लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्य: Difference between revisions

Latest revision as of 11:48, 30 June 2023

गणित में, एक फलन (गणित) f 'लघुगणकीय रूप से उत्तल' या 'आतिउत्तल' होता है^[1] यदि ${\log }\circ f$ , f के साथ लघुगणक की संघटन, अपने आप में एक उत्तल फलन है।

परिभाषा

मान लीजिए कि $X$ एक वास्तविक संख्या स्थान का उत्तल उपसमुच्चय है, और $f : X \to R$ को गैर-ऋणात्मक मान लेने वाला फलन होने दें। तो f निम्नलिखित है:

लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि ${\log }\circ f$ उत्तल है, और
सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि ${\log }\circ f$ पूरी तरह उत्तल है।

यहाँ हम व्याख्या करते हैं $\log 0$ के रूप में $-\infty$ ।

स्पष्ट रूप से, $f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि, सभी $x 1, x 2 \in X$ और सभी $t \in [0, 1]$ के लिए, निम्नलिखित दो समतुल्य स्थितियां हैं:

{\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}

इसी प्रकार, $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि उपरोक्त दो अभिव्यक्तियों में, सभी t ∈ के लिए सख्त असमानता $(0, 1)$ होती है।

उपरोक्त परिभाषा $f$ को शून्य होने की अनुमति देती है, लेकिन यदि $f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है और $X$ में कहीं भी विलुप्त हो जाता है, तो यह $X$ के अंतस्थ में हर जगह विलुप्त हो जाता है।

समतुल्य स्थितियों

यदि $f$ एक अंतराल $I \subseteq R$ पर परिभाषित एक भिन्न फलन है , तो $f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि $I$ में सभी $x$ और $y$ के लिए निम्नलिखित स्थिति लागू होती है:

\log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).

यह इस स्थिति के समान है कि, जब भी $x$ और $y$ $I$ में होते हैं और $x > y$ होते हैं,

\left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).

इसके अतिरिक्त, $f$ सख्ती से लघुगणकीय उत्तल है यदि और एकमात्र तभी जब ये असमानताएं हमेशा सख्त होती हैं।

यदि $f$ दो बार भिन्न है, तो यह लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और एकमात्र , तभी, यदि $I$ में सभी $x$ के लिए,

f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.

।

यदि असमानता हमेशा सख्त है, तो $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है। यद्यपि, इसका विपरीत गलत है: यह संभव है कि $f$ सख्ती से लघुगणकीय उत्तल है और यह कि, कुछ $x$ के लिए, हमारे पास $f''(x)f(x)=f'(x)^{2}$ है।उदाहरण के लिए, यदि $f(x)=\exp(x^{4})$ है, तो $f$ सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है, लेकिन $f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}$ ।

आगे भी, $f\colon I\to (0,\infty )$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और एकमात्र यदि $e^{\alpha x}f(x)$ सभी के लिए $\alpha \in \mathbb {R}$ उत्तल है ^[2]^[3]

पर्याप्त स्थितियों

यदि $f_{1},\ldots ,f_{n}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल हैं, और यदि $w_{1},\ldots ,w_{n}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

यदि $\{f_{i}\}_{i\in I}$ लघुगणकीय उत्तल फलन का कोई भी वर्ग है, तो $g=\sup _{i\in I}f_{i}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

यदि $f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R}$ उत्तल है और $g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}$ लघुगणकीय रूप से उत्तल और गैर-घटता हुआ है, तो $g\circ f$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

गुण

लघुगणकीय उत्तल फलन f एक उत्तल फलन है क्योंकि यह बढ़ते उत्तल फलन $\exp$ और फलन $\log \circ f$ का मिश्रण है , जो परिभाषा के अनुसार उत्तल है। यद्यपि, लघुगणकीय उत्तल होना उत्तल होने की तुलना में एक सख्ती से प्रबल संपत्ति है। उदाहरण के लिए, वर्गाकार फलन $f(x)=x^{2}$ उत्तल है, लेकिन इसका लघुगणक $\log f(x)=2\log |x|$ नहीं है। इसलिए वर्गाकार फलन लघुगणकीय रूप से उत्तल नहीं है।

उदाहरण

$f(x)=\exp(|x|^{p})$ लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब $p\geq 1$ और सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब $p>1$ ।
$f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$ पर सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल $(0,\infty )$ है सभी के लिए $p>0.$ ।
सकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित होने पर यूलर का गामा फलन सख्ती से लघुगणकीय उत्तल होता है। वास्तव में, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा, इस संपत्ति का उपयोग वास्तविक तर्कों के लिए तथ्यात्मक फलन के संभावित विस्तार के बीच यूलर के गामा फलन को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

लघुगणकीय अवतल फलन

संदर्भ

John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
"Convexity, logarithmic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Niculescu, Constantin; Persson, Lars-Erik (2006), Convex Functions and their Applications - A Contemporary Approach (in English) (1st ed.), Springer, doi:10.1007/0-387-31077-0, ISBN 978-0-387-24300-9, ISSN 1613-5237.

Montel, Paul (1928), "Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (in French), 7: 29–60{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link).

This article incorporates material from logarithmically convex function on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

[1] Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.

[2] Montel 1928.

[3] NiculescuPersson 2006, p. 70.

[1]

[2]

[3]

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 == परिभाषा ==
-मान लीजिए कि {{math|''X''}}  एक [[वास्तविक संख्या]] स्थान का [[उत्तल सेट|उत्तल उपसमुच्चय]] है, और  {{math|''f'' : ''X'' → '''R'''}} को गैर-ऋणात्मक मान लेने वाला फलन होने दें। तो f है:
+मान लीजिए कि {{math|''X''}}  एक [[वास्तविक संख्या]] स्थान का [[उत्तल सेट|उत्तल उपसमुच्चय]] है, और  {{math|''f'' : ''X'' → '''R'''}} को गैर-ऋणात्मक मान लेने वाला फलन होने दें। तो f निम्नलिखित है:
 * लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि <math>{\log} \circ f</math> उत्तल है, और
 * सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल यदि <math>{\log} \circ f</math>  पूरी तरह उत्तल है।
-यहाँ हम व्याख्या करते हैं <math>\log 0</math> जैसा <math>-\infty</math>.
+यहाँ हम व्याख्या करते हैं <math>\log 0</math> के रूप में  <math>-\infty</math>।
 स्पष्ट रूप से, {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि, सभी {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ∈ ''X''}} और सभी {{math|''t'' ∈ [0, 1]}}  के लिए, निम्नलिखित दो समतुल्य स्थितियां हैं:
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 f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le f(x_1)^tf(x_2)^{1-t}.
 \end{align}</math>
-इसी प्रकार, {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि उपरोक्त दो अभिव्यक्तियों में, सभी t ∈ के लिए  सख्त असमानता होती है{{math| (0, 1)}}.
+इसी प्रकार, {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि उपरोक्त दो अभिव्यक्तियों में, सभी t ∈ के लिए सख्त असमानता{{math| (0, 1)}} होती है।
-उपरोक्त परिभाषा  {{math|''f''}}  को शून्य होने की अनुमति देती है, लेकिन यदि {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है और {{math|''X''}}  में कहीं भी गायब हो जाता है तो यह {{math|''X''}}  के इंटीरियर में हर जगह गायब हो जाता है।
+उपरोक्त परिभाषा  {{math|''f''}}  को शून्य होने की अनुमति देती है, लेकिन यदि {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है और {{math|''X''}}  में कहीं भी विलुप्त हो जाता है, तो यह {{math|''X''}}  के अंतस्थ में हर जगह विलुप्त हो जाता है।
-=== समतुल्य शर्तें ===
+=== समतुल्य स्थितियों ===
-यदि {{math|''f''}}  एक अंतराल {{math|''I'' ⊆ '''R'''}} पर परिभाषित एक भिन्न फलन है , तो {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि {{math|''I''}} में सभी के लिए है {{math|''x''}} और {{math|''y''}} के लिए निम्नलिखित स्थिति है:
+यदि {{math|''f''}}  एक अंतराल {{math|''I'' ⊆ '''R'''}} पर परिभाषित एक भिन्न फलन है , तो {{math|''f''}}  लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि {{math|''I''}} में सभी {{math|''x''}} और {{math|''y''}} के लिए निम्नलिखित स्थिति लागू होती है:
 :<math>\log f(x) \ge \log f(y) + \frac{f'(y)}{f(y)}(x - y).</math>
 यह इस स्थिति के समान है कि, जब भी {{math|''x''}} और {{math|''y''}} {{math|''I''}} में होते हैं और {{math|''x'' > ''y''}} होते हैं,
 :<math>\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)^{\frac{1}{x - y}} \ge \exp\left(\frac{f'(y)}{f(y)}\right).</math>
-इसके अतिरिक्त, {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी जब ये असमानताएं हमेशा सख्त होती हैं।
+इसके अतिरिक्त, {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय उत्तल है यदि और एकमात्र तभी जब ये असमानताएं हमेशा सख्त होती हैं।
-यदि {{math|''f''}}  दो बार भिन्न है, तो यह लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल तभी, यदि, {{math|''I''}} में सभी {{math|''x''}} के लिए,
+यदि {{math|''f''}}  दो बार भिन्न है, तो यह लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और एकमात्र , तभी, यदि {{math|''I''}} में सभी {{math|''x''}} के लिए,
-:<math>f''(x)f(x) \ge f'(x)^2.</math>
+:<math>f''(x)f(x) \ge f'(x)^2.</math>।
-यदि असमानता हमेशा सख्त है, तो {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है। यद्यपि, इसका विपरीत गलत है: यह संभव है {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय उत्तल है और यह कि, कुछ {{math|''x''}} के लिए, हमारे पास है <math>f''(x)f(x) = f'(x)^2</math>. उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x) = \exp(x^4)</math>, तो {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है, लेकिन <math>f''(0)f(0) = 0 = f'(0)^2</math>.
+यदि असमानता हमेशा सख्त है, तो {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है। यद्यपि, इसका विपरीत गलत है: यह संभव है कि {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय उत्तल है और यह कि, कुछ {{math|''x''}} के लिए, हमारे पास  <math>f''(x)f(x) = f'(x)^2</math> है।उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x) = \exp(x^4)</math>है, तो {{math|''f''}}  सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है, लेकिन <math>f''(0)f(0) = 0 = f'(0)^2</math>।
-आगे भी, <math>f\colon I \to (0, \infty)</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और केवल यदि <math>e^{\alpha x}f(x)</math> सभी के लिए उत्तल है <math>\alpha\in\mathbb R</math>.<ref>{{harvnb|Montel|1928}}.</ref><ref>{{harvnb|NiculescuPersson|2006|p=70}}.</ref>
+आगे भी, <math>f\colon I \to (0, \infty)</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है यदि और एकमात्र यदि <math>e^{\alpha x}f(x)</math> सभी के लिए <math>\alpha\in\mathbb R</math> उत्तल है <ref>{{harvnb|Montel|1928}}.</ref><ref>{{harvnb|NiculescuPersson|2006|p=70}}.</ref>
+== पर्याप्त स्थितियों ==
-== पर्याप्त शर्तें ==
 यदि <math>f_1, \ldots, f_n</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल हैं, और यदि  <math>w_1, \ldots, w_n</math> गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो <math>f_1^{w_1} \cdots f_n^{w_n}</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
-यदि <math>\{f_i\}_{i \in I}</math> लघुगणकीय उत्तल फलन का कोई भी परिवार है, तो <math>g = \sup_{i \in I} f_i</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
+यदि <math>\{f_i\}_{i \in I}</math> लघुगणकीय उत्तल फलन का कोई भी वर्ग है, तो <math>g = \sup_{i \in I} f_i</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
 यदि <math>f \colon X \to I \subseteq \mathbf{R}</math>  उत्तल है और <math>g \colon I \to \mathbf{R}_{\ge 0}</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल और गैर-घटता हुआ है, तो <math>g \circ f</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है।
 == गुण ==
-लघुगणकीय उत्तल फलन f एक उत्तल फलन है क्योंकि यह बढ़ते उत्तल फलन का मिश्रण है <math>\exp</math> और  फलन <math>\log\circ f</math>, जो परिभाषा के अनुसार उत्तल है। यद्यपि, लघुगणकीय उत्तल होना उत्तल होने की तुलना में एक सख्ती से प्रबल संपत्ति है। उदाहरण के लिए, वर्गाकार फलन <math>f(x) = x^2</math> उत्तल है, लेकिन इसका लघुगणक है <math>\log f(x) = 2\log |x|</math> नहीं है। इसलिए वर्गाकार फलन लघुगणकीय रूप से उत्तल नहीं है।
+लघुगणकीय उत्तल फलन f एक उत्तल फलन है क्योंकि यह बढ़ते उत्तल फलन <math>\exp</math> और  फलन <math>\log\circ f</math>का मिश्रण है , जो परिभाषा के अनुसार उत्तल है। यद्यपि, लघुगणकीय उत्तल होना उत्तल होने की तुलना में एक सख्ती से प्रबल संपत्ति है। उदाहरण के लिए, वर्गाकार फलन <math>f(x) = x^2</math> उत्तल है, लेकिन इसका लघुगणक <math>\log f(x) = 2\log |x|</math> नहीं है। इसलिए वर्गाकार फलन लघुगणकीय रूप से उत्तल नहीं है।
 == उदाहरण ==
-* <math>f(x) = \exp(|x|^p)</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब <math>p \ge 1</math> और सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल कब उत्तल होता है  <math>p > 1</math>.
+* <math>f(x) = \exp(|x|^p)</math> लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब <math>p \ge 1</math> और सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल है जब  <math>p > 1</math>।
-* <math>f(x) = \frac{1}{x^p}</math> पर कड़ाई से लघुगणकीय रूप से उत्तल है <math>(0,\infty)</math> सभी के लिए <math>p>0.</math>
+* <math>f(x) = \frac{1}{x^p}</math> पर सख्ती से लघुगणकीय रूप से उत्तल <math>(0,\infty)</math> है सभी के लिए <math>p>0.</math>।
-* सकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित होने पर यूलर का गामा फलन सख्ती से लघुगणकीय उत्तल होता है। वास्तव में, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा, इस संपत्ति का उपयोग वास्तविक तर्कों के लिए[[ कारख़ाने का | तथ्यात्मक]] फलन के संभावित विस्तार के बीच यूलर के [[गामा समारोह]] को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है।
+* सकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित होने पर यूलर का गामा फलन सख्ती से लघुगणकीय उत्तल होता है। वास्तव में, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा, इस संपत्ति का उपयोग वास्तविक तर्कों के लिए[[ कारख़ाने का | तथ्यात्मक]] फलन के संभावित विस्तार के बीच यूलर के [[गामा समारोह|गामा फलन]] को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
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 {{PlanetMath attribution|id=5664|title=logarithmically convex function}}
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