आव्यूह विश्लेषणिक विधि: Difference between revisions

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Latest revision as of 14:04, 14 June 2023

प्रायिकता सिद्धांत में, आव्यूह विश्लेषणिक विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग मार्कॉव श्रृंखला के स्थायी प्रासंगिकता वितरण की गणना के लिए किया जाता है जो किसी निश्चित बिंदु के बाद एक बार पुनरावर्ती संरचना और एकांत्रित स्थिति अंतराल में अंतिम नहीं होता है और न किसी आयाम में असीमित रूप से विकसित होता है।[1][2] ऐसे प्रारूपों को प्रायःएम/जी/1 प्रकार की मार्कोव श्रृंखलाओं के रूप में वर्णित किया जाता है क्योंकि वेएम/जी/1 कतार में परिवर्तन का वर्णन कर सकते हैं।[3][4] विधि आव्यूह ज्यामितीय विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है और एम/जी/1 श्रृंखलाओं के लिए पारंपरिक समाधान विधि है।[5]


विधि विवरण

एक एम/जी/1-प्रकार के प्रसंभाव्य आव्यूह का रूप निम्नलिखित है[3]

जहां बीi और एi k × k आव्यूह हैं। ऐसा आव्यूह एम/जी/1 कतार में अन्तःस्थापित मार्कोव श्रृंखला का वर्णन करता है।[6][7] यदि P अविभाज्य और सकारात्मक पुनरावृत्ति है, तो स्थायी वितरण निम्नलिखित समीकरणों के समाधान द्वारा दिया जाता है:[3]

जहां ई, 1 के समान सभी मानों के साथ उपयुक्त आयाम के सदिशों का प्रतिनिधित्व करता है। P की संरचना के साथ मेल खाते हुए, π को π1, π2, π3, ... में विभाजित किया जाता है। इन संभावनाओं की गणना करने के लिए खंड प्रसंभाव्य आव्यूह जी की गणना की जाती है[3]

G को सहायक आव्यूह कहा जाता है।[8] आव्यूहों को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता हैं[3]

पुनः π0 को हल करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त किया जाता है[3]

और πi को रामस्वामी के सूत्र द्वारा दिया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर संबंध है और जिसे 1988 में वैद्यनाथन रामस्वामी ने पहली बार प्रकाशित किया था।[3][9]

'जी' की गणना

'जी' की गणना के लिए दो लोकप्रिय पुनरावृत्त विधियाँ हैं,[10][11]

उपकरण


संदर्भ

  1. Harchol-Balter, M. (2012). "Phase-Type Distributions and Matrix-Analytic Methods". प्रदर्शन मॉडलिंग और कंप्यूटर सिस्टम का डिजाइन. pp. 359–379. doi:10.1017/CBO9781139226424.028. ISBN 9781139226424.
  2. Neuts, M. F. (1984). "क्यूइंग सिद्धांत में मैट्रिक्स-विश्लेषणात्मक तरीके". European Journal of Operational Research. 15: 2–12. doi:10.1016/0377-2217(84)90034-1.
  3. 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Meini, B. (1997). "रामास्वामी के फॉर्मूले का एक बेहतर एफएफटी-आधारित संस्करण". Communications in Statistics. Stochastic Models. 13 (2): 223–238. doi:10.1080/15326349708807423.
  4. Stathopoulos, A.; Riska, A.; Hua, Z.; Smirni, E. (2005). "Bridging ETAQA and Ramaswami's formula for the solution of M/G/1-type processes". Performance Evaluation. 62 (1–4): 331–348. CiteSeerX 10.1.1.80.9473. doi:10.1016/j.peva.2005.07.003.
  5. Riska, A.; Smirni, E. (2002). "M/G/1-Type Markov Processes: A Tutorial" (PDF). Performance Evaluation of Complex Systems: Techniques and Tools. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2459. pp. 36. doi:10.1007/3-540-45798-4_3. ISBN 978-3-540-44252-3.
  6. Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Shridharbhai Trivedi, Kishor (2006). Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications (2 ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 250. ISBN 978-0471565253.
  7. Artalejo, Jesús R.; Gómez-Corral, Antonio (2008). "The Matrix-Analytic Formalism". रेट्रियल क्यूइंग सिस्टम. pp. 187–205. doi:10.1007/978-3-540-78725-9_7. ISBN 978-3-540-78724-2.
  8. Riska, A.; Smirni, E. (2002). "Exact aggregate solutions for M/G/1-type Markov processes". ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review. 30: 86. CiteSeerX 10.1.1.109.2225. doi:10.1145/511399.511346.
  9. Ramaswami, V. (1988). "A stable recursion for the steady state vector in markov chains of m/g/1 type". Communications in Statistics. Stochastic Models. 4: 183–188. doi:10.1080/15326348808807077.
  10. Bini, D. A.; Latouche, G.; Meini, B. (2005). संरचित मार्कोव जंजीरों के लिए संख्यात्मक तरीके. doi:10.1093/acprof:oso/9780198527688.001.0001. ISBN 9780198527688.
  11. Meini, B. (1998). "Solving m/g/l type markov chains: Recent advances and applications". Communications in Statistics. Stochastic Models. 14 (1–2): 479–496. doi:10.1080/15326349808807483.
  12. Riska, A.; Smirni, E. (2002). "MAMSolver: A Matrix Analytic Methods Tool". Computer Performance Evaluation: Modelling Techniques and Tools. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2324. p. 205. CiteSeerX 10.1.1.146.2080. doi:10.1007/3-540-46029-2_14. ISBN 978-3-540-43539-6.