स्थिति (कार्यात्मक विश्लेषण): Difference between revisions

Latest revision as of 17:38, 16 July 2023

फलनिक विश्लेषण में, प्रचालक प्रणाली की अवस्था ऑपरेटर मानदंड का एक धनात्मक रैखिक फलन है। फलनिक विश्लेषण सामान्यीकरण में स्थिति क्वांटम यांत्रिकी में घनत्व आव्यूह की धारणा है, जो दोनों क्वांटम अवस्थाओं §§ मिश्र अवस्था and शुद्ध अवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व आव्यूह इसके विरोध में क्वांटम अवस्था को सामान्य करते हैं, जो केवल शुद्ध अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। M के लिए एक C * - बीजगणित A में तत्समक के साथ एक प्रचालक प्रणाली, M के सभी अवस्थाओं का सम्मुचय, जिसे कभी-कभी S (M) द्वारा चिह्नित किया जाता है, उत्तल, मंद - * बैनक दुगनी स्थिति M में बंद होता है^{*</सुप>. इस प्रकार मंद-* संस्थिति के साथ M की सभी अवस्थाओं का समुच्चय एक सघन हौसडॉर्फ स्थल बनाता है, जिसे 'M का अवस्था स्थान' कहा जाता है।}

क्वांटम यांत्रिकी के C*-बीजगणितीय सूत्रीकरण में, इस पिछले अर्थ में अवस्था भौतिक अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं, अर्थात भौतिक अवलोकनों (C*-बीजगणित के स्व-संलग्न अवयव) से उनके अपेक्षित माप परिणाम (वास्तविक संख्या) से मापा जाता हैं।

जॉर्डन अपघटन

अवस्थाओं को संभाव्यता उपायों के अविनिमेय सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। गेलफैंड निरूपण के अनुसार, प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित A, C₀(X) के रूप का कुछ स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ एक्स के लिए है। इस स्थिति में, S(A) में X पर धनात्मक रेडॉन विधि सम्मलितहैं, और § शुद्ध अवस्था एक्स पर मूल्यांकन का कार्य करते हैं।

अधिक साधारणतया, जीएनएस निर्माण से पता चलता है कि प्रत्येक अवस्था एक उपयुक्त निरूपण चुनने के बाद, सदिश अवस्था होते हैं।

C *-बीजगणित A पर एक परिबद्ध रैखिक फलन को 'स्व-संबद्ध' कहा जाता है यदि यह A के स्व-संलग्न अवयवों का वास्तविक मान होता हैं। स्व-संलग्न फलनात्मक सांकेतिक माप के अविनिमेय रूप हैं।

माप सिद्धांत में हैन अपघटन प्रमेय के अनुसार प्रत्येक सांकेतिक माप को अलग-अलग सम्मुचयो पर समर्थित दो धनात्मक मापो के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे अविनिमेय समायोजन तक बढ़ाया जा सकता है।

Theorem — "A" में प्रत्येक स्व संलग्न "F" ^* को "F"="F" लिखा जा सकता हैं ₊ − "F"₋जहाँ "F"₊ तथा "F"₋ धनात्मक फलन होते हैं तथा ||"F"|| = ||"F"₊|| + ||"F"₋||।

Proof

एक प्रमाण को निम्न रूप से अभिलिखित किया जा सकता हैं: माना की Ωमंद हैं*- नॉर्म ≤ 1 के साथ "A" पर धनात्मक रैखिक फलन का सघन समुच्चय, तथा C(Ω) Ω पर सतत फलन होता हैं। । "A" को "C"(Ω) के बंद रैखिक उपसमष्टि के प्रकार से दर्शाया जा सकता हैं ((यह कैडीसन फलन को दर्शाता हैं)। हान-बैनक के द्वारा, F C(Ω)*के साथ "g" तक बढ़ाया जाता हैं।

उपरोक्त अपघटन से यह पता चलता है कि A * अवस्थाओं की रैखिक अवधि है।

अवस्थाओं के कुछ महत्वपूर्ण वर्ग

शुद्ध अवस्था

केरेन-मिलमैन प्रमेय द्वारा, M के अवस्था स्थान में उच्तम बिंदु हैं। अवस्था स्थान में उच्तम बिंदुओं को शुद्ध अवस्था कहा जाता है और अन्य अवस्थाओं को मिश्रित अवस्थाओं के रूप में जाना जाता है।

सदिश अवस्था

हिल्बर्ट स्थान H और H में वेक्टर x के लिए, समीकरण ω_x(A) := ⟨Ax,x⟩ (A के लिए B(H) में), B(H) पर धनात्मक रैखिक फलन को परिभाषित करता है। चूँकि ω_x(1)=||x||², यदि ||x||=1हो तो ω_x एक अवस्था है। यदि A, B(H) का C*-उप बीजगणित है और A में M एक प्रचालक प्रणाली है, तो ω_x का प्रतिबंध M से M पर धनात्मक रैखिक फलन परिभाषित करता है। M के अवस्था जो इस प्रकार से उत्पन्न होते हैं, H में मात्रक सदिश से, M के 'सदिश अवस्था' कहलाते हैं।

दृढ अवस्था

एक अवस्था $\tau$ दृढ है, यदि यह धनात्मक अवयवों अर्थात, $\tau (a^{*}a)=0$ तात्पर्य $a=0$ पर आधारित है।

सामान्य अवस्था

एक अवस्था $\tau$ सामान्य कहा जाता है, यदि प्रत्येक मोनोटोन के लिए, बढ़ता नेट (गणित) $H_{\alpha }$ निम्नतम ऊपरी सीमा वाले प्रचालको की $H$ , $\tau (H_{\alpha })\;$ , $\tau (H)\;$ में विलीन हो जाता है।

ट्रेशियल अवस्था

ट्रेसियल अवस्था एक अवस्था $\tau$ है जैसे की

\tau (AB)=\tau (BA)\;.

किसी भी वियोज्य C*-बीजगणित के लिए, ट्रेसियल अवस्थाओं का सम्मुचय एक चॉक्वेट सिम्प्लेक्स है।

क्रमगुणित अवस्था

C*-बीजगणित A की क्रमगुणित अवस्था एक ऐसी अवस्था है, जिसमें A के संबंधित जीएनएस प्रतिनिधित्व का न्यूनीकरण क्रमगुणन हैं।

यह भी देखें

क्वांटम अवस्था
गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण
क्वांटम यांत्रिकी
- क्वांटम स्थिति
- घनत्व आव्यूह

संदर्भ

Lin, H. (2001), An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras, World Scientific

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-[[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनिक विश्लेषण]] में, प्रचालक प्रणाली की '''अवस्था''' [[ऑपरेटर मानदंड]] का एक [[सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक|धनात्मक रैखिक फलन]] है। फलनिक विश्लेषण सामान्यीकरण में स्थिति क्वांटम यांत्रिकी में [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] की धारणा है, जो दोनों क्वांटम अवस्थाओं {{section link|quantum state|मिश्र अवस्था |शुद्ध अवस्था |nopage=y}} का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व आव्यूह इसके विरोध में क्वांटम अवस्था को सामान्य करते हैं, जो केवल शुद्ध अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। एम के लिए एक [[सी * - बीजगणित]] ए में तत्समक के साथ एक प्रचालक प्रणाली, एम के सभी अवस्थाओं का सम्मुचय, जिसे कभी-कभी एस (एम) द्वारा चिह्नित किया जाता है, उत्तल, मंद - * बैनक दुगनी स्थिति एम में बंद होता है<sup>*</सुप>. इस प्रकार मंद-* संस्थिति के साथ एम् की सभी अवस्थाओं का समुच्चय एक सघन हौसडॉर्फ स्थल बनाता है, जिसे '<nowiki/>'''एम् का अवस्था स्थान'''<nowiki/>' कहा जाता है।
+[[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनिक विश्लेषण]] में, प्रचालक प्रणाली की '''अवस्था''' [[ऑपरेटर मानदंड]] का एक [[सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक|धनात्मक रैखिक फलन]] है। फलनिक विश्लेषण सामान्यीकरण में स्थिति क्वांटम यांत्रिकी में [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] की धारणा है, जो दोनों क्वांटम अवस्थाओं {{section link|quantum state|मिश्र अवस्था |शुद्ध अवस्था |nopage=y}} का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व आव्यूह इसके विरोध में क्वांटम अवस्था को सामान्य करते हैं, जो केवल शुद्ध अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। M के लिए एक [[सी * - बीजगणित|C * - बीजगणित]] A में तत्समक के साथ एक प्रचालक प्रणाली, M के सभी अवस्थाओं का सम्मुचय, जिसे कभी-कभी S (''M'') द्वारा चिह्नित किया जाता है, उत्तल, मंद - * बैनक दुगनी स्थिति ''M'' में बंद होता है<sup>*</सुप>. इस प्रकार मंद-* संस्थिति के साथ M की सभी अवस्थाओं का समुच्चय एक सघन हौसडॉर्फ स्थल बनाता है, जिसे '<nowiki/>'''''M'' का अवस्था स्थान'''<nowiki/>' कहा जाता है।
-क्वांटम यांत्रिकी के सी*-बीजगणितीय सूत्रीकरण में, इस पिछले अर्थ में अवस्था भौतिक अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं, अर्थात भौतिक अवलोकनों (सी*-बीजगणित के स्व-संलग्न अवयव) से उनके अपेक्षित माप परिणाम (वास्तविक संख्या) से मापा जाता हैं।
+क्वांटम यांत्रिकी के C*-बीजगणितीय सूत्रीकरण में, इस पिछले अर्थ में अवस्था भौतिक अवस्थाओं के अनुरूप होते हैं, अर्थात भौतिक अवलोकनों (C*-बीजगणित के स्व-संलग्न अवयव) से उनके अपेक्षित माप परिणाम (वास्तविक संख्या) से मापा जाता हैं।
 == जॉर्डन अपघटन ==
-अवस्थाओं को संभाव्यता उपायों के अविनिमेय सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। गेलफैंड निरूपण के अनुसार, प्रत्येक क्रमविनिमेय सी*-बीजगणित ए, सी<sub>0</sub>(एक्स) के रूप का कुछ स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ एक्स के लिए है। इस स्थिति में, एस (ए) में एक्स पर धनात्मक रेडॉन विधि सम्मलितहैं, और {{section link||शुद्ध अवस्था  }} एक्स पर मूल्यांकन का कार्य करते हैं।
+अवस्थाओं को संभाव्यता उपायों के अविनिमेय सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। गेलफैंड निरूपण के अनुसार, प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित A, C<sub>0</sub>(''X'') के रूप का कुछ स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ एक्स के लिए है। इस स्थिति में, S(''A'') में ''X'' पर धनात्मक रेडॉन विधि सम्मलितहैं, और {{section link||शुद्ध अवस्था  }} एक्स पर मूल्यांकन का कार्य करते हैं।
 अधिक साधारणतया, [[जीएनएस निर्माण]] से पता चलता है कि प्रत्येक अवस्था एक उपयुक्त निरूपण चुनने के बाद, सदिश अवस्था होते हैं।
-सी *-बीजगणित ए पर एक परिबद्ध रैखिक फलन को ''''स्व-संबद्ध'''<nowiki/>' कहा जाता है यदि यह ए के स्व-संलग्न अवयवों का वास्तविक मान होता हैं। स्व-संलग्न फलनात्मक [[हस्ताक्षरित उपाय|सांकेतिक माप]] के अविनिमेय रूप हैं।
+C *-बीजगणित A पर एक परिबद्ध रैखिक फलन को ''''स्व-संबद्ध'''<nowiki/>' कहा जाता है यदि यह A के स्व-संलग्न अवयवों का वास्तविक मान होता हैं। स्व-संलग्न फलनात्मक [[हस्ताक्षरित उपाय|सांकेतिक माप]] के अविनिमेय रूप हैं।
 माप सिद्धांत में हैन अपघटन प्रमेय के अनुसार प्रत्येक सांकेतिक माप को अलग-अलग सम्मुचयो पर समर्थित दो धनात्मक मापो के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे अविनिमेय समायोजन तक बढ़ाया जा सकता है।
-{{math theorem|math_statement= "ए" में प्रत्येक स्व संलग्न "ऍफ़" <sup>*</sup> को "ऍफ़"="ऍफ़" लिखा जा सकता हैं <sub>+</sub> − "ऍफ़"<sub>−</sub>जहाँ "ऍफ़"<sub>+</sub> तथा "ऍफ़"<sub>−</sub> धनात्मक फलन होते हैं तथा {{!!}}"ऍफ़"{{!!}} = {{!!}}"ऍफ़"<sub>+</sub>{{!!}} + {{!!}}"ऍफ़"<sub>−</sub>{{!!}}।}}
+{{math theorem|math_statement= "A" में प्रत्येक स्व संलग्न "F" <sup>*</sup> को "F"="F" लिखा जा सकता हैं <sub>+</sub> − "F"<sub>−</sub>जहाँ "F"<sub>+</sub> तथा "F"<sub>−</sub> धनात्मक फलन होते हैं तथा {{!!}}"F"{{!!}} = {{!!}}"F"<sub>+</sub>{{!!}} + {{!!}}"F"<sub>−</sub>{{!!}}।}}
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 एक प्रमाण को निम्न रूप से अभिलिखित किया जा सकता हैं:
-माना की Ωमंद हैं*- नॉर्म ≤ 1 के साथ "ए" पर धनात्मक रैखिक फलन का सघन समुच्चय, तथा ''सी''(Ω) Ω पर सतत फलन होता हैं।
+माना की Ωमंद हैं*- नॉर्म ≤ 1 के साथ "A" पर धनात्मक रैखिक फलन का सघन समुच्चय, तथा ''C''(Ω) Ω पर सतत फलन होता हैं।
-। "ए" को "सी"(Ω) के बंद रैखिक उपसमष्टि के प्रकार से दर्शाया जा सकता हैं ((यह ''[[रिचर्ड वि कैडीसन|कैडीसन]] फलन को दर्शाता हैं'')।
+। "A" को "C"(Ω) के बंद रैखिक उपसमष्टि के प्रकार से दर्शाया जा सकता हैं ((यह ''[[रिचर्ड वि कैडीसन|कैडीसन]] फलन को दर्शाता हैं'')।
-हान-बैनक के द्वारा, ''ऍफ़'' ''सी''(Ω)*के साथ "जी" तक बढ़ाया जाता हैं। ||g|||f||.
+हान-बैनक के द्वारा, ''F'' ''C''(Ω)*के साथ "g" तक बढ़ाया जाता हैं। ||g|||f||.
 Using results from measure theory quoted above, one has
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-उपरोक्त अपघटन से यह पता चलता है कि ए * अवस्थाओं की रैखिक अवधि है।
+उपरोक्त अपघटन से यह पता चलता है कि ''A''  * अवस्थाओं की रैखिक अवधि है।
 == अवस्थाओं के कुछ महत्वपूर्ण वर्ग ==
 === शुद्ध अवस्था ===
-केरेन-मिलमैन प्रमेय द्वारा, एम के अवस्था स्थान में उच्तम बिंदु हैं। अवस्था स्थान में उच्तम बिंदुओं को शुद्ध अवस्था कहा जाता है और अन्य अवस्थाओं को '''मिश्रित अवस्थाओं''' के रूप में जाना जाता है।
+केरेन-मिलमैन प्रमेय द्वारा, ''M'' के अवस्था स्थान में उच्तम बिंदु हैं। अवस्था स्थान में उच्तम बिंदुओं को '''शुद्ध अवस्था''' कहा जाता है और अन्य अवस्थाओं को '''मिश्रित अवस्थाओं''' के रूप में जाना जाता है।
 === सदिश अवस्था ===
-हिल्बर्ट स्थान एच और एच में वेक्टर एक्स के लिए, समीकरण ω<sub>''x''</sub>(ए) := ⟨Ax,x⟩ (ए के लिए बी(एच) में), बी(एच) पर धनात्मक रैखिक फलन को परिभाषित करता है। चूँकि ω<sub>''x''</sub>(1)=||x||<sup>2</sup>, यदि ||x||=1हो तो ω<sub>''x''</sub> एक अवस्था है। यदि ए, बी(एच) का सी*-उप बीजगणित है और ए में एम् एक प्रचालक प्रणाली है, तो ω<sub>''x''</sub> का प्रतिबंध एम से एम पर धनात्मक रैखिक फलन परिभाषित करता है। एम के अवस्था जो इस प्रकार से उत्पन्न होते हैं, एच में मात्रक सदिश से, एम के ''''सदिश अवस्था'''<nowiki/>' कहलाते हैं।
+हिल्बर्ट स्थान ''H'' और ''H'' में वेक्टर ''x'' के लिए, समीकरण ω<sub>''x''</sub>(''A'') := ⟨Ax,x⟩ (''A'' के लिए ''B(H)'' में), B(H) पर धनात्मक रैखिक फलन को परिभाषित करता है। चूँकि ω<sub>''x''</sub>(1)=||x||<sup>2</sup>, यदि ||x||=1हो तो ω<sub>''x''</sub> एक अवस्था है। यदि ''A'', ''B(H)'' का C*-उप बीजगणित है और ''A'' में ''M'' एक प्रचालक प्रणाली है, तो ω<sub>''x''</sub> का प्रतिबंध ''M'' से ''M'' पर धनात्मक रैखिक फलन परिभाषित करता है। ''M'' के अवस्था जो इस प्रकार से उत्पन्न होते हैं, ''H'' में मात्रक सदिश से, ''M'' के ''''सदिश अवस्था'''<nowiki/>' कहलाते हैं।
 === दृढ अवस्था ===
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 :<math>\tau(AB)=\tau (BA)\;.</math>
-किसी भी वियोज्य सी*-बीजगणित के लिए, ट्रेसियल अवस्थाओं का सम्मुचय एक चॉकेट सिद्धांत है।
+किसी भी वियोज्य C*-बीजगणित के लिए, ट्रेसियल अवस्थाओं का सम्मुचय एक चॉक्वेट सिम्प्लेक्स है।
 === क्रमगुणित अवस्था ===
-सी*-बीजगणित ए की '''क्रमगुणित अवस्था''' एक ऐसी अवस्था है, जिसमें ''ए''  के संबंधित जीएनएस प्रतिनिधित्व का न्यूनीकरण क्रमगुणन हैं।
+C*-बीजगणित ''A'' की '''क्रमगुणित अवस्था''' एक ऐसी अवस्था है, जिसमें ''A'' के संबंधित जीएनएस प्रतिनिधित्व का न्यूनीकरण क्रमगुणन हैं।
 == यह भी देखें ==
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 * {{citation|first=H.|last= Lin|title=An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras|publisher=World Scientific|year=2001}}
-{{Functional analysis}}
-{{Hilbert space}}
-{{Ordered topological vector spaces}}
-[[Category: कार्यात्मक विश्लेषण]] [[Category: सी * - बीजगणित]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 03/06/2023]]
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