टाइम-इनवेरिएंट सिस्टम: Difference between revisions

Latest revision as of 14:45, 28 October 2022

एक नियतात्मक निरंतर-समय एकल-आगत एकल-निर्गत प्रणाली की समय-अपरिवर्तनीयता दर्शाता एक खण्ड आरेख। प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है यदि, और केवल यदि,

y_{2}(t)=y_{1}(t-t_{0})

पूर्ण समय

t

के लिए, सभी वास्तविक स्थिरांक

t_{0}

के लिए और सभी आगत

x_{1}(t)

.^[1]^[2]^[3] के लिए छवि को विस्तृत करने के लिए उस पर क्लिक करें।

नियंत्रण सिद्धांत में एक समय-अपरिवर्तनीय (TIV) प्रणाली के अंतर्गत एक समय-निर्भर प्रणालीय फलन होता है जो कि समय का प्रत्यक्ष फलन नहीं होता है। प्रणालीय विश्लेषण के क्षेत्र में ऐसी प्रणालियों को प्रणालियों की एक श्रेणी माना जाता है। समय-निर्भर प्रणाली फलन समय-निर्भर आगत फलन का एक फलन है। यदि यह फलन मात्र अप्रत्यक्ष रूप से समय-अनुक्षेत्र (उदहारण के रूप में आगत फलन द्वारा) पर निर्भर होता है तो यह प्रणाली एक ऐसी प्रणाली होगी जो समय-अपरिवर्तनीय मानी जा सकती है। इसके विपरीत, समय-अनुक्षेत्र पर प्रत्यक्ष निर्भरता होने पर प्रणालीय फलन को "समय-परिवर्ती प्रणाली" माना जा सकता है।

गणितीय रूप से कहा जाए तो, एक प्रणाली की "समय-अपरिवर्तनीयता" निम्नलिखित गुण है:^[4]^{: p. 50}

किसी ऐसी दी गयी प्रणाली, जिसका एक समय-निर्भर निर्गत फलन $y(t),$ तथा एक समय-निर्भर आगत फलन $x(t)$ हो तो वह प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय मानी जाएगी यदि, आगत पर लागू $x(t+\delta )$ का समय-विलम्ब प्रत्यक्ष रूप से निर्गत $y(t+\delta )$ फलन के समय-विलम्ब के बराबर हो।

उदाहरण के लिए, यदि समय $t$ "व्यतीत-समय" है तो "समय-अपरिवर्तनीयता" यह कहती है कि आगत फलन $x(t)$ तथा निर्गत फलन $y(t)$ के बीच, समय के सन्दर्भ में, अपरिवर्ती सम्बन्ध है:

y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).

संकेत संसाधन की भाषा में यह गुण संतुष्ट किया जा सकता है यदि प्रणाली का अंतरित फलन प्रत्यक्ष रूप से समय का फलन न हो जिसमें आगत तथा निर्गत द्वारा अभिव्यक्त होना अपवाद है।

एक प्रणाली आरेख् के संदर्भ में, इस गुण को निम्नानुसार भी कहा जा सकता है, जैसा कि चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है:

यदि एक प्रणाली समय-अपरिवर्ती है तो प्रणाली खण्ड एक स्वेच्छ विलम्ब के साथ संचालित होता है।

यदि एक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी रैखिक प्रणाली है, तो यह एनएमआर स्पेक्ट्रोस्कोपी, भूकंप विज्ञान, विद्युत नेटवर्क, सिग्नल प्रोसेसिंग, नियंत्रण सिद्धांत और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों के साथ रैखिक समय-अपरिवर्तनीय सिद्धांत (रैखिक समय-अपरिवर्तनीय) का विषय है। नॉनलाइनियर प्रणाली समय-संस्करण प्रणाली में एक व्यापक, शासी सिद्धांत का अभाव है। असतत समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणाली के रूप में जाना जाता है। जिन प्रणालियों में समय-अपरिवर्तनीय संपत्ति गुण का अभाव होता है, उनका अध्ययन समय-परिवर्ती प्रणालियों के रूप में किया जाता है।

सरल उदाहरण

यह प्रदर्शित करने के लिए कि कैसे यह निर्धारित किया जाए कि कोई प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है या नहीं, दो प्रणालियों पर विचार करें:

प्रणाली अ: $y(t)=tx(t)$
प्रणाली ब: $y(t)=10x(t)$

चूँकि प्रणाली अ के लिए प्रणाली फलन $y(t)$ स्पष्ट रूप से $x(t)$ के बाहर t पर निर्भर करता है, यह समय-अपरिवर्तीय नहीं है क्यूंकि समय-निर्भरता आगत फलन का स्पष्ट फलन नहीं है।

इसके विपरीत, प्रणाली ब की समय-निर्भरता केवल समय-परिवर्तीय आगत $x(t)$ का एक फलन है। यह प्रणाली ब को समय-अपरिवर्तनीय बनाता है।

नीचे दिया गया औपचारिक उदाहरण अधिक विस्तार से दिखाता है कि प्रणाली ब समय के एक फलन के रूप में एक शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणाली है, जबकि प्रणाली अ नहीं है।

औपचारिक उदाहरण

ऊपर दी गयी प्रणाली अ और ब में असमानता के कारण को स्पष्ट करने के लिए एक अधिक औपचारिक प्रमाण नीचे दिया जा रहा है। इस प्रमाण को करने के लिए द्वितीय परिभाषा का उपयोग किया जाएगा।

प्रणाली अ: आगत के विलम्ब से प्रारम्भ होती है,

x_{d}(t)=x(t+\delta )

y(t)=tx(t)

y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )

अब निर्गत में देरी करें

\delta

y(t)=tx(t)

y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )

स्पष्ट रूप से

y_{1}(t)\neq y_{2}(t)

, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय नहीं है।

प्रणाली ब: आगत के विलम्ब से प्रारम्भ होती है,

x_{d}(t)=x(t+\delta )

y(t)=10x(t)

y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )

अब निर्गत में देरी करें

\delta

y(t)=10x(t)

y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )

स्पष्ट रूप से

y_{1}(t)=y_{2}(t)

, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है।

सामान्यतः, आगत और निर्गत के बीच संबंध इस प्रकार है:

y(t)=f(x(t),t),

और समय के साथ इसकी परिवृत्ति इस प्रकार है:

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.

समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए, प्रणाली गुण समय के साथ अपरिवर्ती रहते हैं,

{\frac {\partial f}{\partial t}}=0.

ऊपर दी गयी प्रणाली अ और ब पर निम्न लागू होते हैं:

f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0

सामान्य तौर पर, इसलिए यह समय-अपरिवर्तनीय नहीं है,

f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0

तो यह समय-अपरिवर्तनीय है।

संक्षिप्त उदाहरण

हम शिफ्ट प्रचालक को $\mathbb {T} _{r}$ द्वारा निरूपित कर सकते हैं, जहाँ $r$ वह मान है जिसके द्वारा एक वेक्टर के सूचिय समुच्चय को स्थानांतरित किया जाना चाहिए। उदाहरण के रूप में, 1-द्वारा-बढ़ना (एडवांस-बाय-1) प्रणाली के लिए,

x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)

इसका निम्नलिखित संक्षिप्त संकेतन में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

{\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}

जहाँ ${\tilde {x}}$ एक नीचे दिया हुआ फलन है

{\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R}

जो कि प्रणाली के साथ निम्नांकित स्थानांतरित निर्गत देता है

{\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R}

इसलिए $\mathbb {T} _{1}$ एक प्रचालक है जो आगत वेक्टर को 1 से आगे बढ़ाता है।

मान लें कि हम एक गणितीय प्रचालक $\mathbb {H}$ द्वारा एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है यदि यह शिफ्ट प्रचालक के साथ बदलती है, यानी,

\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r

यदि हमारा प्रणाली का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

{\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}

तो यह समय-अपरिवर्तनीय है यदि हम प्रणाली प्रचालक $\mathbb {H}$ को ${\tilde {x}}$ पर लागू कर सकते हैं तथा उसके बाद शिफ्ट प्रचालक $\mathbb {T} _{r}$ लागू कर दें , या हम शिफ्ट प्रचालक $\mathbb {T} _{r}$ लागू करने के बाद प्रणाली प्रचालक $\mathbb {H}$ लागू कर दें, जब कि यह दोनों संगणनाएँ सामान परिणाम उत्पन्न करें।

प्रणाली प्रचालक लागू किये जाने पर पहले निम्न परिणाम देता है

\mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}

शिफ्ट प्रचालक लागू किये जाने पर पहले निम्न परिणाम देता है

\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}

यदि प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है, तो

\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. p. 28. ISBN 0-387-23488-8.
↑ Sundararajan, D. (2008). A Practical Approach to Signals and Systems. Wiley. p. 81. ISBN 978-0-470-82353-8.
↑ Roberts, Michael J. (2018). Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® (3 ed.). McGraw-Hill. p. 132. ISBN 978-0-07-802812-0.
↑ Oppenheim, Alan; Willsky, Alan (1997). Signals and Systems (second ed.). Prentice Hall.

[Bessai_2005-1] Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. p. 28. ISBN 0-387-23488-8.

[Sundararajan_2008-2] Sundararajan, D. (2008). A Practical Approach to Signals and Systems. Wiley. p. 81. ISBN 978-0-470-82353-8.

[Roberts_2018-3] Roberts, Michael J. (2018). Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® (3 ed.). McGraw-Hill. p. 132. ISBN 978-0-07-802812-0.

[4] Oppenheim, Alan; Willsky, Alan (1997). Signals and Systems (second ed.). Prentice Hall.

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-{{Short description|Mathematical model}}
+[[File:Time invariance block diagram for a SISO system.png|thumb|एक नियतात्मक निरंतर-समय एकल-आगत एकल-निर्गत प्रणाली की समय-अपरिवर्तनीयता दर्शाता एक खण्ड आरेख। प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है यदि, और केवल यदि, <math>y_2(t) = y_1(t - t_0)</math> पूर्ण समय <math>t</math> के लिए, सभी वास्तविक स्थिरांक <math>t_0</math> के लिए और सभी आगत <math>x_1(t)</math>.<ref name="Bessai_2005">{{cite book | title = MIMO Signals and Systems | first = Horst J. | last = Bessai | publisher = Springer | year = 2005 | page = 28 | isbn = 0-387-23488-8}}</ref><ref name="Sundararajan_2008">{{cite book | title = A Practical Approach to Signals and Systems | first = D. | last = Sundararajan | publisher = Wiley | year = 2008 | page = 81 | isbn = 978-0-470-82353-8}}</ref><ref name="Roberts_2018">{{cite book | title = Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® | edition = 3 | first = Michael J. | last = Roberts | publisher = McGraw-Hill | year = 2018 | page = 132 | isbn = 978-0-07-802812-0}}</ref>  के लिए  ''छवि को विस्तृत करने के लिए उस पर क्लिक करें''।]]
-{{More citations needed|date=May 2018}}
+नियंत्रण सिद्धांत में एक '''समय-अपरिवर्तनीय (TIV) प्रणाली''' के अंतर्गत एक समय-निर्भर '''प्रणालीय फलन''' होता है जो कि समय का प्रत्यक्ष फलन नहीं होता है। प्रणालीय विश्लेषण के क्षेत्र में ऐसी प्रणालियों को प्रणालियों की एक श्रेणी माना जाता है। समय-निर्भर प्रणाली फलन समय-निर्भर '''आगत फलन''' का एक फलन है। यदि यह फलन मात्र अप्रत्यक्ष रूप से समय-अनुक्षेत्र (उदहारण के रूप में आगत फलन द्वारा) पर निर्भर होता है तो यह प्रणाली एक ऐसी प्रणाली होगी जो समय-अपरिवर्तनीय मानी जा सकती है। इसके विपरीत, समय-अनुक्षेत्र पर प्रत्यक्ष निर्भरता होने पर प्रणालीय फलन को "समय-परिवर्ती प्रणाली" माना जा सकता है।
-[[File:Time invariance block diagram for a SISO system.png|thumb|एक नियतात्मक निरंतर-समय एकल-इनपुट एकल-आउटपुट सिस्टम के लिए समय के परिवर्तन को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि <math>y_2(t) = y_1(t - t_0)</math> हमेशा के लिए <math>t</math>, सभी वास्तविक स्थिरांक के लिए <math>t_0</math> और सभी इनपुट के लिए <math>x_1(t)</math>.<ref name="Bessai_2005">{{cite book | title = MIMO Signals and Systems | first = Horst J. | last = Bessai | publisher = Springer | year = 2005 | page = 28 | isbn = 0-387-23488-8}}</ref><ref name="Sundararajan_2008">{{cite book | title = A Practical Approach to Signals and Systems | first = D. | last = Sundararajan | publisher = Wiley | year = 2008 | page = 81 | isbn = 978-0-470-82353-8}}</ref><ref name="Roberts_2018">{{cite book | title = Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® | edition = 3 | first = Michael J. | last = Roberts | publisher = McGraw-Hill | year = 2018 | page = 132 | isbn = 978-0-07-802812-0}}</ref> छवि को विस्तृत करने के लिए उस पर क्लिक करें।]]
-नियंत्रण सिद्धांत में एक समय-अपरिवर्तनीय (TIV) प्रणाली के अंतर्गत एक समय-निर्भर फलन होता है जो कि समय का प्रत्यक्ष फलन नहीं होता है। प्रणालीय विश्लेषण के क्षेत्र में ऐसी प्रणालियों को प्रणालियों कि एक श्रेणी माना जाता है। समय-निर्भर प्रणाली फलन समय-निर्भर आगत फलन का एक फलन है। यदि यह फलन मात्र अप्रत्यक्ष रूप से समय-अनुक्षेत्र (उदहारण के रूप में आगत फलन द्वारा) पर निर्भर होता है तो यह प्रणाली एक ऐसी प्रणाली होगी जो समय-अपरिवर्तनीय मानी जा सकती है। इसके विपरीत, समय-अनुक्षेत्र पर प्रत्यक्ष निर्भरता होने पर प्रणालीय फलन को "समय-परिवर्ती प्रणाली" माना जा सकता है।
-गणितीय रूप से कहा जाए तो, एक प्रणाली का "समय-अपरिवर्तनीय" होना निम्नलिखित गुण है:<ref>{{cite book | first1=Alan | last1=Oppenheim | first2=Alan | last2=Willsky | title=Signals and Systems| publisher=Prentice Hall | year=1997| edition=second }}</ref>{{rp|p. 50}}
+गणितीय रूप से कहा जाए तो, एक प्रणाली की "समय-अपरिवर्तनीयता" निम्नलिखित गुण है:<ref>{{cite book | first1=Alan | last1=Oppenheim | first2=Alan | last2=Willsky | title=Signals and Systems| publisher=Prentice Hall | year=1997| edition=second }}</ref>{{rp|p. 50}}
-:समय-निर्भर आउटपुट फ़ंक्शन वाले सिस्टम को देखते हुए <math>y(t),</math> और एक समय-निर्भर इनपुट फ़ंक्शन <math>x(t);</math> इनपुट पर समय-विलंब होने पर सिस्टम को समय-अपरिवर्तनीय माना जाएगा <math>x(t + \delta)</math> सीधे आउटपुट के समय-विलंब के बराबर होता है <math>y(t + \delta)</math> समारोह। उदाहरण के लिए, यदि समय <math>t</math> बीता हुआ समय है, तो समय-अपरिवर्तनीय का तात्पर्य है कि इनपुट फ़ंक्शन के बीच संबंध <math>x(t)</math> और आउटपुट फ़ंक्शन <math>y(t)</math> समय के संबंध में स्थिर है <math>t</math>:
+:''किसी ऐसी दी गयी प्रणाली, जिसका एक समय-निर्भर निर्गत फलन <math>y(t),</math> तथा एक समय-निर्भर आगत फलन <math>x(t)</math> हो तो वह प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय मानी जाएगी यदि, आगत पर लागू <math>x(t + \delta)</math> का समय-विलम्ब प्रत्यक्ष रूप से निर्गत <math>y(t + \delta)</math> फलन के समय-विलम्ब के बराबर हो।''
-::<math>y(t) = f( x(t), t ) = f( x(t)).</math> [[ संकेत का प्रक्रमण ]] की भाषा में, इस संपत्ति को संतुष्ट किया जा सकता है यदि सिस्टम का [[ स्थानांतरण प्रकार्य ]] इनपुट और आउटपुट द्वारा व्यक्त किए जाने के अलावा समय का प्रत्यक्ष कार्य नहीं है।
+:''उदाहरण के लिए, यदि समय <math>t</math> "व्यतीत-समय" है तो "समय-अपरिवर्तनीयता" यह कहती है कि आगत फलन <math>x(t)</math> तथा निर्गत फलन <math>y(t)</math> के बीच, समय के सन्दर्भ में, अपरिवर्ती सम्बन्ध है:''
+::<math>y(t) = f( x(t), t ) = f( x(t)).</math>
-एक प्रणाली योजनाबद्ध के संदर्भ में, इस संपत्ति को निम्नानुसार भी कहा जा सकता है, जैसा कि चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है:
+संकेत संसाधन की भाषा में यह गुण संतुष्ट किया जा सकता है यदि प्रणाली का अंतरित फलन प्रत्यक्ष रूप से समय का फलन न हो जिसमें आगत तथा निर्गत द्वारा अभिव्यक्त होना अपवाद है।
-: यदि कोई सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय है तो सिस्टम मनमाने ढंग से विलंब के साथ [[ विनिमेय ]] को ब्लॉक करता है।
+एक प्रणाली आरेख् के संदर्भ में, इस गुण को निम्नानुसार भी कहा जा सकता है, जैसा कि चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है:
-<!-- Insert picture showing this 2nd definition pictorially as a block diagram -->
-यदि एक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी [[ रैखिक प्रणाली ]] है, तो यह [[ एनएमआर स्पेक्ट्रोस्कोपी ]], [[ भूकंप विज्ञान ]], [[ विद्युत नेटवर्क ]], सिग्नल प्रोसेसिंग, [[ नियंत्रण सिद्धांत ]] और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों के साथ [[ रैखिक समय-अपरिवर्तनीय सिद्धांत ]] (रैखिक समय-अपरिवर्तनीय) का विषय है। [[ नॉनलाइनियर सिस्टम ]] [[ समय-संस्करण प्रणाली ]] में एक व्यापक, शासी सिद्धांत का अभाव है। [[ असतत समय संकेत ]] टाइम-इनवेरिएंट सिस्टम को [[ शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणाली ]] के रूप में जाना जाता है। जिन प्रणालियों में समय-अपरिवर्तनीय संपत्ति की कमी होती है, उनका अध्ययन समय-भिन्न प्रणालियों के रूप में किया जाता है।
+: ''यदि एक प्रणाली समय-अपरिवर्ती है तो प्रणाली खण्ड एक स्वेच्छ विलम्ब के साथ संचालित होता है।''
+यदि एक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी रैखिक प्रणाली है, तो यह एनएमआर स्पेक्ट्रोस्कोपी, भूकंप विज्ञान, विद्युत नेटवर्क, सिग्नल प्रोसेसिंग, नियंत्रण सिद्धांत और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों के साथ  रैखिक समय-अपरिवर्तनीय सिद्धांत (रैखिक समय-अपरिवर्तनीय) का विषय है। नॉनलाइनियर प्रणाली समय-संस्करण प्रणाली में एक व्यापक, शासी सिद्धांत का अभाव है। असतत समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणाली के रूप में जाना जाता है। जिन प्रणालियों में समय-अपरिवर्तनीय संपत्ति गुण का अभाव होता है, उनका अध्ययन समय-परिवर्ती प्रणालियों के रूप में किया जाता है।
 == सरल उदाहरण ==
-यह प्रदर्शित करने के लिए कि कैसे यह निर्धारित किया जाए कि कोई सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय है या नहीं, दो प्रणालियों पर विचार करें:
+यह प्रदर्शित करने के लिए कि कैसे यह निर्धारित किया जाए कि कोई प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है या नहीं, दो प्रणालियों पर विचार करें:
-* सिस्टम ए: <math>y(t) = t x(t)</math>
+* प्रणाली अ: <math>y(t) = t x(t)</math>
-* सिस्टम बी: <math>y(t) = 10 x(t)</math>
+* प्रणाली ब: <math>y(t) = 10 x(t)</math>
-सिस्टम फंक्शन के बाद से <math>y(t)</math> सिस्टम ए के लिए स्पष्ट रूप से टी के बाहर पर निर्भर करता है <math>x(t)</math>, यह समय-अपरिवर्तनीय नहीं है क्योंकि समय-निर्भरता स्पष्ट रूप से इनपुट फ़ंक्शन का कार्य नहीं है।
+चूँकि प्रणाली अ के लिए '''प्रणाली फलन''' <math>y(t)</math> स्पष्ट रूप से <math>x(t)</math> के बाहर ''t'' पर निर्भर करता है, यह समय-अपरिवर्तीय नहीं है क्यूंकि समय-निर्भरता आगत फलन का स्पष्ट फलन नहीं है।
-इसके विपरीत, सिस्टम बी की समय-निर्भरता केवल समय-भिन्न इनपुट का एक कार्य है <math>x(t)</math>. यह सिस्टम बी को समय-अपरिवर्तनीय बनाता है।
+इसके विपरीत, प्रणाली ब की समय-निर्भरता केवल समय-परिवर्तीय आगत <math>x(t)</math> का एक फलन है। यह प्रणाली ब को समय-अपरिवर्तनीय बनाता है।
-नीचे दिया गया औपचारिक उदाहरण अधिक विस्तार से दिखाता है कि सिस्टम बी समय के एक कार्य के रूप में एक शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम है, जबकि सिस्टम ए नहीं है।
+नीचे दिया गया औपचारिक उदाहरण अधिक विस्तार से दिखाता है कि प्रणाली ब समय के एक फलन के रूप में एक शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणाली है, जबकि प्रणाली अ नहीं है।
 == औपचारिक उदाहरण ==
-सिस्टम ए और बी ऊपर भिन्न क्यों हैं इसका एक अधिक औपचारिक प्रमाण अब प्रस्तुत किया गया है। इस प्रमाण को करने के लिए दूसरी परिभाषा का उपयोग किया जाएगा।
+ऊपर दी गयी प्रणाली अ और ब में असमानता के कारण को स्पष्ट करने के लिए एक अधिक औपचारिक प्रमाण नीचे दिया जा रहा है। इस प्रमाण को करने के लिए द्वितीय परिभाषा का उपयोग किया जाएगा।
-:<u>सिस्टम ए:</u> इनपुट की देरी से शुरू करें <math>x_d(t) = x(t + \delta)</math>
+:<u>प्रणाली अ:</u> आगत के विलम्ब से प्रारम्भ होती है, <math>x_d(t) = x(t + \delta)</math>
 ::<math>y(t) = t x(t)</math>
 ::<math>y_1(t) = t x_d(t) = t x(t + \delta)</math>
-:अब आउटपुट में देरी करें <math>\delta</math>
+::अब निर्गत में देरी करें <math>\delta</math><math>y(t) = t x(t)</math>
-::<math>y(t) = t x(t)</math>
 ::<math>y_2(t) = y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)</math>
-:स्पष्ट रूप से <math>y_1(t) \ne y_2(t)</math>, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय नहीं है।
+::स्पष्ट रूप से <math>y_1(t) \ne y_2(t)</math>, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय नहीं है।
+::
-:<u>सिस्टम बी:</u> इनपुट की देरी से शुरू करें <math>x_d(t) = x(t + \delta)</math>
+::<u>प्रणाली ब:</u> आगत के विलम्ब से प्रारम्भ होती है, <math>x_d(t) = x(t + \delta)</math>
 ::<math>y(t) = 10 x(t)</math>
-::<math>y_1(t) = 10 x_d(t) = 10 x(t + \delta)</math>
+::<math>y_1(t) = 10 x_d(t) = 10 x(t + \delta)</math> अब निर्गत में देरी करें <math>\delta</math>
-:अब आउटपुट में देरी करें <math>\delta</math>
 ::<math>y(t) = 10 x(t)</math>
-::<math>y_2(t) = y(t + \delta) = 10 x(t + \delta)</math>
+::<math>y_2(t) = y(t + \delta) = 10 x(t + \delta)</math> स्पष्ट रूप से <math>y_1(t) = y_2(t)</math>, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है।
-:स्पष्ट रूप से <math>y_1(t) = y_2(t)</math>, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है।
-अधिक सामान्यतः, इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध है
+सामान्यतः, आगत और निर्गत के बीच संबंध इस प्रकार है:
 :<math> y(t) = f(x(t), t),</math>
-और समय के साथ इसकी भिन्नता है
+और समय के साथ इसकी परिवृत्ति इस प्रकार है:
 :<math>\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}.</math>
-समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए, सिस्टम गुण समय के साथ स्थिर रहते हैं,
+समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए, प्रणाली गुण समय के साथ अपरिवर्ती रहते हैं,
-:<math> \frac{\partial f}{\partial t} =0.</math> ऊपर सिस्टम ए और बी पर लागू:
+:<math> \frac{\partial f}{\partial t} =0.</math>
+:
+:ऊपर दी गयी प्रणाली अ और ब पर निम्न लागू होते हैं:
 :<math> f_A = t x(t) \qquad \implies \qquad \frac{\partial f_A}{\partial t} = x(t) \neq 0 </math> सामान्य तौर पर, इसलिए यह समय-अपरिवर्तनीय नहीं है,
 :<math> f_B = 10 x(t) \qquad \implies \qquad \frac{\partial f_B}{\partial t} = 0 </math> तो यह समय-अपरिवर्तनीय है।
-== सार उदाहरण ==
+== संक्षिप्त उदाहरण ==
-हम [[ शिफ्ट ऑपरेटर ]] को द्वारा निरूपित कर सकते हैं <math>\mathbb{T}_r</math> कहाँ पे <math>r</math> वह राशि है जिसके द्वारा एक वेक्टर के [[ पैरामीटर ]] को स्थानांतरित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एडवांस-बाय-1 सिस्टम
+हम शिफ्ट प्रचालक को <math>\mathbb{T}_r</math> द्वारा निरूपित कर सकते हैं, जहाँ <math>r</math> वह मान है जिसके द्वारा एक वेक्टर के सूचिय समुच्चय को स्थानांतरित किया जाना चाहिए। उदाहरण के रूप में, 1-द्वारा-बढ़ना (एडवांस-बाय-1) प्रणाली के लिए,
 :<math>x(t+1) = \delta(t+1) * x(t)</math>
-इस अमूर्त संकेतन में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है
+इसका निम्नलिखित संक्षिप्त संकेतन में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
 :<math>\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \tilde{x}</math>
-कहाँ पे <math>\tilde{x}</math> द्वारा दिया गया एक फ़ंक्शन है
+जहाँ <math>\tilde{x}</math> एक नीचे दिया हुआ फलन है
 :<math>\tilde{x} = x(t) \forall t \in \R</math>
-स्थानांतरित आउटपुट देने वाली प्रणाली के साथ
+जो कि प्रणाली के साथ निम्नांकित स्थानांतरित निर्गत देता है
 :<math>\tilde{x}_1 = x(t + 1) \forall t \in \R</math>
-इसलिए <math>\mathbb{T}_1</math> एक ऑपरेटर है जो इनपुट वेक्टर को 1 से आगे बढ़ाता है।
+इसलिए <math>\mathbb{T}_1</math> एक प्रचालक है जो आगत वेक्टर को 1 से आगे बढ़ाता है।
-मान लीजिए कि हम एक [[ ऑपरेटर (गणित) ]] द्वारा एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\mathbb{H}</math>. यह प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है यदि यह शिफ्ट ऑपरेटर के साथ [[ कम्यूटेटिव ऑपरेशन ]] करती है, यानी,
+मान लें कि हम एक गणितीय प्रचालक <math>\mathbb{H}</math> द्वारा एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है यदि यह शिफ्ट प्रचालक के साथ बदलती है, यानी,
 :<math>\mathbb{T}_r \mathbb{H} = \mathbb{H} \mathbb{T}_r \forall r</math>
-यदि हमारा सिस्टम समीकरण द्वारा दिया गया है
+यदि हमारा प्रणाली का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है,
 :<math>\tilde{y} = \mathbb{H} \tilde{x}</math>
-तो यह समय-अपरिवर्तनीय है यदि हम सिस्टम ऑपरेटर को लागू कर सकते हैं <math>\mathbb{H}</math> पर <math>\tilde{x}</math> उसके बाद शिफ्ट ऑपरेटर <math>\mathbb{T}_r</math>, या हम शिफ्ट ऑपरेटर लागू कर सकते हैं <math>\mathbb{T}_r</math> सिस्टम ऑपरेटर द्वारा पीछा किया गया <math>\mathbb{H}</math>, दो संगणनाओं के साथ समान परिणाम प्राप्त होते हैं।
+तो यह समय-अपरिवर्तनीय है यदि हम प्रणाली प्रचालक <math>\mathbb{H}</math> को <math>\tilde{x}</math> पर लागू कर सकते हैं तथा उसके बाद शिफ्ट प्रचालक <math>\mathbb{T}_r</math> लागू कर दें , या हम शिफ्ट प्रचालक <math>\mathbb{T}_r</math> लागू करने के बाद प्रणाली प्रचालक <math>\mathbb{H}</math> लागू कर दें, जब कि यह दोनों संगणनाएँ सामान परिणाम उत्पन्न करें।
-सिस्टम ऑपरेटर को लागू करने से पहले देता है
+प्रणाली प्रचालक लागू किये जाने पर पहले निम्न परिणाम देता है
 :<math>\mathbb{T}_r \mathbb{H} \tilde{x} = \mathbb{T}_r \tilde{y} = \tilde{y}_r</math>
-शिफ्ट ऑपरेटर लगाने से पहले देता है
+शिफ्ट प्रचालक लागू किये जाने पर पहले निम्न परिणाम देता है
 :<math>\mathbb{H} \mathbb{T}_r \tilde{x} = \mathbb{H} \tilde{x}_r</math>
-यदि सिस्टम समय-अपरिवर्तनीय है, तो
+यदि प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है, तो
 :<math>\mathbb{H} \tilde{x}_r = \tilde{y}_r</math>
 == यह भी देखें ==
 *[[ परिमित आवेग प्रतिक्रिया ]]
@@ Line 103: / Line 98: @@
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
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