आव्यूह विश्लेषणिक विधि

प्रायिकता सिद्धांत में, आव्यूह विश्लेषणिक विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग मार्कॉव श्रृंखला के स्थायी प्रासंगिकता वितरण की गणना के लिए किया जाता है जो किसी निश्चित बिंदु के बाद एक बार पुनरावर्ती संरचना और एकांत्रित स्थिति अंतराल में अंतिम नहीं होता है और न किसी आयाम में असीमित रूप से विकसित होता है। ऐसे प्रारूपों को प्रायःएम/जी/1 प्रकार की मार्कोव श्रृंखलाओं के रूप में वर्णित किया जाता है क्योंकि वेएम/जी/1 कतार में परिवर्तन का वर्णन कर सकते हैं। विधि आव्यूह ज्यामितीय विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है और एम/जी/1 श्रृंखलाओं के लिए पारंपरिक समाधान विधि है।

विधि विवरण

एक एम/जी/1-प्रकार के प्रसंभाव्य आव्यूह का रूप निम्नलिखित है

$P={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}&\cdots \\A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\&A_{0}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\&&A_{0}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}$

जहां बी_i और ए_i k × k आव्यूह हैं। ऐसा आव्यूह एम/जी/1 कतार में अन्तःस्थापित मार्कोव श्रृंखला का वर्णन करता है। यदि P अविभाज्य और सकारात्मक पुनरावृत्ति है, तो स्थायी वितरण निम्नलिखित समीकरणों के समाधान द्वारा दिया जाता है:

$P\pi =\pi \quad {\text{ and }}\quad \mathbf {e} ^{\text{T}}\pi =1$

जहां ई, 1 के समान सभी मानों के साथ उपयुक्त आयाम के सदिशों का प्रतिनिधित्व करता है। P की संरचना के साथ मेल खाते हुए, π को π1, π2, π3, ... में विभाजित किया जाता है। इन संभावनाओं की गणना करने के लिए खंड प्रसंभाव्य आव्यूह जी की गणना की जाती है

$G=\sum _{i=0}^{\infty }G^{i}A_{i}.$

G को सहायक आव्यूह कहा जाता है। आव्यूहों को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता हैं

${\begin{aligned}{\overline {A}}_{i+1}&=\sum _{j=i+1}^{\infty }G^{j-i-1}A_{j}\\{\overline {B}}_{i}&=\sum _{j=i}^{\infty }G^{j-i}B_{j}\end{aligned}}$

पुनः π₀ को हल करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त किया जाता है

${\begin{aligned}{\overline {B}}_{0}\pi _{0}&=\pi _{0}\\\quad \left(\mathbf {e} ^{\text{T}}+\mathbf {e} ^{\text{T}}\left(I-\sum _{i=1}^{\infty }{\overline {A}}_{i}\right)^{-1}\sum _{i=1}^{\infty }{\overline {B}}_{i}\right)\pi _{0}&=1\end{aligned}}$

और πi को रामस्वामी के सूत्र द्वारा दिया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर संबंध है और जिसे 1988 में वैद्यनाथन रामस्वामी ने पहली बार प्रकाशित किया था।

$\pi _{i}=(I-{\overline {A}}_{1})^{-1}\left[{\overline {B}}_{i+1}\pi _{0}+\sum _{j=1}^{i-1}{\overline {A}}_{i+1-j}\pi _{j}\right],i\geq 1.$

'जी' की गणना

'जी' की गणना के लिए दो लोकप्रिय पुनरावृत्त विधियाँ हैं,

• कार्यात्मक पुनरावृत्तियाँ।
• चक्रीय कमी।

उपकरण

• एमएएम सॉल्वर