पुश फॉरवर्ड मापक: Difference between revisions

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माप सिद्धांत में, पुशफॉरवर्ड माप (जिसे पुश फॉरवर्ड, पुश-फॉरवर्ड या छवि मापक के रूप में भी जाना जाता है) मापने योग्य फलन का उपयोग करके एक मापने योग्य स्थान से दूसरे में मापनीय स्थान से माप को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है।

परिभाषा

मापने योग्य स्थान $(X_{1},\Sigma _{1})$ और $(X_{2},\Sigma _{2})$ दिए गए हैं, मापने योग्य मानचित्रण $f\colon X_{1}\to X_{2}$ और माप $\mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]$ , μ के पुशफॉरवर्ड को $B\in \Sigma _{2}.$ के लिए $f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)$ द्वारा दिए गए माप $f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह परिभाषा हस्ताक्षरित या जटिल माप के लिए उत्परिवर्ती उत्परिवर्तन लागू करती है। पुशफॉरवर्ड माप को $\mu \circ f^{-1}$ , $f_{\sharp }\mu$ , $f\sharp \mu$ या $f\#\mu$ के रूप में भी दर्शाया गया है।

मुख्य गुण: परिवर्तन-चर-सूत्र:

प्रमेय:^[1] X₂ पर एक औसतन फंक्शन g, पुशफॉरवर्ड माप f_∗(μ) के संबंध में पूर्ण है, यदि और केवल यदि रचना $g\circ f$ माप μ के संबंध में पूर्ण है उस स्थिति में, अभिन्न संयोग करते हैं, अर्थात,

\int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .

ध्यान दें कि पिछले सूत्र में $X_{1}=f^{-1}(X_{2})$ ।

उदाहरण और अनुप्रयोग

संपूर्ण "लेब्सेग माप" यूनिट सर्कल S¹ (पर यहां जटिल समतल C) के सबसेट के रूप में सोचा गया है, इसे वास्तविक लाइन R पर पुश-फॉरवर्ड निर्माण और लेबसेग माप λ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। बता दें कि λ ने लेब्सेग माप के प्रतिबंध को अंतराल के लिए भी निरूपित किया है [0, 2π) और f : [0, 2π) → S¹ f(t) = exp(i t) द्वारा परिभाषित प्राकृतिक जीवनी है। S¹ पर संपूर्ण "लेब्सेग माप" तब पुश-फॉरवर्ड माप f_∗(λ) है। माप f_∗(λ) को "आर्क लंबाई माप" या "कोण माप" भी कहा जा सकता है, क्योंकि f_∗(λ) - S¹ में एक चाप का माप ठीक है इसकी चाप लंबाई ( या, समतुल्य, वह कोण जो इसे वृत्त के केंद्र में घटाता है। )
पिछला उदाहरण एन-डायमेंशनल टोरस Tⁿ पर प्राकृतिक "लेब्सग्यू माप" देने के लिए अच्छी तरह से विस्तारित है। पिछला उदाहरण एक विशेष मामला है, क्योंकि S¹ = T¹। Tⁿ पर यह लेबेस्ग माप, सामान्यीकरण तक, कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड लाई समूह Tⁿ के लिए हार माप है।
अनंत-आयामी वेक्टर स्थानों पर गाऊसी माप को पुश-फॉरवर्ड और वास्तविक रेखा पर मानक गाऊसी माप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है: पृथक्करणीय बानाच स्थान X पर एक बोरेल माप γ को गाऊसी कहा जाता है यदि किसी गैर-शून्य द्वारा γ को आगे बढ़ाया जाता है X के निरंतर दोहरे स्थान में रैखिक कार्यात्मक R पर एक गाऊसी माप है।
मापने योग्य फलन f : X → X और n बार के साथ f की संरचना पर विचार करें:

f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.

यह पुनरावृत्त फलन एक गतिशील प्रणाली बनाता है। X पर माप μ प्राप्त करने के लिए ऐसी प्रणालियों के अध्ययन प्रायः महत्वपूर्ण होते हैं, जिसे मानचित्र f अपरिवर्तित छोड़ देता है, एक तथाकथित अपरिवर्तनीय माप, यानी एक जिसके लिए f∗(μ) = μ।

इस तरह के एक गतिशील प्रणाली के लिए अर्ध-अपरिवर्तनीय माप पर भी विचार किया जा सकता है: ( $\mu$ पर एक माप $(X,\Sigma )$ ) को $f$ के तहत अर्ध-अपरिवर्तक कहा जाता है यदि $f$ द्वारा $\mu$ का पुश-फॉरवर्ड केवल मूल माप $\mu$ के बराबर है, जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो। माप का एक योग $\mu ,\nu$ एक ही स्थान पर समतुल्य है यदि और केवल अगर $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0$ तो μ ∀ A ∈ Σ: के तहत अर्ध-अपरिवर्तक है: $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0$
कई प्राकृतिक संभाव्यता वितरण, जैसे कि ची वितरण, इस निर्माण के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं।
यादृच्छिक चर पुशफ़ॉरवर्ड माप को प्रेरित करते हैं। वे एक कोडोमैन स्पेस में एक संभाव्यता स्थान का मानचित्र बनाते हैं और उस स्थान को पुशफॉरवर्ड द्वारा परिभाषित संभाव्यता माप के साथ संपन्न करते हैं। इसके अलावा, क्योंकि यादृच्छिक चर कार्य हैं ( और इसलिए कुल कार्य ), पूरे कोडोमैन की व्युत्क्रम छवि संपूर्ण डोमेन है, और पूरे डोमेन का माप 1 है, तो पूरे कोडोमैन का माप 1 है। इसका अर्थ है कि यादृच्छिक चर को विज्ञापन अनंत के रूप में बनाया जा सकता है और वे हमेशा यादृच्छिक चर के रूप में बने रहेंगे और संभाव्यता उपायों के साथ कोडोमैन रिक्त स्थान का समर्थन करेंगे।

सामान्यीकरण

सामान्यतः किसी भी मापने योग्य फलन को आगे बढ़ाया जा सकता है, पुश-फ़ॉरवर्ड फिर एक रैखिक संकारक बन जाता है, जिसे रैखिक संकारक या फ्रोबेनियस-पेरॉन संकारक के रूप में जाना जाता है। सीमित स्थानों में यह संकारक सामान्यतः फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता है और संकारक का अधिकतम इगेनवेल्यू अपरिवर्तनीय माप से अनुरूप होता है।

पुश के लिए संलग्न है पुलबैक; एक संकारक के रूप में कार्यों के रिक्त स्थानों पर, यह संरचना संकारक या कूपमैन संकारक है।

यह भी देखें

माप-प्रस्तुत गतिकीय प्रणाली

संदर्भ

Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory, Berlin: Springer Verlag, ISBN 9783540345138
Teschl, Gerald (2015), Topics in Real and Functional Analysis

[1] Sections 3.6–3.7 in Bogachev

[1]

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-[[माप सिद्धांत]] में, एक '''पुशफॉरवर्ड''' '''माप''' (जिसे '''पुश फॉरवर्ड, पुश-फॉरवर्ड''' या '''छवि मापक''' के रूप में भी जाना जाता है) एक मापने योग्य फलन का उपयोग करके एक [[मापने योग्य स्थान]] से दूसरे में एक मापनीय स्थान से एक माप को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है।
+[[माप सिद्धांत]] में, '''पुशफॉरवर्ड''' '''माप''' (जिसे '''पुश फॉरवर्ड, पुश-फॉरवर्ड''' या '''छवि मापक''' के रूप में भी जाना जाता है) मापने योग्य फलन का उपयोग करके एक [[मापने योग्य स्थान]] से दूसरे में मापनीय स्थान से माप को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है।
 == परिभाषा ==
-मापने योग्य स्थान <math>(X_1,\Sigma_1)</math>और <math>(X_2,\Sigma_2)</math>दिए गए हैं, एक मापने योग्य मानचित्रण <math>f\colon X_1\to X_2</math>और एक माप <math>\mu\colon\Sigma_1\to[0,+\infty]</math>, μ के पुशफॉरवर्ड को <math>B \in \Sigma_{2}.</math> के लिए <math>f_{*} (\mu) (B) = \mu \left( f^{-1} (B) \right)</math>द्वारा दिए गए माप <math>f_{*}(\mu)\colon\Sigma_2\to[0,+\infty]</math>के रूप में परिभाषित किया गया है।
+मापने योग्य स्थान <math>(X_1,\Sigma_1)</math>और <math>(X_2,\Sigma_2)</math>दिए गए हैं, मापने योग्य मानचित्रण <math>f\colon X_1\to X_2</math>और माप <math>\mu\colon\Sigma_1\to[0,+\infty]</math>, μ के पुशफॉरवर्ड को <math>B \in \Sigma_{2}.</math> के लिए <math>f_{*} (\mu) (B) = \mu \left( f^{-1} (B) \right)</math>द्वारा दिए गए माप <math>f_{*}(\mu)\colon\Sigma_2\to[0,+\infty]</math>के रूप में परिभाषित किया गया है।
-यह परिभाषा एक [[हस्ताक्षरित उपाय|हस्ताक्षरित]] या [[जटिल उपाय|जटिल]] उपाय के लिए उत्परिवर्ती उत्परिवर्तन लागू करती है। पुशफॉरवर्ड माप को <math>\mu \circ f^{-1}</math>,<math>f_\sharp \mu</math>, <math>f \sharp \mu</math> या <math>f \# \mu</math> के रूप में भी दर्शाया गया है।
+यह परिभाषा [[हस्ताक्षरित उपाय|हस्ताक्षरित]] या [[जटिल उपाय|जटिल]] माप के लिए उत्परिवर्ती उत्परिवर्तन लागू करती है। पुशफॉरवर्ड माप को <math>\mu \circ f^{-1}</math>,<math>f_\sharp \mu</math>, <math>f \sharp \mu</math> या <math>f \# \mu</math> के रूप में भी दर्शाया गया है।
 == मुख्य गुण: परिवर्तन-चर-सूत्र: ==
-प्रमेय:<ref>Sections 3.6–3.7 in {{Harvnb|Bogachev}}</ref> ''X''<sub>2</sub> पर एक औसतन फंक्शन ''g'', पुशफॉरवर्ड माप ''f''<sub>∗</sub>(''μ'') के संबंध में पूर्ण है, यदि और केवल यदि रचना <math>g \circ f</math>  माप μ के संबंध में पूर्ण है उस स्थिति में, अभिन्न संयोग करते हैं, अर्थात,
+प्रमेय:<ref>Sections 3.6–3.7 in {{Harvnb|Bogachev}}</ref> ''X''<sub>2</sub> पर एक औसतन फंक्शन ''g'', पुशफॉरवर्ड माप ''f''<sub>∗</sub>(''μ'') के संबंध में पूर्ण है, यदि और केवल यदि रचना <math>g \circ f</math> माप μ के संबंध में पूर्ण है उस स्थिति में, अभिन्न संयोग करते हैं, अर्थात,
 :<math>\int_{X_2} g \, d(f_* \mu) = \int_{X_1} g \circ f \, d\mu.</math>
-ध्यान दें कि पिछले सूत्र में <math>X_1=f^{-1}(X_2)</math>.
+ध्यान दें कि पिछले सूत्र में <math>X_1=f^{-1}(X_2)</math>।
 == उदाहरण और अनुप्रयोग ==
-* [[यूनिट सर्कल]] एस पर एक प्राकृतिक [[लेबेस्ग उपाय]]<sup>1</sup> (यहाँ जटिल समतल C के एक उपसमुच्चय के रूप में सोचा गया है) को पुश-फॉरवर्ड निर्माण और [[वास्तविक रेखा]] R पर Lebesgue माप ''λ'' का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। चलो ''λ'' भी निरूपित करता है Lebesgue माप का अंतराल [0, 2''π'') और मान लीजिए ''f'' : [0, 2''π'') → S<sup>1</sup> f(t) = exp(i t) द्वारा परिभाषित प्राकृतिक आक्षेप है। प्राकृतिक Lebesgue उपाय 'एस' पर<sup>1</sup> तो पुश-फॉरवर्ड माप f है<sub>∗</sub>(λ)। माप एफ<sub>∗</sub>(λ) को चाप लंबाई माप या कोण माप भी कहा जा सकता है, क्योंकि f<sub>∗</sub>(λ)-'S' में एक चाप का माप<sup>1</sup> सटीक रूप से इसकी चाप की लंबाई है (या, समतुल्य, वह कोण जो यह वृत्त के केंद्र पर बनाता है।)
+* संपूर्ण "लेब्सेग माप" [[यूनिट सर्कल]] '''S'''<sup>1</sup> (पर यहां जटिल समतल '''C''') के सबसेट के रूप में सोचा गया है, इसे वास्तविक लाइन '''R''' पर पुश-फॉरवर्ड निर्माण और लेबसेग माप ''λ'' का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। बता दें कि ''λ'' ने लेब्सेग माप के प्रतिबंध को अंतराल के लिए भी निरूपित किया है [0, 2''π'') और ''f'' : [0, 2''π'') → '''S'''<sup>1</sup> ''f''(''t'') = exp(''i'' ''t'') द्वारा परिभाषित प्राकृतिक जीवनी है। '''S'''<sup>1</sup> पर संपूर्ण "लेब्सेग माप" तब पुश-फॉरवर्ड माप ''f''<sub>∗</sub>(''λ'') है। माप ''f''<sub>∗</sub>(''λ'') को "आर्क लंबाई माप" या "कोण माप" भी कहा जा सकता है, क्योंकि ''f''<sub>∗</sub>(''λ'') - '''S'''<sup>1</sup> में एक चाप का माप ठीक है इसकी चाप लंबाई ( या, समतुल्य, वह कोण जो इसे वृत्त के केंद्र में घटाता है। )
-* पिछला उदाहरण एन-डायमेंशनल [[ टोरस्र्स ]] 'टी' पर एक प्राकृतिक लेबेस्ग माप देने के लिए अच्छी तरह से फैला हुआ है<sup>एन</sup>. पिछला उदाहरण एक विशेष मामला है, क्योंकि 'एस'<sup>1</सुप> = टी<sup>1</उप>। टी पर यह लेबेस्ग उपाय<sup>n</sup>, सामान्यीकरण तक, [[ कॉम्पैक्ट जगह ]], [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] [[झूठ समूह]] 'T' के लिए हार माप है<sup>एन</sup>.
+*
-* अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर गॉसियन उपायों को वास्तविक रेखा पर पुश-फॉरवर्ड और मानक [[गाऊसी माप]] का उपयोग करके परिभाषित किया गया है: एक अलग करने योग्य स्थान पर एक बोरेल माप γ [[ बनच स्थान ]] एक्स को 'गॉसियन' कहा जाता है यदि γ द्वारा पुश-फॉरवर्ड किया जाता है एक्स के निरंतर दोहरे स्थान में कोई गैर-शून्य [[रैखिक कार्यात्मक]] 'आर' पर गॉसियन माप है।
+*पिछला उदाहरण एन-डायमेंशनल टोरस '''T'''<sup>''n''</sup> पर प्राकृतिक "लेब्सग्यू माप" देने के लिए अच्छी तरह से विस्तारित है। पिछला उदाहरण एक विशेष मामला है, क्योंकि '''S'''<sup>1</sup> = '''T'''<sup>1</sup>। '''T'''<sup>''n''</sup> पर यह लेबेस्ग माप, सामान्यीकरण तक, कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड लाई समूह '''T'''<sup>''n''</sup> के लिए '''हार माप''' है।
-* एक मापने योग्य फ़ंक्शन f : X → X पर विचार करें और f का [[समारोह रचना]] स्वयं n बार:
+*अनंत-आयामी वेक्टर स्थानों पर गाऊसी माप को पुश-फॉरवर्ड और वास्तविक रेखा पर मानक [[गाऊसी माप]] का उपयोग करके परिभाषित किया गया है: पृथक्करणीय बानाच स्थान X पर एक बोरेल माप γ को गाऊसी कहा जाता है यदि किसी गैर-शून्य द्वारा γ को आगे बढ़ाया जाता है X के निरंतर दोहरे स्थान में [[रैखिक कार्यात्मक]] R पर एक गाऊसी माप है।
+*मापने योग्य फलन  ''f'' : ''X'' → ''X'' और n बार के साथ ''f'' की संरचना पर विचार करें:
-::<math>f^{(n)} = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \mathrm{\, times}} : X \to X.</math>
+::<math>f^{(n)} = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \mathrm{\, times}} : X \to X.</math> यह पुनरावृत्त फलन एक [[गतिशील प्रणाली]] बनाता है। X पर माप μ प्राप्त करने के लिए ऐसी प्रणालियों के अध्ययन प्रायः महत्वपूर्ण होते हैं, जिसे मानचित्र f अपरिवर्तित छोड़ देता है, एक तथाकथित [[अपरिवर्तनीय उपाय|अपरिवर्तनीय माप]], यानी एक जिसके लिए f∗(μ) = μ।
-: यह पुनरावृत्त फलनएक [[गतिशील प्रणाली]] बनाता है। इस तरह की प्रणालियों के अध्ययन में अक्सर एक्स पर एक माप μ खोजने में रुचि होती है कि नक्शा एफ अपरिवर्तित छोड़ देता है, एक तथाकथित [[अपरिवर्तनीय उपाय]], यानी एक जिसके लिए एफ<sub>&lowast;</sub>(μ) = μ।
-* ऐसी गतिशील प्रणाली के लिए [[अर्ध-अपरिवर्तनीय उपाय]]ों पर भी विचार किया जा सकता है: एक उपाय<math>\mu</math>पर<math>(X,\Sigma)</math>'क्वैसी-इनवेरिएंट अंडर' कहा जाता है <math>f</math> अगर पुश-फॉरवर्ड करें<math>\mu</math>द्वारा <math>f</math> केवल मूल माप μ के [[उपायों की समानता]] है, जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो। उपायों की एक जोड़ी <math>\mu, \nu</math> एक ही स्थान पर समतुल्य हैं यदि और केवल यदि <math>\forall A\in \Sigma: \ \mu(A) = 0 \iff \nu(A) = 0</math>, इसलिए <math>\mu</math> के अंतर्गत अर्ध-अपरिवर्तनीय है <math>f</math> अगर <math>\forall A \in \Sigma: \ \mu(A) = 0 \iff f_* \mu(A) = \mu\big(f^{-1}(A)\big) = 0</math>
+* इस तरह के एक गतिशील प्रणाली के लिए [[अर्ध-अपरिवर्तनीय उपाय|अर्ध-अपरिवर्तनीय]] माप पर भी विचार किया जा सकता है: (<math>\mu</math>पर एक माप <math>(X,\Sigma)</math>) को <math>f</math> के तहत अर्ध-अपरिवर्तक कहा जाता है यदि <math>f</math> द्वारा <math>\mu</math> का पुश-फॉरवर्ड केवल मूल माप <math>\mu</math> के बराबर है, जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो। माप का एक योग <math>\mu, \nu</math> एक ही स्थान पर समतुल्य है यदि और केवल अगर <math>\forall A\in \Sigma: \ \mu(A) = 0 \iff \nu(A) = 0</math> तो μ ∀ A ∈ Σ: के तहत अर्ध-अपरिवर्तक है: <math>\forall A \in \Sigma: \ \mu(A) = 0 \iff f_* \mu(A) = \mu\big(f^{-1}(A)\big) = 0</math>
-* इस निर्माण के माध्यम से [[ची वितरण]] जैसे कई प्राकृतिक संभाव्यता वितरण प्राप्त किए जा सकते हैं।
+*कई प्राकृतिक संभाव्यता वितरण, जैसे कि [[ची वितरण]], इस निर्माण के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं।
+*यादृच्छिक चर पुशफ़ॉरवर्ड माप को प्रेरित करते हैं। वे एक कोडोमैन स्पेस में एक संभाव्यता स्थान का मानचित्र बनाते हैं और उस स्थान को पुशफॉरवर्ड द्वारा परिभाषित संभाव्यता माप के साथ संपन्न करते हैं। इसके अलावा, क्योंकि यादृच्छिक चर कार्य हैं ( और इसलिए कुल कार्य ), पूरे कोडोमैन की व्युत्क्रम छवि संपूर्ण डोमेन है, और पूरे डोमेन का माप 1 है, तो पूरे कोडोमैन का माप 1 है। इसका अर्थ है कि यादृच्छिक चर को विज्ञापन अनंत के रूप में बनाया जा सकता है और वे हमेशा यादृच्छिक चर के रूप में बने रहेंगे और संभाव्यता उपायों के साथ कोडोमैन रिक्त स्थान का समर्थन करेंगे।
-* रैंडम वैरिएबल पुशफॉरवर्ड उपायों को प्रेरित करते हैं। वे एक प्रायिकता स्थान को कोडोमेन स्थान में मैप करते हैं और उस स्थान को पुशफॉरवर्ड द्वारा परिभाषित प्रायिकता माप के साथ संपन्न करते हैं। इसके अलावा, क्योंकि यादृच्छिक चर फलन हैं (और इसलिए कुल फलन), पूरे कोडोमेन की उलटी छवि संपूर्ण डोमेन है, और पूरे डोमेन का माप 1 है, इसलिए पूरे कोडोमेन का माप 1 है। इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर अनंत तक बनाए जा सकते हैं और वे हमेशा यादृच्छिक चर के रूप में रहेंगे और संभाव्यता उपायों के साथ कोडोमेन रिक्त स्थान प्रदान करेंगे।
+== सामान्यीकरण ==
+सामान्यतः किसी भी मापने योग्य फलन को आगे बढ़ाया जा सकता है, पुश-फ़ॉरवर्ड फिर एक [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संकारक]] बन जाता है, जिसे [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संकारक]] या फ्रोबेनियस-पेरॉन संकारक के रूप में जाना जाता है। सीमित स्थानों में यह संकारक सामान्यतः फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता है और संकारक का अधिकतम इगेनवेल्यू अपरिवर्तनीय माप से अनुरूप होता है।
-== एक सामान्यीकरण ==
+पुश के लिए संलग्न है पुलबैक; एक संकारक के रूप में कार्यों के रिक्त स्थानों पर, यह संरचना संकारक या कूपमैन संकारक है।
-सामान्य तौर पर, किसी भी मापने योग्य फलनको आगे धकेला जा सकता है, पुश-फॉरवर्ड तब एक [[रैखिक ऑपरेटर]] बन जाता है, जिसे [[ट्रांसफर ऑपरेटर]] या फ्रोबेनियस-पेरोन ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। परिमित स्थानों में यह ऑपरेटर आम तौर पर फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय की आवश्यकताओं को पूरा करता है, और ऑपरेटर का अधिकतम आइगेनवेल्यू अपरिवर्तनीय माप से मेल खाता है।
-पुश-फॉरवर्ड के निकट [[ ठहराना ]] है; मापने योग्य स्थानों पर कार्यों के रिक्त स्थान पर एक ऑपरेटर के रूप में, यह संरचना ऑपरेटर या [[व्यापारी संचालिका]] है।
 == यह भी देखें ==
-* [[माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली]]
+* [[माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली|माप-प्रस्तुत गतिकीय प्रणाली]]
 ==टिप्पणियाँ==
 <references/>
 ==संदर्भ==
 * {{Citation
@@ Line 56: / Line 53: @@
    }}
-{{Measure theory}}
+{{DEFAULTSORT:Pushforward Measure}}
-{{DEFAULTSORT:Pushforward Measure}}[[Category: उपाय (माप सिद्धांत)]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Created On 24/05/2023|Pushforward Measure]]
-[[Category:Created On 24/05/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page|Pushforward Measure]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Pushforward Measure]]
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