाई समूह के साथ तुलना

चिरसम्मत लाई समूहों के साथ तुलना में असाधारण लाई समूह, G₂, F₄, E₆, E₇, E₈, हैं, जो उनके अमूर्त गुणों को साझा करते हैं किंतु उनकी परिचितता नहीं।^[23] इन्हें केवल 1890 के आसपास विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा परिसर संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण में खोजा गया था।

↑ Here, special means the subgroup of the full automorphism group whose elements have determinant 1.
↑ Rossmann 2002 p. 94.
↑ Weyl 1939
↑ Rossmann 2002 p. 91.
↑ Rossmann 2002 p. 94
↑ Rossmann 2002 p. 103
↑ Goodman & Wallach 2009 See end of chapter 1
↑ Rossmann 2002p. 93.
↑ Rossmann 2002 p. 105
↑ Rossmann 2002 p. 91
↑ Rossmann 2002 p. 92
↑ Rossmann 2002 p. 105
↑ Rossmann 2002 p. 107.
↑ Rossmann 2002 p. 93
↑ Rossmann 2002 p. 95.
↑ Rossmann 2002 p. 94.
↑ Goodman & Wallach 2009 Exercise 14, Section 1.1.
↑ Rossmann 2002 p. 94.
↑ Goodman & Wallach 2009Exercise 11, Chapter 1.
↑ Rossmann 2002 p. 94.
↑ Goodman & Wallach 2009 p.11.
↑ Goodman & Wallach 2009 Exercise 12 Chapter 1.
↑ Wybourne, B. G. (1974). Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience. ISBN 0471965057.

संदर्भ

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Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Weyl, Hermann (1939), The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255

[1] Here, special means the subgroup of the full automorphism group whose elements have determinant 1.

[2] Rossmann 2002 p. 94.

[3] Weyl 1939

[4] Rossmann 2002 p. 91.

[5] Rossmann 2002 p. 94

[6] Rossmann 2002 p. 103

[7] Goodman & Wallach 2009 See end of chapter 1

[8] Rossmann 2002p. 93.

[9] Rossmann 2002 p. 105

[10] Rossmann 2002 p. 91

[11] Rossmann 2002 p. 92

[12] Rossmann 2002 p. 105

[13] Rossmann 2002 p. 107.

[14] Rossmann 2002 p. 93

[15] Rossmann 2002 p. 95.

[16] Rossmann 2002 p. 94.

[17] Goodman & Wallach 2009 Exercise 14, Section 1.1.

[18] Rossmann 2002 p. 94.

[19] Goodman & Wallach 2009Exercise 11, Chapter 1.

[20] Rossmann 2002 p. 94.

[21] Goodman & Wallach 2009 p.11.

[22] Goodman & Wallach 2009 Exercise 12 Chapter 1.

[23] Wybourne, B. G. (1974). Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience. ISBN 0471965057.

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चिरसम्मत समूह: Difference between revisions

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Contents

चिरसम्मत समूह

बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर फॉर्म

सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूप

ऑटोमोर्फिज्म समूह

ऑट (φ) - ऑटोमोर्फिज्म समूह

बिलिनियर केस

असली स्थिति

O(p, q) और O(n) - ऑर्थोगोनल समूह

Sp(m, R) - वास्तविक सहानुभूतिपूर्ण समूह

परिसर स्थिति

हे (एन, सी) - परिसर ओर्थोगोनल समूह

Sp(m, C) - परिसर सहानुभूतिपूर्ण समूह

सेस्क्विलिनियर केस

परिसर स्थिति

यू (पी, क्यू) और यू (एन) - एकात्मक समूह

चतुर्धातुक स्थिति

GL(n, H) और SL(n, H)

Sp(p, q) - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह

O^∗(2n) = O(n, H)- क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल समूह

सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर चिरसम्मत समूह

सामान्य और विशेष रैखिक समूह

एकात्मक समूह

सहानुभूतिपूर्ण समूह

ऑर्थोगोनल समूह

सांकेतिक परंपराएं

असाधारण लाई समूह के साथ तुलना

टिप्पणियाँ

संदर्भ

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@@ Line 3: / Line 3: @@
-गणित में, मौलिक समूहों को वास्तविक {{math|'''R'''}} पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जटिल संख्या {{math|'''C'''}} और चतुष्कोण {{math|'''H'''}} एक साथ सममित या तिरछा-सममित द्विरेखीय रूपों के विशेष ऑटोमोर्फिज़्म समूहों और वास्तविक पर परिभाषित हर्मिटियन या तिरछा-हर्मिटियन सेस्क्विलिनियर रूपों के साथ जटिल और चतुष्कोणीय परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान इनमें से जटिल मौलिक झूठ समूह झूठ समूहों के चार अनंत वर्ग हैं जो असाधारण समूहों के साथ सरल झूठ समूहों के वर्गीकरण को समाप्त करते हैं। कॉम्पैक्ट मौलिक समूह जटिल मौलिक समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। मौलिक समूहों के परिमित अनुरूप झूठ प्रकार के मौलिक समूह हैं। "मौलिक समूह" शब्द हरमन वेइल द्वारा गढ़ा गया था<ref>Here, ''special'' means the subgroup of the full automorphism group whose elements have determinant 1.</ref> यह उनके 1939 के मोनोग्राफ मौलिक समूहों का शीर्षक था।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref><ref>{{harvnb|Weyl|1939}}</ref>
-मौलिक समूह रेखीय झूठ समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी भाग हैं।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 91.</ref> अधिकांश प्रकार के मौलिक समूह मौलिक और आधुनिक भौतिकी में आवेदन पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं। घूर्णन समूह {{math|SO(3)}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष और भौतिकी के सभी मूलभूत नियमों की एक समरूपता है, लोरेंत्ज़ समूह {{math|O(3,1)}} विशेष सापेक्षता के दिक्-काल का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह {{math|SU(3)}} क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह है और सहानुभूतिपूर्ण समूह {{math|Sp(''m'')}} हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिक संस्करणों में अनुप्रयोग पाता है।
+गणित में चिरसम्मत समूहों को वास्तविक {{math|'''R'''}} पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है परिसर संख्या {{math|'''C'''}} और चतुष्कोण {{math|'''H'''}} एक साथ सममित या तिरछा-सममित द्विरेखीय रूपों के विशेष ऑटोमोर्फिज़्म समूहों और वास्तविक पर परिभाषित हर्मिटियन या तिरछा-हर्मिटियन सेस्क्विलिनियर रूपों के साथ परिसर और चतुष्कोणीय परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान इनमें से परिसर चिरसम्मत लाई समूह लाई समूहों के चार अनंत वर्ग हैं जो असाधारण समूहों के साथ सरल लाई समूहों के वर्गीकरण को समाप्त करते हैं। कॉम्पैक्ट चिरसम्मत समूह परिसर चिरसम्मत समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। चिरसम्मत समूहों के परिमित अनुरूप लाई प्रकार के चिरसम्मत समूह हैं। "चिरसम्मत समूह" शब्द हरमन वेइल द्वारा गढ़ा गया था<ref>Here, ''special'' means the subgroup of the full automorphism group whose elements have determinant 1.</ref> यह उनके 1939 के मोनोग्राफ चिरसम्मत समूहों का शीर्षक था।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref><ref>{{harvnb|Weyl|1939}}</ref>
-== मौलिक समूह ==
+चिरसम्मत समूह रेखीय लाई समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी भाग हैं।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 91.</ref> अधिकांश प्रकार के चिरसम्मत समूह चिरसम्मत और आधुनिक भौतिकी में आवेदन पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं। घूर्णन समूह {{math|SO(3)}} यूक्लिडियन अंतरिक्ष और भौतिकी के सभी मूलभूत नियमों की एक समरूपता है, लोरेंत्ज़ समूह {{math|O(3,1)}} विशेष सापेक्षता के दिक्-काल का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह {{math|SU(3)}} क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह है और सहानुभूतिपूर्ण समूह {{math|Sp(''m'')}} हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिक संस्करणों में अनुप्रयोग पाता है।
-मौलिक समूह {{math|'''R''', '''C'''}}और {{math|'''H'''}} पर पूर्ण रूप से सामान्य रैखिक समूह हैं साथ ही नीचे चर्चा की गई गैर-पतित रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूह भी हैं।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94</ref> ये समूह सामान्यतः अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक सीमित होते हैं जिनके तत्वों का निर्धारक 1 होता है जिससे उनके केंद्र असतत हों निर्धारक 1 नियम के साथ मौलिक समूह नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। अगली कड़ी में अधिक व्यापकता के हित में निर्धारक 1 स्थिति का निरन्तर उपयोग नहीं किया जाता है।
+== चिरसम्मत समूह ==
+चिरसम्मत समूह {{math|'''R''', '''C'''}}और {{math|'''H'''}} पर पूर्ण रूप से सामान्य रैखिक समूह हैं साथ ही नीचे चर्चा की गई गैर-पतित रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूह भी हैं।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94</ref> ये समूह सामान्यतः अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक सीमित होते हैं जिनके तत्वों का निर्धारक 1 होता है जिससे उनके केंद्र असतत हों निर्धारक 1 नियम के साथ चिरसम्मत समूह नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। अगली कड़ी में अधिकत्तम व्यापकता के हित में निर्धारक 1 स्थिति का निरन्तर उपयोग नहीं किया जाता है।
 {| class="wikitable" align="right" style="margin-right:3em" valign="center"
-  ! Name
+  ! नाम
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+  ! समूह
-  ! Field
+  ! क्षेत्र
-  ! Form
+  ! स्वरुप
-  ! [[Maximal compact subgroup|Maximal <br />compact subgroup]]
+  ! [[Maximal compact subgroup|अधिकत्तम से अधिक्तम]]
-  ! [[Lie algebra|Lie <br />algebra]]
+[[Maximal compact subgroup|कॉम्पैक्ट उपसमूह]]
-  ! [[Root system]]
+  ! [[Lie algebra|झूठ]]
+[[Lie algebra|बीजगणित]]
+  ! [[Root system|मूल प्रक्रिया]]
   |-
-  | Special linear
+  | विशेष रैखिक
   | [[Special linear group|{{math|SL(''n'', '''R''')}}]]
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-  | Complex
+  | परिसर
   | [[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems|{{math|''A''<sub>''m''</sub>}}, {{math|1=''n'' = ''m'' + 1}}]]
   |-
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+  | क्वाटरनियोनिक विशेष रैखिक
   | {{math|1=SL(''n'', '''H''') =}} <br />{{math|SU<sup>∗</sup>(2''n'')}}
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-  | (Indefinite) special orthogonal
+  | (अनिश्चितकालीन) विशेष ऑर्थोगोनल
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-  | Complex
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   | [[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems|<math>\color{Blue}\begin{cases}
 B_m,& n=2m+1\\
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   | [[Symplectic group|{{math|Sp(''n'', '''R''')}}]]
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-  | Skew-symmetric
+  | तिरछा-सममित
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-  | Complex symplectic
+  | परिसर सहानुभूति
   | [[Symplectic group|{{math|Sp(''n'', '''C''')}}]]
   | align="center" |{{math|'''C'''}}
-  | Skew-symmetric
+  | तिरछा-सममित
   | [[Sp(n)|{{math|'''Sp'''('''''n''''')}}]]
-  | Complex
+  | परिसर
   | [[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems|{{math|''C''<sub>''m''</sub>}}, {{math|1=''n'' = 2''m''}}]]
   |-
-  | (Indefinite) special unitary
+  | (अनिश्चित) विशेष एकात्मक
   | [[Special unitary group|{{math|SU(''p'', ''q'')}}]]
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+  | हर्मिटियन
   | {{math|S(U(''p'') × U(''q''))}}
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+  | (अनिश्चितकालीन) चतुर्धातुक एकात्मक
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-  | Hermitian
+  | हर्मिटियन
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-  | Quaternionic orthogonal
+  | क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल
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-जटिल मौलिक समूह {{math|SL(''n'', '''C''')}}, {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|Sp(''n'', '''C''')}}.  हैं। एक समूह इस आधार से जटिल होता है कि क्या इसका ले बीजगणित जटिल है। वास्तविक मौलिक समूह सभी मौलिक समूहों को संदर्भित करता है क्योंकि कोई भी बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। कॉम्पैक्ट मौलिक समूह जटिल मौलिक समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। ये बदले में, {{math|SU(''n'')}} {{math|SO(''n'')}} और {{math|Sp(''n'')}} हैं। कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का एक लक्षण लाई बीजगणित {{math|'''g'''}}  के संदर्भ में है। यदि {{math|'''g''' {{=}} '''u''' + ''i'''''u'''}}, {{math|'''u'''}} का जटिलीकरण, और यदि {{math|{exp(''X''): ''X'' ∈ '''u'''}} द्वारा उत्पन्न जुड़ा समूह {{math|''K''}} संहत है, तो {{math|''K''}} एक सघन वास्तविक रूप है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 103</ref>
+परिसर चिरसम्मत समूह {{math|SL(''n'', '''C''')}}, {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|Sp(''n'', '''C''')}}. हैं। एक समूह इस आधार से परिसर होता है कि क्या इसका लाई बीजगणित परिसर है। वास्तविक चिरसम्मत समूह सभी चिरसम्मत समूहों को संदर्भित करता है क्योंकि कोई भी बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। कॉम्पैक्ट चिरसम्मत समूह परिसर चिरसम्मत समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। ये बदले में, {{math|SU(''n'')}} {{math|SO(''n'')}} और {{math|Sp(''n'')}} हैं। कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का एक लक्षण लाई बीजगणित {{math|'''g'''}} के संदर्भ में है। यदि {{math|'''g''' {{=}} '''u''' + ''i'''''u'''}}, {{math|'''u'''}} का जटिलीकरण, और यदि {{math|{exp(''X''): ''X'' ∈ '''u'''}} द्वारा उत्पन्न जुड़ा समूह {{math|''K''}} संहत है, तो {{math|''K''}} एक सघन वास्तविक रूप है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 103</ref>
-मौलिक समूहों को समान रूप से [[वास्तविक रूप]] का उपयोग करके एक अलग विधि से चित्रित किया जा सकता है। मौलिक समूह (यहां निर्धारक 1 स्थिति के साथ किंतु यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैं:
+चिरसम्मत समूहों को समान रूप से [[वास्तविक रूप]] का उपयोग करके एक अलग विधि से चित्रित किया जा सकता है। चिरसम्मत समूह (यहां निर्धारक 1 स्थिति के साथ किंतु यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैं:
-: जटिल रेखीय [[बीजगणितीय समूह]] {{math|SL(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C''')}}, और {{math|Sp(''n'', '''C''')}} उनके वास्तविक रूपों के साथ।<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}} See end of chapter 1</ref>
+: परिसर रेखीय [[बीजगणितीय समूह]] {{math|SL(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C''')}}, और {{math|Sp(''n'', '''C''')}} उनके वास्तविक रूपों के साथ।<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}} See end of chapter 1</ref>
-उदाहरण के लिए, {{math|SO<sup>∗</sup>(2''n'')}}  {{math|SO(2''n'', '''C''')}} का वास्तविक रूप है, {{math|SU(''p'', ''q'')}} {{math|SL(''n'', '''C''')}} का वास्तविक रूप है, और {{math|SL(''n'', '''H''')}} इसका वास्तविक रूप है {{math|SL(2''n'', '''C''')}} निर्धारक 1 स्थिति के बिना विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों के साथ बदलें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह झूठसमूह हैं, किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है। समूह हैं किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है।
+उदाहरण के लिए, {{math|SO<sup>∗</sup>(2''n'')}} {{math|SO(2''n'', '''C''')}} का वास्तविक रूप है, {{math|SU(''p'', ''q'')}} {{math|SL(''n'', '''C''')}} का वास्तविक रूप है, और {{math|SL(''n'', '''H''')}} इसका वास्तविक रूप है {{math|SL(2''n'', '''C''')}} निर्धारक 1 स्थिति के बिना विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों के साथ बदलें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह झूठसमूह हैं, किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है। समूह हैं किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है।
 == बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर फॉर्म ==
 {{main|द्विरेखीय रूप|सेस्क्विलिनियर रूप}}
-मौलिक समूहों को {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}}, और {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}} पर परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जहां {{math|'''R'''}} और {{math|'''C'''}} वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्र हैं। चतुष्कोण {{math|'''H'''}} एक क्षेत्र का गठन नहीं करते हैं क्योंकि गुणन नहीं होता है; वे एक विभाजन वलय या तिरछा क्षेत्र या गैर-विनिमेय क्षेत्र बनाते हैं। चूँकि , आव्यूह क्वाटरनियोनिक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, सदिश समष्टि {{math|''V''}} को नीचे {{math|'''R'''}}, {{math|'''C'''}} और साथ ही {{math|'''H'''}} के ऊपर परिभाषित करने की अनुमति है। {{math|'''H'''}} के स्थिति में, {{math|''V''}} एक सही सदिश स्थान है, जो कि {{math|'''R'''}}और {{math|'''C'''}} के लिए बाईं ओर से आव्यूह गुणन के रूप में समूह क्रिया के प्रतिनिधित्व को संभव बनाता है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}}p. 93.</ref>
+चिरसम्मत समूहों को {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}}, और {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}} पर परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जहां {{math|'''R'''}} और {{math|'''C'''}} वास्तविक और परिसर संख्याओं के क्षेत्र हैं। चतुष्कोण {{math|'''H'''}} एक क्षेत्र का गठन नहीं करते हैं क्योंकि गुणन नहीं होता है; वे एक विभाजन वलय या तिरछा क्षेत्र या गैर-विनिमेय क्षेत्र बनाते हैं। चूँकि , आव्यूह क्वाटरनियोनिक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, सदिश समष्टि {{math|''V''}} को नीचे {{math|'''R'''}}, {{math|'''C'''}} और साथ ही {{math|'''H'''}} के ऊपर परिभाषित करने की अनुमति है। {{math|'''H'''}} के स्थिति में, {{math|''V''}} एक सही सदिश स्थान है, जो कि {{math|'''R'''}}और {{math|'''C'''}} के लिए बाईं ओर से आव्यूह गुणन के रूप में समूह क्रिया के प्रतिनिधित्व को संभव बनाता है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}}p. 93.</ref>
 {{math|''F'' {{=}} '''R''', '''C'''}} या {{math|'''H'''}} पर कुछ परिमित-आयामी सही सदिश स्थान पर एक रूप {{math|''φ'': ''V'' × ''V'' → ''F''}} द्विरेखीय है यदि
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-φ के सभी ऑटोमोर्फिज़्म का सेट एक समूह बनाता है, इसे φ का ऑटोमोर्फिज़्म समूह कहा जाता है, जिसे ऑट (φ) कहा जाता है। यह मौलिक समूह की प्रारंभिक परिभाषा की ओर जाता है:
+φ के सभी ऑटोमोर्फिज़्म का सेट एक समूह बनाता है, इसे φ का ऑटोमोर्फिज़्म समूह कहा जाता है, जिसे ऑट (φ) कहा जाता है। यह चिरसम्मत समूह की प्रारंभिक परिभाषा की ओर जाता है:
-:''मौलिक'' समूह एक ऐसा समूह है जो '''R''', '''C''' और '''H''' पर परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर बिलिनियर या सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है।
+:चिरसम्मत समूह एक ऐसा समूह है जो '''R''', '''C''' और '''H''' पर परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान पर बिलिनियर या सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है।
 इस परिभाषा में कुछ अतिरेक है। {{math|''F'' {{=}} '''R'''}} के स्थिति में बिलिनियर सेस्क्विलिनियर के समान है। {{math|''F'' {{=}} '''H'''}} के स्थिति में गैर-शून्य बिलिनियर रूप नहीं हैं।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 105</ref>
@@ Line 156: / Line 159: @@
-क्षेत्र {{math|'''R''', '''C''', '''H'''}} की घटना की व्याख्या: {{math|'''H'''}} के ऊपर कोई गैर-तुच्छ द्विरेखीय रूप नहीं हैं। सममित द्विरेखीय स्थिति में केवल {{math|'''R'''}} के ऊपर के रूपों पर हस्ताक्षर होते हैं। दूसरे शब्दों में, "हस्ताक्षर" ({{math|(''p'', ''q'')}}) के साथ एक जटिल द्विरेखीय रूप आधार के परिवर्तन से, एक ऐसे रूप में कम किया जा सकता है जहां उपरोक्त अभिव्यक्ति में सभी चिह्न "+" हैं, जबकि वास्तविक स्थिति में यह असंभव है , जिसमें {{math|''p'' − ''q''}} इस रूप में रखे जाने पर आधार से स्वतंत्र होता है। चूँकि हर्मिटियन रूपों में जटिल और चतुष्कोणीय स्थिति दोनों में आधार-स्वतंत्र हस्ताक्षर हैं। (वास्तविक स्थिति सममित स्थिति में कम हो जाता है।) एक जटिल सदिश स्थान पर एक तिरछा-हर्मिटियन रूप {{mvar|i}} द्वारा गुणा करके हर्मिटियन प्रदान किया जाता है इसलिए इस स्थिति में केवल {{math|'''H'''}} रौचक है।
+क्षेत्र {{math|'''R''', '''C''', '''H'''}} की घटना की व्याख्या: {{math|'''H'''}} के ऊपर कोई गैर-तुच्छ द्विरेखीय रूप नहीं हैं। सममित द्विरेखीय स्थिति में केवल {{math|'''R'''}} के ऊपर के रूपों पर हस्ताक्षर होते हैं। दूसरे शब्दों में, "हस्ताक्षर" ({{math|(''p'', ''q'')}}) के साथ एक परिसर द्विरेखीय रूप आधार के परिवर्तन से, एक ऐसे रूप में कम किया जा सकता है जहां उपरोक्त अभिव्यक्ति में सभी चिह्न "+" हैं, जबकि वास्तविक स्थिति में यह असंभव है , जिसमें {{math|''p'' − ''q''}} इस रूप में रखे जाने पर आधार से स्वतंत्र होता है। चूँकि हर्मिटियन रूपों में परिसर और चतुष्कोणीय स्थिति दोनों में आधार-स्वतंत्र हस्ताक्षर हैं। (वास्तविक स्थिति सममित स्थिति में कम हो जाता है।) एक परिसर सदिश स्थान पर एक तिरछा-हर्मिटियन रूप {{mvar|i}} द्वारा गुणा करके हर्मिटियन प्रदान किया जाता है इसलिए इस स्थिति में केवल {{math|'''H'''}} रौचक है।
 == ऑटोमोर्फिज्म समूह ==
-प्रथम खंड सामान्य रूपरेखा प्रस्तुत करता है। अन्य खंड गुणात्मक रूप से अलग-अलग स्थिति को समाप्त करते हैं जो  {{math|'''R'''}}, {{math|'''C'''}} और {{math|'''H'''}}. पर परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर रूपों के ऑटोमोर्फिज़्म समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं।
+प्रथम खंड सामान्य रूपरेखा प्रस्तुत करता है। अन्य खंड गुणात्मक रूप से अलग-अलग स्थिति को समाप्त करते हैं जो {{math|'''R'''}}, {{math|'''C'''}} और {{math|'''H'''}}. पर परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान पर बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर रूपों के ऑटोमोर्फिज़्म समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं।
 === ऑट (φ) - ऑटोमोर्फिज्म समूह ===
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-({{EquationNote|2}}) से जहां {{math|Φ}} आव्यूह {{math|(''φ<sub>ij</sub>'')}} है। गैर-अपकर्ष स्थिति का ठीक-ठीक अर्थ है कि {{math|Φ}} व्युत्क्रमणीय है इसलिए संलग्न सदैव उपस्थित  रहता है। {{math|Aut(''φ'')}} इसके साथ व्यक्त हो जाता है
+({{EquationNote|2}}) से जहां {{math|Φ}} आव्यूह {{math|(''φ<sub>ij</sub>'')}} है। गैर-अपकर्ष स्थिति का ठीक-ठीक अर्थ है कि {{math|Φ}} व्युत्क्रमणीय है इसलिए संलग्न सदैव उपस्थित रहता है। {{math|Aut(''φ'')}} इसके साथ व्यक्त हो जाता है
 :<math>\operatorname{Aut}(\varphi) = \left\{A \in \operatorname{GL}(V): \Phi^{-1}A^\mathrm{T}\Phi A = 1\right\}.</math>
-ऑटोमोर्फिज्म समूहों के झूठ बीजगणित ऑट (φ) को तुरंत लिखा जा सकता है। संक्षेप में, {{math|''X'' ∈ '''aut'''(''φ'')}} यदि और केवल यदि
+ऑटोमोर्फिज्म समूहों के लाई बीजगणित ऑट (φ) को तुरंत लिखा जा सकता है। संक्षेप में, {{math|''X'' ∈ '''aut'''(''φ'')}} यदि और केवल यदि
 :<math>(e^{tX})^\varphi e^{tX} = 1</math>
-सभी के लिए {{math|''t''}}, में स्थिति के अनुरूप ({{EquationNote|3}}) झूठ बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) के तहत, जिससे
+सभी के लिए {{math|''t''}}, में स्थिति के अनुरूप ({{EquationNote|3}}) लाई बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) के तहत, जिससे
 :<math>\mathfrak{aut}(\varphi) = \left\{X \in M_n(V): X^\varphi = -X\right\},</math>
 या एक आधार में
@@ Line 189: / Line 192: @@
-जैसा कि एक्सपोनेंशियल मैपिंग की शक्ति श्रृंखला विस्तार और सम्मिलित संचालन की रैखिकता का उपयोग करके देखा जाता है। विलोमतः, मान लीजिए कि {{math|''X'' ∈ '''aut'''(''φ'')}} फिर, उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए, {{math|''φ''(''Xx'', ''y'') {{=}} φ(''x'', ''X''<sup>''φ''</sup>''y'') {{=}} −φ(''x'', ''Xy'')}}  इस प्रकार झूठ बीजगणित को बिना किसी आधार, या आसन्न के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है
+जैसा कि एक्सपोनेंशियल मैपिंग की शक्ति श्रृंखला विस्तार और सम्मिलित संचालन की रैखिकता का उपयोग करके देखा जाता है। विलोमतः, मान लीजिए कि {{math|''X'' ∈ '''aut'''(''φ'')}} फिर, उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए, {{math|''φ''(''Xx'', ''y'') {{=}} φ(''x'', ''X''<sup>''φ''</sup>''y'') {{=}} −φ(''x'', ''Xy'')}} इस प्रकार लाई बीजगणित को बिना किसी आधार, या आसन्न के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है
 :<math>\mathfrak{aut}(\varphi) = \{X \in M_n(V): \varphi(Xx, y) = -\varphi(x, Xy),\quad \forall x,y \in V\}.</math>
-नीचे प्रत्येक मौलिक समूह के लिए {{math|''φ''}} का सामान्य रूप दिया जाएगा। उस सामान्य रूप से आव्यूह Φ को सीधे पढ़ा जा सकता है। परिणाम स्वरुप  सूत्र ({{EquationNote|4}}) और ({{EquationNote|5}}) का उपयोग करके आसन्न और झूठ बीजगणित के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है। यह अधिकांश गैर-तुच्छ स्थिति में नीचे प्रदर्शित किया गया है।
+नीचे प्रत्येक चिरसम्मत समूह के लिए {{math|''φ''}} का सामान्य रूप दिया जाएगा। उस सामान्य रूप से आव्यूह Φ को सीधे पढ़ा जा सकता है। परिणाम स्वरुप सूत्र ({{EquationNote|4}}) और ({{EquationNote|5}}) का उपयोग करके आसन्न और लाई बीजगणित के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है। यह अधिकांश गैर-तुच्छ स्थिति में नीचे प्रदर्शित किया गया है।
 === बिलिनियर केस ===
-जब रूप सममित होता है, तो {{math|Aut(''φ'')}} को {{math|O(''φ'')}} कहा जाता है। जब यह तिरछा-सममित होता है तो {{math|Aut(''φ'')}} को {{math|Sp(''φ'')}} कहा जाता है। यह वास्तविक और जटिल स्थितियों पर प्रयुक्त होता है। क्वाटरनियोनिक केस खाली है क्योंकि क्वाटरनियोनिक वेक्टर रिक्त स्थान पर कोई शून्येतर बिलिनियर फॉर्म उपस्थित नहीं है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 105</ref>
+जब रूप सममित होता है, तो {{math|Aut(''φ'')}} को {{math|O(''φ'')}} कहा जाता है। जब यह तिरछा-सममित होता है तो {{math|Aut(''φ'')}} को {{math|Sp(''φ'')}} कहा जाता है। यह वास्तविक और परिसर स्थितियों पर प्रयुक्त होता है। क्वाटरनियोनिक केस खाली है क्योंकि क्वाटरनियोनिक सदिश रिक्त स्थान पर कोई शून्येतर बिलिनियर फॉर्म उपस्थित नहीं है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 105</ref>
-====असली मामला ====
+====असली स्थिति ====
 वास्तविक स्थिति दो स्थिति में विभाजित होता है, सममित और विषम रूप जिन्हें अलग-अलग व्यवहार किया जाना चाहिए।
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 यदि {{math|''φ''}} सममित है और सदिश स्थान वास्तविक है, एक आधार चुना जा सकता है जिससे
 :<math>\varphi(x, y) = \pm \xi_1\eta_1 \pm \xi_2\eta_2 \cdots \pm \xi_n\eta_n.</math>
-प्लस और माइनस-साइन की संख्या विशेष आधार से स्वतंत्र है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 107.</ref> स्थिति में {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} , {{math|O(''φ'') {{=}} O(''p'', ''q'')}} लिखता है जहां {{math|''p''}} प्लस संकेतों की संख्या है और {{math|''q''}}  ऋण-चिह्नों की संख्या है, {{math|''p'' + ''q'' {{=}} ''n''}} यदि {{math|''q'' {{=}} 0}} संकेतन {{math|O(''n'')}} है। इस स्थिति में आव्यूह {{math|Φ}} है
+प्लस और माइनस-साइन की संख्या विशेष आधार से स्वतंत्र है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 107.</ref> स्थिति में {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} , {{math|O(''φ'') {{=}} O(''p'', ''q'')}} लिखता है जहां {{math|''p''}} प्लस संकेतों की संख्या है और {{math|''q''}} ऋण-चिह्नों की संख्या है, {{math|''p'' + ''q'' {{=}} ''n''}} यदि {{math|''q'' {{=}} 0}} संकेतन {{math|O(''n'')}} है। इस स्थिति में आव्यूह {{math|Φ}} है
 :<math>\Phi = \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right) \equiv I_{p,q}</math>
 यदि आवश्यक हो तो आधार को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद आसन्न ऑपरेशन ({{EquationNote|4}}) तो बन जाता है
 :<math>A^\varphi = \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}A_{11} & \cdots \\\cdots & A_{nn}\end{matrix}\right)^{\mathrm{T}} \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right),</math>
-जो {{math|''p''}} या {{math|''q''}} के 0 होने पर सामान्य स्थानान्तरण को कम कर देता है। झूठा बीजगणित समीकरण ({{EquationNote|5}}) और एक उपयुक्त अन्सत्ज़ का उपयोग करके पाया जाता है (यह नीचे {{math|Sp(''m'', '''R''')}} के स्थिति के लिए विस्तृत है)
+जो {{math|''p''}} या {{math|''q''}} के 0 होने पर सामान्य स्थानान्तरण को कम कर देता है। लाई बीजगणित समीकरण ({{EquationNote|5}}) और एक उपयुक्त अन्सत्ज़ का उपयोग करके पाया जाता है (यह नीचे {{math|Sp(''m'', '''R''')}} के स्थिति के लिए विस्तृत है)
 :<math>\mathfrak{o}(p, q) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X_{p \times p} & Y_{p \times q} \\ Y^{\mathrm{T}} & W_{q \times q}\end{matrix}\right)\right| X^{\mathrm T} = -X,\quad W^{\mathrm T} = -W\right\},</math>
 और समूह के अनुसार ({{EquationNote|3}}) द्वारा दिया गया है
@@ Line 214: / Line 217: @@
 समूह {{math|O(''p'', ''q'')}} और {{math|O(''q'', ''p'')}} मानचित्र के माध्यम से आइसोमॉर्फिक हैं
 :<math>\mathrm{O}(p, q) \rightarrow \mathrm{O}(q, p), \quad g \rightarrow \sigma g \sigma^{-1}, \quad \sigma = \left[\begin{smallmatrix}0 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 1 & \cdots & 0\\1 & 0 & \cdots & 0 \end{smallmatrix}\right].</math>
-उदाहरण के लिए, लोरेंत्ज़ समूह के झूठ बीजगणित को इस रूप में लिखा जा सकता है
+उदाहरण के लिए, लोरेंत्ज़ समूह के लाई बीजगणित को इस रूप में लिखा जा सकता है
 :<math>\mathfrak{o}(3, 1) = \mathrm{span} \left\{
 \left( \begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right),
@@ Line 223: / Line 226: @@
 \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{smallmatrix} \right)
   \right\}.</math>
-स्वाभाविक रूप से, पुनर्व्यवस्थित करना संभव है जिससे {{math|''q''}}-ब्लॉक ऊपरी बाएँ (या कोई अन्य ब्लॉक) है। यहां समय घटक एक भौतिक व्याख्या में चौथे समन्वय के रूप में समाप्त होता है, न कि पहले जैसा कि अधिक सामान्य हो सकता है।
+स्वाभाविक रूप से, पुनर्व्यवस्थित करना संभव है जिससे {{math|''q''}}-ब्लॉक ऊपरी बाएँ (या कोई अन्य ब्लॉक) है। यहां समय घटक एक भौतिक व्याख्या में चौथे समन्वय के रूप में समाप्त होता है, न कि पहले जैसा कि अधिक्तम सामान्य हो सकता है।
 == Sp(''m'', R) - वास्तविक सहानुभूतिपूर्ण समूह ==
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 जहाँ {{math|''X'', ''Y'', ''Z'', ''W''}} हैं {{math|''m''}}-आयामी आव्यूह और विचार ({{EquationNote|5}}),
 :<math>\left(\begin{matrix}0_m & -I_m \\ I_m & 0_m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right)^{\mathrm T}\left(\begin{matrix}0_m & I_m \\ -I_m & 0_m\end{matrix}\right) = -\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right)</math>
-{{math|Sp(''m'', '''R''')}} का झूठा बीजगणित मिलता है,
+{{math|Sp(''m'', '''R''')}} का लाई बीजगणित मिलता है,
 :<math>\mathfrak{sp}(m, \mathbb{R}) = \{X \in M_n(\mathbb{R}): J_mX + X^{\mathrm T}J_m = 0\} = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & -X^{\mathrm T}\end{matrix}\right)\right| Y^{\mathrm T} = Y, Z^{\mathrm T} = Z\right\},</math>
@@ Line 243: / Line 246: @@
-==== जटिल मामला ====
+==== परिसर स्थिति ====
-वास्तविक स्थिति की तरह, दो स्थिति हैं सममित और एंटीसिमेट्रिक स्थिति है कि प्रत्येक मौलिक समूहों के एक वर्ग का उत्पादन करता है।
+वास्तविक स्थिति की तरह, दो स्थिति हैं सममित और एंटीसिमेट्रिक स्थिति है कि प्रत्येक चिरसम्मत समूहों के एक वर्ग का उत्पादन करता है।
-== हे (एन, सी) - जटिल ओर्थोगोनल समूह ==
+== हे (एन, सी) - परिसर ओर्थोगोनल समूह ==
 {{main|जटिल ऑर्थोगोनल समूह}}
-यदि स्थिति {{math|''φ''}} सममित है और सदिश स्थान जटिल है एक आधार है
+यदि स्थिति {{math|''φ''}} सममित है और सदिश स्थान परिसर है एक आधार है
 :<math>\varphi(x, y) = \xi_1\eta_1 + \xi_1\eta_1 \cdots  + \xi_n\eta_n</math>
-'''केवल प्लस-साइन के साथ ही इस्तेमाल किया जा सकता है। ऑटोमोर्फिज्म समू'''ह के स्थिति में है {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} बुलाया {{math|O(n, '''C''')}}. झूठ बीजगणित बस उसी का एक विशेष स्थिति है {{math|'''o'''(''p'', ''q'')}},
+केवल प्लस-साइन के साथ ही उपयोग किया जा सकता है। ऑटोमोर्फिज्म समूह {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} के स्थिति में है जिसे {{math|O(n, '''C''')}} कहा जाता है। असत्य बीजगणित बस उसी का एक विशेष स्थिति {{math|'''o'''(''p'', ''q'')}} के लिए है,
 :<math>\mathfrak{o}(n, \mathbb{C}) = \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}) = \{X|X^{\mathrm{T}} = -X\},</math>
 और समूह द्वारा दिया गया है
 :<math>\mathrm{O}(n, \mathbb{C}) = \{g|g^{\mathrm{T}}g = I_n\}.</math>
-रूट सिस्टम के संदर्भ में  या  डायनकिन डायग्राम द्वारा रूट सिस्टम का वर्गीकरण, {{math|'''so'''(''n'')}} दो वर्गों में विभाजित हैं, जिनके साथ {{math|''n''}} रूट सिस्टम के साथ विषम {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''n''}} रूट सिस्टम के साथ भी {{math|''D''<sub>''n''</sub>}}.
+सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के संदर्भ में, {{math|'''so'''(''n'')}} को दो वर्गों में विभाजित किया जाता है, रूट प्रणाली {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} के साथ {{math|''n''}} विषम और रूट प्रणाली {{math|''D''<sub>''n''</sub>}} के साथ {{math|''n''}} भी है ।
-==Sp(एम, सी) - जटिल सहानुभूतिपूर्ण समूह ==
+==Sp(''m'', C) - परिसर सहानुभूतिपूर्ण समूह ==
-{{main|Symplectic group}}
+{{main|सहानुभूतिपूर्ण समूह}}
 के लिए {{math|''φ''}} तिरछा-सममित और सदिश अंतरिक्ष परिसर, एक ही सूत्र,
 :<math>\varphi(x, y) = \xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} - \xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m,</math>
-वास्तविक स्थिति की तरह प्रयुक्त होता है। के लिए {{math|Aut(''φ'')}} कोई लिखता है {{math|Sp(''φ'') {{=}} Sp(''V'')}}. यदि <math>V = \mathbb{C}^n =  \mathbb{C}^{2m}</math> एक लिखता है {{math|Sp(''m'', <math>\mathbb{C}</math>)}} या {{math|Sp(2''m'', <math>\mathbb{C}</math>)}}. झूठ बीजगणित के समानांतर है {{math|'''sp'''(''m'', <math>\mathbb{R}</math>)}},
+वास्तविक स्थिति की तरह प्रयुक्त होता है। {{math|Aut(''φ'')}} के लिए हम {{math|Sp(''φ'') {{=}} Sp(''V'')}} लिखते हैं। स्थिति में <math>V = \mathbb{C}^n =  \mathbb{C}^{2m}</math> कोई व्यक्ति {{math|Sp(''m'', <math>\mathbb{C}</math>)}} या {{math|Sp(2''m'', <math>\mathbb{C}</math>)}} लिखता है ). लाई बीजगणित {{math|'''sp'''(''m'', <math>\mathbb{R}</math>)}} के समानांतर है,
 :<math>\mathfrak{sp}(m, \mathbb{C}) = \{X \in M_n(\mathbb{C}): J_mX + X^{\mathrm T}J_m = 0\} =\left\{\left .\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & -X^{\mathrm T}\end{matrix}\right)\right| Y^{\mathrm T} = Y, Z^{\mathrm T} = Z\right\},</math>
 और समूह द्वारा दिया गया है
@@ Line 275: / Line 278: @@
 {{NumBlk|:|<math>\mathfrak{aut}(\varphi) = \{X \in M_n(V): \Phi^{-1}X^*\Phi = -X\}.</math>|{{EquationRef|6}}}}
-वास्तविक मामला, निश्चित रूप से, कुछ भी नया नहीं देता है। जटिल और चतुर्धातुक स्थिति पर नीचे विचार किया जाएगा।
+वास्तविक स्थिति निश्चित रूप से, कुछ भी नया नहीं देता है। परिसर और चतुर्धातुक स्थिति पर नीचे विचार किया जाएगा।
-==== जटिल मामला ====
+==== परिसर स्थिति ====
-गुणात्मक दृष्टिकोण से, तिरछा-हर्मिटियन रूपों (समरूपता तक) पर विचार कोई नया समूह प्रदान नहीं करता है; द्वारा गुणा करना {{math|''i''}} तिरछा-हर्मिटियन रूप को हर्मिटियन, और इसके विपरीत प्रस्तुत करता है। इस प्रकार केवल हर्मिटियन स्थिति पर विचार करने की आवश्यकता है।
+गुणात्मक दृष्टिकोण से, तिरछा-हर्मिटियन रूपों (समरूपता तक) पर विचार कोई नया समूह प्रदान नहीं करता है; {{math|''i''}} द्वारा गुणा करने से एक तिरछा-हर्मिटियन रूप हर्मिटियन बनता है, और इसके विपरीत इस प्रकार केवल हर्मिटियन स्थिति पर विचार करने की आवश्यकता है।
 ===== यू (पी, क्यू) और यू (एन) - एकात्मक समूह =====
-{{main|Unitary group}}
+{{main|एकात्मक समूह}}
 एक गैर-पतित हेर्मिटियन रूप का सामान्य रूप है
 :<math>\varphi(x, y) = \pm \bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n.</math>
-बिलिनियर स्थिति में, हस्ताक्षर (पी, क्यू) आधार से स्वतंत्र है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को निरूपित किया जाता है {{math|U(''V'')}}, या, के स्थिति में {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|U(''p'', ''q'')}}. यदि {{math|''q'' {{=}} 0}} अंकन है {{math|U(''n'')}}. इस स्थिति में, {{math|Φ}} रूप लेता है
+बिलिनियर मामले में, हस्ताक्षर (''p'', ''q'') आधार से स्वतंत्र है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को {{math|U(''V'')}}, या,{{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} के मामले में निरूपित किया जाता है। यदि {{math|''q'' {{=}} 0}} अंकन {{math|U(''n'')}} है। इस स्थिति में, {{math|Φ}} रूप लेता है
 :<math>\Phi = \left(\begin{matrix}1_p & 0\\0 & -1_q\end{matrix}\right) = I_{p,q},</math>
-और झूठ बीजगणित द्वारा दिया गया है
+और लाई बीजगणित द्वारा दिया गया है
 :<math>\mathfrak{u}(p, q) = \left\{ \left. \left( \begin{matrix} X_{p \times p} & Z_{p \times q} \\ {\overline{Z_{p \times q}}}^{\mathrm{T}} & Y_{q \times q} \end{matrix}\right) \right| {\overline{X}}^{\mathrm T} = -X , \quad {\overline{Y}}^{\mathrm T} = -Y \right\} .</math>
 समूह द्वारा दिया गया है
 :<math>\mathrm{U}(p, q) = \{g|I_{p,q}^{-1}g^*I_{p,q}g = I\}.</math>
-:जहाँ g एक सामान्य n x n जटिल आव्यूह है और <math>g^{*}</math> जी के संयुग्मी स्थानांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे भौतिक विज्ञानी कहते हैं <math>g^{\dagger}</math>.
+:जहाँ g एक सामान्य n x n परिसर आव्यूह है और <math>g^{*}</math> को g के संयुग्मी स्थानांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे भौतिक विज्ञानी <math>g^{\dagger}</math> कहते हैं।
 तुलना के रूप में, एक एकात्मक आव्यूह U(n) को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 <math>\mathrm{U}(n) = \{g|g^*g = I\}.</math>
 हमने ध्यान दिया कि <math>\mathrm{U}(n)</math> वैसा ही है जैसा कि <math>\mathrm{U}(n,0)</math>
-==== चतुर्धातुक मामला ====
-अंतरिक्ष {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}} को एक सही सदिश स्थान के रूप में माना जाता है {{math|'''H'''}}. इस तरह, {{math|''A''(''vh'') {{=}} (''Av'')''h''}} चतुष्कोण के लिए {{math|''h''}}, एक चतुष्कोणीय स्तंभ वेक्टर {{math|''v''}} और चतुष्कोणीय आव्यूह {{math|''A''}}. यदि {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}} बायाँ सदिश स्थान था {{math|'''H'''}}, तो रैखिकता बनाए रखने के लिए दाईं ओर से पंक्ति सदिशों पर आव्यूह गुणन की आवश्यकता होगी। जब एक आधार दिया जाता है, जो कॉलम वैक्टर पर बाईं ओर से आव्यूह गुणन होता है, तो यह एक सदिश स्थान पर एक समूह के सामान्य रैखिक संचालन के अनुरूप नहीं होता है। इस प्रकार {{math|''V''}} इसके बाद एक सही सदिश समष्टि है {{math|'''H'''}}. फिर भी, गैर-विनिमेय प्रकृति के कारण सावधानी बरतनी चाहिए {{math|'''H'''}}. (ज्यादातर स्पष्ट) विवरण छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि जटिल अभ्यावेदन का उपयोग किया जाएगा।
-चतुष्कोणीय समूहों के साथ व्यवहार करते समय जटिल का उपयोग करके चतुष्कोणों का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है {{nowrap|2×2-matrices}},
+==== चतुर्धातुक स्थिति ====
+अंतरिक्ष {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}} को एक सही सदिश स्थान के रूप में माना जाता है {{math|'''H'''}}. इस तरह, {{math|''A''(''vh'') {{=}} (''Av'')''h''}} चतुष्कोण के लिए {{math|''h''}}, एक चतुष्कोणीय स्तंभ सदिश {{math|''v''}} और चतुष्कोणीय आव्यूह {{math|''A''}}. यदि {{math|'''H'''<sup>''n''</sup>}} बायाँ सदिश स्थान था {{math|'''H'''}}, तो रैखिकता बनाए रखने के लिए दाईं ओर से पंक्ति सदिशों पर आव्यूह गुणन की आवश्यकता होगी। जब एक आधार दिया जाता है, जो स्तम्भ सदिश पर बाईं ओर से आव्यूह गुणन होता है, तो यह एक सदिश स्थान पर एक समूह के सामान्य रैखिक संचालन के अनुरूप नहीं होता है। इस प्रकार {{math|''V''}} इसके बाद एक सही सदिश समष्टि है {{math|'''H'''}}. फिर भी, गैर-विनिमेय प्रकृति के कारण सावधानी बरतनी चाहिए {{math|'''H'''}}. (अधिकत्तर स्पष्ट) विवरण छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि परिसर अभ्यावेदन का उपयोग किया जाएगा।
+चतुष्कोणीय समूहों के साथ व्यवहार करते समय परिसर 2×2-आव्यूह का उपयोग करके चतुष्कोणों का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है,
 {{NumBlk|:|<math>q = a\mathrm{1} + b\mathrm{i} + c\mathrm{j} + d\mathrm{k} = \alpha + j\beta \leftrightarrow \begin{bmatrix}\alpha & -\overline \beta \\ \beta & \overline \alpha\end{bmatrix} = Q, \quad q \in \mathbb{H},\quad a,b,c,d \in \mathbb{R}, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{C}.</math><ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 95.</ref>|{{EquationRef|7}}}}
-इस प्रतिनिधित्व के साथ, चतुष्कोणीय गुणन आव्यूह गुणन बन जाता है और चतुष्कोणीय संयुग्मन हर्मिटियन आसन्न बन जाता है। इसके अलावा, एक चतुर्धातुक जटिल एन्कोडिंग के अनुसार {{math|''q'' {{=}} ''x'' + '''j'''''y''}} कॉलम वेक्टर के रूप में दिया गया है {{math|(''x'', ''y'')<sup>T</sup>}}, फिर बायीं ओर से क्वाटरनियन के आव्यूह प्रतिनिधित्व द्वारा गुणा करने से सही क्वाटरनियन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक नया कॉलम वेक्टर उत्पन्न होता है। यह प्रतिनिधित्व चतुष्कोणीय लेख में पाए जाने वाले अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व से थोड़ा अलग है। अधिक सामान्य सम्मेलन एक ही चीज़ को प्राप्त करने के लिए पंक्ति आव्यूह पर दाईं ओर से गुणन को बाध्य करेगा।
+इस प्रतिनिधित्व के साथ चतुष्कोणीय गुणन आव्यूह गुणन बन जाता है और चतुष्कोणीय संयुग्मन हर्मिटियन आसन्न बन जाता है। इसके अतिरिक्त एक चतुर्धातुक परिसर एन्कोडिंग के अनुसार {{math|''q'' {{=}} ''x'' + '''j'''''y''}} स्तम्भ सदिश के रूप में दिया गया है {{math|(''x'', ''y'')<sup>T</sup>}}, फिर बायीं ओर से क्वाटरनियन के आव्यूह प्रतिनिधित्व द्वारा गुणा करने से सही क्वाटरनियन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक नया स्तम्भ सदिश उत्पन्न होता है। यह प्रतिनिधित्व चतुष्कोणीय लेख में पाए जाने वाले अधिक्तम सामान्य प्रतिनिधित्व से थोड़ा अलग है। अधिकत्तम सामान्य सम्मेलन एक ही चीज़ को प्राप्त करने के लिए पंक्ति आव्यूह पर दाईं ओर से गुणन को बाध्य करेगा।
-संयोग से, उपरोक्त प्रतिनिधित्व यह स्पष्ट करता है कि इकाई चतुष्कोणों का समूह ({{math|α{{overline|α}} + β{{overline|β}} {{=}} 1 {{=}} det ''Q''}}) आइसोमॉर्फिक है {{math|SU(2)}}.
+संयोग से, उपरोक्त प्रतिनिधित्व यह स्पष्ट करता है कि इकाई चतुष्कोणों का समूह ({{math|α{{overline|α}} + β{{overline|β}} {{=}} 1 {{=}} det ''Q''}}) {{math|SU(2)}} समरूप है .
-क्वाटरनियोनिक {{math|''n''×''n''}}-मैट्रिसेस, स्पष्ट विस्तार द्वारा, द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं {{math|2''n''×2''n''}} जटिल संख्याओं के ब्लॉक-मैट्रिसेस।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref> यदि कोई क्वाटरनियोनिक का प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत है {{nowrap|''n''×1}} कॉलम वेक्टर ए द्वारा {{nowrap|2''n''×1}} कॉलम वेक्टर जटिल संख्या के साथ ऊपर के एन्कोडिंग के अनुसार, ऊपरी के साथ {{math|''n''}} संख्याएँ हैं {{math|α<sub>''i''</sub>}} और निचला {{math|''n''}} द {{math|β<sub>''i''</sub>}}, फिर एक चतुष्कोणीय {{math|''n''×''n''}}-आव्यूह एक जटिल बन जाता है {{math|2''n''×2''n''}}-आव्यूह पूर्ण रूप से ऊपर दिए गए फॉर्म का, किंतु अब α और β के साथ {{math|''n''×''n''}}-मैट्रिसेस। अधिक औपचारिक रूप से
+क्वाटरनियोनिक {{math|''n''×''n''}}-आव्यूह, स्पष्ट विस्तार द्वारा परिसर संख्याओं के {{math|2''n''×2''n''}} ब्लॉक-आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref> यदि कोई उपरोक्त एन्कोडिंग के अनुसार परिसर संख्याओं के साथ {{nowrap|2''n''×1}} स्तम्भ सदिश द्वारा क्वाटरनियोनिक {{nowrap|''n''×1}} स्तम्भ सदिश का प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत है, ऊपरी {{math|''n''}} संख्या {{math|α<sub>''i''</sub>}} और निचला {{math|''n''}} {{math|β<sub>''i''</sub>}} है, तो एक क्वाटरनियोनिक {{math|''n''×''n''}} -आव्यूह ऊपर दिए गए फॉर्म का एक परिसर {{math|2''n''×2''n''}}आव्यूह बन जाता है किंतु अब α और β {{math|''n''×''n''}}-आव्यूह के साथ। अधिकत्तम औपचारिक रूप से है
 {{NumBlk|:|<math>\left(Q\right)_{n \times n} = \left(X\right)_{n \times n} + \mathrm{j}\left(Y\right)_{n \times n} \leftrightarrow \left(\begin{matrix}X & -\bar{Y}\\Y & \bar{X}\end{matrix}\right)_{2n \times 2n}.</math>|{{EquationRef|8}}}}
-एक आव्यूह {{math|''T'' ∈ GL(2''n'', '''C''')}} में प्रपत्र प्रदर्शित किया गया है ({{EquationNote|8}}) यदि और केवल यदि {{math|''J''<sub>''n''</sub>{{overline|''T''}} {{=}} ''TJ''<sub>''n''</sub>}}. इन पहचानों से,
+एक आव्यूह {{math|''T'' ∈ GL(2''n'', '''C''')}} में ({{EquationNote|8}}) प्रपत्र प्रदर्शित किया गया है यदि और केवल यदि {{math|''J''<sub>''n''</sub>{{overline|''T''}} {{=}} ''TJ''<sub>''n''</sub>}}. इन पहचानों से,
 :<math>\mathbb{H}^n \approx \mathbb{C}^{2n}, M_n(\mathbb{H}) \approx \left\{\left .T \in M_{2n}(\mathbb{C})\right|J_nT = \overline{T}J_n, \quad J_n = \left(\begin{matrix}0 & I_n\\-I_n & 0\end{matrix}\right) \right\}.</math>
-अंतरिक्ष {{math|''M''<sub>''n''</sub>('''H''') ⊂ ''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}} एक वास्तविक बीजगणित है, किंतु यह इसकी जटिल उपसमष्टि नहीं है {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}}. गुणा (बाएं से) द्वारा {{math|'''i'''}} में {{math|''M''<sub>''n''</sub>('''H''')}} एंट्री-वार क्वाटरनियोनिक गुणन का उपयोग करना और फिर छवि में मैपिंग करना {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}} द्वारा प्रवेश-वार गुणा करने से भिन्न परिणाम प्राप्त होता है {{math|''i''}} सीधे अंदर {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}}. चतुर्धातुक गुणन नियम देते हैं {{math|'''i'''(''X'' + '''j'''''Y'') {{=}} ('''i'''''X'') + '''j'''(−'''i'''''Y'')}} जहां नया {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} कोष्ठक के अंदर हैं।
+स्थान {{math|''M''<sub>''n''</sub>('''H''') ⊂ ''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}} एक वास्तविक बीजगणित है, किंतु यह {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}}की परिसर उपसमष्टि नहीं है। {{math|''M''<sub>''n''</sub>('''H''')}} में {{math|'''i'''}} द्वारा प्रवेश-वार क्वाटरनियोनिक गुणन का उपयोग करके (बाएं से) गुणा करना और फिर {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}} में छवि के लिए मानचित्रण करना सीधे {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}} में {{math|''i''}} द्वारा प्रवेश-वार गुणा करने की तुलना में एक अलग परिणाम देता है। चतुष्कोणीय गुणन नियम {{math|'''i'''(''X'' + '''j'''''Y'') {{=}} ('''i'''''X'') + '''j'''(−'''i'''''Y'')}}) देते हैं जहां नए {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} कोष्ठक के अंदर हैं।
-चतुष्कोणीय सदिशों पर चतुष्कोणीय आव्यूहों की क्रिया को अब जटिल मात्राओं द्वारा दर्शाया जाता है, किंतु अन्यथा यह सामान्य आव्यूहों और सदिशों के समान ही है। चतुर्धातुक समूह इस प्रकार अंतःस्थापित होते हैं {{math|M<sub>2''n''</sub>(''C'')}} जहाँ {{math|''n''}} क्वाटरनियोनिक मैट्रिसेस का आयाम है।
+क्वाटरनियोनिक सदिशों पर क्वाटरनियोनिक आव्यूहों की कार्रवाई अब परिसर मात्राओं द्वारा दर्शायी जाती है, किंतु अन्यथा यह "साधारण" आव्यूहों और सदिशों के समान है। क्वाटरनियोनिक समूह इस प्रकार {{math|M<sub>2''n''</sub>(''C'')}} में सन्निहित हैं जहाँ {{math|''n''}} क्वाटरनियोनिक आव्यूह का आयाम है।
-क्वाटरनियोनिक आव्यूह के निर्धारक को इस प्रतिनिधित्व में इसके प्रतिनिधि आव्यूह के सामान्य जटिल निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है। क्वाटरनियोनिक गुणन की गैर-कम्यूटेटिव प्रकृति, मेट्रिसेस के क्वाटरनियोनिक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट होगी। रास्ता {{math|''M''<sub>''n''</sub>('''H''')}} में सन्निहित है {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}} अद्वितीय नहीं है, किंतु ऐसे सभी एम्बेडिंग संबंधित हैं {{math|''g'' ↦ ''AgA''<sup>−1</sup>, ''g'' ∈ GL(2''n'', '''C''')}} के लिए {{math|''A'' ∈ O(2''n'', '''C''')}}, निर्धारक को अप्रभावित छोड़कर।<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}} Exercise 14, Section 1.1.</ref> का नाम {{math|SL(''n'', '''H''')}} इस जटिल आड़ में है {{math|SU<sup>∗</sup>(2''n'')}}.
+क्वाटरनियोनिक आव्यूह के निर्धारक को इस प्रतिनिधित्व में इसके प्रतिनिधि आव्यूह के सामान्य परिसर निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है। क्वाटरनियोनिक गुणन की गैर-कम्यूटेटिव प्रकृति मेट्रिसेस के क्वाटरनियोनिक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट होगी। जिस तरह से {{math|''M''<sub>''n''</sub>('''H''')}} {{math|''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}} में एम्बेड किया गया है वह अद्वितीय नहीं है, किंतु ऐसे सभी एम्बेडिंग {{math|''g'' ↦ ''AgA''<sup>−1</sup>, ''g'' ∈ GL(2''n'', '''C''')}} के माध्यम से संबंधित हैं {{math|''A'' ∈ O(2''n'', '''C''')}} के लिए, छोड़कर निर्धारक अप्रभावित।<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}} Exercise 14, Section 1.1.</ref> इस परिसर आड़ में {{math|SL(''n'', '''H''')}} का नाम {{math|SU<sup>∗</sup>(2''n'')}} है।
-के स्थिति में विरोध के रूप में {{math|'''C'''}}, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन केस दोनों ही जब कुछ नया लेकर आते हैं {{math|'''H'''}} माना जाता है, इसलिए इन स्थिति पर अलग से विचार किया जाता है।
+{{math|'''C'''}} के स्थिति में विरोध के रूप में, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन दोनों स्थिति {{math|'''H'''}} पर विचार करते समय कुछ नया लाते हैं, इसलिए इन स्थिति को अलग से माना जाता है।
-== जीएल (एन, एच) और एसएल (एन, एच) ==
+== GL(''n'', H) और SL(''n'', H) ==
 उपरोक्त पहचान के तहत,
 :<math>\mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) = \{g \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C})|Jg = \overline{g}J, \mathrm{det}\quad g \ne 0\} \equiv \mathrm{U}^*(2n).</math>
-यह झूठ बीजगणित है {{math|'''gl'''(''n'', '''H''')}} मैपिंग की छवि में सभी मैट्रिसेस का सेट है {{math|''M''<sub>''n''</sub>('''H''') ↔ ''M''<sub>2''n''</sub>('''C''')}ऊपर का},
+इसका लाई बीजगणित {{math|'''gl'''(''n'', '''H''')}} उपरोक्त के मानचित्रण ''M<sub>n</sub>''('''H''') ↔ ''M''<sub>2''n''</sub>('''C''') की छवि में सभी आव्यूह का सेट है,
 :<math>\mathfrak{gl}(n, \mathbb{H}) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X}\end{matrix}\right)\right|X, Y \in \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C})\right\} \equiv \mathfrak{u}^*(2n).</math>
 क्वाटरनियोनिक विशेष रैखिक समूह द्वारा दिया गया है
 :<math>\mathrm{SL}(n, \mathbb{H}) = \{g \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{H})|\mathrm{det}\ g = 1\} \equiv \mathrm{SU}^*(2n),</math>
-जहां निर्धारक को मेट्रिसेस में लिया जाता है {{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}}. वैकल्पिक रूप से, इसे डाययूडोने निर्धारक के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) \rightarrow \mathbb H^*/[\mathbb H^*, \mathbb H^*] \simeq \mathbb{R}_{> 0}^*</math>. झूठ बीजगणित है
+जहां {{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}} में आव्यूह पर निर्धारक लिया जाता है। वैकल्पिक रूप से, इसे डाइयूडोने निर्धारक <math>\mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) \rightarrow \mathbb H^*/[\mathbb H^*, \mathbb H^*] \simeq \mathbb{R}_{> 0}^*</math> के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। लाई बीजगणित है
 :<math>\mathfrak{sl}(n, \mathbb{H}) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X}\end{matrix}\right)\right|Re(\operatorname{Tr}X)  = 0\right\} \equiv \mathfrak{su}^*(2n).</math>
 ==Sp(p, q) - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह ==
-जैसा कि ऊपर जटिल स्थिति में, सामान्य रूप है
+जैसा कि ऊपर परिसर स्थिति में, सामान्य रूप है
 :<math>\varphi(x, y) = \pm \bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n</math>
-और प्लस-साइन की संख्या आधार से स्वतंत्र है। कब {{math|''V'' {{=}} '''H'''<sup>''n''</sup>}} इस फॉर्म के साथ, {{math|Sp(''φ'') {{=}} Sp(''p'', ''q'')}}. संकेतन का कारण यह है कि उपसमूह के रूप में उपरोक्त नुस्खे का उपयोग करके समूह का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है {{math|Sp(''n'', '''C''')}} हस्ताक्षर के एक जटिल-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करना {{math|(2''p'', 2''q'')}}<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref> यदि {{math|''p''}} या {{math|''q'' {{=}} 0}} समूह को दर्शाया गया है {{math|U(''n'', '''H''')}}. इसे कभी-कभी अतिसक्रिय समूह कहा जाता है।
+और प्लस-साइन की संख्या आधार से स्वतंत्र है। जब इस रूप में {{math|''V'' {{=}} '''H'''<sup>''n''</sup>}}, {{math|Sp(''φ'') {{=}} Sp(''p'', ''q'')}}. संकेतन का कारण यह है कि उपरोक्त नुस्खा का उपयोग करते हुए समूह का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, {{math|Sp(''n'', '''C''')}} के एक उपसमूह के रूप में हस्ताक्षर के एक परिसर-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करते हुए {{math|(2''p'', 2''q'')}} यदि {{math|''p''}} या {{math|''q'' {{=}} 0}} समूह को {{math|U(''n'', '''H''')}} दर्शाया गया है। इसे कभी-कभी अतिसक्रिय समूह कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref>
 चतुर्धातुक संकेतन में,
 :<math>\Phi = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} = I_{p,q}</math>
-जिसका अर्थ है कि फॉर्म के क्वाटरनियोनिक मैट्रिसेस
+जिसका अर्थ है कि फॉर्म के क्वाटरनियोनिक आव्यूह
 {{NumBlk|:|<math>
    \mathcal{Q} = \begin{pmatrix} \mathcal{X}_{p \times p} & \mathcal{Z}_{p \times q} \\ \mathcal{Z}^* & \mathcal{Y}_{q \times q} \end{pmatrix}, \quad
@@ Line 345: / Line 354: @@
 संतुष्ट करेगा
 :<math>\Phi^{-1}\mathcal{Q}^*\Phi = -\mathcal{Q},</math>
-के बारे में अनुभाग देखें {{math|'''u'''(''p'', ''q'')}}. चतुर्धातुक आव्यूह गुणन से निपटने के दौरान सावधानी बरतने की आवश्यकता है, किंतु केवल यहाँ {{math|''I''}} और {{math|-''I''}} सम्मिलित हैं और ये हर चतुष्कोणीय आव्यूह के साथ आवागमन करते हैं। अब नुस्खा प्रयुक्त करें ({{EquationNote|8}}) प्रत्येक ब्लॉक के लिए,
+{{math|'''u'''(''p'', ''q'')}} के बारे में अनुभाग देखें। क्वाटरनियोनिक आव्यूह गुणन से निपटने के समय सावधानी बरतने की जरूरत है, किंतु यहां केवल {{math|''I''}} और {{math|-''I''}} ही सम्मिलित हैं और ये प्रत्येक क्वाटरनियन आव्यूह के साथ आवागमन करते हैं। अब नुस्खे ({{EquationNote|8}}) को प्रत्येक ब्लॉक पर प्रयुक्त करें,
 :<math>
    \mathcal{X} = \begin{pmatrix} X_{1 (p \times p)} & -\overline{X}_2 \\ X_2 & \overline{X}_1 \end{pmatrix}, \quad
@@ Line 353: / Line 362: @@
 और संबंधों में ({{EquationNote|9}}) संतुष्ट हो जाएगा यदि
 :<math>X_1^* = -X_1, \quad Y_1^* = -Y_1.</math>
-झूठ बीजगणित बन जाता है
+लाई बीजगणित बन जाता है
 :<math>
    \mathfrak{sp}(p, q) = \left\{\left.
@@ Line 373: / Line 382: @@
      K = \operatorname{diag}\left(I_{p,q}, I_{p,q}\right)\right\}.
 </math>
-के सामान्य रूप में लौट रहा है {{math|''φ''(''w'', ''z'')}} के लिए {{math|Sp(''p'', ''q'')}}, प्रतिस्थापन करें {{math|''w'' → ''u'' + ''jv''}} और {{math|''z'' → ''x'' + ''jy''}} साथ {{math|u, v, x, y ∈ '''C'''<sup>''n''</sup>}}. तब
+{{math|Sp(''p'', ''q'')}} के लिए {{math|''φ''(''w'', ''z'')}} के सामान्य रूप पर लौटते हुए, {{math|''w'' → ''u'' + ''jv''}} और {{math|''z'' → ''x'' + ''jy''}} को {{math|u, v, x, y ∈ '''C'''<sup>''n''</sup>}} से प्रतिस्थापित करें। तब
 :<math>
    \varphi(w, z) =
@@ Line 381: / Line 390: @@
    K_{p, q} = \mathrm{diag}\left(I_{p, q}, I_{p, q}\right)
 </math>
-एक के रूप में देखा गया {{math|'''H'''}}-मूल्यवान रूप पर {{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}}.<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}}Exercise 11, Chapter 1.</ref> इस प्रकार के तत्व {{math|Sp(''p'', ''q'')}}, के रैखिक परिवर्तनों के रूप में देखा गया {{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}}, हर्मिटियन प्रकार के हस्ताक्षर दोनों को सुरक्षित रखें {{math|(2''p'', 2''q'')}} और एक गैर-पतित तिरछा-सममित रूप। दोनों रूप विशुद्ध रूप से जटिल मान लेते हैं और के पूर्ववर्ती के कारण {{math|'''j'''}} दूसरे रूप में, वे अलग से संरक्षित हैं। इस का मतलब है कि
+{{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}} पर {{math|'''H'''}}-वैल्यू फॉर्म के रूप में देखा जाता है।<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}}Exercise 11, Chapter 1.</ref> इस प्रकार {{math|Sp(''p'', ''q'')}} के तत्व, {{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}} के रैखिक परिवर्तनों के रूप में देखे जाते हैं हस्ताक्षर के हर्मिटियन रूप {{math|(2''p'', 2''q'')}} और एक गैर-पतित तिरछा-सममित रूप दोनों को संरक्षित करते हैं। दोनों रूप विशुद्ध रूप से परिसर मान लेते हैं और दूसरे रूप के {{math|'''j'''}} के पूर्ववर्ती होने के कारण वे अलग-अलग संरक्षित होते हैं। इस का अर्थ है कि
 :<math>\mathrm{Sp}(p, q) = \mathrm{U}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_1\right) \cap \mathrm{Sp}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_2\right)</math>
 और यह समूह के नाम और अंकन दोनों की व्याख्या करता है।
-===== द<sup>∗</sup>(2n) = O(n, H)- क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल ग्रुप =====
+===== O<sup>∗</sup>(2''n'') = O(''n'', H)- क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल समूह =====
 तिरछा-हर्मिटियन रूप के लिए सामान्य रूप किसके द्वारा दिया जाता है
 :<math>\varphi(x, y) = \bar{\xi_1}\mathbf{j}\eta_1 + \bar{\xi_2}\mathbf{j}\eta_2 \cdots + \bar{\xi_n}\mathbf{j}\eta_n,</math>
-जहाँ {{math|'''j'''}} ऑर्डर की गई सूची में तीसरा आधार चतुर्धातुक है {{math|('''1''', '''i''', '''j''', '''k''')}}. इस स्थिति में, {{math|Aut(''φ'') {{=}} O<sup>∗</sup>(2''n'')}} उपसमूह के रूप में ऊपर के जटिल आव्यूह एन्कोडिंग का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है {{math|O(2''n'', '''C''')}} जो हस्ताक्षर के एक गैर-पतित जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है {{math|(''n'', ''n'')}}.<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref> सामान्य रूप से कोई देखता है कि चतुष्कोणीय संकेतन में
+जहाँ {{math|'''j'''}} क्रमित सूची {{math|('''1''', '''i''', '''j''', '''k''')}} में तीसरा आधार चतुर्धातुक है। इस स्थिति में, {{math|Aut(''φ'') {{=}} O<sup>∗</sup>(2''n'')}} को {{math|O(2''n'', '''C''')}} के एक उपसमूह के रूप में ऊपर के परिसर आव्यूह एन्कोडिंग का उपयोग करके अनुभव किया जा सकता है जो हस्ताक्षर के एक गैर-पतित परिसर तिरछा-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है {{math|(''n'', ''n'')}} <ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 94.</ref> सामान्य रूप से कोई देखता है कि चतुष्कोणीय संकेतन में
 :<math>\Phi =
    \left(\begin{smallmatrix}
@@ Line 398: / Line 407: @@
 और से ({{EquationNote|6}}) उसका अनुसरण करता है
 {{NumBlk|:|<math>-\Phi V^*\Phi = -V \Leftrightarrow V^* = \mathrm{j}_n V\mathrm{j}_n.</math>|{{EquationRef|9}}}}
-के लिए {{math|''V'' ∈ '''o'''(2''n'')}}. अब डालो
+{{math|''V'' ∈ '''o'''(2''n'')}} के लिए अब डालो
 :<math>V = X + \mathbf{j}Y \leftrightarrow \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X} \end{matrix}\right)</math>
-नुस्खे के अनुसार ({{EquationNote|8}}). एक ही नुस्खे के लिए पैदावार {{math|Φ}},
+नुस्खे के अनुसार ({{EquationNote|8}}) {{math|Φ}} के लिए एक ही नुस्खे की उपज होती है,
 :<math>\Phi \leftrightarrow \left(\begin{matrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{matrix}\right) \equiv J_{n}.</math>
-अब अंतिम नियम में ({{EquationNote|9}}) जटिल संकेतन में पढ़ता है
+अब अंतिम नियम में ({{EquationNote|9}}) परिसर संकेतन में पढ़ता है
 :<math>
    \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right)^* =
@@ Line 410: / Line 421: @@
    X^\mathrm{T} = -X, \quad \overline{Y}^\mathrm{T} = Y.
 </math>
-झूठ बीजगणित बन जाता है
+लाई बीजगणित बन जाता है
 :<math>\mathfrak{o}^*(2n) = \left\{\left. \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right)\right| X^\mathrm{T} = -X, \quad \overline{Y}^\mathrm{T} = Y\right\},</math>
 और समूह द्वारा दिया गया है
@@ Line 420: / Line 431: @@
 समूह {{math|SO<sup>∗</sup>(2''n'')}} के रूप में वर्णित किया जा सकता है
 :<math>\mathrm{O}^*(2n) = \left\{g \in \mathrm{O}(2n, \mathbb{C}) \mid \theta\left(\overline{g}\right) = g\right\},</math><ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}} p.11.</ref>
-जहां नक्शा {{math|''θ'': GL(2''n'', '''C''') → GL(2''n'', '''C''')}} द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''g'' ↦ −''J''<sub>2''n''</sub>''gJ''<sub>2''n''</sub>}}.
+जहाँ मानचित्र {{math|''θ'': GL(2''n'', '''C''') → GL(2''n'', '''C''')}} को {{math|''g'' ↦ −''J''<sub>2''n''</sub>''gJ''<sub>2''n''</sub>}} द्वारा परिभाषित किया गया है।
-साथ ही, समूह का निर्धारण करने वाले फॉर्म को एक के रूप में देखा जा सकता है {{math|'''H'''}}-मूल्यवान रूप पर {{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}}.<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}} Exercise 12 Chapter 1.</ref> प्रतिस्थापन करें {{math|''x'' → ''w''<sub>1</sub> + ''iw''<sub>2</sub>}} और {{math|''y'' → ''z''<sub>1</sub> + ''iz''<sub>2</sub>}} प्रपत्र के लिए अभिव्यक्ति में। तब
+साथ ही, समूह का निर्धारण करने वाले फॉर्म को {{math|'''C'''<sup>2''n''</sup>}} पर {{math|'''H'''}}-मूल्यवान रूप के रूप में देखा जा सकता है।<ref>{{harvnb|Goodman|Wallach|2009}} Exercise 12 Chapter 1.</ref> फॉर्म के व्यंजक में {{math|''x'' → ''w''<sub>1</sub> + ''iw''<sub>2</sub>}} और {{math|''y'' → ''z''<sub>1</sub> + ''iz''<sub>2</sub>}} को प्रतिस्थापित करें तब
-:<math>\varphi(x, y) = \overline{w}_2 I_n z_1 - \overline{w}_1 I_n z_2 + \mathbf{j}(w_1 I_n z_1 + w_2 I_n z_2) = \overline{\varphi_1(w, z)} + \mathbf{j}\varphi_2(w, z).</math> फार्म {{math|''φ''<sub>1</sub>}} हस्ताक्षर का हर्मिटियन है (जबकि बाईं ओर का पहला रूप तिरछा-हर्मिटियन है)। {{math|(''n'', ''n'')}}. हस्ताक्षर से आधार के परिवर्तन से स्पष्ट किया जाता है {{math|('''e''', '''f''')}} को {{math|(('''e''' + ''i'''''f''')/{{sqrt|2}}, ('''e''' − ''i'''''f''')/{{sqrt|2}})}} जहाँ {{math|'''e''', '''f'''}} प्रथम और अंतिम हैं {{math|''n''}} आधार वैक्टर क्रमशः। दूसरा रूप, {{math|''φ''<sub>2</sub>}} सममित सकारात्मक निश्चित है। इस प्रकार, कारक के कारण {{math|'''j'''}}, {{math|'''O'''<sup>∗</sup>(2''n'')}} दोनों को अलग-अलग संरक्षित करता है और यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि
+:<math>\varphi(x, y) = \overline{w}_2 I_n z_1 - \overline{w}_1 I_n z_2 + \mathbf{j}(w_1 I_n z_1 + w_2 I_n z_2) = \overline{\varphi_1(w, z)} + \mathbf{j}\varphi_2(w, z).</math>
+:फॉर्म {{math|''φ''<sub>1</sub>}} हस्ताक्षर {{math|(''n'', ''n'')}} का हर्मिटियन है (जबकि बाईं ओर का पहला फॉर्म तिरछा-हर्मिटियन है)। हस्ताक्षर को {{math|('''e''', '''f''')}} से {{math|(('''e''' + ''i'''''f''')/{{sqrt|2}}, ('''e''' − ''i'''''f''')/{{sqrt|2}})}} के आधार में परिवर्तन से स्पष्ट किया जाता है, जहां {{math|'''e''', '''f'''}} क्रमशः पहले और अंतिम {{math|''n''}} आधार सदिश हैं। दूसरा रूप, {{math|''φ''<sub>2</sub>}} सममित सकारात्मक निश्चित है। इस प्रकार, कारक {{math|'''j'''}} के कारण, {{math|'''O'''<sup>∗</sup>(2''n'')}} दोनों को अलग-अलग संरक्षित करता है और यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है
 :<math>\mathrm{O}^*(2n) = \mathrm{O}(2n, \mathbb{C}) \cap \mathrm{U}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_1\right),</math>
 और अंकन ओ समझाया गया है।
-== सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर मौलिक समूह ==
+== सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर चिरसम्मत समूह ==
-मौलिक समूह, अधिक व्यापक रूप से बीजगणित में माने जाते हैं, विशेष रूप से दिलचस्प [[मैट्रिक्स समूह|आव्यूह समूह]] प्रदान करते हैं। जब आव्यूह समूह के गुणांकों का क्षेत्र (गणित) F या तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है, तो ये समूह केवल मौलिक लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक [[परिमित क्षेत्र]] होता है, तो मौलिक समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। साथ ही, कोई मौलिक समूहों को एफ पर एकात्मक सहयोगी बीजगणित आर पर विचार कर सकता है; जहाँ R = quaternion|'H' (वास्तविकता पर एक बीजगणित) एक महत्वपूर्ण स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। व्यापकता के लिए लेख में R से ऊपर के समूहों का उल्लेख किया जाएगा, जहाँ R स्वयं ग्राउंड क्षेत्र F हो सकता है।
+चिरसम्मत समूह अधिकत्तम व्यापक रूप से बीजगणित में माने जाते हैं, विशेष रूप से रौचक [[मैट्रिक्स समूह|आव्यूह समूह]] प्रदान करते हैं। जब आव्यूह समूह के गुणांकों का क्षेत्र (गणित) F या तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है तो ये समूह केवल चिरसम्मत लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक [[परिमित क्षेत्र]] होता है तो चिरसम्मत समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। साथ ही कोई चिरसम्मत समूहों को एफ पर एकात्मक सहयोगी बीजगणित ''R'' पर विचार कर सकता है; जहाँ ''R'' = '''H''' (वास्तविकता पर एक बीजगणित) एक महत्वपूर्ण स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। व्यापकता के लिए लेख में R से ऊपर के समूहों का उल्लेख किया जाएगा जहाँ R स्वयं ग्राउंड क्षेत्र F हो सकता है।
-उनके अमूर्त समूह सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, कई रेखीय समूहों में एक 'विशेष' उपसमूह होता है, जिसमें आम तौर पर ग्राउंड फील्ड पर निर्धारक 1 के तत्व सम्मिलित होते हैं, और उनमें से अधिकतर 'प्रक्षेपी' भागफल से जुड़े होते हैं, जो समूह के केंद्र द्वारा भागफल होते हैं। . विशेषता 2 एस में ऑर्थोगोनल समूहों के लिए एक अलग अर्थ है।
+उनके अमूर्त समूह सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, कई रेखीय समूहों में एक 'विशेष' उपसमूह होता है, जिसमें सामान्यतः ग्राउंड क्षेत्र पर निर्धारक 1 के तत्व सम्मिलित होते हैं और उनमें से अधिकतर 'प्रक्षेपी' भागफल से जुड़े होते हैं जो समूह के केंद्र द्वारा भागफल होते हैं। . विशेषता 2 एस में ऑर्थोगोनल समूहों के लिए एक अलग अर्थ है।
-समूह के नाम के सामने 'सामान्य' शब्द का सामान्यतः मतलब होता है कि समूह को स्थिर छोड़ने के बजाय किसी प्रकार के रूप को स्थिरांक से गुणा करने की अनुमति है। सबस्क्रिप्ट एन सामान्यतः [[मॉड्यूल (बीजगणित)]] के आयाम को इंगित करता है जिस पर समूह कार्य कर रहा है; यदि R = F है तो यह एक सदिश स्थान है। कैविएट: यह संकेतन Dynkin आरेखों के n के साथ कुछ हद तक टकराता है, जो रैंक है।
+समूह के नाम के सामने 'सामान्य' शब्द का सामान्यतः अर्थ होता है कि समूह को स्थिर छोड़ने के अतिरिक्त किसी प्रकार के रूप को स्थिरांक से गुणा करने की अनुमति है। सबस्क्रिप्ट एन सामान्यतः [[मॉड्यूल (बीजगणित)]] के आयाम को इंगित करता है जिस पर समूह कार्य कर रहा है; यदि R = F है तो यह एक सदिश स्थान है। कैविएट: यह संकेतन डाइंकिन आरेखों के n के साथ कुछ सीमा तक टकराता है जो पद है।
 === सामान्य और विशेष रैखिक समूह ===
-सामान्य रैखिक समूह जीएल<sub>''n''</sub>(आर) आर के सभी आर-रैखिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह है<sup>एन</sup>. एक उपसमूह है: विशेष रैखिक समूह एसएल<sub>''n''</sub>(आर), और उनके भागफल: [[प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह]] पीजीएल<sub>''n''</sub>(र) = गल<sub>''n''</sub>(आर) / जेड (जीएल<sub>''n''</sub>(आर)) और [[प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह]] पीएसएल<sub>''n''</sub>(आर) = एसएल<sub>''n''</sub>(आर) / जेड (एसएल<sub>''n''</sub>(आर))। प्रोजेक्टिव स्पेशल लीनियर ग्रुप PSL<sub>''n''</sub>(एफ) एक क्षेत्र पर एफ एन ≥ 2 के लिए सरल है, दो स्थिति को छोड़कर जब एन = 2 और क्षेत्र में आदेश है{{clarify|date=February 2014}} 2 या 3।
+सामान्य रेखीय समूह GL<sub>''n''</sub>(''R''), ''R<sup>n</sup>'' के सभी R-रैखिक स्वाकारणों का समूह है। एक उपसमूह है: विशेष रैखिक समूह SL<sub>''n''</sub>(''R''), , और उनके भागफल: प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह PGL<sub>''n''</sub>(''R'') = GL<sub>''n''</sub>(''R'')/Z(GL<sub>''n''</sub>(''R'')) और प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL<sub>''n''</sub>(''R'') = SL<sub>''n''</sub>(''R'')/Z(SL<sub>''n''</sub>(''R'')). प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह PSL<sub>''n''</sub>(''F'') एक क्षेत्र F पर n ≥ 2 के लिए सरल है, दो स्थिति को छोड़कर जब n = 2 और क्षेत्र का क्रम 2 या 3 है।
 === [[एकात्मक समूह]] ===
-एकात्मक समूह यू<sub>''n''</sub>(आर) एक मॉड्यूल पर एक सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करने वाला एक समूह है। एक उपसमूह है, विशेष एकात्मक समूह एसयू<sub>''n''</sub>(आर) और उनके भागफल प्रक्षेपी एकात्मक समूह पीयू<sub>''n''</sub>(आर) = यू<sub>''n''</sub>(आर) / जेड (यू<sub>''n''</sub>(आर)) और [[अनुमानित विशेष एकात्मक समूह]] पीएसयू<sub>''n''</sub>(आर) = उसका<sub>''n''</sub>(आर) / जेड (एसयू<sub>''n''</sub>(आर))
+एकात्मक समूह U<sub>''n''</sub>(''R'') एक समूह है जो मॉड्यूल पर एक सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष एकात्मक समूह SU<sub>''n''</sub>(''R'') और उनके गुणक प्रक्षेपी एकात्मक समूह PU<sub>''n''</sub>(''R'') = U<sub>''n''</sub>(''R'')/Z(U<sub>''n''</sub>(''R'')) और प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह PSU<sub>''n''</sub>(''R'') = SU<sub>''n''</sub>(''R'')/Z(SU<sub>''n''</sub>(''R''))
 === सहानुभूतिपूर्ण समूह ===
-सहानुभूति समूह सपा<sub>2''n''</sub>(आर) एक मॉड्यूल पर [[तिरछा सममित रूप]] रखता है। इसका एक भागफल है, [[प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह]] PSP<sub>2''n''</sub>(आर)। सामान्य सहानुभूति समूह जीएसपी<sub>2''n''</sub>(आर) कुछ उलटा स्केलर द्वारा एक तिरछा सममित रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं। प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSP<sub>2''n''</sub>(एफ<sub>''q''</sub>) पीएसपी के स्थिति को छोड़कर, एक परिमित क्षेत्र पर एन ≥ 1 के लिए सरल है<sub>2</sub> दो और तीन तत्वों के क्षेत्र में।
+सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp<sub>2''n''</sub>(''R'') एक मॉड्यूल पर तिरछा सममित रूप रखता है। इसका एक भागफल है, प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSp<sub>2''n''</sub>(''R''). सामान्य सहानुभूतिपूर्ण समूह GSp<sub>2''n''</sub>(''R'') में एक मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज़्म होते हैं जो कुछ उलटा स्केलर द्वारा तिरछे सममित रूप को गुणा करते हैं। दो और तीन तत्वों के क्षेत्र में PSp<sub>2</sub> के स्थिति को छोड़कर, एक परिमित क्षेत्र पर प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSp<sub>2''n''</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>) n ≥ 1 के लिए सरल है।
 ===[[ऑर्थोगोनल समूह]] ===
-ऑर्थोगोनल ग्रुप ओ<sub>''n''</sub>(आर) एक मॉड्यूल पर एक गैर-पतित द्विघात रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष लांबिक समूह SO<sub>''n''</sub>(आर) और भागफल, [[ प्रक्षेपी ओर्थोगोनल समूह ]] पीओ<sub>''n''</sub>(आर), और [[ प्रक्षेपी विशेष ओर्थोगोनल समूह ]] पीएसओ<sub>''n''</sub>(आर)। विशेषता 2 में निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह को अक्सर ऑर्थोगोनल समूह 1 के तत्वों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।
+ऑर्थोगोनल ग्रुप O<sub>''n''</sub>(''R'') एक मॉड्यूल पर एक गैर-पतित द्विघात रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO<sub>''n''</sub>(''R'') और भागफल, प्रक्षेप्य ऑर्थोगोनल समूह POn(R), और प्रक्षेप्य विशेष ऑर्थोगोनल समूह PSOn(R)। विशेषता 2 में निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह को अधिकांशतः डिक्सन इनवेरिएंट 1 के तत्वों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।
+एक अनाम समूह है जिसे अधिकांशतः Ω<sub>''n''</sub>(''R'') द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसमें संबंधित उपसमूह और भागफल समूह SΩn(R), PΩn(R), PSΩn(R) के साथ, स्पिनर मानदंड 1 के तत्वों के ऑर्थोगोनल समूह के तत्व सम्मिलित होते हैं। (वास्तविक से अधिकत्तम सकारात्मक निश्चित द्विघात रूपों के लिए, समूह Ω ओर्थोगोनल समूह के समान होता है, किंतु सामान्यतः यह छोटा होता है।) Ωn(R) का एक दोहरा आवरण भी होता है, जिसे पिन समूह Pin<sub>''n''</sub>(''R''), कहा जाता है। ) और इसका एक उपसमूह है जिसे स्पिन समूह Spin<sub>''n''</sub>(''R'') कहा जाता है। सामान्य ऑर्थोगोनल समूह GO<sub>''n''</sub>(''R'') में कुछ उलटा स्केलर द्वारा द्विघात रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं।
-एक अनाम समूह होता है जिसे अक्सर Ω द्वारा निरूपित किया जाता है<sub>''n''</sub>(आर) [[स्पिनर मानदंड]] 1 के तत्वों के ऑर्थोगोनल समूह के तत्वों से मिलकर, इसी उपसमूह और भागफल समूहों SΩ के साथ<sub>''n''</sub>(आर), पीओ<sub>''n''</sub>(आर), पी.एस.ओ<sub>''n''</sub>(आर)। (वास्तविक से अधिक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूपों के लिए, समूह Ω ऑर्थोगोनल समूह के समान होता है, किंतु सामान्य तौर पर यह छोटा होता है।) Ω का दोहरा आवरण भी होता है<sub>''n''</sub>(आर), [[पिन समूह]] पिन कहा जाता है<sub>''n''</sub>(आर), और इसका एक उपसमूह है जिसे [[स्पिन समूह]] स्पिन कहा जाता है<sub>''n''</sub>(आर)। सामान्य ओर्थोगोनल समूह GO<sub>''n''</sub>(आर) कुछ उलटा स्केलर द्वारा द्विघात रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं।
+'''रल समूहोंया तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है तो ये समूह केवल चिरसम्मत लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक [[परिमित क्षेत्र]] होता है तो चिरसम्मत समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के'''
-=== सांकेतिक परंपराएं ===
+=== सांकेतिक परंपराएं                                                                                     ===
-{{details|Group of Lie type#Notation issues}}
+{{details|झूठ के प्रकार का समूह या अंकन उद्देश्य }}
-== [[असाधारण झूठ समूह]]ों के साथ तुलना ==
+== [[असाधारण झूठ समूह|असाधारण लाई समूह]] के साथ तुलना ==
-मौलिक झूठ समूहों के विपरीत असाधारण झूठ समूह हैं, जी<sub>2</sub>,  एफ<sub>4</sub>,  और<sub>6</sub>,  और<sub>7</sub>,  और<sub>8</sub>, जो अपने सार गुणों को साझा करते हैं, किंतु उनकी परिचितता को नहीं।<ref>Wybourne, B. G. (1974). ''Classical Groups for Physicists'', Wiley-Interscience. {{ISBN|0471965057}}.</ref> इन्हें केवल 1890 के आसपास [[ विल्हेम हत्या ]] और एली कार्टन द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण में खोजा गया था।
+चिरसम्मत लाई समूहों के साथ तुलना में असाधारण लाई समूह, G<sub>2</sub>, F<sub>4</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, हैं, जो उनके अमूर्त गुणों को साझा करते हैं किंतु उनकी परिचितता नहीं।<ref>Wybourne, B. G. (1974). ''Classical Groups for Physicists'', Wiley-Interscience. {{ISBN|0471965057}}.</ref> इन्हें केवल 1890 के आसपास विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा परिसर संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण में खोजा गया था।
 ==टिप्पणियाँ==
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 *{{citation|last=Rossmann|first= Wulf|title=Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups|publisher=Oxford Science Publications|year=2002|series=Oxford Graduate Texts in Mathematics|isbn=0-19-859683-9|postscript=<!--none-->}}
 *{{Citation |last1=Weyl |first1=Hermann |author1-link=Hermann Weyl |title=The Classical Groups. Their Invariants and Representations |url=https://books.google.com/books?isbn=0691057567 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-0-691-05756-9 |mr=0000255 |year=1939}}
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चिरसम्मत समूह: Difference between revisions

Latest revision as of 15:21, 13 June 2023

चिरसम्मत समूह

बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर फॉर्म

सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूप

ऑटोमोर्फिज्म समूह

ऑट (φ) - ऑटोमोर्फिज्म समूह

बिलिनियर केस

असली स्थिति

O(p, q) और O(n) - ऑर्थोगोनल समूह

Sp(m, R) - वास्तविक सहानुभूतिपूर्ण समूह

परिसर स्थिति

हे (एन, सी) - परिसर ओर्थोगोनल समूह

Sp(m, C) - परिसर सहानुभूतिपूर्ण समूह

सेस्क्विलिनियर केस

परिसर स्थिति

यू (पी, क्यू) और यू (एन) - एकात्मक समूह

चतुर्धातुक स्थिति

GL(n, H) और SL(n, H)

Sp(p, q) - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह

O∗(2n) = O(n, H)- क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल समूह

सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर चिरसम्मत समूह

सामान्य और विशेष रैखिक समूह

एकात्मक समूह

सहानुभूतिपूर्ण समूह

ऑर्थोगोनल समूह

सांकेतिक परंपराएं

असाधारण लाई समूह के साथ तुलना

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