नेटवर्क विज्ञान: Difference between revisions

Latest revision as of 14:14, 7 July 2023

नेटवर्क विज्ञान शैक्षणिक क्षेत्र है जो 'नोड्स' (या 'कोने') द्वारा दर्शाए गए विशिष्ट तत्वों या अभिनेताओं पर विचार करते हुए दूरसंचार नेटवर्क, संगणक संजाल , जैविक नेटवर्क, संज्ञानात्मक नेटवर्क और सिमेंटिक नेटवर्क और सामाजिक नेटवर्क जैसे जटिल नेटवर्क का अध्ययन करता है। ) और कड़ी (या किनारे) के रूप में तत्वों या अभिनेताओं के बीच संबंध यह क्षेत्र गणित से ग्राफ सिद्धांत, भौतिकी से सांख्यिकीय यांत्रिकी, कंप्यूटर विज्ञान से डेटा खनन और सूचना दृश्य, सांख्यिकी से आकलित सांख्यिकी और समाजशास्त्र से सामाजिक संरचना सहित सिद्धांतों और विधियों पर आधारित है। यूनाइटेड स्टेट्स नेशनल रिसर्च काउंसिल ने नेटवर्क विज्ञान को भौतिक जैविक और सामाजिक घटनाओं के नेटवर्क प्रतिनिधित्व के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया है, जो इन घटनाओं के भविष्य कहने वाला मॉडल की ओर ले जाता है।^[1]

पृष्ठभूमि और इतिहास

जटिल संबंधपरक डेटा के विश्लेषण के साधन के रूप में विविध विषयों में नेटवर्क का अध्ययन उभरा है। इस क्षेत्र में सबसे पहला ज्ञात पेपर 1736 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा लिखित कोनिग्सबर्ग का प्रसिद्ध सेवन ब्रिज है। यूलर का कोने और किनारों का गणितीय विवरण ग्राफ सिद्धांत का आधार था, गणित की शाखा जो नेटवर्क संरचना में जोड़ीदार संबंधों के गुणों का अध्ययन करती है। ग्राफ सिद्धांत के क्षेत्र का विकास जारी रहा और रसायन विज्ञान में इसके अनुप्रयोग पाए गए है (सिल्वेस्टर, 1878)।

हंगरी के गणितज्ञ और प्रोफेसर डेनेस कोनिग ने 1936 में ग्राफ सिद्धांत में पहली किताब लिखी थी, जिसका शीर्षक सिद्धांत ऑफ फाइनाइट एंड इनफिनिट ग्राफ था।^[2]

प्रथम श्रेणी वर्ग का मोरेनो का समाजशास्त्र।

1930 के दशक में गेस्टाल्ट मनोविज्ञान परंपरा के मनोवैज्ञानिक याकूब मोरेनो संयुक्त राज्य अमेरिका पहुंचे। उन्होंने सोसिओग्राम विकसित किया और अप्रैल 1933 में चिकित्सा विद्वानों के सम्मेलन में इसे जनता के सामने प्रस्तुत किया। मोरेनो ने प्रमाणित किया कि समाजमिति के आगमन से पहले कोई नहीं जानता था कि समूह की पारस्परिक संरचना 'बिल्कुल' कैसी दिखती है (मोरेनो, 1953)। सोशियोग्राम प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के समूह की सामाजिक संरचना का प्रतिनिधित्व था। लड़के लड़कों के दोस्त थे और लड़कियां लड़कियों की दोस्त थीं, अतिरिक्त लड़के के जिसने कहा कि वह ही लड़की को पसंद करता है। भावना पारस्परिक नहीं थी। सामाजिक संरचना का यह नेटवर्क प्रतिनिधित्व इतना पेचीदा पाया गया कि दी न्यू यौर्क टाइम्स (3 अप्रैल, 1933, पृष्ठ 17) में छापा गया। सोशियोग्राम को कई अनुप्रयोग मिले हैं और यह सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण के क्षेत्र में विकसित हुआ है।

संभाव्य सिद्धांत नेटवर्क विज्ञान में पॉल एर्डोस और अल्फ्रेड रेनी के आठ प्रसिद्ध पत्रों के यादृच्छिक रेखांकन पर ग्राफ सिद्धांत की शाखा के रूप में विकसित हुआ। सामाजिक नेटवर्क के लिए घातीय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल या p* सांकेतिक ढांचा है जिसका उपयोग सामाजिक नेटवर्क में होने वाली टाई की संभावना स्थान का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। नेटवर्क संभाव्यता संरचनाओं के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण नेटवर्क संभाव्यता आव्युह है, सोशल नेटवर्क के नमूने में किनारे की ऐतिहासिक उपस्थिति या अनुपस्थिति के आधार पर नेटवर्क में होने वाली किनारों की संभावना को मॉडल करता है।

1998 में, डेविड क्रैकहार्ट और कैथलीन कार्ली ने पीसीएएनएस मॉडल के साथ मेटा-नेटवर्क का विचार प्रस्तुत किया। उनका सुझाव है कि सभी संगठन इन तीन डोमेन, व्यक्तियों, कार्यों और संसाधनों के साथ संरचित हैं। उनके पेपर ने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया कि नेटवर्क कई डोमेन में होते हैं और वे दूसरे से जुड़े हुए हैं। यह क्षेत्र नेटवर्क विज्ञान के अन्य उप-अनुशासन में विकसित हो गया है जिसे गतिशील नेटवर्क विश्लेषण कहा जाता है।

वर्तमान में अन्य नेटवर्क विज्ञान प्रयासों ने गणितीय रूप से विभिन्न नेटवर्क टोपोलॉजी का वर्णन करने पर ध्यान केंद्रित किया है। डंकन जे. वाट्स और स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ ने छोटे-विश्व नेटवर्क का वर्णन करते हुए गणितीय प्रतिनिधित्व के साथ नेटवर्क पर अनुभवजन्य डेटा का मिलान किया। अल्बर्ट-लेस्लो बाराबासी और अल्बर्ट का खाता ने स्तर -मुक्त नेटवर्क की खोज की संपत्ति जो इस तथ्य को पकड़ती है कि वास्तविक नेटवर्क हब में कई छोटे डिग्री वर्टिकल के साथ सह-अस्तित्व होता है, और इस स्तर -मुक्त राज्य की उत्पत्ति की व्याख्या करने के लिए गतिशील मॉडल की प्रस्तुति की थी।

रक्षा पहल विभाग

अमेरिकी सेना पहली बार 1996 में नेटवर्क विज्ञान पर आधारित संचालनात्मक अवधारणा के रूप में नेटवर्क-केंद्रित युद्ध में रुचि लेने लगी। जॉन ए. परमेंटोला, अमेरिकी सेना के अनुसंधान और प्रयोगशाला प्रबंधन के निदेशक, ने सेना के बोर्ड ऑन साइंस एंड टेक्नोलॉजी (बास्ट) को प्रस्तावित किया। 1 दिसंबर, 2003 कि नेटवर्क साइंस नया सेना अनुसंधान क्षेत्र बन गया। बास्ट राष्ट्रीय अकादमियों के राष्ट्रीय अनुसंधान परिषद (एनआरसी) के लिए इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान पर प्रभाग सेना के महत्व के विज्ञान और प्रौद्योगिकी के उद्देश्यों पर चर्चा के लिए संयोजक प्राधिकरण के रूप में कार्य करता है और स्वतंत्र सेना से संबंधित अध्ययनों की देखरेख करता है। राष्ट्रीय अकादमियों बास्ट ने यह पता लगाने के लिए अध्ययन किया कि क्या मूलभूत अनुसंधान नेटवर्क साइंस में जांच के नए क्षेत्र की पहचान और वित्तपोषण नेटवर्क-केंद्रित संचालन और नेटवर्क के मौलिक ज्ञान की वर्तमान आदिम स्थिति को समझने के लिए आवश्यक अंतर को कम करने में सहायता कर सकता है।

परिणाम स्वरुप बास्ट ने 2005 में नेटवर्क साइंस (ऊपर संदर्भित) शीर्षक से एनआरसी अध्ययन जारी किया जिसने सेना के लिए नेटवर्क साइंस में मूलभूत अनुसंधान के नए क्षेत्र को परिभाषित किया। उस अध्ययन के निष्कर्षों और अनुशंसाएँ के आधार पर और बाद की 2007 की एनआरसी सूची जिसका नाम नेटवर्क विज्ञान प्रौद्योगिकी और प्रयोग के लिए सेना केंद्र के लिए रणनीति है सेना के मूलभूत अनुसंधान संसाधनों को नेटवर्क विज्ञान में नया मूलभूत अनुसंधान कार्यक्रम प्रारंभ करने के लिए पुनर्निर्देशित किया गया था। जटिल नेटवर्क के लिए नई सैद्धांतिक नींव बनाने के लिए, सेना की प्रयोगशालाओं में चल रहे कुछ प्रमुख नेटवर्क विज्ञान अनुसंधान प्रयासों को संबोधित करते हैं:

नेटवर्क आकार, जटिलता और पर्यावरण के साथ प्रदर्शन की पूर्वानुमान करने के लिए नेटवर्क व्यवहार के गणितीय मॉडल
नेटवर्क-सक्षम युद्ध के लिए आवश्यक अनुकूलित मानव प्रदर्शन
पारिस्थितिक तंत्र के अंदर और कोशिकाओं में आणविक स्तर पर नेटवर्किंग

जैसा कि 2004 में फ्रेडरिक आई. मोक्सले ने डेविड एस. अल्बर्ट्स के समर्थन से प्रारंभ किया था, रक्षा विभाग ने संयुक्त राज्य सैन्य अकादमी (यूएसएमए) में अमेरिकी सेना के साथ मिलकर पहला नेटवर्क साइंस सेंटर स्थापित करने में सहायता की डॉ. मोक्सली और यूएसएमए के संकाय के संरक्षण के अनुसार नेटवर्क साइंस में पहले अंतःविषय स्नातक पाठ्यक्रम वेस्ट प्वाइंट पर कैडेटों को पढ़ाए गए थे।^[3]^[4]^[5] भविष्य के नेताओं के अपने कैडर के बीच नेटवर्क साइंस के सिद्धांतों को श्रेष्ठ विधि से स्थापित करने के लिए यूएसएमए ने नेटवर्क साइंस में पांच कोर्स अंडरग्रेजुएट माइनर भी स्थापित किया है। ^[6]

2006 में अमेरिकी सेना और यूनाइटेड किंगडम (यूके) ने नेटवर्क एंड इंफॉर्मेशन साइंस अंतर्राष्ट्रीय प्रौद्योगिकी गठबंधन का गठन किया, जो सेना अनुसंधान प्रयोगशाला, ब्रिटेन के रक्षा मंत्रालय और अमेरिका और ब्रिटेन में उद्योगों और विश्वविद्यालयों के संघ के बीच सहयोगी साझेदारी है। गठबंधन का लक्ष्य दोनों देशों की जरूरतों के लिए नेटवर्क-सेंट्रिक ऑपरेशंस के समर्थन में मूलभूत शोध करना है।

2009 में अमेरिकी सेना ने नेटवर्क साइंस सीटीए का गठन किया जो आर्मी रिसर्च लेबोरेटरी सर्देक के बीच सहयोगी अनुसंधान गठबंधन और अमेरिका में लगभग 30 औद्योगिक R&D प्रयोगशालाओं और विश्वविद्यालयों का संघ है। गठबंधन का लक्ष्य गहरी समझ विकसित करना है। आपस में गुंथे हुए सामाजिक/संज्ञानात्मक सूचना और संचार नेटवर्कों के बीच अंतर्निहित समानताएं और इसके परिणामस्वरूप कई प्रकार के नेटवर्कों को आपस में गुंथने वाली जटिल प्रणालियों का विश्लेषण भविष्यवाणी डिजाइन और प्रभावित करने की हमारी क्षमता में सुधार होता है।

इसके बाद इन प्रयासों के परिणामस्वरूप अमेरिकी रक्षा विभाग ने नेटवर्क विज्ञान का समर्थन करने वाली कई शोध परियोजनाओं को प्रायोजित किया है।

नेटवर्क गुण

अधिकांशतः नेटवर्क में कुछ विशेषताएँ होती हैं जिनकी गणना नेटवर्क के गुणों और विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए की जा सकती है। इन नेटवर्क गुणों का व्यवहार अधिकांशतः नेटवर्क मॉडल को परिभाषित करता है और इसका उपयोग यह विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है कि कुछ मॉडल दूसरे के विपरीत कैसे हैं। नेटवर्क विज्ञान में प्रयुक्त अन्य शब्दों की कई परिभाषाएँ ग्राफ़ सिद्धांत की शब्दावली में पाई जा सकती हैं।

आकार

नेटवर्क का आकार नोड्स $N$ की संख्या या, कम सामान्यतः किनारों $E$ की संख्या को संदर्भित कर सकता है जो (बिना बहु-किनारों वाले जुड़े ग्राफ़ के लिए $N-1$ (पेड़) से लेकर $E_{\max }$ (पूरा ग्राफ़) साधारण ग्राफ के स्थितियों में (ऐसा नेटवर्क जिसमें अधिकतम (अप्रत्यक्ष) किनारा प्रत्येक जोड़ी के शीर्ष के बीच उपस्थित होता है, और जिसमें कोई कोने खुद से जुड़ते नहीं हैं), हमारे पास $E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2$ निर्देशित ग्राफ़ के लिए (बिना किसी स्व-कनेक्टेड नोड के), $E_{\max }=N(N-1)$ अनुमत स्व-कनेक्शन वाले निर्देशित ग्राफ़ के लिए $E_{\max }=N^{2}$ ऐसे ग्राफ़ की परिस्थिति में जिसके अंदर कई किनारे जोड़ी वर्टिकल $E_{\max }=\infty$ के बीच उपस्थित हो सकते हैं।

घनत्व

घनत्व $D$ नेटवर्क के किनारों की संख्या के 0 और 1 के बीच सामान्यीकृत अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $E$ के साथ नेटवर्क में संभावित किनारों की संख्या के लिए $N$ नोड्स नेटवर्क घनत्व वैकल्पिक किनारों के प्रतिशत का उपाय है जो नेटवर्क में उपस्थित है और इसकी गणना की जा सकती है

$D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}$

जहां $E_{\mathrm {min} }$ और $E_{\mathrm {max} }$ , $N$ नोड्स के साथ जुड़े हुए नेटवर्क में किनारों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या क्रमशः हैं। सरल ग्राफ़ के स्थितियों में, $E_{\mathrm {max} }$ द्विपद गुणांक ${\tbinom {N}{2}}$ और $E_{\mathrm {min} }=N-1$ द्वारा दिया जाता है, जिससे घनत्व मिलता है $D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}$ और संभावित समीकरण है $D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},$ जबकि संबंध $T$ यूनिडायरेक्शनल हैं (वासरमैन एंड फॉस्ट 1994)। ^[7] यह नेटवर्क घनत्व पर उत्तम अवलोकन देता है, क्योंकि यूनिडायरेक्शनल रिश्तों को मापा जा सकता है।

समतलीय नेटवर्क घनत्व

नेटवर्क का घनत्व $D$ , जहां किनारों के बीच कोई प्रतिच्छेदन नहीं है को $N$ नोड्स वाले नेटवर्क में संभावित किनारों की संख्या $E$ के लिए किनारों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो बिना किसी प्रतिच्छेदन किनारों वाले ग्राफ द्वारा दिया गया है $(E_{\max }=3N-6)$ , $D={\frac {E-N+1}{2N-5}}.$ दे रहा है।

औसत डिग्री

नोड का डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) $k$ इससे जुड़े किनारों की संख्या है। नेटवर्क के घनत्व से निकटता से संबंधित औसत डिग्री है, $\langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}$ (या, निर्देशित ग्राफ़ के स्थितियों में, $\langle k\rangle ={\tfrac {E}{N}}$ , अप्रत्यक्ष ग्राफ में प्रत्येक किनारे से उत्पन्न होने वाला 2 का पूर्व कारक दो अलग-अलग कोने की डिग्री में योगदान देता है)। ER यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल ( $G(N,p)$ में हम $\langle k\rangle$ के अपेक्षित मान की गणना कर सकते हैं (किसी मनमाने शीर्ष के $k$ के अपेक्षित मान के बराबर): यादृच्छिक वर्टेक्स के पास उपलब्ध नेटवर्क में $N-1$ अन्य कोने हैं, और प्रायिकता $p$ के साथ, प्रत्येक से जुड़ता है।इस प्रकार, $\mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)$ है ।

औसत सबसे छोटी पथ लंबाई (या विशेषता पथ लंबाई)

औसत सबसे छोटी पथ लंबाई की गणना नोड्स के सभी जोड़े के बीच सबसे छोटा रास्ता खोजकर की जाती है और उसकी लंबाई के सभी पथों पर औसत लेते हुए (लंबाई पथ में निहित मध्यवर्ती किनारों की संख्या होती है, अर्थात, दूरी $d_{u,v}$ ग्राफ के अंदर दो शीर्षों $u,v$ के बीच) यह हमें दिखाता है औसतन नेटवर्क के सदस्य से दूसरे सदस्य तक जाने के लिए कितने कदम लगते हैं। यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल के वर्टिकल $N$ की संख्या के कार्य के रूप में अपेक्षित औसत सबसे छोटी पथ लंबाई (अर्थात , औसत सबसे छोटी पथ लंबाई का पहनावा औसत) का व्यवहार परिभाषित करता है कि क्या वह मॉडल छोटे-विश्व के प्रभाव को प्रदर्शित करता है; यदि यह $O(\ln N)$ के रूप में मापता है, तो मॉडल छोटे-विश्व के जाल बनाता है। लॉगरिदमिक से तेज वृद्धि के लिए, मॉडल छोटी विश्व का उत्पादन नहीं करता है। $O(\ln \ln N)$ के विशेष स्थितियों को अल्ट्रा-स्मॉल वर्ल्ड इफेक्ट के रूप में जाना जाता है।

नेटवर्क का व्यास

नेटवर्क ग्राफ़ को मापने के अन्य साधन के रूप में, हम नेटवर्क के व्यास को नेटवर्क में सभी परिकलित सबसे छोटे रास्तों में से सबसे लंबे समय तक परिभाषित कर सकते हैं। यह नेटवर्क में दो सबसे दूर के नोड्स के बीच की सबसे छोटी दूरी है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक नोड से अन्य सभी नोड्स के लिए सबसे छोटी पथ लंबाई की गणना करने के बाद व्यास सभी गणना पथ लंबाई का सबसे लंबा होता है। व्यास नेटवर्क के रैखिक आकार का प्रतिनिधि है। यदि नोड ए-बी-सी-डी जुड़ा हुआ है, ए->डी से जा रहा है तो यह 3 (3-हॉप्स, 3-लिंक) का व्यास होगा।

क्लस्टरिंग गुणांक

क्लस्टरिंग गुणांक सभी-मेरे-मित्र-एक-दूसरे को जानें संपत्ति का उपाय है। इसे कभी-कभी मेरे दोस्तों के दोस्त मेरे दोस्त के रूप में वर्णित किया जाता है। अधिक स्पष्ट रूप से, नोड का क्लस्टरिंग गुणांक वर्तमान लिंक का अनुपात है जो नोड के निकटतम को दूसरे से ऐसे लिंक की अधिकतम संभव संख्या में जोड़ता है। संपूर्ण नेटवर्क के लिए क्लस्टरिंग गुणांक सभी नोड्स के क्लस्टरिंग गुणांकों का औसत है। नेटवर्क के लिए उच्च क्लस्टरिंग गुणांक लघु-विश्व प्रयोग का और संकेत है।

$i$ वें नोड का क्लस्टरिंग गुणांक है

C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,

जहाँ $k_{i}$ के निकटतम की संख्या है $i$ वें नोड और $e_{i}$ इन निकटतम के बीच कनेक्शन की संख्या है। निकटतम के बीच कनेक्शन की अधिकतम संभव संख्या है, फिर,

{\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.

संभाव्य दृष्टिकोण से अपेक्षित स्थानीय क्लस्टरिंग गुणांक ही नोड के दो मनमाने निकटतम के बीच विद्यमान लिंक की संभावना है।

जुड़ाव

जिस तरह से नेटवर्क जुड़ा हुआ है, नेटवर्क का विश्लेषण और व्याख्या कैसे की जाती है इसमें बड़ी भूमिका निभाता है। नेटवर्क को चार अलग-अलग श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है:

क्लिक/पूर्ण ग्राफ़: पूरी तरह से जुड़ा हुआ नेटवर्क जहां सभी नोड हर दूसरे नोड से जुड़े होते हैं। ये नेटवर्क इस मायने में सममित हैं कि सभी नोड्स में अन्य सभी से इन-लिंक और आउट-लिंक हैं।
जायंट कंपोनेंट: अकेला कनेक्टेड कंपोनेंट जिसमें नेटवर्क के अधिकांश नोड होते हैं।
अशक्त रूप से जुड़ा हुआ घटक: नोड्स का संग्रह जिसमें किनारों की दिशात्मकता को अनदेखा करते हुए किसी भी नोड से किसी अन्य तक पथ उपस्थित होता है।
शक्तिशाली रूप से जुड़ा हुआ घटक: नोड्स का संग्रह जिसमें किसी भी नोड से किसी अन्य के लिए निर्देशित पथ उपस्थित होता है।

नोड केंद्रीयता

केंद्रीयता सूचकांक श्रेणी उत्पन्न करते हैं जो नेटवर्क मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण नोड्स की पहचान करना चाहते हैं। अलग-अलग केंद्रीयता सूचकांक शब्द महत्व के लिए अलग-अलग संदर्भों को कूटबद्ध करते हैं। बीच की केंद्रीयता, उदाहरण के लिए नोड को अत्यधिक महत्वपूर्ण मानती है यदि यह कई अन्य नोड्स के बीच सेतु बनाता है। केंद्रीयता या ईजेनवेक्टर केंद्रीयता, इसके विपरीत, नोड को अत्यधिक महत्वपूर्ण मानता है यदि कई अन्य अत्यधिक महत्वपूर्ण नोड्स इससे जुड़ते हैं। साहित्य में ऐसे सैकड़ों उपाय प्रस्तावित किए गए हैं।

केंद्रीय सूचकांक केवल सबसे महत्वपूर्ण नोड्स की पहचान करने के लिए स्पष्ट होते हैं। शेष नेटवर्क नोड्स के लिए उपाय संभवतः ही कभी सार्थक होते हैं।^[8]^[9] साथ ही, उनके संकेत महत्व के लिए उनके अनुमानित संदर्भ में ही स्पष्ट होते हैं और अन्य संदर्भों के लिए गलत हो जाते हैं।^[10] उदाहरण के लिए दो अलग-अलग समुदायों की कल्पना करें जिनकी एकमात्र कड़ी प्रत्येक समुदाय के सबसे कनिष्ठ सदस्य के बीच बढ़त है। चूंकि समुदाय से दूसरे समुदाय में किसी भी स्थानांतरण को इस लिंक पर जाना चाहिए दो कनिष्ठ सदस्यों में उच्च समानता केंद्रीयता होगी। चूंकि वे कनिष्ठ हैं (संभवतः) उनके समुदाय में महत्वपूर्ण नोड्स के लिए कुछ कनेक्शन हैं जिसका अर्थ है कि उनकी आइगेनवैल्यू केंद्रीयता अधिक कम होगी।

नोड प्रभाव

केंद्रीयता उपायों की सीमाओं ने अधिक सामान्य उपायों के विकास को प्रेरित किया है। जिसके दो उदाहरण हैं एक्सेसिबिलिटी जो यादृच्छिक वॉक की विविधता का उपयोग यह मापने के लिए करती है कि किसी दिए गए स्टार्ट नोड से शेष नेटवर्क कितना एक्सेसिबल है,^[11] और अपेक्षित बल नोड द्वारा उत्पन्न संक्रमण के बल के अपेक्षित मूल्य से प्राप्त होता है।^[8] इन दोनों उपायों की अर्थपूर्ण गणना अकेले नेटवर्क की संरचना से की जा सकती है।

सामुदायिक संरचना

चित्र 1: समूहों के बीच घने आंतरिक कनेक्शन और विरल कनेक्शन वाले नोड्स के तीन समूहों के साथ सामुदायिक संरचना प्रदर्शित करने वाले छोटे जटिल नेटवर्क का स्केच।

नेटवर्क में नोड्स को समुदायों का प्रतिनिधित्व करने वाले समूहों में विभाजित किया जा सकता है। संदर्भ के आधार पर समुदाय अलग या अतिव्यापी हो सकते हैं। सामान्यतः ऐसे समुदायों में नोड्स उसी समुदाय में अन्य नोड्स से शक्ति से जुड़े होंगे किन्तु समुदाय के बाहर नोड्स से अशक्त रूप से जुड़े होंगे। विशिष्ट नेटवर्क की सामुदायिक संरचना का वर्णन करने वाली जमीनी सच्चाई के अभाव में कई एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं जो कि असुरक्षित क्लस्टरिंग विधियों के पर्यवेक्षण का उपयोग करके संभावित सामुदायिक संरचनाओं का अनुमान लगा सकते हैं।

नेटवर्क मॉडल

अनुभवजन्य जटिल नेटवर्क के अंदर पारस्परिक क्रिया को समझने के लिए नेटवर्क मॉडल नींव के रूप में काम करते हैं। विभिन्न यादृच्छिक ग्राफ जनरेशन मॉडल नेटवर्क संरचनाओं का उत्पादन करते हैं जिनका उपयोग वास्तविक विश्व के जटिल नेटवर्क की तुलना में किया जा सकता है।

एर्डोस-रेनी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल

यह एर्डोस-रेनी मॉडल के साथ उत्पन्न होता है

N = 4

नोड्स। सभी द्वारा गठित पूर्ण ग्राफ में प्रत्येक किनारे के लिए

N

नोड्स, यादृच्छिक संख्या उत्पन्न होती है और दी गई संभावना से तुलना की जाती है। यदि यादृच्छिक संख्या से कम है

p

, मॉडल पर किनारा बनता है।

पॉल एर्डोस और अल्फ्रेड रेनी के नाम पर एर्डोस-रेनी मॉडल का उपयोग यादृच्छिक ग्राफ बनाने के लिए किया जाता है जिसमें किनारों को समान संभावनाओं वाले नोड्स के बीच समुच्चय किया जाता है। विभिन्न गुणों को संतुष्ट करने वाले ग्राफ़ के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए संभाव्य पद्धति में इसका उपयोग किया जा सकता है, या किसी संपत्ति के लगभग सभी ग्राफ़ के लिए इसका क्या अर्थ है इसकी कठोर परिभाषा प्रदान करने के लिए होते है।

एर्डोस-रेनी मॉडल $G(n,p)$ उत्पन्न करने के लिए दो पैरामीटर निर्दिष्ट किए जाने चाहिए: नोड्स की कुल संख्या $n$ और प्रायिकता $p$ कि नोड्स की यादृच्छिक जोड़ी का किनारा है।

क्योंकि मॉडल बिना पूर्वाग्रह के विशेष नोड्स के लिए उत्पन्न होता है, डिग्री वितरण द्विपद है: यादृच्छिक रूप से चुने गए शीर्ष $v$ के लिए है

P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.

।

इस मॉडल में क्लस्टरिंग गुणांक $0$ ए.एस. है। $G(n,p)$ के व्यवहार को तीन क्षेत्रों में तोड़ा जा सकता है।

सबक्रिटिकल $np<1$ : सभी घटक सरल और बहुत छोटे होते हैं, सबसे बड़े घटक का आकार $|C_{1}|=O(\log n)$ ; है

गंभीर $np=1$ : $|C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})$ ;

अत्यंत सूक्ष्म $np>1$ : $|C_{1}|\approx yn$ जहाँ $y=y(np)$ समीकरण का सकारात्मक समाधान $e^{-pny}=1-y$ . है

सबसे बड़े जुड़े घटक में उच्च जटिलता होती है। अन्य सभी घटक सरल और छोटे $|C_{2}|=O(\log n)$ . हैं |

कॉन्फ़िगरेशन मॉडल

कॉन्फ़िगरेशन मॉडल इनपुट के रूप में डिग्री अनुक्रम ^[12]^[13] या डिग्री वितरण ^[14] (जो बाद में डिग्री अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है) लेता है और डिग्री अनुक्रम के अतिरिक्त सभी तरह से यादृच्छिक रूप से जुड़े ग्राफ का उत्पादन करता है। इसका कारण यह है कि डिग्री अनुक्रम के दिए गए विकल्प के लिए ग्राफ को इस डिग्री अनुक्रम का अनुपालन करने वाले सभी ग्राफों के समुच्चय से समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। व्यवस्थित रूप से चुने गए शीर्ष की डिग्री $k$ पूर्णांक मानों के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। जब ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$ , कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ़ में विशालकाय घटक जुड़ा हुआ घटक होता है, जिसका आकार अनंत होता है। ^[13] शेष घटकों के परिमित आकार होते हैं जिन्हें आकार वितरण की धारणा से परिमाणित किया जा सकता है। प्रायिकता $w(n)$ कि व्यवस्थित रूप से नमूना नोड आकार $n$ के घटक से जुड़ा है, डिग्री वितरण की दृढ़ शक्तियों द्वारा दिया गया है: ^[15]

w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}

जहाँ

u(k)

डिग्री वितरण को दर्शाता है और

u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}

सभी किनारों के महत्वपूर्ण अंश

p_{c}

को व्यवस्थित रूप से हटाकर विशाल घटक को नष्ट किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को यादृच्छिक नेटवर्क पर परकोलेशन सिद्धांत कहा जाता है। जब डिग्री वितरण का दूसरा क्षण परिमित होता है,

{\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }

, यह महत्वपूर्ण किनारा अंश^[16]

p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}

द्वारा दिया जाता है और औसत पथ लंबाई या औसत शीर्ष-शीर्ष दूरी

l

में विशाल घटक नेटवर्क के कुल आकार

l=O(\log N)

के साथ लॉगरिदमिक रूप से मापता है, ^[14]

निर्देशित कॉन्फ़िगरेशन मॉडल में नोड की डिग्री दो संख्याओं द्वारा दी जाती है इन-डिग्री $k_{\text{in}}$ और आउट-डिग्री $k_{\text{out}}$ और परिणामस्वरूप डिग्री वितरण दो-चर है। इन-एज और आउट-एज की अपेक्षित संख्या मेल खाती है जिससे ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$ . निर्देशित कॉन्फ़िगरेशन मॉडल में विशाल घटक iff होता है^[17]

2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.

ध्यान दें कि

{\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}

और

{\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}

समान हैं और इसलिए बाद की असमानता में विनिमेय हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए शीर्ष के आकार के घटक से संबंधित होने की प्रायिकता

n

द्वारा दिया गया है:^[18]

h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),

इन-अवयव के लिए और

h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),

बाहरी घटकों के लिए होता है ।

वाट्स-स्ट्रोगेट्स लघु विश्व मॉडल

वाट्स और स्ट्रोगेट्स मॉडल अपनी संरचना को प्राप्त करने के लिए रिवाइरिंग की अवधारणा का उपयोग करता है। मूल जाली संरचना में मॉडल जनरेटर प्रत्येक किनारे के माध्यम से पुनरावृति करेगा। दी गई रीवायरिंग प्रायिकता के अनुसार किनारा अपने कनेक्टेड वर्टिकल को बदल सकता है।

\langle k\rangle =4

इस उदाहरण में।

वाट्स एंड स्ट्रोगेट्ज मॉडल यादृच्छिक ग्राफ जनरेशन मॉडल है जो छोटी विश्व की संपत्तियों के साथ ग्राफ बनाता है।

वाट्स-स्ट्रोगेट्ज मॉडल उत्पन्न करने के लिए प्रारंभिक जाली संरचना का उपयोग किया जाता है। नेटवर्क में प्रत्येक नोड प्रारंभ में अपने निकटतम निकटतम $\langle k\rangle$ से जुड़ा हुआ है। अन्य पैरामीटर को रिवायरिंग संभावना के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। प्रत्येक किनारे की प्रायिकता $p$ निकटतम निकटतम है। अन्य पैरामीटर को रिवायरिंग संभावना के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। प्रत्येक किनारे की प्रायिकता $pE=pN\langle k\rangle /2$ होती है।

जैसा कि वाट्स-स्ट्रोगेट्स मॉडल गैर-यादृच्छिक जाली संरचना के रूप में प्रारंभ होता है, इसमें उच्च औसत पथ लंबाई के साथ बहुत उच्च क्लस्टरिंग गुणांक होता है। प्रत्येक रिवायर अत्यधिक कनेक्टेड क्लस्टर के बीच शॉर्टकट बनाने की संभावना है। जैसे-जैसे रिवाइरिंग की संभावना बढ़ती है, क्लस्टरिंग गुणांक औसत पथ लंबाई की तुलना में धीमा होता जाता है। वास्तव में यह क्लस्टरिंग गुणांक में केवल थोड़ी कमी के साथ नेटवर्क की औसत पथ लंबाई को महत्वपूर्ण रूप से कम करने की अनुमति देता है। p के उच्च मान अधिक रिवायर किए गए किनारों को बल देते हैं जो प्रभावी रूप से वाट्स-स्ट्रोगेट्ज मॉडल को यादृच्छिक नेटवर्क बनाता है।

बरबासी-अल्बर्ट (बीए) अधिमान्य लगाव मॉडल

बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल है जिसका उपयोग अधिमान्य लगाव या अमीर-से-बहुमूल्य प्रभाव को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। इस मॉडल में किनारे को उच्च डिग्री वाले नोड्स से जोड़ने की संभावना है।

नेटवर्क m₀ के प्रारंभिक नेटवर्क से प्रारंभ होता है नोड्स m₀ ≥ 2 और प्रारंभिक नेटवर्क में प्रत्येक नोड की डिग्री कम से कम 1 होनी चाहिए अन्यथा यह शेष नेटवर्क से सदैव डिस्कनेक्ट रहेगा।

बीए मॉडल में नेटवर्क में बार में नए नोड जोड़े जाते हैं। प्रत्येक नया नोड जुड़ा हुआ है $m$ वर्तमान नोड्स की संभावना के साथ वर्तमान नोड्स के पास पहले से उपस्थित लिंक की संख्या के अनुपात में है। औपचारिक रूप से, प्रायिकता p_i कि नया नोड नोड i से जुड़ा है^[19]

p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},

जहां k_i नोड i की डिग्री है। भारी रूप से जुड़े नोड्स (हब) तेजी से और भी अधिक लिंक जमा करते हैं जबकि केवल कुछ लिंक वाले नोड्स को नए लिंक के लिए गंतव्य के रूप में चुने जाने की संभावना नहीं है। नए नोड्स को पहले से ही भारी रूप से जुड़े नोड्स से खुद को जोड़ने की प्राथमिकता है।

बीए मॉडल का डिग्री वितरण, जो शक्ति नियम का पालन करता है। लॉगलॉग स्तर में पावर लॉ फलन सीधी रेखा है।^[20]

बीए मॉडल से उत्पन्न डिग्री वितरण मापदंड मुक्त है विशेष रूप से बड़ी डिग्री के लिए यह फॉर्म का शक्ति नियम है:

P(k)\sim k^{-3}\,

हब उच्च बीच की केंद्रीयता प्रदर्शित करते हैं जो नोड्स के बीच छोटे रास्तों को उपस्थित रहने की अनुमति देता है। परिणाम स्वरुप बीए मॉडल में बहुत कम औसत पथ लंबाई होती है। इस मॉडल का क्लस्टरिंग गुणांक भी 0 हो जाता है।

बारबासी-अल्बर्ट मॉडल^[20] अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए विकसित किया गया था किन्तु विभिन्न अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला पर प्रयुक्त किया गया था। इस मॉडल का निर्देशित संस्करण प्राइस का मॉडल है^[21]^[22] जो सिर्फ उद्धरण नेटवर्क पर प्रयुक्त किया गया था। गणितीय रूप से, इन मॉडलों का वर्णन करने के लिए समान समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है और वे दोनों समान विशेषताएं दिखाते हैं।

गैर रेखीय अधिमान्य लगाव

गैर-रैखिक तरजीही प्रीति (एनएलपीए) में नेटवर्क में वर्तमान नोड्स निरंतर सकारात्मक शक्ति $\alpha$ ले लिए उठाए गए नोड डिग्री के अनुपात में नए किनारों को प्राप्त करते हैं,^[23] औपचारिक रूप से,इसका कारण है कि संभावना है कि नोड $i$ द्वारा नई बढ़त दी जाती है

p_{i}={\frac {k_{i}^{\alpha }}{\sum _{j}k_{j}^{\alpha }}}.

यदि $\alpha =1$ , एनएलपीए बीए मॉडल को कम करता है और इसे रैखिक कहा जाता है। यदि $0<\alpha <1$ , एनएलपीए को उप-रैखिक के रूप में संदर्भित किया जाता है और नेटवर्क का डिग्री वितरण फैला हुआ घातीय कार्य की ओर जाता है। यदि $\alpha >1$ , एनएलपीए को सुपर-लीनियर के रूप में जाना जाता है और नोड्स की छोटी संख्या नेटवर्क में लगभग सभी अन्य नोड्स से जुड़ती है। दोनों के लिए $\alpha <1$ और $\alpha >1$ , नेटवर्क की स्तर -मुक्त संपत्ति अनंत पद्धति आकार की सीमा में टूट गई है। चूंकि यदि $\alpha$ से थोड़ा ही बड़ा है $1$ , एनएलपीए के परिणामस्वरूप डिग्री वितरण हो सकता है जो क्षणिक रूप से मुक्त प्रतीत होता है।^[24]

मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल

मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल में जिसमें $m$ किनारों के साथ आने वाला नया नोड यादृच्छिक रूप से वर्तमान कनेक्टेड नोड को चुनता है और फिर खुद को उस के साथ नहीं किंतु अपने निकटतम के $m$ के साथ भी यादृच्छिक रूप से जोड़ता है। संभावना $\Pi (i)$ कि चुने गए वर्तमान नोड का नोड $i$ है

\Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}{\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}.

कारण ${\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$ हार्मोनिक माध्य का व्युत्क्रम है

(IHM) की डिग्री $k_{i}$ नोड के निकटतम $i$ . व्यापक संख्यात्मक जांच से पता चलता है कि लगभग $m>14$ बड़े में औसत IHM मान $N$ सीमा स्थिर हो जाती है जिसका अर्थ है $\Pi (i)\propto k_{i}$ . तात्पर्य यह है कि जितना अधिक होगा

नोड में लिंक्स (डिग्री) होते हैं, जितने अधिक लिंक प्राप्त करने की संभावना उतनी ही अधिक होती है क्योंकि वे हो सकते हैं

मध्यस्थों के माध्यम से बड़ी संख्या में पहुंचें जो अनिवार्य रूप से सहज ज्ञान का प्रतीक हैं बहुमूल्य के लिए बहुमूल्य तंत्र का विचार (या बाराबसी-अल्बर्ट मॉडल का अधिमान्य लगाव नियम)। इसलिए एमडीए नेटवर्क को फॉलो करते देखा जा सकता है पीए शासन किन्तु भेष में होते है ।^[25]

चूँकि $m=1$ के लिए यह वर्णन करता है कि विजेता इसे सभी तंत्रों के रूप में लेता है जैसा कि हम लगभग पाते हैं जो $99\%$ कुल नोड्स में से डिग्री है और डिग्री में अति-समृद्ध है। जैसा $m$ मूल्य बढ़ने से अति धनी और गरीब के बीच का अंतर कम हो जाता है और जैसे-जैसे $m>14$ हम धनी से अधिक धनवान बनने की प्रक्रिया को धनवान से अधिक धनी प्राप्त करने की क्रियाविधि के रूप में देखते हैं।

फ़िटनेस मॉडल

अन्य मॉडल जहां प्रमुख घटक शीर्ष की प्रकृति है, कैल्डारेली एट अल द्वारा प्रस्तुत किया गया है।^[26] यहां दो सिरों $i,j$ के बीच लिंक बनाया जाता है जिसमें सम्मिलित शीर्षों की फिटनेस के लिंकिंग फलन $f(\eta _{i},\eta _{j})$ द्वारा दी गई संभावना है। शीर्ष i की कोटि किसके द्वारा दी जाती है ^[27]

k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}

यदि $k(\eta _{i})$ का उलटा और बढ़ता हुआ कार्य $\eta _{i}$ है तब

संभाव्यता वितरण $P(k)$ द्वारा दिया गया है

P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)

परिणाम स्वरुप , यदि फिटनेस $\eta$ शक्ति नियम के रूप में वितरित किया जाता है, फिर नोड डिग्री भी करता है।

तेजी से क्षय संभाव्यता वितरण के साथ कम सहज ज्ञान युक्त

$\rho (\eta )=e^{-\eta }$ साथ तरह के लिंकिंग फलन के साथ

f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)

साथ $Z$ स्थिर और $\Theta$ हेवीसाइड फलन हम भी हम स्केल-मुक्त नेटवर्क भी प्राप्त करते हैं।

इस तरह के मॉडल को विभिन्न नोड्स $i,j$ और इस तरह के लिंकिंग फलन के लिए उपयुक्तता के रूप में जीडीपी का उपयोग करके राष्ट्रों के बीच व्यापार का वर्णन करने के लिए सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है।

^[28]^[29]

{\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.

नेटवर्क विश्लेषण

सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण

सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण सामाजिक संस्थाओं के बीच संबंधों की संरचना की जांच करता है।^[30] ये संस्थाएँ अधिकांशतः व्यक्ति होती हैं, किन्तु समूह (समाजशास्त्र), संगठन, राष्ट्र राज्य, वेब साइट्स, साइनोमेट्रिक्स भी हो सकती हैं।

1970 के दशक से, नेटवर्क के अनुभवजन्य अध्ययन ने सामाजिक विज्ञान में केंद्रीय भूमिका निभाई है, और नेटवर्क का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई गणित और सांख्यिकी उपकरण पहले समाजशास्त्र में विकसित किए गए हैं। समाचार और प्रवाद इसी तरह इसका उपयोग महामारी विज्ञान और चिकित्सा समाजशास्त्र दोनों के प्रसार की जांच करने के लिए किया गया है। स्वास्थ्य संबंधी व्यवहार। इसे आर्थिक समाजशास्त्र पर भी प्रयुक्त किया गया है, जहां इसका उपयोग कीमतों को निर्धारित करने में सामाजिक विनिमय और सामाजिक तंत्र में विश्वास की भूमिका की जांच करने के लिए किया गया है। इसी तरह, इसका उपयोग राजनीतिक आंदोलन और सामाजिक संगठनों में भर्ती का अध्ययन करने के लिए किया गया है। इसका उपयोग वैज्ञानिक असहमति के साथ-साथ अकादमिक प्रतिष्ठा की अवधारणा के लिए भी किया गया है। दूसरे भाषा अधिग्रहण साहित्य में, इसका विदेश में अध्ययन में स्थापित इतिहास है, यह खुलासा करता है कि कैसे सहकर्मी शिक्षार्थी पारस्परिक क्रिया नेटवर्क उनकी भाषा की प्रगति को प्रभावित करते हैं। वर्तमान में, नेटवर्क विश्लेषण (और इसके समीप चचेरे भाई यातायात विश्लेषण) ने पदानुक्रमित और नेतृत्वविहीन प्रतिरोध प्रकृति दोनों के विद्रोही नेटवर्क को उजागर करने के लिए सैन्य आसूचना में महत्वपूर्ण उपयोग प्राप्त किया है।^[31]^[32] सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण (अपराध विज्ञान) में, इसका उपयोग आपराधिक गिरोहों, अपराधी आंदोलनों, सह-अपमान में प्रभावशाली अभिनेताओं की पहचान करने आपराधिक गतिविधियों की पूर्वानुमान करने और नीतियां बनाने के लिए किया जा रहा है।^[33]

गतिशील नेटवर्क विश्लेषण

डायनेमिक नेटवर्क विश्लेषण जटिल सामाजिक-तकनीकी प्रणालियों के प्रभावों में संस्थाओं के विभिन्न वर्गों के बीच संबंधों की शिफ्टिंग संरचना की जांच करता है, और सामाजिक स्थिरता और नए समूहों, विषयों और नेताओं के उद्भव जैसे परिवर्तनों को दर्शाता है।^[34]^[35]^[36] डायनेमिक नेटवर्क विश्लेषण कई प्रकार के नोड्स (निकाय) और बहुआयामी नेटवर्क से बने मेटा-नेटवर्क पर केंद्रित है। ये संस्थाएँ अत्यधिक विविध हो सकती हैं। उदाहरणों में लोग संगठन, विषय, संसाधन, कार्य, घटनाएँ, स्थान और विश्वास सम्मिलित हैं।

डायनेमिक नेटवर्क विधि समय के साथ नेटवर्क में रुझानों और परिवर्तनों का आकलन करने, उभरते हुए नेताओं की पहचान करने और लोगों और विचारों के सह-विकास की जांच करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी हैं।

जैविक नेटवर्क विश्लेषण

सार्वजनिक रूप से उपलब्ध उच्च थ्रूपुट जैविक डेटा के वर्तमान के विस्फोट के साथ आणविक नेटवर्क के विश्लेषण में महत्वपूर्ण रुचि प्राप्त हुई है। इस सामग्री में विश्लेषण के प्रकार सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण से निकटता से संबंधित हैं, किन्तु अधिकांशतः नेटवर्क मूल भाव स्थानीय प्रतिरूप पर ध्यान केंद्रित करते हैं। उदाहरण के लिए, नेटवर्क प्रारूप छोटे उपग्राफ हैं जो नेटवर्क में अधिक प्रतिनिधित्व करते हैं। गतिविधि रूपांकन नेटवर्क में नोड्स और किनारों की विशेषताओं में समान रूप से अधिक प्रतिनिधित्व वाले प्रतिरूप हैं जो नेटवर्क संरचना को देखते हुए अधिक प्रतिनिधित्व करते हैं। जैविक नेटवर्क के विश्लेषण से नेटवर्क दवा का विकास हुआ है, जो इंटरएक्टिव में रोगों के प्रभाव को देखता है।^[37]

लिंक विश्लेषण

लिंक विश्लेषण नेटवर्क विश्लेषण का सबसेट है, जो वस्तुओं के बीच संबंधों की खोज करता है। उदाहरण संदिग्धों और पीड़ितों के पते, उनके द्वारा डायल किए गए टेलीफोन नंबरों और निश्चित समय सीमा के समय वित्तीय लेन-देन और पुलिस जांच के भाग के रूप में इन विषयों के बीच पारिवारिक संबंधों की जांच कर सकता है। लिंक विश्लेषण यहां विभिन्न प्रकार की बहुत सारी वस्तुओं के बीच महत्वपूर्ण संबंध और जुड़ाव प्रदान करता है जो सूचना के अलग-अलग टुकड़ों से स्पष्ट नहीं होते हैं। कंप्यूटर-सहायता प्राप्त या पूरी तरह से स्वचालित कंप्यूटर-आधारित लिंक विश्लेषण किनाराओं और बीमा एजेंसियों द्वारा धोखाधड़ी का पता लगाने में दूरसंचार ऑपरेटरों द्वारा दूरसंचार नेटवर्क विश्लेषण में, महामारी विज्ञान और औषध में चिकित्सा क्षेत्र द्वारा, नियम प्रवर्तन आपराधिक प्रक्रियाओं में, प्रासंगिकता के लिए खोज इंजन द्वारा तेजी से नियोजित किया जाता है। रेटिंग (और इसके विपरीत स्पैमडेक्सिंग के लिए खोज इंजन स्पैमर द्वारा और खोज इंजन अनुकूलन के लिए व्यापार मालिकों द्वारा) और हर स्थान जहां कई वस्तुओं के बीच संबंधों का विश्लेषण किया जाना है।

महामारी विश्लेषण

एसआईआर मॉडल संक्रामक जनसंख्या के अंदर वैश्विक महामारी के प्रसार की पूर्वानुमान करने वाले सबसे प्रसिद्ध एल्गोरिदम में से है।

संक्रमित होने की आशंका

S=\beta \left({\frac {1}{N}}\right)

उपरोक्त सूत्र संक्रामक जनसंख्या में प्रत्येक संवेदनशील इकाई के लिए संक्रमण के बल का वर्णन करता है, जहां $β$ उक्त रोग की संचरण दर के समन है।

संक्रामक जनसंख्या में अतिसंवेदनशील लोगों के परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए:

\Delta S=\beta \times S{1 \over N}\,\Delta t

संक्रमित से ठीक होना

\Delta I=\mu I\,\Delta t

समय के साथ संक्रमित लोगों की संख्या में निम्न द्वारा उतार-चढ़ाव होता है: ठीक होने की निर्दिष्ट दर, जिसे $\mu$ द्वारा दर्शाया जाता है, किन्तु औसत संक्रामक अवधि ${1 \over \tau }$ से घटाकर, संक्रामक व्यक्तियों की संख्या, $I$ , और में परिवर्तन समय $\Delta t$ है .

संक्रामक काल

एसआईआर मॉडल के संबंध में, जनसंख्या किसी महामारी से उबर पाएगी या नहीं, यह $R_{0}$ या "संक्रमित व्यक्ति द्वारा संक्रमित औसत लोगों" के मान पर निर्भर है।।

R_{0}=\beta \tau ={\beta  \over \mu }

वेब लिंक विश्लेषण

कई वेब खोज श्रेणी एल्गोरिदम लिंक-आधारित सेंट्रलिटी आव्यूह का उपयोग करते हैं जिसमें (उपस्थिति के क्रम में) मास्सिमो मर्चियोरी की हाइपर सर्च, गूगल की पृष्ठ श्रेणी क्लेनबर्ग की एचआईटीएस एल्गोरिथम, चीरैंक और ट्रस्टरैंक एल्गोरिदम सम्मिलित हैं। वेब पेजों के संग्रह की संरचना से जानकारी को समझने और निकालने के लिए सूचना विज्ञान और संचार विज्ञान में लिंक विश्लेषण भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, विश्लेषण राजनेताओं की वेबसाइटों या ब्लॉगों के बीच परस्पर संबंध का हो सकता है।

पेजरैंक

पेजरैंक व्यवस्थित विधि से नोड्स या वेबसाइटों को चुनकर काम करता है और फिर निश्चित संभावना के साथ अन्य नोड्स पर व्यवस्थित विधि से कूदता है। व्यवस्थित विधि से इन अन्य नोड्स पर कूद कर, यह पेजरैंक को नेटवर्क को पूरी तरह से पार करने में सहायता करता है क्योंकि कुछ वेबपेज परिधि पर उपस्थित होते हैं और आसानी से मूल्यांकन नहीं किए जा सकते हैं।

प्रत्येक नोड $x_{i}$ का पेजरैंक है जैसा कि पेजों के योग द्वारा परिभाषित किया गया है जो आउटलिंक्स पर $i$ गुना या "महत्व" या $j$ के पेजरैंक के $j$ गुणा "आउट-डिग्री" से लिंक होता है।

x_{i}=\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}

यादृच्छिक जम्पिंग

जैसा कि ऊपर स्पष्ट किया गया है, पेजरैंक इंटरनेट पर प्रत्येक वेबसाइट को पेजरैंक आवंटित करने के प्रयासों में यादृच्छिक छलांग लगाता है। ये यादृच्छिक जंप ऐसी वेबसाइटें खोजते हैं जो सामान्य खोज पद्धतियों जैसे चौड़ाई-प्रथम खोज और गहराई-प्रथम खोज के समय नहीं मिल सकती हैं।

पेजरैंक निर्धारित करने के लिए उपरोक्त सूत्र में सुधार में इन यादृच्छिक जंप घटकों को सम्मिलित करना सम्मिलित है। यादृच्छिक उछाल के बिना कुछ पृष्ठों को 0 का पेजरैंक प्राप्त होगा जो अच्छा नहीं होगा।

पहला $\alpha$ या संभावना है कि यादृच्छिक छलांग होगी। कंट्रास्टिंग "डंपिंग कारक " या $1-\alpha$ है।

R{(p)}={\alpha  \over N}+(1-\alpha )\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}

इसे देखने का दूसरा विधि :

R(A)=\sum {R_{B} \over B_{\text{(outlinks)}}}+\cdots +{R_{n} \over n_{\text{(outlinks)}}}

केंद्रीय उपाय

ग्राफ में नोड्स और किनारों के सापेक्ष महत्व के बारे में जानकारी केंद्रीयता उपायों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है, जो व्यापक रूप से समाजशास्त्र जैसे विषयों में उपयोग की जाती हैं। केंद्रीयता के उपाय आवश्यक हैं जब नेटवर्क विश्लेषण को सवालों का उत्तर देना होता है जैसे: नेटवर्क में कौन से नोड्स को यह सुनिश्चित करने के लिए लक्षित किया जाना चाहिए कि संदेश या सूचना नेटवर्क में सभी या अधिकांश नोड्स में फैलती है? या इसके विपरीत, बीमारी के फैलाव को कम करने के लिए किन नोड्स को लक्षित किया जाना चाहिए? . केंद्रीयता के औपचारिक रूप से स्थापित उपाय डिग्री केंद्रीयता, निकटता केंद्रीयता, बीच की केंद्रीयता, ईजेनवेक्टर केंद्रीयता और काट्ज़ केंद्रीयता हैं। नेटवर्क विश्लेषण का उद्देश्य सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले केंद्रीयता माप (ओं) के प्रकार को निर्धारित करता है।^[30]

नेटवर्क में नोड की डिग्री केंद्रीयता नोड पर लिंक (कोने) की घटना की संख्या है।
क्लोज़नेस सेंट्रलिटी यह निर्धारित करती है कि नेटवर्क में उस नोड और अन्य सभी नोड्स के बीच सबसे कम दूरी (जियोडेसिक पथ) के योग को मापकर नेटवर्क में अन्य नोड्स के लिए नोड कितना करीब है।
बिचनेस सेंट्रलिटी नेटवर्क में अन्य नोड्स के लिए उस नोड के माध्यम से बहने वाले ट्रैफ़िक की मात्रा को मापकर नोड के सापेक्ष महत्व को निर्धारित करता है। यह नोड्स के सभी जोड़े को जोड़ने और ब्याज के नोड को सम्मिलित करने वाले पथों के अंश को मापने के द्वारा किया जाता है। ग्रुप बिटवीननेस सेंट्रलिटी नोड्स के समूह के माध्यम से बहने वाले ट्रैफ़िक की मात्रा को मापता है।
ईजेनवेक्टर सेंट्रलिटी डिग्री सेंट्रलिटी का अधिक परिष्कृत संस्करण है जहां नोड की केंद्रीयता न केवल नोड पर होने वाली लिंक की संख्या पर निर्भर करती है किंतु उन लिंक की गुणवत्ता पर भी निर्भर करती है। यह गुणवत्ता कारक नेटवर्क के आसन्न आव्युह के एइगेन्वेक्तोर्स द्वारा निर्धारित किया जाता है।
नोड की काट्ज़ केंद्रीयता को उस नोड और नेटवर्क में सभी (पहुंच योग्य) नोड्स के बीच जियोडेसिक पथों को जोड़कर मापा जाता है। इन रास्तों को भारित किया जाता है, नोड को अपने निकटतम निकटतम के साथ जोड़ने वाले पथ उन लोगों की तुलना में अधिक वजन रखते हैं जो निकटतम निकटतम से दूर नोड्स से जुड़ते हैं।

नेटवर्क में सामग्री का प्रसार

जटिल नेटवर्क में सामग्री दो प्रमुख तरीकों से फैल सकती है: संरक्षित प्रसार और गैर-संरक्षित प्रसार।^[38] संरक्षित प्रसार में, जटिल नेटवर्क में प्रवेश करने वाली सामग्री की कुल मात्रा स्थिर रहती है क्योंकि यह गुजरती है। संरक्षित फैलाव के मॉडल को ट्यूबों से जुड़े फ़नल की श्रृंखला में डाले जाने वाले पानी की निश्चित मात्रा वाले पिचर द्वारा सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यहाँ, घड़ा मूल स्रोत का प्रतिनिधित्व करता है और पानी फैली हुई सामग्री है। फ़नल और कनेक्टिंग ट्यूबिंग क्रमशः नोड्स और नोड्स के बीच कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं। जैसे ही पानी फ़नल से दूसरे फ़नल में जाता है, फ़नल से पानी तुरंत गायब हो जाता है जो पहले पानी के संपर्क में था। गैर-संरक्षित प्रसार में, सामग्री की मात्रा में परिवर्तन होता है क्योंकि यह जटिल नेटवर्क में प्रवेश करता है और गुजरता है। गैर-संरक्षित प्रसार के मॉडल को ट्यूबों से जुड़े फ़नल की श्रृंखला के माध्यम से चलने वाले निरंतर चलने वाले नल द्वारा सबसे अच्छा प्रदर्शित किया जा सकता है। यहाँ, मूल स्रोत से पानी की मात्रा अनंत है। इसके अतिरिक्त , कोई भी फ़नल जो पानी के संपर्क में आ गया है, पानी का अनुभव करना जारी रखता है, तथापि वह लगातार फ़नल में चला जाए। अधिकांश संक्रामक रोगों के संचरण को समझाने के लिए गैर-संरक्षित मॉडल सबसे उपयुक्त है।

एसआईआर मॉडल

1927 में, डब्ल्यू ओ केर्मैक और ए जी मैककेंड्रिक ने मॉडल बनाया जिसमें उन्होंने केवल तीन डिब्बों के साथ निश्चित जनसंख्या पर विचार किया, अतिसंवेदनशील: $S(t)$ , संक्रमित, $I(t)$ , और बरामद, $R(t)$ . इस मॉडल के लिए उपयोग किए जाने वाले डिब्बों में तीन वर्ग होते हैं:

$S(t)$ का उपयोग उन व्यक्तियों की संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जो अभी तक बीमारी से संक्रमित नहीं हैं या जो बीमारी के लिए अतिसंवेदनशील हैं
$I(t)$ उन व्यक्तियों की संख्या को दर्शाता है जो रोग से संक्रमित हो चुके हैं और अतिसंवेदनशील श्रेणी के लोगों में रोग फैलाने में सक्षम हैं
$R(t)$ डिब्बे का उपयोग उन व्यक्तियों के लिए किया जाता है जो संक्रमित हो चुके हैं और फिर बीमारी से उबर चुके हैं। इस श्रेणी के लोग दोबारा संक्रमित होने या दूसरों को संक्रमण फैलाने में सक्षम नहीं होते हैं।

इस मॉडल के प्रवाह को निम्नानुसार माना जा सकता है:

{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}

निश्चित जनसंख्या का उपयोग करना, $N=S(t)+I(t)+R(t)$ केर्मैक और मैककेंड्रिक ने निम्नलिखित समीकरण व्युत्पन्न किए:

{\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}

इन समीकरणों के निर्माण में कई धारणाएँ बनाई गई थीं सबसे पहले जनसंख्या में व्यक्ति को समान संभावना के रूप में माना जाना चाहिए क्योंकि बीमारी को अनुबंधित करने की दर के साथ हर दूसरे व्यक्ति को समान संभावना है। $\beta$ , जिसे रोग की संपर्क या संक्रमण दर माना जाता है। इसलिए, संक्रमित व्यक्ति संपर्क बनाता है और बीमारी को प्रसारित करने में सक्षम होता है $\beta N$ अन्य प्रति यूनिट समय और अतिसंवेदनशील से संक्रमित द्वारा संपर्कों का अंश है $S/N$ . तब प्रति संक्रमित इकाई समय में नए संक्रमणों की संख्या है $\beta N(S/N)$ , नए संक्रमणों की दर (या जो अतिसंवेदनशील श्रेणी को छोड़ रहे हैं) दे रहे हैं $\beta N(S/N)I=\beta SI$ (ब्राउर और कैस्टिलो-शावेज़, 2001)। दूसरे और तीसरे समीकरण के लिए अतिसंवेदनशील वर्ग छोड़ने वाली जनसंख्या को संक्रमित वर्ग में प्रवेश करने वाली संख्या के बराबर मानें। चूंकि , संक्रमित इस वर्ग को प्रति यूनिट समय पर छोड़ कर दर पर बरामद/हटाए गए वर्ग में प्रवेश कर रहे हैं $\gamma$ प्रति यूनिट समय (जहां $\gamma$ औसत वसूली दर का प्रतिनिधित्व करता है, या $1/\gamma$ औसत संक्रामक अवधि)। साथ होने वाली इन प्रक्रियाओं को सामूहिक कार्रवाई के नियम के रूप में संदर्भित किया जाता है, व्यापक रूप से स्वीकृत विचार है कि जनसंख्या में दो समूहों के बीच संपर्क की दर संबंधित समूहों में से प्रत्येक के आकार के समानुपाती होती है (डेली और गनी, 2005)। अंत में, यह माना जाता है कि जन्म और मृत्यु के समय के मापदंड की तुलना में संक्रमण और ठीक होने की दर बहुत तेज है और इसलिए, इस मॉडल में इन कारकों की अनदेखी की जाती है।

इस मॉडल के बारे में महामारी मॉडल पेज पर और अधिक पढ़ा जा सकता है।

मास्टर समीकरण दृष्टिकोण

मास्टर समीकरण अप्रत्यक्ष बढ़ते नेटवर्क के व्यवहार को व्यक्त कर सकता है, जहां हर बार कदम पर नेटवर्क में नया नोड जोड़ा जाता है, जो पुराने नोड से जुड़ा होता है (यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वरीयता के बिना) आरंभिक नेटवर्क समय $t=2$ पर दो नोड्स और उनके बीच दो लिंक द्वारा बनता है यह कॉन्फ़िगरेशन केवल आगे की गणना को सरल बनाने के लिए आवश्यक है, इसलिए समय पर $t=n$ नेटवर्क में $n$ नोड और $n$ लिंक होते हैं।

इस नेटवर्क के लिए मास्टर समीकरण है:

p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p(k,s,t),

जहां $p(k,s,t)$ समय $t+1$ पर डिग्री $k$ के साथ नोड $s$ होने की संभावना है, और $s$ वह समय चरण है जब इस नोड को नेटवर्क में जोड़ा गया था। ध्यान दें कि पुराने नोड के लिए समय $t+1$ पर $k$ लिंक रखने के केवल दो विधि हैं।

नोड $s$ के पास समय $t$ पर डिग्री $k-1$ है और संभावना $1/t$ के साथ नए नोड से जुड़ा होगा।
समय $t$ पर पहले से ही डिग्री $k$ है और नए नोड द्वारा लिंक नहीं किया जाएगा।

इस मॉडल को सरल बनाने के बाद, डिग्री वितरण है

$P(k)=2^{-k}.$ ^[39]

इस बढ़ते नेटवर्क के आधार पर, साधारण नियम का पालन करते हुए महामारी मॉडल विकसित किया जाता है: हर बार नया नोड जोड़ा जाता है और लिंक करने के लिए पुराने नोड को चुनने के बाद, निर्णय लिया जाता है: यह नया नोड संक्रमित होगा या नहीं। इस महामारी मॉडल के लिए मास्टर समीकरण है:

p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t}}p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),

जहाँ $r_{t}$ , $r_{t}=1$ को संक्रमित करने के निर्णय को दर्शाता है या नहीं $r_{t}=0$ । इस मास्टर समीकरण को हल करने पर निम्न हल ${\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.$ प्राप्त होता है।^[40]

बहुपरत नेटवर्क

बहुपरत नेटवर्क कई प्रकार के संबंधों वाले नेटवर्क होते हैं।^[41] सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण अर्थशास्त्र, इतिहास, शहरी और अंतर्राष्ट्रीय परिवहन, पारिस्थितिकी, मनोविज्ञान, चिकित्सा जीव विज्ञान वाणिज्य, जलवायु विज्ञान भौतिकी कम्प्यूटेशनल तंत्रिका विज्ञान संचालन प्रबंधन और वित्त जैसे विभिन्न क्षेत्रों में बहुआयामी नेटवर्क के रूप में वास्तविक विश्व प्रणालियों को मॉडल करने का प्रयास किया गया है।^[42]

नेटवर्क अनुकूलन

संयोजी अनुकूलन के नाम से कुछ करने का इष्टतम विधि खोजने में सम्मिलित नेटवर्क समस्याओं का अध्ययन किया जाता है। उदाहरणों में प्रवाह नेटवर्क, सबसे छोटी पथ समस्या, परिवहन समस्या, ट्रांसशिपमेंट समस्या, सुविधा स्थान समस्या, मिलान (ग्राफ़ सिद्धांत), असाइनमेंट समस्या, पैकिंग समस्या, मार्ग, महत्वपूर्ण पथ विश्लेषण और पीईआरटी (कार्यक्रम मूल्यांकन और समीक्षा विधि ) सम्मिलित हैं।

अन्योन्याश्रित नेटवर्क

अन्योन्याश्रित नेटवर्क ऐसे नेटवर्क होते हैं जहां नेटवर्क में नोड्स का कार्यकरण दूसरे नेटवर्क में नोड्स के कार्यकरण पर निर्भर करता है। प्रकृति में, नेटवर्क संभवतः ही कभी अलगाव में दिखाई देते हैं, किंतु सामान्यतः नेटवर्क बड़े पद्धति में तत्व होते हैं, और उस जटिल पद्धति में तत्वों के साथ इंटरैक्ट करते हैं। इस तरह की जटिल निर्भरता का दूसरे पर गैर-तुच्छ प्रभाव हो सकता है। अच्छी तरह से अध्ययन किया गया उदाहरण मूलभूत ढांचे के नेटवर्क की अन्योन्याश्रितता है,^[43] पावर स्टेशन जो पावर ग्रिड के नोड्स बनाते हैं, उन्हें सड़कों या पाइपों के नेटवर्क के माध्यम से वितरित ईंधन की आवश्यकता होती है और संचार नेटवर्क के नोड्स के माध्यम से भी नियंत्रित किया जाता है। यद्यपि परिवहन नेटवर्क कार्य करने के लिए विद्युत नेटवर्क पर निर्भर नहीं करता है, संचार नेटवर्क करता है। इस तरह के मूलभूत ढांचे के नेटवर्क में, या तो विद्युत नेटवर्क या संचार नेटवर्क में महत्वपूर्ण संख्या में नोड्स की खराबी से पूरे पद्धति में व्यापक विफलता हो सकती है, जिससे पूरे पद्धति के कार्यकरण में संभावित विनाशकारी परिणाम हो सकते हैं।^[44] यदि दो नेटवर्कों को अलग-थलग कर दिया जाता है, तो यह महत्वपूर्ण प्रतिक्रिया प्रभाव नहीं देखा जाएगा और नेटवर्क की शक्ति के पूर्वानुमानों को बहुत कम करके आंका जाएगा।

यह भी देखें

संदर्भ

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 {{InfoMaps}}
-नेटवर्क विज्ञान शैक्षणिक क्षेत्र है जो 'नोड्स' (या 'कोने') द्वारा दर्शाए गए विशिष्ट तत्वों या अभिनेताओं पर विचार करते हुए [[दूरसंचार नेटवर्क]], [[ संगणक संजाल |संगणक संजाल]] , [[जैविक नेटवर्क]], [[संज्ञानात्मक नेटवर्क]] और [[सिमेंटिक नेटवर्क]] और [[सामाजिक नेटवर्क]] जैसे [[जटिल नेटवर्क]] का अध्ययन करता है। ) और ''कड़ी'' (या ''किनारे'') के रूप में तत्वों या अभिनेताओं के बीच संबंध। यह क्षेत्र गणित से [[ग्राफ सिद्धांत]], भौतिकी से [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]], कंप्यूटर विज्ञान से [[डेटा खनन]] और [[सूचना दृश्य]], सांख्यिकी से आकलित सांख्यिकी और समाजशास्त्र से [[सामाजिक संरचना]] सहित सिद्धांतों और विधियों पर आधारित है। [[यूनाइटेड स्टेट्स नेशनल रिसर्च काउंसिल]] ने नेटवर्क विज्ञान को भौतिक, जैविक और सामाजिक घटनाओं के नेटवर्क प्रतिनिधित्व के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया है, जो इन घटनाओं के भविष्य कहनेवाला मॉडल की ओर ले जाता है।<ref name="NRC">{{cite book|title=नेटवर्क विज्ञान|author=Committee on नेटवर्क विज्ञानfor Future Army Applications |publisher=National Research Council |isbn=978-0309653886 |year=2006 |url=http://www.nap.edu/catalog/11516.html|doi=10.17226/11516 |s2cid=196021177 }}</ref>
+नेटवर्क विज्ञान शैक्षणिक क्षेत्र है जो 'नोड्स' (या 'कोने') द्वारा दर्शाए गए विशिष्ट तत्वों या अभिनेताओं पर विचार करते हुए [[दूरसंचार नेटवर्क]], [[ संगणक संजाल |संगणक संजाल]] , [[जैविक नेटवर्क]], [[संज्ञानात्मक नेटवर्क]] और [[सिमेंटिक नेटवर्क]] और [[सामाजिक नेटवर्क]] जैसे [[जटिल नेटवर्क]] का अध्ययन करता है। ) और ''कड़ी'' (या ''किनारे'') के रूप में तत्वों या अभिनेताओं के बीच संबंध यह क्षेत्र गणित से [[ग्राफ सिद्धांत]], भौतिकी से [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]], कंप्यूटर विज्ञान से [[डेटा खनन]] और [[सूचना दृश्य]], सांख्यिकी से आकलित सांख्यिकी और समाजशास्त्र से [[सामाजिक संरचना]] सहित सिद्धांतों और विधियों पर आधारित है। [[यूनाइटेड स्टेट्स नेशनल रिसर्च काउंसिल]] ने नेटवर्क विज्ञान को भौतिक जैविक और सामाजिक घटनाओं के नेटवर्क प्रतिनिधित्व के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया है, जो इन घटनाओं के भविष्य कहने वाला मॉडल की ओर ले जाता है।<ref name="NRC">{{cite book|title=नेटवर्क विज्ञान|author=Committee on नेटवर्क विज्ञानfor Future Army Applications |publisher=National Research Council |isbn=978-0309653886 |year=2006 |url=http://www.nap.edu/catalog/11516.html|doi=10.17226/11516 |s2cid=196021177 }}</ref>
 == पृष्ठभूमि और इतिहास ==
-जटिल संबंधपरक डेटा के विश्लेषण के साधन के रूप में विविध विषयों में नेटवर्क का अध्ययन उभरा है। इस क्षेत्र में सबसे पहला ज्ञात पेपर 1736 में [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा लिखित कोनिग्सबर्ग का प्रसिद्ध सेवन ब्रिज है। यूलर का कोने और किनारों का गणितीय विवरण ग्राफ सिद्धांत का आधार था, गणित की शाखा जो नेटवर्क संरचना में जोड़ीदार संबंधों के गुणों का अध्ययन करती है। . ग्राफ सिद्धांत के क्षेत्र का विकास जारी रहा और रसायन विज्ञान में इसके अनुप्रयोग पाए गए (सिल्वेस्टर, 1878)।
+जटिल संबंधपरक डेटा के विश्लेषण के साधन के रूप में विविध विषयों में नेटवर्क का अध्ययन उभरा है। इस क्षेत्र में सबसे पहला ज्ञात पेपर 1736 में [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा लिखित कोनिग्सबर्ग का प्रसिद्ध सेवन ब्रिज है। यूलर का कोने और किनारों का गणितीय विवरण ग्राफ सिद्धांत का आधार था, गणित की शाखा जो नेटवर्क संरचना में जोड़ीदार संबंधों के गुणों का अध्ययन करती है। ग्राफ सिद्धांत के क्षेत्र का विकास जारी रहा और रसायन विज्ञान में इसके अनुप्रयोग पाए गए है (सिल्वेस्टर, 1878)।
-हंगरी के गणितज्ञ और प्रोफेसर डेनेस कोनिग ने 1936 में ग्राफ थ्योरी में पहली किताब लिखी थी, जिसका शीर्षक थ्योरी ऑफ फाइनाइट एंड इनफिनिट ग्राफ था।<ref>{{cite book|title=परिमित और अनंत रेखांकन का सिद्धांत|author=Dénes Kőnig|publisher=Birkhäuser Boston |isbn=978-1-4684-8971-2 |year=1990 |pages=45–421|url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-1-4684-8971-2_2.pdf|type=PDF |doi=10.1007/978-1-4684-8971-2 }}</ref>
+हंगरी के गणितज्ञ और प्रोफेसर डेनेस कोनिग ने 1936 में ग्राफ सिद्धांत में पहली किताब लिखी थी, जिसका शीर्षक सिद्धांत ऑफ फाइनाइट एंड इनफिनिट ग्राफ था।<ref>{{cite book|title=परिमित और अनंत रेखांकन का सिद्धांत|author=Dénes Kőnig|publisher=Birkhäuser Boston |isbn=978-1-4684-8971-2 |year=1990 |pages=45–421|url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-1-4684-8971-2_2.pdf|type=PDF |doi=10.1007/978-1-4684-8971-2 }}</ref>
 [[File:Moreno Sociogram 1st Grade.png|thumb|प्रथम श्रेणी वर्ग का मोरेनो का समाजशास्त्र।]]1930 के दशक में गेस्टाल्ट मनोविज्ञान परंपरा के मनोवैज्ञानिक [[ याकूब मोरेनो |याकूब मोरेनो]] संयुक्त राज्य अमेरिका पहुंचे। उन्होंने [[ sociogram |सोसिओग्राम]] विकसित किया और अप्रैल 1933 में चिकित्सा विद्वानों के सम्मेलन में इसे जनता के सामने प्रस्तुत किया। मोरेनो ने प्रमाणित किया कि समाजमिति के आगमन से पहले कोई नहीं जानता था कि समूह की पारस्परिक संरचना 'बिल्कुल' कैसी दिखती है (मोरेनो, 1953)। सोशियोग्राम प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के समूह की सामाजिक संरचना का प्रतिनिधित्व था। लड़के लड़कों के दोस्त थे और लड़कियां लड़कियों की दोस्त थीं, अतिरिक्त लड़के के जिसने कहा कि वह ही लड़की को पसंद करता है। भावना पारस्परिक नहीं थी। सामाजिक संरचना का यह नेटवर्क प्रतिनिधित्व इतना पेचीदा पाया गया कि [[दी न्यू यौर्क टाइम्स]] (3 अप्रैल, 1933, पृष्ठ 17) में छापा गया। सोशियोग्राम को कई अनुप्रयोग मिले हैं और यह [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण]] के क्षेत्र में विकसित हुआ है।
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 में, [[डेविड क्रैकहार्ट]] और [[ कैथलीन कार्ली |कैथलीन कार्ली]] ने पीसीएएनएस मॉडल के साथ मेटा-नेटवर्क का विचार प्रस्तुत किया। उनका सुझाव है कि सभी संगठन इन तीन डोमेन, व्यक्तियों, कार्यों और संसाधनों के साथ संरचित हैं। उनके पेपर ने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया कि नेटवर्क कई डोमेन में होते हैं और वे दूसरे से जुड़े हुए हैं। यह क्षेत्र नेटवर्क विज्ञान के अन्य उप-अनुशासन में विकसित हो गया है जिसे [[गतिशील नेटवर्क विश्लेषण]] कहा जाता है।
-वर्तमान में अन्य नेटवर्क विज्ञान प्रयासों ने गणितीय रूप से विभिन्न नेटवर्क टोपोलॉजी का वर्णन करने पर ध्यान केंद्रित किया है। डंकन जे. वाट्स और [[स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़]] ने छोटे-विश्व नेटवर्क का वर्णन करते हुए गणितीय प्रतिनिधित्व के साथ नेटवर्क पर अनुभवजन्य डेटा का मिलान किया। अल्बर्ट-लेस्लो बाराबासी और [[ अल्बर्ट का खाता |अल्बर्ट का खाता]] ने [[स्केल-फ्री नेटवर्क|स्तर -मुक्त नेटवर्क]] की खोज की, संपत्ति जो इस तथ्य को पकड़ती है कि वास्तविक नेटवर्क हब में कई छोटे डिग्री वर्टिकल के साथ सह-अस्तित्व होता है, और इस स्तर -मुक्त राज्य की उत्पत्ति की व्याख्या करने के लिए गतिशील मॉडल की प्रस्तुति की थी।
+वर्तमान में अन्य नेटवर्क विज्ञान प्रयासों ने गणितीय रूप से विभिन्न नेटवर्क टोपोलॉजी का वर्णन करने पर ध्यान केंद्रित किया है। डंकन जे. वाट्स और [[स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़]] ने छोटे-विश्व नेटवर्क का वर्णन करते हुए गणितीय प्रतिनिधित्व के साथ नेटवर्क पर अनुभवजन्य डेटा का मिलान किया। अल्बर्ट-लेस्लो बाराबासी और [[ अल्बर्ट का खाता |अल्बर्ट का खाता]] ने [[स्केल-फ्री नेटवर्क|स्तर -मुक्त नेटवर्क]] की खोज की संपत्ति जो इस तथ्य को पकड़ती है कि वास्तविक नेटवर्क हब में कई छोटे डिग्री वर्टिकल के साथ सह-अस्तित्व होता है, और इस स्तर -मुक्त राज्य की उत्पत्ति की व्याख्या करने के लिए गतिशील मॉडल की प्रस्तुति की थी।
 === रक्षा पहल विभाग ===
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 इसके बाद इन प्रयासों के परिणामस्वरूप अमेरिकी रक्षा विभाग ने नेटवर्क विज्ञान का समर्थन करने वाली कई शोध परियोजनाओं को प्रायोजित किया है।
-== नेटवर्क गुण ==
+== नेटवर्क गुण                                         ==
 अधिकांशतः नेटवर्क में कुछ विशेषताएँ होती हैं जिनकी गणना नेटवर्क के गुणों और विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए की जा सकती है। इन नेटवर्क गुणों का व्यवहार अधिकांशतः [[नेटवर्क मॉडल]] को परिभाषित करता है और इसका उपयोग यह विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है कि कुछ मॉडल दूसरे के विपरीत कैसे हैं। नेटवर्क विज्ञान में प्रयुक्त अन्य शब्दों की कई परिभाषाएँ ग्राफ़ सिद्धांत की शब्दावली में पाई जा सकती हैं।
-=== आकार ===
+=== आकार                                               ===
 नेटवर्क का आकार नोड्स <math>N</math> की संख्या या, कम सामान्यतः किनारों <math>E</math> की संख्या को संदर्भित कर सकता है जो (बिना बहु-किनारों वाले जुड़े ग्राफ़ के लिए <math>N-1</math> (पेड़) से लेकर <math>E_{\max}</math> (पूरा ग्राफ़) साधारण ग्राफ के स्थितियों में (ऐसा नेटवर्क जिसमें अधिकतम (अप्रत्यक्ष) किनारा प्रत्येक जोड़ी के शीर्ष के बीच उपस्थित होता है, और जिसमें कोई कोने खुद से जुड़ते नहीं हैं), हमारे पास <math>E_{\max}=\tbinom N2=N(N-1)/2</math> निर्देशित ग्राफ़ के लिए (बिना किसी स्व-कनेक्टेड नोड के), <math>E_{\max}=N(N-1)</math> अनुमत स्व-कनेक्शन वाले निर्देशित ग्राफ़ के लिए <math>E_{\max}=N^2</math> ऐसे ग्राफ़ की परिस्थिति में जिसके अंदर कई किनारे जोड़ी वर्टिकल <math>E_{\max}=\infty</math>के बीच उपस्थित हो सकते हैं।
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 जहां <math>E_{\mathrm{min}}</math> और <math>E_{\mathrm{max}}</math>, <math>N</math> नोड्स के साथ जुड़े हुए नेटवर्क में किनारों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या क्रमशः हैं। सरल ग्राफ़ के स्थितियों में, <math>E_{\mathrm{max}}</math> द्विपद गुणांक <math>\tbinom N2</math> और <math>E_{\mathrm{min}} = N-1</math> द्वारा दिया जाता है, जिससे घनत्व मिलता है<math>D =\frac{E-(N-1)}{E_{\mathrm{max}} - (N-1)} = \frac{2(E-N+1)}{N(N-3)+2}</math> और संभावित समीकरण है <math>D = \frac{T-2N+2}{N(N-3)+2},</math> जबकि संबंध <math>T</math> यूनिडायरेक्शनल हैं (वासरमैन एंड फॉस्ट 1994)। <ref>{{Cite web|url=http://psycnet.apa.org/journals/prs/9/4/172/|title = APA PsycNet}}</ref> यह नेटवर्क घनत्व पर उत्तम अवलोकन देता है, क्योंकि यूनिडायरेक्शनल रिश्तों को मापा जा सकता है।
-=== समतलीय नेटवर्क घनत्व ===
+=== समतलीय नेटवर्क घनत्व                                 ===
 नेटवर्क का घनत्व <math>D</math>, जहां किनारों के बीच कोई प्रतिच्छेदन नहीं है को <math>N</math> नोड्स वाले नेटवर्क में संभावित किनारों की संख्या <math>E</math> के लिए किनारों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो बिना किसी प्रतिच्छेदन किनारों वाले ग्राफ द्वारा दिया गया है <math>(E_{\max}=3N-6)</math>, <math>D = \frac{E-N+1}{2N-5}.</math> दे रहा है।
-=== औसत डिग्री ===
+=== औसत डिग्री                                    ===
 नोड का '''[[डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)]]''' '''<math>k</math>''' इससे जुड़े किनारों की संख्या है। नेटवर्क के घनत्व से निकटता से संबंधित औसत डिग्री है,<math>\langle k\rangle = \tfrac{2E}{N}</math> (या, निर्देशित ग्राफ़ के स्थितियों में, <math>\langle k\rangle = \tfrac{E}{N}</math>, अप्रत्यक्ष ग्राफ में प्रत्येक किनारे से उत्पन्न होने वाला 2 का पूर्व कारक दो अलग-अलग कोने की डिग्री में योगदान देता है)। ER यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल (<math>G(N,p)</math> में हम <math>\langle k \rangle </math> के अपेक्षित मान की गणना कर सकते हैं (किसी मनमाने शीर्ष के <math>k</math> के अपेक्षित मान के बराबर): यादृच्छिक वर्टेक्स के पास उपलब्ध नेटवर्क में <math>N-1</math> अन्य कोने हैं, और प्रायिकता <math>p</math> के साथ, प्रत्येक से जुड़ता है।इस प्रकार, <math>\mathbb{E}[\langle k \rangle]=\mathbb{E}[k]= p(N-1)</math> है ।
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 </ref> साथ ही, उनके संकेत महत्व के लिए उनके अनुमानित संदर्भ में ही स्पष्ट होते हैं और अन्य संदर्भों के लिए गलत हो जाते हैं।<ref name="Borgatti2005">
 {{cite journal |last1= Borgatti |first1= Stephen P.|year= 2005 |title= Centrality and Network Flow |journal=Social Networks |volume= 27|pages= 55–71|doi=10.1016/j.socnet.2004.11.008 |citeseerx= 10.1.1.387.419}}
-</ref> उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग समुदायों की कल्पना करें जिनकी एकमात्र कड़ी प्रत्येक समुदाय के सबसे कनिष्ठ सदस्य के बीच बढ़त है। चूंकि समुदाय से दूसरे समुदाय में किसी भी स्थानांतरण को इस लिंक पर जाना चाहिए, दो कनिष्ठ सदस्यों में उच्च समानता केंद्रीयता होगी। चूंकि वे कनिष्ठ हैं (संभवतः) उनके समुदाय में महत्वपूर्ण नोड्स के लिए कुछ कनेक्शन हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी आइगेनवैल्यू केंद्रीयता अधिक कम होगी।
+</ref> उदाहरण के लिए दो अलग-अलग समुदायों की कल्पना करें जिनकी एकमात्र कड़ी प्रत्येक समुदाय के सबसे कनिष्ठ सदस्य के बीच बढ़त है। चूंकि समुदाय से दूसरे समुदाय में किसी भी स्थानांतरण को इस लिंक पर जाना चाहिए दो कनिष्ठ सदस्यों में उच्च समानता केंद्रीयता होगी। चूंकि वे कनिष्ठ हैं (संभवतः) उनके समुदाय में महत्वपूर्ण नोड्स के लिए कुछ कनेक्शन हैं जिसका अर्थ है कि उनकी आइगेनवैल्यू केंद्रीयता अधिक कम होगी।
-=== नोड प्रभाव ===
+=== नोड प्रभाव                                 ===
 {{Main|नोड प्रभाव मीट्रिक}}
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 === कॉन्फ़िगरेशन मॉडल ===
-कॉन्फ़िगरेशन मॉडल इनपुट के रूप में डिग्री अनुक्रम <ref>{{Cite journal|last1=Bender|first1=Edward A|last2=Canfield|first2=E.Rodney|date=May 1978|title=दिए गए डिग्री अनुक्रमों के साथ लेबल किए गए ग्राफ़ की स्पर्शोन्मुख संख्या|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=24|issue=3|pages=296–307|doi=10.1016/0097-3165(78)90059-6|issn=0097-3165|doi-access=free}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Molloy|first1=Michael|last2=Reed|first2=Bruce|date=March 1995|title=दिए गए डिग्री अनुक्रम के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ के लिए एक महत्वपूर्ण बिंदु|journal=Random Structures & Algorithms|language=en|volume=6|issue=2–3|pages=161–180|doi=10.1002/rsa.3240060204|issn=1042-9832|citeseerx=10.1.1.24.6195}}</ref> या डिग्री वितरण <ref name=":1">{{Cite journal|last1=Newman|first1=M. E. J.|last2=Strogatz|first2=S. H.|last3=Watts|first3=D. J.|date=2001-07-24|title=मनमाना डिग्री वितरण और उनके अनुप्रयोगों के साथ यादृच्छिक रेखांकन|journal=Physical Review E|volume=64|issue=2|pages=026118|doi=10.1103/PhysRevE.64.026118|pmid=11497662|arxiv=cond-mat/0007235|bibcode=2001PhRvE..64b6118N|s2cid=360112}}</ref> (जो बाद में डिग्री अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है) लेता है और डिग्री अनुक्रम के अतिरिक्त सभी तरह से यादृच्छिक रूप से जुड़े ग्राफ का उत्पादन करता है। इसका कारण यह है कि डिग्री अनुक्रम के दिए गए विकल्प के लिए ग्राफ को इस डिग्री अनुक्रम का अनुपालन करने वाले सभी ग्राफों के समुच्चय से समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। व्यवस्थित रूप से चुने गए शीर्ष की डिग्री <math>k</math> पूर्णांक मानों के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] है। जब <math display="inline">\mathbb E [k^2] - 2 \mathbb E [k]>0</math>, कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ़ में [[विशालकाय घटक]] जुड़ा हुआ घटक होता है, जिसका आकार अनंत होता है। <ref name=":0" /> शेष घटकों के परिमित आकार होते हैं, जिन्हें आकार वितरण की धारणा से परिमाणित किया जा सकता है। प्रायिकता <math>w(n)</math> कि व्यवस्थित रूप से नमूना नोड आकार <math>n</math> के घटक से जुड़ा है, डिग्री वितरण की [[दृढ़ शक्ति|दृढ़ शक्तियों]] द्वारा दिया गया है: <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-05-02|title=अनंत कॉन्फ़िगरेशन नेटवर्क में घटक आकार वितरण के लिए सामान्य अभिव्यक्ति|journal=Physical Review E|volume=95|issue=5|pages=052303|doi=10.1103/PhysRevE.95.052303|pmid=28618550|arxiv=1703.05413|bibcode=2017PhRvE..95e2303K|s2cid=8421307}}</ref><math display="block">w(n)=\begin{cases}
+कॉन्फ़िगरेशन मॉडल इनपुट के रूप में डिग्री अनुक्रम <ref>{{Cite journal|last1=Bender|first1=Edward A|last2=Canfield|first2=E.Rodney|date=May 1978|title=दिए गए डिग्री अनुक्रमों के साथ लेबल किए गए ग्राफ़ की स्पर्शोन्मुख संख्या|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=24|issue=3|pages=296–307|doi=10.1016/0097-3165(78)90059-6|issn=0097-3165|doi-access=free}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Molloy|first1=Michael|last2=Reed|first2=Bruce|date=March 1995|title=दिए गए डिग्री अनुक्रम के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ के लिए एक महत्वपूर्ण बिंदु|journal=Random Structures & Algorithms|language=en|volume=6|issue=2–3|pages=161–180|doi=10.1002/rsa.3240060204|issn=1042-9832|citeseerx=10.1.1.24.6195}}</ref> या डिग्री वितरण <ref name=":1">{{Cite journal|last1=Newman|first1=M. E. J.|last2=Strogatz|first2=S. H.|last3=Watts|first3=D. J.|date=2001-07-24|title=मनमाना डिग्री वितरण और उनके अनुप्रयोगों के साथ यादृच्छिक रेखांकन|journal=Physical Review E|volume=64|issue=2|pages=026118|doi=10.1103/PhysRevE.64.026118|pmid=11497662|arxiv=cond-mat/0007235|bibcode=2001PhRvE..64b6118N|s2cid=360112}}</ref> (जो बाद में डिग्री अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है) लेता है और डिग्री अनुक्रम के अतिरिक्त सभी तरह से यादृच्छिक रूप से जुड़े ग्राफ का उत्पादन करता है। इसका कारण यह है कि डिग्री अनुक्रम के दिए गए विकल्प के लिए ग्राफ को इस डिग्री अनुक्रम का अनुपालन करने वाले सभी ग्राफों के समुच्चय से समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। व्यवस्थित रूप से चुने गए शीर्ष की डिग्री <math>k</math> पूर्णांक मानों के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] है। जब <math display="inline">\mathbb E [k^2] - 2 \mathbb E [k]>0</math>, कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ़ में [[विशालकाय घटक]] जुड़ा हुआ घटक होता है, जिसका आकार अनंत होता है। <ref name=":0" /> शेष घटकों के परिमित आकार होते हैं जिन्हें आकार वितरण की धारणा से परिमाणित किया जा सकता है। प्रायिकता <math>w(n)</math> कि व्यवस्थित रूप से नमूना नोड आकार <math>n</math> के घटक से जुड़ा है, डिग्री वितरण की [[दृढ़ शक्ति|दृढ़ शक्तियों]] द्वारा दिया गया है: <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-05-02|title=अनंत कॉन्फ़िगरेशन नेटवर्क में घटक आकार वितरण के लिए सामान्य अभिव्यक्ति|journal=Physical Review E|volume=95|issue=5|pages=052303|doi=10.1103/PhysRevE.95.052303|pmid=28618550|arxiv=1703.05413|bibcode=2017PhRvE..95e2303K|s2cid=8421307}}</ref><math display="block">w(n)=\begin{cases}
 \frac{\mathbb E [k]}{n-1} u_1^{*n}(n-2),& n>1, \\
 u(0) & n=1,
-\end{cases}</math>'''जहाँ''' <math>u(k)</math> डिग्री वितरण को दर्शाता है और <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math> सभी किनारों के महत्वपूर्ण अंश <math>p_c</math> को व्यवस्थित रूप से हटाकर विशाल घटक को नष्ट किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को यादृच्छिक नेटवर्क पर [[परकोलेशन सिद्धांत]] कहा जाता है। जब डिग्री वितरण का दूसरा क्षण परिमित होता है, <math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math>, यह महत्वपूर्ण किनारा अंश<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2018-01-01|title=पोलीमराइजेशन रैंडम ग्राफ मॉडल पर विश्लेषणात्मक परिणाम|journal=Journal of Mathematical Chemistry|language=en|volume=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|doi-access=free}}</ref> <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math> द्वारा दिया जाता है और [[औसत पथ लंबाई]] या औसत शीर्ष-शीर्ष दूरी <math>l</math> में विशाल घटक नेटवर्क के कुल आकार <math>l = O(\log N) </math>के साथ लॉगरिदमिक रूप से मापता है, <ref name=":1" />
+\end{cases}</math>जहाँ <math>u(k)</math> डिग्री वितरण को दर्शाता है और <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math> सभी किनारों के महत्वपूर्ण अंश <math>p_c</math> को व्यवस्थित रूप से हटाकर विशाल घटक को नष्ट किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को यादृच्छिक नेटवर्क पर [[परकोलेशन सिद्धांत]] कहा जाता है। जब डिग्री वितरण का दूसरा क्षण परिमित होता है, <math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math>, यह महत्वपूर्ण किनारा अंश<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2018-01-01|title=पोलीमराइजेशन रैंडम ग्राफ मॉडल पर विश्लेषणात्मक परिणाम|journal=Journal of Mathematical Chemistry|language=en|volume=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|doi-access=free}}</ref> <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math> द्वारा दिया जाता है और [[औसत पथ लंबाई]] या औसत शीर्ष-शीर्ष दूरी <math>l</math> में विशाल घटक नेटवर्क के कुल आकार <math>l = O(\log N) </math>के साथ लॉगरिदमिक रूप से मापता है, <ref name=":1" />
 निर्देशित कॉन्फ़िगरेशन मॉडल में नोड की डिग्री दो संख्याओं द्वारा दी जाती है इन-डिग्री <math>k_\text{in}</math> और आउट-डिग्री <math>k_\text{out}</math> और परिणामस्वरूप डिग्री वितरण दो-चर है। इन-एज और आउट-एज की अपेक्षित संख्या मेल खाती है जिससे <math display="inline">\mathbb E [k_\text{in}]=\mathbb E [k_\text{out}]</math>. निर्देशित कॉन्फ़िगरेशन मॉडल में विशाल घटक iff होता है<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2016-07-27|title=मनमाना डिग्री वितरण के साथ निर्देशित यादृच्छिक रेखांकन में विशाल कमजोर घटक का उद्भव|journal=Physical Review E|volume=94|issue=1|pages=012315|doi=10.1103/PhysRevE.94.012315|pmid=27575156|arxiv=1607.03793|bibcode=2016PhRvE..94a2315K|s2cid=206251373}}</ref><math display="block">2\mathbb{E}[k_\text{in}]
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 === बरबासी-अल्बर्ट (बीए) अधिमान्य लगाव मॉडल ===
-बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल है जिसका उपयोग अधिमान्य लगाव या अमीर-से-अमीर प्रभाव को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। इस मॉडल में किनारे को उच्च डिग्री वाले नोड्स से जोड़ने की संभावना है।
+बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल है जिसका उपयोग अधिमान्य लगाव या अमीर-से-बहुमूल्य प्रभाव को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। इस मॉडल में किनारे को उच्च डिग्री वाले नोड्स से जोड़ने की संभावना है।
 नेटवर्क ''m''<sub>0</sub> के प्रारंभिक नेटवर्क से प्रारंभ होता है नोड्स ''m''<sub>0</sub> ≥ 2 और प्रारंभिक नेटवर्क में प्रत्येक नोड की डिग्री कम से कम 1 होनी चाहिए अन्यथा यह शेष नेटवर्क से सदैव डिस्कनेक्ट रहेगा।
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 हब उच्च बीच की केंद्रीयता प्रदर्शित करते हैं जो नोड्स के बीच छोटे रास्तों को उपस्थित रहने की अनुमति देता है। परिणाम स्वरुप बीए मॉडल में बहुत कम औसत पथ लंबाई होती है। इस मॉडल का क्लस्टरिंग गुणांक भी 0 हो जाता है।
-बारबासी-अल्बर्ट मॉडल<ref name="Barabasi1999" /> अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए विकसित किया गया था किन्तु विभिन्न अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला पर प्रयुक्त किया गया था। इस मॉडल का निर्देशित संस्करण प्राइस का मॉडल है<ref>{{Cite journal |last=Price |first=Derek J. de Solla |date=1965-07-30 |title=Networks of Scientific Papers: The pattern of bibliographic references indicates the nature of the scientific research front. |url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.149.3683.510 |journal=Science |language=en |volume=149 |issue=3683 |pages=510–515 |doi=10.1126/science.149.3683.510 |pmid=14325149 |issn=0036-8075}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Price |first=Derek De Solla |date=1976 |title=ग्रंथमितीय और अन्य संचयी लाभ प्रक्रियाओं का एक सामान्य सिद्धांत|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/asi.4630270505 |journal=Journal of the American Society for Information Science |language=en |volume=27 |issue=5 |pages=292–306 |doi=10.1002/asi.4630270505}}</ref> जो सिर्फ उद्धरण नेटवर्क पर प्रयुक्त किया गया था। गणितीय रूप से, इन मॉडलों का वर्णन करने के लिए समान समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है<ref name="Newman" /> और वे दोनों समान विशेषताएं दिखाते हैं।
+बारबासी-अल्बर्ट मॉडल<ref name="Barabasi1999" /> अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए विकसित किया गया था किन्तु विभिन्न अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला पर प्रयुक्त किया गया था। इस मॉडल का निर्देशित संस्करण प्राइस का मॉडल है<ref>{{Cite journal |last=Price |first=Derek J. de Solla |date=1965-07-30 |title=Networks of Scientific Papers: The pattern of bibliographic references indicates the nature of the scientific research front. |url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.149.3683.510 |journal=Science |language=en |volume=149 |issue=3683 |pages=510–515 |doi=10.1126/science.149.3683.510 |pmid=14325149 |issn=0036-8075}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Price |first=Derek De Solla |date=1976 |title=ग्रंथमितीय और अन्य संचयी लाभ प्रक्रियाओं का एक सामान्य सिद्धांत|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/asi.4630270505 |journal=Journal of the American Society for Information Science |language=en |volume=27 |issue=5 |pages=292–306 |doi=10.1002/asi.4630270505}}</ref> जो सिर्फ उद्धरण नेटवर्क पर प्रयुक्त किया गया था। गणितीय रूप से, इन मॉडलों का वर्णन करने के लिए समान समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है और वे दोनों समान विशेषताएं दिखाते हैं।
 ====गैर रेखीय अधिमान्य लगाव====
 {{Main|गैर रेखीय_अधिमान्य_अनुलग्नक}}
-गैर-रैखिक तरजीही प्रीति (एनएलपीए) में नेटवर्क में वर्तमान नोड्स निरंतर सकारात्मक शक्ति <math> \alpha </math>क े ल िए उठाए गए नोड डिग्री के अनुपात में नए किनारों को प्राप्त करते हैं,<ref>{{cite journal |last1=Krapivsky |first1=P. L. |last2=Redner |first2=S. |last3=Leyvraz |first3=F. |title=बढ़ते रैंडम नेटवर्क की कनेक्टिविटी|journal=Physical Review Letters |date=20 November 2000 |volume=85 |issue=21 |pages=4629–4632 |doi=10.1103/PhysRevLett.85.4629|pmid=11082613 |arxiv=cond-mat/0005139 |bibcode=2000PhRvL..85.4629K |s2cid=16251662 }}</ref> औपचारिक रूप से,इसका कारण है कि संभावना है कि नोड <math> i </math> द्वारा नई बढ़त दी जाती है
+गैर-रैखिक तरजीही प्रीति (एनएलपीए) में नेटवर्क में वर्तमान नोड्स निरंतर सकारात्मक शक्ति <math> \alpha </math> ले लिए उठाए गए नोड डिग्री के अनुपात में नए किनारों को प्राप्त करते हैं,<ref>{{cite journal |last1=Krapivsky |first1=P. L. |last2=Redner |first2=S. |last3=Leyvraz |first3=F. |title=बढ़ते रैंडम नेटवर्क की कनेक्टिविटी|journal=Physical Review Letters |date=20 November 2000 |volume=85 |issue=21 |pages=4629–4632 |doi=10.1103/PhysRevLett.85.4629|pmid=11082613 |arxiv=cond-mat/0005139 |bibcode=2000PhRvL..85.4629K |s2cid=16251662 }}</ref> औपचारिक रूप से,इसका कारण है कि संभावना है कि नोड <math> i </math> द्वारा नई बढ़त दी जाती है
 : <math>p_i = \frac{k_i^{\alpha}}{\sum_j k_j^{\alpha}}.</math>
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 ====मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल====
-मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल में जिसमें <math>m</math> किनारों के साथ आने वाला नया नोड यादृच्छिक रूप से वर्तमान कनेक्टेड नोड को चुनता है और फिर खुद को उस एक के साथ नहीं किंतु अपने निकटतम के <math>m</math> के साथ भी यादृच्छिक रूप से जोड़ता है। संभावना <math>\Pi(i)</math> कि चुने गए वर्तमान नोड का नोड <math>i</math> है
+मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल में जिसमें <math>m</math> किनारों के साथ आने वाला नया नोड यादृच्छिक रूप से वर्तमान कनेक्टेड नोड को चुनता है और फिर खुद को उस के साथ नहीं किंतु अपने निकटतम के <math>m</math> के साथ भी यादृच्छिक रूप से जोड़ता है। संभावना <math>\Pi(i)</math> कि चुने गए वर्तमान नोड का नोड <math>i</math> है
 : <math> \Pi(i) = \frac{k_i} N \frac{ \sum_{j=1}^{k_i} \frac 1 {k_j} }{k_i}.</math>
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 मध्यस्थों के माध्यम से बड़ी संख्या में पहुंचें जो अनिवार्य रूप से सहज ज्ञान का प्रतीक हैं
-अमीर के लिए अमीर तंत्र का विचार (या बाराबसी-अल्बर्ट मॉडल का अधिमान्य लगाव नियम)। इसलिए एमडीए नेटवर्क को फॉलो करते देखा जा सकता है पीए शासन किन्तु भेष में होते है ।<ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Islam | first2 = Liana | last3 = Arefinul Haque | first3 = Syed | date = March 2017  | title = मध्यस्थता संचालित अनुलग्नक नेटवर्क में डिग्री वितरण, रैंक-आकार वितरण और नेतृत्व की दृढ़ता| doi = 10.1016/j.physa.2016.11.001 | journal = Physica A | volume = 469 | pages = 23–30 | arxiv = 1411.3444 | bibcode = 2017PhyA..469...23H | s2cid = 51976352 }}</ref>
+बहुमूल्य के लिए बहुमूल्य तंत्र का विचार (या बाराबसी-अल्बर्ट मॉडल का अधिमान्य लगाव नियम)। इसलिए एमडीए नेटवर्क को फॉलो करते देखा जा सकता है पीए शासन किन्तु भेष में होते है ।<ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Islam | first2 = Liana | last3 = Arefinul Haque | first3 = Syed | date = March 2017  | title = मध्यस्थता संचालित अनुलग्नक नेटवर्क में डिग्री वितरण, रैंक-आकार वितरण और नेतृत्व की दृढ़ता| doi = 10.1016/j.physa.2016.11.001 | journal = Physica A | volume = 469 | pages = 23–30 | arxiv = 1411.3444 | bibcode = 2017PhyA..469...23H | s2cid = 51976352 }}</ref>
-चूँकि <math>m=1</math> के लिए यह वर्णन करता है कि विजेता इसे सभी तंत्रों के रूप में लेता है जैसा कि हम लगभग पाते हैं <math>99\%</math> कुल नोड्स में से डिग्री है और डिग्री में अति-समृद्ध है। जैसा <math>m</math> मूल्य बढ़ने से अति धनी और गरीब के बीच का अंतर कम हो जाता है और जैसे-जैसे <math>m>14</math> हम धनी से अधिक धनवान बनने की प्रक्रिया को धनवान से अधिक धनी प्राप्त करने की क्रियाविधि के रूप में देखते हैं।
+चूँकि <math>m=1</math> के लिए यह वर्णन करता है कि विजेता इसे सभी तंत्रों के रूप में लेता है जैसा कि हम लगभग पाते हैं जो <math>99\%</math> कुल नोड्स में से डिग्री है और डिग्री में अति-समृद्ध है। जैसा <math>m</math> मूल्य बढ़ने से अति धनी और गरीब के बीच का अंतर कम हो जाता है और जैसे-जैसे <math>m>14</math> हम धनी से अधिक धनवान बनने की प्रक्रिया को धनवान से अधिक धनी प्राप्त करने की क्रियाविधि के रूप में देखते हैं।
 === फ़िटनेस मॉडल ===
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-इस तरह के मॉडल को विभिन्न नोड्स <math>i,j</math> और इस तरह के एक लिंकिंग फलन के लिए उपयुक्तता के रूप में जीडीपी का उपयोग करके राष्ट्रों के बीच व्यापार का वर्णन करने के लिए सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है।
+इस तरह के मॉडल को विभिन्न नोड्स <math>i,j</math> और इस तरह के लिंकिंग फलन के लिए उपयुक्तता के रूप में जीडीपी का उपयोग करके राष्ट्रों के बीच व्यापार का वर्णन करने के लिए सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है।
 <ref>Garlaschelli D., M I Loffredo Physical Review Letters 93, 188701 (2004)</ref><ref>Cimini G., T. Squartini, D. Garlaschelli and A. Gabrielli, Scientific Reports 5, 15758 (2015)</ref>
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 </ref> ये संस्थाएँ अधिकांशतः व्यक्ति होती हैं, किन्तु [[समूह (समाजशास्त्र)]], संगठन, राष्ट्र राज्य, [[वेब साइट्स]], [[ साइनोमेट्रिक्स |साइनोमेट्रिक्स]] भी हो सकती हैं।
-के दशक से, नेटवर्क के अनुभवजन्य अध्ययन ने सामाजिक विज्ञान में केंद्रीय भूमिका निभाई है, और नेटवर्क का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई गणित और सांख्यिकी उपकरण पहले समाजशास्त्र में विकसित किए गए हैं। समाचार और प्रवाद इसी तरह इसका उपयोग [[महामारी विज्ञान]] और [[चिकित्सा समाजशास्त्र]] दोनों के प्रसार की जांच करने के लिए किया गया है। स्वास्थ्य संबंधी व्यवहार। इसे [[आर्थिक समाजशास्त्र]] पर भी प्रयुक्त किया गया है, जहां इसका उपयोग कीमतों को निर्धारित करने में सामाजिक विनिमय और सामाजिक तंत्र में विश्वास की भूमिका की जांच करने के लिए किया गया है। इसी तरह, इसका उपयोग [[राजनीतिक आंदोलन]]ों और सामाजिक संगठनों में भर्ती का अध्ययन करने के लिए किया गया है। इसका उपयोग वैज्ञानिक असहमति के साथ-साथ अकादमिक प्रतिष्ठा की अवधारणा के लिए भी किया गया है। दूसरे भाषा अधिग्रहण साहित्य में, इसका विदेश में अध्ययन में स्थापित इतिहास है, यह खुलासा करता है कि कैसे सहकर्मी शिक्षार्थी पारस्परिक क्रिया नेटवर्क उनकी भाषा की प्रगति को प्रभावित करते हैं। वर्तमान में, नेटवर्क विश्लेषण (और इसके समीप चचेरे भाई [[यातायात विश्लेषण]]) ने पदानुक्रमित और नेतृत्वविहीन प्रतिरोध प्रकृति दोनों के विद्रोही नेटवर्क को उजागर करने के लिए सैन्य आसूचना में महत्वपूर्ण उपयोग प्राप्त किया है।<ref name=GT-33/><ref>{{Cite web |url=http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |title=आतंकवादी नेटवर्क का नेटवर्क विश्लेषण|access-date=2011-12-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121123010939/http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |archive-date=2012-11-23 |url-status=dead }}</ref> [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण (अपराध विज्ञान)]] में, इसका उपयोग आपराधिक गिरोहों, अपराधी आंदोलनों, सह-अपमान में प्रभावशाली अभिनेताओं की पहचान करने आपराधिक गतिविधियों की पूर्वानुमान करने और नीतियां बनाने के लिए किया जा रहा है।<ref>{{Cite book|last1=PhD|first1=Martin Bouchard|last2=PhD|first2=Aili Malm|title=Oxford Handbooks Online: Criminology and Criminal Justice |date=2016-11-02|chapter=Social Network Analysis and Its Contribution to Research on Crime and Criminal Justice|chapter-url=https://www.oxfordhandbooks.com/view/10.1093/oxfordhb/9780199935383.001.0001/oxfordhb-9780199935383-e-21|language=en|doi=10.1093/oxfordhb/9780199935383.013.21|isbn=978-0-19-993538-3}}</ref>
+के दशक से, नेटवर्क के अनुभवजन्य अध्ययन ने सामाजिक विज्ञान में केंद्रीय भूमिका निभाई है, और नेटवर्क का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई गणित और सांख्यिकी उपकरण पहले समाजशास्त्र में विकसित किए गए हैं। समाचार और प्रवाद इसी तरह इसका उपयोग [[महामारी विज्ञान]] और [[चिकित्सा समाजशास्त्र]] दोनों के प्रसार की जांच करने के लिए किया गया है। स्वास्थ्य संबंधी व्यवहार। इसे [[आर्थिक समाजशास्त्र]] पर भी प्रयुक्त किया गया है, जहां इसका उपयोग कीमतों को निर्धारित करने में सामाजिक विनिमय और सामाजिक तंत्र में विश्वास की भूमिका की जांच करने के लिए किया गया है। इसी तरह, इसका उपयोग [[राजनीतिक आंदोलन]] और सामाजिक संगठनों में भर्ती का अध्ययन करने के लिए किया गया है। इसका उपयोग वैज्ञानिक असहमति के साथ-साथ अकादमिक प्रतिष्ठा की अवधारणा के लिए भी किया गया है। दूसरे भाषा अधिग्रहण साहित्य में, इसका विदेश में अध्ययन में स्थापित इतिहास है, यह खुलासा करता है कि कैसे सहकर्मी शिक्षार्थी पारस्परिक क्रिया नेटवर्क उनकी भाषा की प्रगति को प्रभावित करते हैं। वर्तमान में, नेटवर्क विश्लेषण (और इसके समीप चचेरे भाई [[यातायात विश्लेषण]]) ने पदानुक्रमित और नेतृत्वविहीन प्रतिरोध प्रकृति दोनों के विद्रोही नेटवर्क को उजागर करने के लिए सैन्य आसूचना में महत्वपूर्ण उपयोग प्राप्त किया है।<ref name=GT-33/><ref>{{Cite web |url=http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |title=आतंकवादी नेटवर्क का नेटवर्क विश्लेषण|access-date=2011-12-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121123010939/http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |archive-date=2012-11-23 |url-status=dead }}</ref> [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण (अपराध विज्ञान)]] में, इसका उपयोग आपराधिक गिरोहों, अपराधी आंदोलनों, सह-अपमान में प्रभावशाली अभिनेताओं की पहचान करने आपराधिक गतिविधियों की पूर्वानुमान करने और नीतियां बनाने के लिए किया जा रहा है।<ref>{{Cite book|last1=PhD|first1=Martin Bouchard|last2=PhD|first2=Aili Malm|title=Oxford Handbooks Online: Criminology and Criminal Justice |date=2016-11-02|chapter=Social Network Analysis and Its Contribution to Research on Crime and Criminal Justice|chapter-url=https://www.oxfordhandbooks.com/view/10.1093/oxfordhb/9780199935383.001.0001/oxfordhb-9780199935383-e-21|language=en|doi=10.1093/oxfordhb/9780199935383.013.21|isbn=978-0-19-993538-3}}</ref>
 === गतिशील नेटवर्क विश्लेषण ===
 डायनेमिक नेटवर्क विश्लेषण जटिल सामाजिक-तकनीकी प्रणालियों के प्रभावों में संस्थाओं के विभिन्न वर्गों के बीच संबंधों की शिफ्टिंग संरचना की जांच करता है, और सामाजिक स्थिरता और नए समूहों, विषयों और नेताओं के उद्भव जैसे परिवर्तनों को दर्शाता है।<ref name="dynamic3">Gross, T. and Sayama, H. (Eds.). 2009. ''Adaptive Networks: Theory, Models and Applications.'' Springer.</ref><ref name="dynamic4">Holme, P. and Saramäki, J. 2013. ''Temporal Networks.'' Springer.</ref><ref>Xanthos, Aris, Pante, Isaac, Rochat, Yannick, Grandjean, Martin (2016). [http://dh2016.adho.org/abstracts/407 Visualising the Dynamics of Character Networks]. In Digital Humanities 2016: Jagiellonian University & Pedagogical University, Kraków, pp. 417–419.</ref> डायनेमिक नेटवर्क विश्लेषण कई प्रकार के नोड्स (निकाय) और [[बहुआयामी नेटवर्क]] से बने मेटा-नेटवर्क पर केंद्रित है। ये संस्थाएँ अत्यधिक विविध हो सकती हैं। उदाहरणों में लोग संगठन, विषय, संसाधन, कार्य, घटनाएँ, स्थान और विश्वास सम्मिलित हैं।
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 === संक्रामक काल ===
-एसआईआर मॉडल के संबंध में, एक जनसंख्या किसी महामारी से उबर पाएगी या नहीं, यह <math>R_0</math> या "संक्रमित व्यक्ति द्वारा संक्रमित औसत लोगों" के मान पर निर्भर है।।
+एसआईआर मॉडल के संबंध में, जनसंख्या किसी महामारी से उबर पाएगी या नहीं, यह <math>R_0</math> या "संक्रमित व्यक्ति द्वारा संक्रमित औसत लोगों" के मान पर निर्भर है।।
 : <math>R_0 = \beta\tau = {\beta\over\mu}</math>
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 पेजरैंक व्यवस्थित विधि से नोड्स या वेबसाइटों को चुनकर काम करता है और फिर निश्चित संभावना के साथ अन्य नोड्स पर व्यवस्थित विधि से कूदता है। व्यवस्थित विधि से इन अन्य नोड्स पर कूद कर, यह पेजरैंक को नेटवर्क को पूरी तरह से पार करने में सहायता करता है क्योंकि कुछ वेबपेज परिधि पर उपस्थित होते हैं और आसानी से मूल्यांकन नहीं किए जा सकते हैं।
-प्रत्येक नोड <math>x_i</math> का एक पेजरैंक है जैसा कि पेजों के योग द्वारा परिभाषित किया गया है जो आउटलिंक्स पर <math>i</math> गुना एक या "महत्व" या <math>j</math> के पेजरैंक के <math>j</math> गुणा "आउट-डिग्री" से लिंक होता है।
+प्रत्येक नोड <math>x_i</math> का पेजरैंक है जैसा कि पेजों के योग द्वारा परिभाषित किया गया है जो आउटलिंक्स पर <math>i</math> गुना या "महत्व" या <math>j</math> के पेजरैंक के <math>j</math> गुणा "आउट-डिग्री" से लिंक होता है।
 : <math>x_i = \sum_{j\rightarrow i}{1\over N_j}x_j^{(k)}</math>
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 पेजरैंक निर्धारित करने के लिए उपरोक्त सूत्र में सुधार में इन यादृच्छिक जंप घटकों को सम्मिलित करना सम्मिलित है। यादृच्छिक उछाल के बिना कुछ पृष्ठों को 0 का पेजरैंक प्राप्त होगा जो अच्छा नहीं होगा।
-पहला <math>\alpha</math> या संभावना है कि एक यादृच्छिक छलांग होगी। कंट्रास्टिंग "डंपिंग कारक " या <math>1 - \alpha</math> है।
+पहला <math>\alpha</math> या संभावना है कि यादृच्छिक छलांग होगी। कंट्रास्टिंग "डंपिंग कारक " या <math>1 - \alpha</math> है।
 : <math>R{(p)} = {\alpha\over N} + (1 - \alpha) \sum_{j\rightarrow i} {1\over N_j} x_j^{(k)}</math>
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 * ''Six Degrees: The Science of a Connected Age'', Duncan J. Watts (W. W. Norton & Company, February 17, 2004) {{ISBN|0-393-32542-3}}
-{{Social networking}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: साइबरनेटिक्स]] [[Category: नेटवर्क]] [[Category: नेटवर्क सिद्धांत]] [[Category: नेटवर्क साइंस | नेटवर्क साइंस ]] [[Category: प्रबंधन सिद्धांत]]
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