गॉस वृत्त समस्या: Difference between revisions

Latest revision as of 12:00, 15 September 2023

मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 5 के एक वृत्त का क्षेत्रफल 25 है

π

, लगभग 78.54, लेकिन इसमें 81 पूर्णांक बिंदु सम्मलित हैं, इसलिए ग्रिड बिंदुओं की गणना करके इसके क्षेत्रफल का अनुमान लगाने में त्रुटि लगभग 2.46 है। थोड़ी छोटी त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, क्षेत्रफल लगभग समान होता है, लेकिन वृत्त में केवल 69 बिंदु होते हैं, जो लगभग 9.54 की एक बड़ी त्रुटि उत्पन्न करता है। गॉस सर्कल समस्या सर्कल के त्रिज्या के एक समारोह के रूप में इस त्रुटि को अधिक सामान्य रूप से सीमित करने से संबंधित है।

गणित में, गॉस वृत्त समस्या यह निर्धारित करने की समस्या है कि मूल पर केंद्रित एक सर्कल में कितने पूर्णांक जालक बिंदु हैं और त्रिज्या के साथ $r$ . यह संख्या सर्कल के क्षेत्र से अनुमानित है, इसलिए वास्तविक समस्या त्रुटि शब्द को सही ढंग से बाध्य करना है, यह बताते हुए कि अंक की संख्या क्षेत्र से भिन्न कैसे होती है।

समाधान पर पहली प्रगति कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा की गई थी, इसलिए इसका नाम रखा गया।

समस्या

में एक वृत्त पर विचार करें $\mathbb {R} ^{2}$ मूल और त्रिज्या पर केंद्र के साथ $r\geq 0$ . गॉस की वृत्त समस्या पूछती है कि प्रपत्र के इस वृत्त के अंदर कितने बिंदु हैं $(m,n)$ कहाँ $m$ और $n$ दोनों पूर्णांक हैं। चूँकि इस वृत्त का समीकरण कार्तीय निर्देशांक प्रणाली द्वारा दिया गया है $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ , प्रश्न समान रूप से पूछ रहा है कि पूर्णांक m और n के कितने जोड़े ऐसे हैं

m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.

यदि दिए गए के लिए उत्तर $r$ द्वारा निरूपित किया जाता है $N(r)$ तो निम्न सूची के पहले कुछ मान दिखाती है $N(r)$ के लिए $r$ मानों की सूची के बाद 0 और 12 के बीच एक पूर्णांक $\pi r^{2}$ निकटतम पूर्णांक तक गोल:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (sequence A000328 in the OEIS)

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (sequence A075726 in the OEIS)

एक समाधान और अनुमान पर सीमा

$N(r)$ मोटे तौर पर है $\pi r^{2}$ , त्रिज्या की एक डिस्क का क्षेत्रफल $r$ . ऐसा इसलिए है क्योंकि औसतन प्रत्येक इकाई वर्ग में एक जाली बिंदु होता है। इस प्रकार, वृत्त में जाली बिंदुओं की वास्तविक संख्या इसके क्षेत्रफल के लगभग बराबर होती है, $\pi r^{2}$ . तो इसकी उम्मीद की जानी चाहिए

N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,

कुछ त्रुटि अवधि के लिए $E(r)$ अपेक्षाकृत छोटे निरपेक्ष मूल्य का। के लिए एक सही ऊपरी सीमा ढूँढना $\mid E(r)\mid$ इस प्रकार समस्या ने रूप ले लिया है। ध्यान दें कि $r$ एक पूर्णांक होना जरूरी नहीं है। बाद $N(4)=49$ किसी के पास $N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.$ इन जगहों पर $E(r)$ से बढ़ता है $8,4,8,12$ जिसके बाद यह घट जाती है (की दर से $2\pi r$ ) अगली बार बढ़ने तक।

गॉस सिद्ध करने में कामयाब रहे ^[1] वह

|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.

जी एच हार्डी ^[2] और, स्वतंत्र रूप से, एडमंड लैंडौ ने इसे दिखाकर एक निचली सीमा पाई

|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

छोटे ओ-नोटेशन का उपयोग करना। यह अनुमान लगाया जाता है कि सही सीमा क्या है?

|E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).

लिखना $E(r)\leq Cr^{t}$ , वर्तमान सीमा पर $t$ हैं

{\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,

1915 में हार्डी और लैंडौ से निचली सीमा के साथ, और ऊपरी सीमा 2000 में मार्टिन हक्सले द्वारा सिद्ध की गई। ^[3]

सटीक रूप

का मान है $N(r)$ कई श्रृंखलाओं द्वारा दिया जा सकता है। फर्श समारोह को सम्मलित करने वाली राशि के संदर्भ में इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:^[4]

N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).

यह जैकोबी के दो-स्क्वायर प्रमेय का परिणाम है, जो जैकोबी ट्रिपल उत्पाद से लगभग तुरंत अनुसरण करता है।^[5] यदि वर्गों का योग कार्य करता है तो योग बहुत सरल दिखाई देता है $r_{2}(n)$ संख्या लिखने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है $n$ दो वर्गों के योग के रूप में। फिर ^[1]

N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).

सबसे हालिया प्रगति निम्नलिखित पहचान पर टिकी हुई है, जिसे सबसे पहले हार्डी ने खोजा था:^[6]

N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),

कहाँ $J_{1}$ प्रथम प्रकार के बेसेल फलन को क्रम 1 से निरूपित करता है।

सामान्यीकरण

यद्यपि मूल समस्या एक वृत्त में पूर्णांक जाली बिंदुओं के लिए पूछती है, लेकिन अन्य आकृतियों पर विचार न करने का कोई कारण नहीं है, उदाहरण के लिए शांकव; वास्तव में डिरिचलेट की भाजक समस्या डिरिचलेट की विभाजक समस्या | डिरिचलेट की विभाजक समस्या समतुल्य समस्या है जहां वृत्त को आयताकार अतिपरवलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। ^[7] इसी प्रकार कोई प्रश्न को दो आयामों से उच्च आयामों तक बढ़ा सकता है, और एन-क्षेत्र या अन्य वस्तुओं के भीतर पूर्णांक अंक मांग सकता है। इन समस्याओं पर एक व्यापक साहित्य है। यदि कोई ज्यामिति को अनदेखा करता है और केवल डायोफैंटाइन सन्निकटन के एक बीजगणितीय समस्या पर विचार करता है, तो वहाँ समस्या में दिखाई देने वाले घातांक को वर्गों से क्यूब्स या उच्चतर तक बढ़ा सकते हैं।

डॉट प्लानीमीटर एक ही सिद्धांत के आधार पर आकृतियों के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए भौतिक उपकरण है। इसमें एक पारदर्शी शीट पर मुद्रित डॉट्स का एक चौकोर ग्रिड होता है; एक आकृति के क्षेत्रफल का अनुमान एक ग्रिड वर्ग के क्षेत्रफल के साथ आकार में डॉट्स की संख्या के गुणनफल के रूप में लगाया जा सकता है। ^[8]

आदिम वृत्त समस्या

एक अन्य सामान्यीकरण सह अभाज्य पूर्णांक समाधानों की संख्या की गणना करना है $m,n$ असमानता के लिए

m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,

इस समस्या को आदिम वृत्त समस्या के रूप में जाना जाता है, क्योंकि इसमें मूल वृत्त समस्या के आदिम समाधानों की खोज शामिल है। ^[9] इसे सहज रूप से इस प्रश्न के रूप में समझा जा सकता है कि यूक्लिड के बगीचे में आर की दूरी के भीतर कितने पेड़ मूल में खड़े दिखाई देते हैं। यदि ऐसे समाधानों की संख्या निरूपित की जाती है $V(r)$ फिर के मान $V(r)$ के लिए $r$ छोटे पूर्णांक मान ले रहे हैं

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (sequence A175341 in the OEIS).

सामान्य गॉस सर्कल समस्या के समान विचारों का उपयोग करना और तथ्य यह है कि सह अभाज्य

पूर्णांक कोप्रिमेलिटी की संभावना है $6/\pi ^{2}$ , यह दिखाना अपेक्षाकृत सरल है

V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).

सामान्य सर्कल समस्या के साथ, आदिम सर्कल समस्या का समस्याग्रस्त हिस्सा त्रुटि अवधि में प्रतिपादक को कम कर रहा है। वर्तमान में, सबसे प्रसिद्ध प्रतिपादक है $221/304+\varepsilon$ यदि कोई रीमैन परिकल्पना मानता है। ^[10]रीमैन परिकल्पना ग्रहण किए बिना, सबसे अच्छी ज्ञात ऊपरी सीमा है

V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))

एक सकारात्मक स्थिरांक के लिए $c$ . ^[10] विशेष रूप से, प्रपत्र की त्रुटि अवधि पर कोई बाध्यता नहीं है $r^{1-\varepsilon }$ किसी के लिए $\varepsilon >0$ वर्तमान में ज्ञात है जो रीमैन परिकल्पना को नहीं मानता है।

↑ ^1.0 ^1.1 Hardy, G. H. (1959). Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work (3rd ed.). New York: Chelsea Publishing Company. p. 67. MR 0106147.
↑ Hardy, G. H. (1915). "On the expression of a number as the sum of two squares". Quarterly Journal of Mathematics. 46: 263–283.
↑ Huxley, M. N. (2002). "Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function". In Bennett, M. A.; Berndt, B. C.; Boston, N.; Diamond, H. G.; Hildebrand, A. J.; Philipp, W. (eds.). Number theory for the millennium, II: Papers from the conference held at the University of Illinois at Urbana–Champaign, Urbana, IL, May 21–26, 2000. Natick, Massachusetts: A K Peters. pp. 275–290. MR 1956254.
↑ Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. (1952). Geometry and the Imagination. New York, N. Y.: Chelsea Publishing Company. pp. 37–38. MR 0046650.
↑ Hirschhorn, Michael D. (2000). "आंशिक अंश और संख्या सिद्धांत के चार शास्त्रीय प्रमेय". The American Mathematical Monthly. 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615. doi:10.2307/2589321. JSTOR 2589321.
↑ Landau, Edmund (1927). Vorlesungen über Zahlentheorie. Vol. 2. Verlag S. Hirzel. p. 189.
↑ Guy, Richard K. (2004). "F1: Gauß's lattice point problem". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics. Vol. 1 (3rd ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 365–367. doi:10.1007/978-0-387-26677-0. ISBN 0-387-20860-7. MR 2076335.
↑ Steinhaus, Hugo. "O mierzeniu pól płaskich" (PDF). Przegląd Matematyczno-Fizyczny (in polski). 2 (1–2): 24–29.
↑ Wu, Jie (2002). "On the primitive circle problem". Monatshefte für Mathematik. 135 (1): 69–81. doi:10.1007/s006050200006. MR 1894296.
↑ ^10.0 ^10.1 Wu, Jie (2002). "On the primitive circle problem". Monatshefte für Mathematik. 135 (1): 69–81. doi:10.1007/s006050200006. MR 1894296. S2CID 119451320.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Gauss's circle problem". MathWorld.
Grant Sanderson, "Pi hiding in prime regularities", 3Blue1Brown (in English)

[Hardy-1] 1.0 ^1.1 Hardy, G. H. (1959). Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work (3rd ed.). New York: Chelsea Publishing Company. p. 67. MR 0106147.

[2] Hardy, G. H. (1915). "On the expression of a number as the sum of two squares". Quarterly Journal of Mathematics. 46: 263–283.

[3] Huxley, M. N. (2002). "Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function". In Bennett, M. A.; Berndt, B. C.; Boston, N.; Diamond, H. G.; Hildebrand, A. J.; Philipp, W. (eds.). Number theory for the millennium, II: Papers from the conference held at the University of Illinois at Urbana–Champaign, Urbana, IL, May 21–26, 2000. Natick, Massachusetts: A K Peters. pp. 275–290. MR 1956254.

[4] Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. (1952). Geometry and the Imagination. New York, N. Y.: Chelsea Publishing Company. pp. 37–38. MR 0046650.

[5] Hirschhorn, Michael D. (2000). "आंशिक अंश और संख्या सिद्धांत के चार शास्त्रीय प्रमेय". The American Mathematical Monthly. 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615. doi:10.2307/2589321. JSTOR 2589321.

[6] Landau, Edmund (1927). Vorlesungen über Zahlentheorie. Vol. 2. Verlag S. Hirzel. p. 189.

[Guy-7] Guy, Richard K. (2004). "F1: Gauß's lattice point problem". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics. Vol. 1 (3rd ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 365–367. doi:10.1007/978-0-387-26677-0. ISBN 0-387-20860-7. MR 2076335.

[8] Steinhaus, Hugo. "O mierzeniu pól płaskich" (PDF). Przegląd Matematyczno-Fizyczny (in polski). 2 (1–2): 24–29.

[jw022-9] Wu, Jie (2002). "On the primitive circle problem". Monatshefte für Mathematik. 135 (1): 69–81. doi:10.1007/s006050200006. MR 1894296.

[jw02-10] 10.0 ^10.1 Wu, Jie (2002). "On the primitive circle problem". Monatshefte für Mathematik. 135 (1): 69–81. doi:10.1007/s006050200006. MR 1894296. S2CID 119451320.

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 {{Short description|How many integer lattice points there are in a circle}}
-[[File:Grid points in radius-5 circle.svg|thumb|मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 5 के एक वृत्त का क्षेत्रफल 25 है{{pi}}, लगभग 78.54, लेकिन इसमें 81 पूर्णांक बिंदु शामिल हैं, इसलिए ग्रिड बिंदुओं की गणना करके इसके क्षेत्रफल का अनुमान लगाने में त्रुटि लगभग 2.46 है। थोड़ी छोटी त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, क्षेत्रफल लगभग समान होता है, लेकिन वृत्त में केवल 69 बिंदु होते हैं, जो लगभग 9.54 की एक बड़ी त्रुटि उत्पन्न करता है। गॉस सर्कल समस्या सर्कल के त्रिज्या के एक समारोह के रूप में इस त्रुटि को अधिक सामान्य रूप से सीमित करने से संबंधित है।]]गणित में, गॉस [[घेरा]] समस्या यह निर्धारित करने की समस्या है कि मूल पर केंद्रित एक सर्कल में कितने पूर्णांक जालक बिंदु हैं और त्रिज्या के साथ <math>r</math>. यह संख्या सर्कल के क्षेत्र से अनुमानित है, इसलिए वास्तविक समस्या त्रुटि शब्द को सही ढंग से बाध्य करना है, यह बताते हुए कि अंक की संख्या क्षेत्र से भिन्न कैसे होती है।
+[[File:Grid points in radius-5 circle.svg|thumb|मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 5 के एक वृत्त का क्षेत्रफल 25 है{{pi}}, लगभग 78.54, लेकिन इसमें 81 पूर्णांक बिंदु सम्मलित हैं, इसलिए ग्रिड बिंदुओं की गणना करके इसके क्षेत्रफल का अनुमान लगाने में त्रुटि लगभग 2.46 है। थोड़ी छोटी त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, क्षेत्रफल लगभग समान होता है, लेकिन वृत्त में केवल 69 बिंदु होते हैं, जो लगभग 9.54 की एक बड़ी त्रुटि उत्पन्न करता है। गॉस सर्कल समस्या सर्कल के त्रिज्या के एक समारोह के रूप में इस त्रुटि को अधिक सामान्य रूप से सीमित करने से संबंधित है।]]गणित में, गॉस [[घेरा|वृत्त]] समस्या यह निर्धारित करने की समस्या है कि मूल पर केंद्रित एक सर्कल में कितने पूर्णांक जालक बिंदु हैं और त्रिज्या के साथ <math>r</math>. यह संख्या सर्कल के क्षेत्र से अनुमानित है, इसलिए वास्तविक समस्या त्रुटि शब्द को सही ढंग से बाध्य करना है, यह बताते हुए कि अंक की संख्या क्षेत्र से भिन्न कैसे होती है।
-समाधान पर पहली प्रगति [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] द्वारा की गई थी, इसलिए इसका नाम।
+समाधान पर पहली प्रगति [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] द्वारा की गई थी, इसलिए इसका नाम रखा गया।
 == समस्या ==
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 कुछ त्रुटि अवधि के लिए <math>E(r)</math> अपेक्षाकृत छोटे निरपेक्ष मूल्य का। के लिए एक सही ऊपरी सीमा ढूँढना <math>\mid E(r)\mid</math> इस प्रकार समस्या ने रूप ले लिया है। ध्यान दें कि <math>r</math> एक पूर्णांक होना जरूरी नहीं है। बाद  <math>N(4)=49 </math> किसी के पास<math>N(\sqrt{17})=57 ,N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 .</math> इन जगहों पर <math> E(r)</math> से बढ़ता है <math>8,4,8,12</math> जिसके बाद यह घट जाती है (की दर से <math> 2 \pi r </math>) अगली बार बढ़ने तक।
-गॉस साबित करने में कामयाब रहे<ref name="Hardy">{{cite book
+गॉस सिद्ध   करने में कामयाब रहे <ref name="Hardy">{{cite book
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 :<math>| E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r.</math>
-जी एच हार्डी<ref>{{cite journal
+जी एच हार्डी <ref>{{cite journal
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   | year = 1915}}</ref> और, स्वतंत्र रूप से, [[एडमंड लैंडौ]] ने इसे दिखाकर एक निचली सीमा पाई
 :<math>| E(r) |\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),</math>
-बिग ओ नोटेशन#लिटिल-ओ नोटेशन|लिटिल ओ-नोटेशन का उपयोग करना। यह अनुमान है<ref name="Guy">{{cite book
+छोटे ओ-नोटेशन का उपयोग करना। यह अनुमान लगाया जाता है कि सही सीमा क्या है?
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 :<math>| E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).</math>
 लिखना <math>E(r)\le Cr^t</math>, वर्तमान सीमा पर <math>t</math> हैं
 :<math>\frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,</math>
-में हार्डी और लैंडौ से निचली सीमा के साथ, और ऊपरी सीमा 2000 में [[मार्टिन हक्सले]] द्वारा सिद्ध की गई।<ref>{{cite book
+में हार्डी और लैंडौ से निचली सीमा के साथ, और ऊपरी सीमा 2000 में [[मार्टिन हक्सले]] द्वारा सिद्ध की गई। <ref>{{cite book
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 == सटीक रूप ==
-का मान है <math>N(r)</math> कई श्रृंखलाओं द्वारा दिया जा सकता है। [[ फर्श समारोह ]] को शामिल करने वाली राशि के संदर्भ में इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref>{{cite book
+का मान है <math>N(r)</math> कई श्रृंखलाओं द्वारा दिया जा सकता है। [[ फर्श समारोह ]] को सम्मलित करने वाली राशि के संदर्भ में इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref>{{cite book
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 :<math>N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).</math>
 यह जैकोबी के दो-स्क्वायर प्रमेय का परिणाम है, जो [[जैकोबी ट्रिपल उत्पाद]] से लगभग तुरंत अनुसरण करता है।<ref>{{Cite journal|last=Hirschhorn|first=Michael D.|date=2000|title=आंशिक अंश और संख्या सिद्धांत के चार शास्त्रीय प्रमेय|jstor=2589321|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=107|issue=3|pages=260–264|doi=10.2307/2589321|citeseerx=10.1.1.28.1615}}</ref>
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+यदि वर्गों का योग कार्य करता है तो योग बहुत सरल दिखाई देता है <math>r_2(n)</math> संख्या लिखने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है <math>n</math> दो वर्गों के योग के रूप में। फिर <ref name="Hardy" />
 :<math>N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n).</math>
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 == सामान्यीकरण ==
-यद्यपि मूल समस्या एक वृत्त में पूर्णांक जाली बिंदुओं के लिए पूछती है, लेकिन अन्य आकृतियों पर विचार न करने का कोई कारण नहीं है, उदाहरण के लिए [[शांकव]]; वास्तव में डिरिचलेट की भाजक समस्या#डिरिचलेट की विभाजक समस्या|डिरिचलेट की विभाजक समस्या समतुल्य समस्या है जहां वृत्त को आयताकार अतिपरवलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।<ref name="Guy"/>  इसी प्रकार कोई प्रश्न को दो आयामों से उच्च आयामों तक बढ़ा सकता है, और [[एन-क्षेत्र]] या अन्य वस्तुओं के भीतर पूर्णांक अंक मांग सकता है। इन समस्याओं पर एक व्यापक साहित्य है। यदि कोई ज्यामिति को अनदेखा करता है और केवल [[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] के एक बीजगणितीय समस्या पर विचार करता है, तो वहाँ समस्या में दिखाई देने वाले घातांक को वर्गों से क्यूब्स या उच्चतर तक बढ़ा सकते हैं।
+यद्यपि मूल समस्या एक वृत्त में पूर्णांक जाली बिंदुओं के लिए पूछती है, लेकिन अन्य आकृतियों पर विचार न करने का कोई कारण नहीं है, उदाहरण के लिए [[शांकव]]; वास्तव में डिरिचलेट की भाजक समस्या डिरिचलेट की विभाजक समस्या | डिरिचलेट की विभाजक समस्या समतुल्य समस्या है जहां वृत्त को आयताकार अतिपरवलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। <ref name="Guy">{{cite book
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+ | title = Unsolved Problems in Number Theory
+ | year = 2004| volume = 1 }}</ref>  इसी प्रकार कोई प्रश्न को दो आयामों से उच्च आयामों तक बढ़ा सकता है, और [[एन-क्षेत्र]] या अन्य वस्तुओं के भीतर पूर्णांक अंक मांग सकता है। इन समस्याओं पर एक व्यापक साहित्य है। यदि कोई ज्यामिति को अनदेखा करता है और केवल [[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] के एक बीजगणितीय समस्या पर विचार करता है, तो वहाँ समस्या में दिखाई देने वाले घातांक को वर्गों से क्यूब्स या उच्चतर तक बढ़ा सकते हैं।
-[[डॉट प्लानीमीटर]] एक ही सिद्धांत के आधार पर आकृतियों के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए भौतिक उपकरण है। इसमें एक पारदर्शी शीट पर मुद्रित डॉट्स का एक चौकोर ग्रिड होता है; एक आकृति के क्षेत्रफल का अनुमान एक ग्रिड वर्ग के क्षेत्रफल के साथ आकार में डॉट्स की संख्या के गुणनफल के रूप में लगाया जा सकता है।<ref>{{cite journal
+[[डॉट प्लानीमीटर]] एक ही सिद्धांत के आधार पर आकृतियों के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए भौतिक उपकरण है। इसमें एक पारदर्शी शीट पर मुद्रित डॉट्स का एक चौकोर ग्रिड होता है; एक आकृति के क्षेत्रफल का अनुमान एक ग्रिड वर्ग के क्षेत्रफल के साथ आकार में डॉट्स की संख्या के गुणनफल के रूप में लगाया जा सकता है। <ref>{{cite journal
   | last = Steinhaus | first = Hugo | author-link = Hugo Steinhaus
   | issue = 1–2
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-=== आदिम सर्कल समस्या ===
+=== आदिम वृत्त समस्या ===
-एक अन्य सामान्यीकरण [[सह अभाज्य]] पूर्णांक समाधानों की संख्या की गणना करना है <math>m,n</math> असमानता के लिए
+एक अन्य सामान्यीकरण [[सह अभाज्य]] पूर्णांक समाधानों की संख्या की गणना करना है  <math>m,n</math> असमानता के लिए
 :<math>m^2+n^2\leq r^2.\,</math>
-इस समस्या को प्रिमिटिव सर्कल प्रॉब्लम के रूप में जाना जाता है, क्योंकि इसमें मूल सर्कल प्रॉब्लम के प्रिमिटिव सॉल्यूशंस की खोज करना शामिल है।<ref name="jw02">{{cite journal
+इस समस्या को '''आदिम वृत्त समस्या''' के रूप में जाना जाता है, क्योंकि इसमें मूल वृत्त समस्या के आदिम समाधानों की खोज शामिल है। <ref name="jw022">{{Cite journal|last=Wu|first=Jie|doi=10.1007/s006050200006|issue=1|journal=[[Monatshefte für Mathematik]]|mr=1894296|pages=69–81|title=On the primitive circle problem|volume=135|year=2002}}</ref> इसे सहज रूप से इस प्रश्न के रूप में समझा जा सकता है कि [[:hi:यूक्लिड_का_बाग|यूक्लिड के बगीचे]] में आर की दूरी के भीतर कितने पेड़ मूल में खड़े दिखाई देते हैं। यदि ऐसे समाधानों की संख्या निरूपित की जाती है <math>V(r)</math> फिर के मान <math>V(r)</math> के लिए ''<math>r</math>'' छोटे पूर्णांक मान ले रहे हैं
+: 0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … {{OEIS|A175341}}.
+सामान्य गॉस सर्कल समस्या के समान विचारों का उपयोग करना और तथ्य यह है कि सह अभाज्य
+पूर्णांक  कोप्रिमेलिटी की संभावना है <math>6/\pi^2</math>, यह दिखाना अपेक्षाकृत सरल है
+:<math>V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).</math>
+सामान्य सर्कल समस्या के साथ, आदिम सर्कल समस्या का समस्याग्रस्त हिस्सा त्रुटि अवधि में प्रतिपादक को कम कर रहा है। वर्तमान में, सबसे प्रसिद्ध प्रतिपादक है <math>221/304+\varepsilon</math> यदि कोई [[रीमैन परिकल्पना]] मानता है। <ref name="jw02">{{cite journal
   | last = Wu | first = Jie
   | doi = 10.1007/s006050200006
@@ Line 116: / Line 122: @@
   | volume = 135
   | year = 2002| s2cid = 119451320
-  }}</ref> इसे सहज रूप से इस सवाल के रूप में समझा जा सकता है कि आर की दूरी के भीतर कितने पेड़ यूक्लिड के बाग में दिखाई दे रहे हैं, जो मूल में खड़े हैं। यदि ऐसे समाधानों की संख्या को निरूपित किया जाता है <math>V(r)</math> फिर के मान <math>V(r)</math> के लिए<math>r</math>छोटे पूर्णांक मान ले रहे हैं
+  }}</ref>रीमैन परिकल्पना ग्रहण किए बिना, सबसे अच्छी ज्ञात ऊपरी सीमा है
-: 0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … {{OEIS|A175341}}.
-सामान्य गॉस सर्कल समस्या के समान विचारों का उपयोग करना और तथ्य यह है कि Coprime पूर्णांक # कोप्रिमेलिटी की संभावना है <math>6/\pi^2</math>, यह दिखाना अपेक्षाकृत सरल है
-:<math>V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).</math>
-सामान्य सर्कल समस्या के साथ, आदिम सर्कल समस्या का समस्याग्रस्त हिस्सा त्रुटि अवधि में प्रतिपादक को कम कर रहा है। वर्तमान में, सबसे प्रसिद्ध प्रतिपादक है <math>221/304+\varepsilon</math> अगर कोई [[रीमैन परिकल्पना]] मानता है।<ref name="jw02" />रीमैन परिकल्पना ग्रहण किए बिना, सबसे अच्छी ज्ञात ऊपरी सीमा है
 :<math>V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))</math>
-एक सकारात्मक स्थिरांक के लिए <math>c</math>.<ref name="jw02" />विशेष रूप से, प्रपत्र की त्रुटि अवधि पर कोई बाध्यता नहीं है <math>r^{1-\varepsilon}</math> किसी के लिए <math>\varepsilon>0</math> वर्तमान में ज्ञात है जो रीमैन परिकल्पना को नहीं मानता है।
+एक सकारात्मक स्थिरांक के लिए <math>c</math>. <ref name="jw02" /> विशेष रूप से, प्रपत्र की त्रुटि अवधि पर कोई बाध्यता नहीं है <math>r^{1-\varepsilon}</math> किसी के लिए <math>\varepsilon>0</math> वर्तमान में ज्ञात है जो रीमैन परिकल्पना को नहीं मानता है।
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 131: / Line 133: @@
 *{{MathWorld|urlname=GausssCircleProblem|title=Gauss's circle problem}}
 *{{Citation|author=Grant Sanderson|title=Pi hiding in prime regularities|url=https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY|website=[[3Blue1Brown]]|language=en}}
-[[Category: अंकगणितीय कार्य]] [[Category: जाली अंक]] [[Category: गणित में अनसुलझी समस्याएं]]
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