डिरिचलेट L-फलन

गणित में, डिरिचलेट L-श्रृंखला फॉर्म का एक फलन (फलन) है।

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

जहां $\chi$ डिरिचलेट वर्ण है और जटिल चर है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह डिरिचलेट श्रृंखला का एक विशेष स्तिथि है। विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा, इसे पूरे जटिल समतल पर मेरोमोर्फिक फलन तक बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे डिरिचलेट L-फलन कहा जाता है और L(s, χ) भी दर्शाया जाता है।

इन फ़ंक्शंस का नाम पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य पर प्रमेय को साबित करने के लिए इन्हें (डिरिचलेट 1837) में पेश किया था जिसमें उनका नाम भी सम्मिलित है। प्रमाण के क्रम में, डिरिचलेट दर्शाता है कि s = 1 पर L(s, χ) गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि χ प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट L-फलन में s = 1 पर एक सरल ध्रुव होता है। अन्यथा, L-फलन संपूर्ण होता है।

यूलर गुणनफल

चूँकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसका L-फलन पूर्ण अभिसरण के आधे-तल में यूलर गुणनफल के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,$

जहां गुणनफल सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

अभाज्य गुण

L-फलन के बारे में परिणाम प्रायः अधिक सरलता से बताए जाते हैं यदि गुण को अभाज्य माना जाता है, हालांकि परिणाम सामान्यतः छोटी जटिलताओं के साथ अप्रभावी गुणों तक बढ़ाए जा सकते हैं। इसका कारण अभाज्य गुण के बीच का संबंध है $\chi$ और अभाज्य गुण $\chi ^{\star }$ मैं जो इसे प्रेरित करता है:

$\chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}$

(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर गुणनफल का अनुप्रयोग संबंधित L-फलन के बीच सरल संबंध देता है:

$L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)$

(यह सूत्र विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी s के लिए मान्य है, भले ही यूलर गुणनफल केवल तभी मान्य है जब Re(s) > 1.)  सूत्र से पता चलता है कि χ का L-फलन आदिम चरित्र के L-फलन के बराबर है जो χ को प्रेरित करता है, केवल सीमित संख्या में कारकों से गुणा किया जाता है।

विशेष स्तिथि के रूप में, मुख्य गुण का L-फलन $\chi _{0}$ मॉड्यूलो q को रीमैन ज़ेटा फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})$

फलनीय समीकरण

डिरिचलेट L-फलन फलनीयसमीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो उन्हें पूरे जटिल समतल में विश्लेषणात्मक रूप से प्रवृत्त रखने की विधि प्रदान करता है। फलनीयसमीकरण $L(s,\chi )$ के मान को $L(1-s,{\overline {\chi }})$ के मान से संबंधित करता है। मान लीजिए कि χ अभाज्य गुण मॉड्यूलो q है, जहां q > 1. फलनीयसमीकरण को व्यक्त करने की एक विधि है:

$L(s,\chi )=\varepsilon (\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+a)\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).$

इस समीकरण में, Γ गामा फलन को दर्शाता है; a 0 है यदि χ(−1) = 1,या 1 यदि χ(−1) = −1; और

$\varepsilon (\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{a}{\sqrt {q}}}}$

जहां τ ( χ) एक गॉस योग है:

$\tau (\chi )=\sum _{n=1}^{q}\chi (n)\exp(2\pi in/q).$

यह गॉस योग की एक गुण है जो |τ ( χ) | = q^1/2, so |ɛ ( χ) | = 1.

फलनीयसमीकरण को ज्ञात करने की दूसरी विधि है:

$\xi (s,\chi )=\left({\frac {q}{\pi }}\right)^{(s+a)/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ).$

फलनीयसमीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है::

$\xi (s,\chi )=\varepsilon (\chi )\xi (1-s,{\overline {\chi }}).$

फलनीयसमीकरण का तात्पर्य यह है $L(s,\chi )$ (और $\xi (s,\chi )$) s का संपूर्ण फलन है। (फिर से, यह माना जाता है कि χ q > 1 के साथ अभाज्य गुण मॉड्यूलो q है।

यदि q = 1 है, तो $L(s,\chi )=\zeta (s)$ s = 1 पर एक ध्रुव है।)

सामान्यीकरण के लिए, देखें: फलनीयसमीकरण (L-फलन)।

शून्य

डिरिचलेट L-फलन एल(एस, χ) = 1 − 3^−s+5^−s − 7^−s + ⋅⋅⋅ (कभी-कभी विशेष नाम डिरिचलेट बीटा फलन दिया जाता है), ऋणात्मक विषम पूर्णांकों पर तुच्छ शून्य के साथ

मान लीजिए χ q > 1 के साथ अभाज्य गुण मॉड्यूल q है।

Re(s) > 1 के साथ L(s, χ) के फलन का कोई शून्य नहीं है। Re(s) < 0 के लिए, कुछ ऋणात्मक पूर्णांक s पर शून्य होते हैं:

• यदि χ(−1) = 1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −2, −4, −6, ... पर साधारण शून्य हैं। (s = 0 पर भी शून्य होता है।) ये $\textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})$ के ध्रुवों के अनुरूप हैं।
• यदि χ(−1) = 1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −1, −3, −5, .... पर साधारण शून्य हैं। (s = 0 पर भी शून्य होता है।) ये $\textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})$ के ध्रुवों के अनुरूप हैं।

इन्हें नगण्य शून्य कहा जाता है।

शेष शून्य क्रांतिक पट्टी 0 ≤ Re(s) ≤ 1 में स्थित होते हैं और इन्हें गैर-नगण्य शून्य कहा जाता है। गैर-नगण्य शून्य महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 के बारे में सममित हैं। अर्थात्, यदि $L(\rho ,\chi )=0$ तो कार्यात्मक समीकरण के कारण $L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0$ भी। यदि χ वास्तविक गुण है, तो गैर-नगण्य शून्य भी वास्तविक अक्ष के बारे में सममित हैं, लेकिन यदि χ जटिल गुण है तो नहीं। सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना यह अनुमान है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 पर स्थित हैं।

सीगल शून्य के संभावित अस्तित्व तक, रीमैन ज़ेटा फलन के समान रेखा Re(s) = 1 सहित और उससे परे शून्य-मुक्त क्षेत्र सभी डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस के लिए उपस्थित हैं: उदाहरण के लिए, χ के लिए हमारे पास मापांक q का गैर-वास्तविक गुण है

$\beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\$

β + iγ के लिए अवास्तविक शून्य।

हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन से संबंध

डिरिचलेट L-फलन को तर्कसंगत मूल्यों पर हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। पूर्णांक k ≥ 1 को निश्चित करते हुए, मॉड्यूल k वर्णों के लिए डिरिचलेट L-फलन ζ(s,a) के स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक संयोजन हैं, जहां a = r/k और r = 1, 2, ..., k . इसका मतलब यह है कि तर्कसंगत ए के लिए हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन में विश्लेषणात्मक गुण हैं जो डिरिचलेट L-फलन से निकटता से संबंधित हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि χ वर्ण मॉड्यूलो k है। तब हम इसके डिरिचलेट L-फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).$

यह भी देखें

• सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना
• L-फलन
• मॉड्यूलैरिटी प्रमेय
• आर्टिन अनुमान (L-फलन)
• L-फलन के विशेष मान

संदर्भ

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Apostol, T. M. (2010), "डिरिचलेट L-फलन", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Davenport, H. (2000). Multiplicative Number Theory (3rd ed.). Springer. ISBN 0-387-95097-4.
• Dirichlet, P. G. L. (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Ak. Wiss. Berlin. 48.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer-Verlag.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2006). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society.
• "Dirichlet-L-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]