प्रमुख कारकों की तालिका: Difference between revisions
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* n के अभाज्य गुणनखंड p की 'बहुलता' का सबसे बड़ा घातांक m है जिसके लिए p<sup>m</sup>, n को विभाजित करता है। तालिकाएँ प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए बहुलता दिखाती हैं। यदि कोई घातांक नहीं लिखा जाता है तो बहुलता 1 होती है (क्योंकि p = p<sup>1) अभाज्य की बहुलता जो n को विभाजित नहीं करती है उसे 0 कहा जा सकता है या अपरिभाषित माना जा सकता है। | * n के अभाज्य गुणनखंड p की 'बहुलता' का सबसे बड़ा घातांक m है जिसके लिए p<sup>m</sup>, n को विभाजित करता है। तालिकाएँ प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए बहुलता दिखाती हैं। यदि कोई घातांक नहीं लिखा जाता है तो बहुलता 1 होती है (क्योंकि p = p<sup>1) अभाज्य की बहुलता जो n को विभाजित नहीं करती है उसे 0 कहा जा सकता है या अपरिभाषित माना जा सकता है। | ||
*Ω(n), बड़ा ओमेगा फलन (अभाज्य गुणनखंड), बहुलता के साथ गिने जाने वाले n के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है (इसलिए यह सभी अभाज्य गुणकों का योग है)। | *Ω(n), बड़ा ओमेगा फलन (अभाज्य गुणनखंड), बहुलता के साथ गिने जाने वाले n के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है (इसलिए यह सभी अभाज्य गुणकों का योग है)। | ||
*अभाज्य संख्या में Ω(n) = 1 | *अभाज्य संख्या में Ω(n) = 1 होता है। प्रथम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 {{OEIS|id=A000040}} कई विशेष प्रकार की अभाज्य संख्याएँ होती हैं। | ||
*मिश्रित संख्या में Ω(n) > 1 होता है। प्रथम: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 {{OEIS|id=A002808}} 1 से ऊपर की सभी संख्याएँ या तो अभाज्य हैं या संयुक्त हैं। 1 भी नहीं है। | *मिश्रित संख्या में Ω(n) > 1 होता है। प्रथम: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 {{OEIS|id=A002808}} 1 से ऊपर की सभी संख्याएँ या तो अभाज्य हैं या संयुक्त हैं। 1 भी नहीं है। | ||
* अर्द्ध अभाज्य में Ω(n) = 2 होता है (इसलिए यह समग्र है)। प्रथम: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34 {{OEIS|id=A001358}}. | * अर्द्ध अभाज्य में Ω(n) = 2 होता है (इसलिए यह समग्र है)। प्रथम: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34 {{OEIS|id=A001358}}. | ||
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*वर्ग संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंडों के लिए सम बहुलता होती है (यह कुछ a के लिए a<sup>2</sup> के रूप का होता है) प्रथम: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 {{OEIS|id=A000290}}. | *वर्ग संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंडों के लिए सम बहुलता होती है (यह कुछ a के लिए a<sup>2</sup> के रूप का होता है) प्रथम: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 {{OEIS|id=A000290}}. | ||
* घन सभी गुणक 3 से विभाज्य हैं (यह कुछ a के लिए a<sup>3</sup> के रूप का है) प्रथम: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 {{OEIS|id=A000578}}. | * घन सभी गुणक 3 से विभाज्य हैं (यह कुछ a के लिए a<sup>3</sup> के रूप का है) प्रथम: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 {{OEIS|id=A000578}}. | ||
*संपूर्ण शक्ति में सभी गुणकों के लिए सामान्य भाजक m > 1 होता है (यह कुछ a> 1 और m> 1 के रूप में होता है a<sup>m</sup> के रूप का होता है)। प्रथम: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 {{OEIS|id=A001597}} | *संपूर्ण शक्ति में सभी गुणकों के लिए सामान्य भाजक m > 1 होता है (यह कुछ a> 1 और m> 1 के रूप में होता है a<sup>m</sup> के रूप का होता है)। प्रथम: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 {{OEIS|id=A001597}} 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है। | ||
*शक्तिशाली संख्या (जिसे स्क्वायरफुल भी कहा जाता है) में सभी अभाज्य गुणनखंड के लिए 1 से अधिक की बहुलता होती है। प्रथम: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72 {{OEIS|id=A001694}}. | *शक्तिशाली संख्या (जिसे स्क्वायरफुल भी कहा जाता है) में सभी अभाज्य गुणनखंड के लिए 1 से अधिक की बहुलता होती है। प्रथम: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72 {{OEIS|id=A001694}}. | ||
* अभाज्य शक्ति का केवल अभाज्य गुणनखंड होता है। प्रथम: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 {{OEIS|id=A000961}} 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है। | * अभाज्य शक्ति का केवल अभाज्य गुणनखंड होता है। प्रथम: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 {{OEIS|id=A000961}} 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है। | ||
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*वर्ग-मुक्त पूर्णांक में 1 से अधिक बहुलता वाला कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है। प्रथम: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 {{OEIS|id=A005117}}) संख्या जहां कुछ किंतु सभी अभाज्य गुणनखंड में 1 से ऊपर की बहुलता नहीं होती है, वह न तो वर्ग-मुक्त होती है और न ही वर्गाकार होती है। | *वर्ग-मुक्त पूर्णांक में 1 से अधिक बहुलता वाला कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है। प्रथम: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 {{OEIS|id=A005117}}) संख्या जहां कुछ किंतु सभी अभाज्य गुणनखंड में 1 से ऊपर की बहुलता नहीं होती है, वह न तो वर्ग-मुक्त होती है और न ही वर्गाकार होती है। | ||
*लिउविल फलन λ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और -1 है यदि Ω(n) विषम है। | *लिउविल फलन λ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और -1 है यदि Ω(n) विषम है। | ||
* मोबियस | * मोबियस फलन μ(n) 0 है यदि n वर्ग-मुक्त नहीं है। अन्यथा μ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और −1 है यदि Ω(n) विषम है। | ||
* स्फेनिक संख्या में Ω(n) = 3 है और यह वर्ग-मुक्त है (इसलिए यह 3 विशिष्ट अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है)। प्रथम: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154 {{OEIS|id=A007304}}. | * स्फेनिक संख्या में Ω(n) = 3 है और यह वर्ग-मुक्त है (इसलिए यह 3 विशिष्ट अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है)। प्रथम: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154 {{OEIS|id=A007304}}. | ||
*''a''<sub>0</sub>(n) n को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्याओं का योग है, जिसे बहुलता के साथ गिना जाता है। यह योगात्मक फलन है। | *''a''<sub>0</sub>(n) n को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्याओं का योग है, जिसे बहुलता के साथ गिना जाता है। यह योगात्मक फलन है। | ||
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* असाधारण संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में प्रथम: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 {{OEIS|id=A046760}}. | * असाधारण संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में प्रथम: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 {{OEIS|id=A046760}}. | ||
*इकोनोमिकल संख्या को मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, किंतु यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समान अंकीय है। | *इकोनोमिकल संख्या को मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, किंतु यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समान अंकीय है। | ||
*gcd(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का सबसे बड़ा सामान्य | *gcd(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का सबसे बड़ा सामान्य भाजक) सभी अभाज्य गुणनखंड का उत्पाद है जो ''m'' और n 'दोनों में हैं'' (''m'' और ''n'' के लिए सबसे छोटी बहुलता के साथ)। | ||
*''m'' और ''n'' सहअभाज्य हैं (अपेक्षाकृत अभाज्य भी कहा जाता है) यदि gcd(''m'', ''n'') = 1 (अर्थात् उनका कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणक नहीं है)। | *''m'' और ''n'' सहअभाज्य हैं (अपेक्षाकृत अभाज्य भी कहा जाता है) यदि gcd(''m'', ''n'') = 1 (अर्थात् उनका कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणक नहीं है)। | ||
*lcm(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का लघुत्तम समापवर्तक) ''m'' या ''n''' के सभी अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल है ''<nowiki/> | *lcm(''m'', ''n'') (''m'' और ''n'' का लघुत्तम समापवर्तक) ''m'' या ''n''' के सभी अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल है ''<nowiki/>(''m ''या ''n ''के लिए सबसे बड़ी बहुलता के साथ)।'' | ||
*gcd(''m'', ''n'') × lcm(''m'', ''n'') = ''m'' × ''n'' अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में अभाज्य गुणनखंड का परीक्षण प्रायः कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात अभाज्य गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है। | *gcd(''m'', ''n'') × lcm(''m'', ''n'') = ''m'' × ''n'' अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में अभाज्य गुणनखंड का परीक्षण प्रायः कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात अभाज्य गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है। | ||
*''m,'' ''n'' का भाजक है (जिसे ''m'' विभाजित ''n'' भी कहा जाता है, या ''n,'' ''m'' से विभाज्य है) यदि m के सभी अभाज्य गुणनखंड में ''n'' में कम से कम समान बहुलता है। | *''m,'' ''n'' का भाजक है (जिसे ''m'' विभाजित ''n'' भी कहा जाता है, या ''n,'' ''m'' से विभाज्य है) यदि m के सभी अभाज्य गुणनखंड में ''n'' में कम से कम समान बहुलता है। | ||
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Latest revision as of 11:29, 23 June 2023
तालिकाओं में 1 से 1000 तक की प्राकृतिक संख्याओं का पूर्णांक गुणनखंड होता है।
जब n अभाज्य संख्या होती है, तो अभाज्य गुणनखंड केवल n ही होता है, जिसे नीचे 'बोल्ड' में लिखा गया है।
संख्या 1 (संख्या) को इकाई (रिंग थ्योरी) कहा जाता है। इसका कोई अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है और यह न तो अभाज्य संख्या और न ही भाज्य संख्या है।
गुण
प्राकृतिक संख्या n के कई गुणों को देखा जा सकता है या सरलता से n के अभाज्य गुणनखंड से गणना की जा सकती है।
- n के अभाज्य गुणनखंड p की 'बहुलता' का सबसे बड़ा घातांक m है जिसके लिए pm, n को विभाजित करता है। तालिकाएँ प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए बहुलता दिखाती हैं। यदि कोई घातांक नहीं लिखा जाता है तो बहुलता 1 होती है (क्योंकि p = p1) अभाज्य की बहुलता जो n को विभाजित नहीं करती है उसे 0 कहा जा सकता है या अपरिभाषित माना जा सकता है।
- Ω(n), बड़ा ओमेगा फलन (अभाज्य गुणनखंड), बहुलता के साथ गिने जाने वाले n के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है (इसलिए यह सभी अभाज्य गुणकों का योग है)।
- अभाज्य संख्या में Ω(n) = 1 होता है। प्रथम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 (sequence A000040 in the OEIS) कई विशेष प्रकार की अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
- मिश्रित संख्या में Ω(n) > 1 होता है। प्रथम: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 (sequence A002808 in the OEIS) 1 से ऊपर की सभी संख्याएँ या तो अभाज्य हैं या संयुक्त हैं। 1 भी नहीं है।
- अर्द्ध अभाज्य में Ω(n) = 2 होता है (इसलिए यह समग्र है)। प्रथम: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34 (sequence A001358 in the OEIS).
- k- लगभग अभाज्य (प्राकृतिक संख्या k के लिए) में Ω(n) = k होता है (इसलिए यह समग्र है यदि k > 1)।
- सम संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 होता है। प्रथम: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 (sequence A005843 in the OEIS).
- विषम संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होता है। प्रथम: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 (sequence A005408 in the OEIS) सभी पूर्णांक या तो सम या विषम होते हैं।
- वर्ग संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंडों के लिए सम बहुलता होती है (यह कुछ a के लिए a2 के रूप का होता है) प्रथम: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 (sequence A000290 in the OEIS).
- घन सभी गुणक 3 से विभाज्य हैं (यह कुछ a के लिए a3 के रूप का है) प्रथम: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 (sequence A000578 in the OEIS).
- संपूर्ण शक्ति में सभी गुणकों के लिए सामान्य भाजक m > 1 होता है (यह कुछ a> 1 और m> 1 के रूप में होता है am के रूप का होता है)। प्रथम: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 (sequence A001597 in the OEIS) 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
- शक्तिशाली संख्या (जिसे स्क्वायरफुल भी कहा जाता है) में सभी अभाज्य गुणनखंड के लिए 1 से अधिक की बहुलता होती है। प्रथम: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72 (sequence A001694 in the OEIS).
- अभाज्य शक्ति का केवल अभाज्य गुणनखंड होता है। प्रथम: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 (sequence A000961 in the OEIS) 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
- एकिलीस संख्या शक्तिशाली है किंतु पूर्ण शक्ति नहीं है। प्रथम: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968 (sequence A052486 in the OEIS).
- वर्ग-मुक्त पूर्णांक में 1 से अधिक बहुलता वाला कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है। प्रथम: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 (sequence A005117 in the OEIS)) संख्या जहां कुछ किंतु सभी अभाज्य गुणनखंड में 1 से ऊपर की बहुलता नहीं होती है, वह न तो वर्ग-मुक्त होती है और न ही वर्गाकार होती है।
- लिउविल फलन λ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और -1 है यदि Ω(n) विषम है।
- मोबियस फलन μ(n) 0 है यदि n वर्ग-मुक्त नहीं है। अन्यथा μ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और −1 है यदि Ω(n) विषम है।
- स्फेनिक संख्या में Ω(n) = 3 है और यह वर्ग-मुक्त है (इसलिए यह 3 विशिष्ट अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है)। प्रथम: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154 (sequence A007304 in the OEIS).
- a0(n) n को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्याओं का योग है, जिसे बहुलता के साथ गिना जाता है। यह योगात्मक फलन है।
- रुथ-आरोन की जोड़ी दो निरन्तर संख्याएं (x, x+1) है जिसमें a0(x) = a0(x+1) है। प्रथम (x मान द्वारा): 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248 (sequence A039752 in the OEIS), परिभाषा ही अभाज्य है यदि इसलिए, प्रथम (x मान द्वारा): 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299 (sequence A006145 in the OEIS)
- मौलिक x# 2 से x तक सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है। प्रथम: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810 (sequence A002110 in the OEIS) 1# = 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
- फैक्टोरियल x! 1 से x तक सभी संख्याओं का गुणनफल है। प्रथम: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600 (sequence A000142 in the OEIS) 0! = 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
- k-स्मूथ संख्या (प्राकृतिक संख्या k के लिए) का सबसे बड़ा अभाज्य गुणक ≤ k होता है (इसलिए यह किसी भी j > k के लिए भी j-स्मूथ है)।
- m, n की तुलना में 'स्मूथ' है यदि m का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनफल n के सबसे बड़े से कम है।
- नियमित संख्या में 5 से ऊपर कोई अभाज्य गुणक नहीं होता (इसलिए यह 5-स्मूथ है)। प्रथम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16 (sequence A051037 in the OEIS).
- k-शक्तिशाली संख्या में सभी pm ≤ k होते हैं जहां p बहुलता m वाला अभाज्य गुणनखंड है।
- मितव्ययी संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड में अंकों की संख्या से अधिक अंक होते हैं (जब घातांक के रूप में 1 से ऊपर की बहुलताओं के साथ नीचे दी गई तालिकाओं के जैसे लिखा जाता है)। दशमलव में प्रथम: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250 (sequence A046759 in the OEIS).
- इक्विडिजिटल संख्या में अंकों की संख्या उतनी ही होती है जितनी कि इसके अभाज्य गुणनखंड में दशमलव में प्रथम: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17 (sequence A046758 in the OEIS).
- असाधारण संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में प्रथम: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 (sequence A046760 in the OEIS).
- इकोनोमिकल संख्या को मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, किंतु यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समान अंकीय है।
- gcd(m, n) (m और n का सबसे बड़ा सामान्य भाजक) सभी अभाज्य गुणनखंड का उत्पाद है जो m और n 'दोनों में हैं (m और n के लिए सबसे छोटी बहुलता के साथ)।
- m और n सहअभाज्य हैं (अपेक्षाकृत अभाज्य भी कहा जाता है) यदि gcd(m, n) = 1 (अर्थात् उनका कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणक नहीं है)।
- lcm(m, n) (m और n का लघुत्तम समापवर्तक) m या n' के सभी अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल है (m या n के लिए सबसे बड़ी बहुलता के साथ)।
- gcd(m, n) × lcm(m, n) = m × n अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में अभाज्य गुणनखंड का परीक्षण प्रायः कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात अभाज्य गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है।
- m, n का भाजक है (जिसे m विभाजित n भी कहा जाता है, या n, m से विभाज्य है) यदि m के सभी अभाज्य गुणनखंड में n में कम से कम समान बहुलता है।
n के भाजक n के कुछ या सभी अभाज्य गुणनखंडों के सभी गुणनफल हैं (बिना अभाज्य गुणनखंडों के रिक्त गुणनफल 1 सहित) सभी गुणकों को 1 से बढ़ाकर और फिर उन्हें गुणा करके भाजकों की संख्या की गणना की जा सकती है। भाजक और भाजक से संबंधित गुण भाजक की तालिका में दर्शाए गए हैं।
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यह भी देखें
- अंकगणित का मौलिक प्रमेय – Integers have unique prime factorizations
- अभाज्य संख्याओं की सूची
- भाजक की तालिका