परिमित अवयव

क्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय के संहत अवयव या परिमित अवयव वे अवयव होते हैं जिन्हें किसी भी गैर-रिक्त निर्देशित समुच्चय के सर्वोच्च द्वारा सम्मिलित नहीं किया जा सकता है जिसमें पूर्व से ही संहत अवयव के ऊपर सदस्य सम्मिलित नहीं होते हैं। इस प्रकार से संहतता की यह धारणा एक साथ समुच्चय सिद्धांत में परिमित समुच्चय, टोपोलॉजी में संहत समष्टि और बीजगणित में परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की धारणाओं को सामान्य बनाती है। (गणित में संहतता की अन्य धारणाएँ भी हैं।)

औपचारिक परिभाषा

इस प्रकार से आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय (P,≤) में अवयव c को संहत (या परिमित) कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष प्रतिबन्धों में से एक को संतुष्ट करता है:

• P के प्रत्येक निर्देशित समुच्चय D के लिए, यदि D में सर्वोच्च उकृष्ट D और C ≤ उकृष्ट D है तो D के कुछ अवयव d के लिए C ≤ d है।
• P के प्रत्येक आदर्श (क्रम सिद्धांत) I के लिए, यदि I के निकट सर्वोच्च समर्थन I और c ≤ समर्थन I है तो c, I का अवयव है।

यदि क्रमित समुच्चय P अतिरिक्त रूप से अर्ध-जालक है (अर्थात, यदि इसमें बाइनरी उच्चतम है) तो इस प्रकार से ये स्थितियाँ निम्नलिखित कथन के बराबर हैं:

• P के प्रत्येक उपसमुच्चय S के लिए, यदि S का सर्वोच्च उकृष्ट S है और c ≤ उकृष्ट S है, तो S के कुछ परिमित उपसमुच्चय T के लिए c ≤ उकृष्ट T है।

इस प्रकार से विशेष रूप से, यदि c = उकृष्ट S, तो c, S के परिमित उपसमुच्चय का सर्वोच्च है।

अतः इन समतुल्यताओं को सम्मिलित अवधारणाओं की परिभाषाओं से सरलता से सत्यापित किया जाता है। सम्बद्ध-अर्ध-जालक की स्थिति में, किसी भी समुच्चय को परिमित (गैर-रिक्त) उच्चतम के अंतर्गत संवृत करके उसी उच्चक के साथ निर्देशित समुच्चय में बदला जा सकता है।

इस प्रकार से निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रमों या पूर्ण जालक पर विचार करते समय निर्दिष्ट उच्चतम स्थित अतिरिक्त आवश्यकताओं को निश्चित रूप से हटाया जा सकता है। सम्बद्ध-अर्ध-जालक जिसे पूर्ण रूप से निर्देशित किया जाता है वह लगभग पूर्ण जालक है (संभवतः कम से कम अवयव की कमी है) - विवरण के लिए पूर्णता (क्रम सिद्धांत) देखें।

उदाहरण

• उपसमुच्चय मूलभूत उदाहरण उपसमुच्चय द्वारा क्रमित कुछ समुच्चय A के घात समुच्चय पर विचार करके प्राप्त किया जाता है। इस पूर्ण जालक के भीतर, संहत अवयव निश्चित A के परिमित समुच्चय हैं। इस प्रकार से यह परिमित अवयव नाम को उचित ठहराता है।
• संहत शब्द संहत समुच्चय टोपोलॉजिकल समष्टि T के संहत उपसमुच्चय की परिभाषा से प्रेरित है। अतः समुच्चय Y संहत है यदि विवृत समुच्चय S के प्रत्येक संग्रह के लिए, यदि S पर संघ में Y को उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित किया जाता है, तो Y को S के परिमित उपसंग्रह के संघ के उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित किया गया है। इस प्रकार से T के घात समुच्चय को उपसमुच्चय समावेशन क्रम के साथ पूर्ण जालक के रूप में ध्यान में रखते हुए, जहां समुच्चय के संग्रह का सर्वोच्च उनके संघ द्वारा दिया जाता है, संहतता के लिए टोपोलॉजिकल स्थिति सम्बद्ध-अर्ध-जालक में संहतता की स्थिति का अनुकरण करती है, परन्तु विवृतपन की अतिरिक्त आवश्यकता के लिए है।
• यदि यह स्थित है, तो क्रमित समुच्चय का सबसे छोटा अवयव सदैव संहत होता है। इस प्रकार से ऐसा हो सकता है कि यह एकमात्र संहत अवयव है, जैसा कि इकाई अंतराल [0,1] (वास्तविक संख्याओं से वंशागत में मिले मानक क्रम के साथ) के उदाहरण से पता चलता है।
• जालक का प्रत्येक पूर्ण रूप से सम्बद्ध-अभाज्य अवयव संहत होता है।

बीजगणितीय क्रमित समुच्चय

अतः एक क्रमित समुच्चय जिसमें प्रत्येक अवयव अपने निम्न के संहत अवयवों का सर्वोच्च होता है, बीजगणितीय क्रमित समुच्चय कहलाता है। इस प्रकार से ऐसे क्रमित समुच्चय जो पूर्ण आंशिक क्रमों को निर्देशित करते हैं, प्रांत सिद्धांत में बहुत उपयोग किए जाते हैं।

एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति के रूप में, बीजगणितीय जालक पूर्ण जालक L है जहां L का प्रत्येक अवयव x, x के निम्न संहत अवयवों का सर्वोच्च है।

इस प्रकार से एक विशिष्ट उदाहरण (जो बीजगणितीय नाम के लिए प्रेरणा के रूप में कार्य करता है) निम्नलिखित है:

अतः किसी भी बीजगणित A के लिए (उदाहरण के लिए, समूह, वलय, क्षेत्र, जालक, आदि; या यहां तक ​​​​कि बिना किसी संक्रिया के मात्र समुच्चय), Sub(A) को A के सभी उपसंरचनाओं का समुच्चय होने दें, अर्थात, A के सभी उपसमुच्चय जो A के सभी संक्रियाओं (समूह योग, वलय योग और गुणन, आदि) के अंतर्गत संवृत हैं। इस प्रकार से यहां उपसंरचना की धारणा में बीजगणित A में कोई शून्य संचालन नहीं होने की स्थिति में रिक्त उपसंरचना सम्मिलित है।

इस प्रकार से तब निम्नवत बिंदु है:

• समुच्चय समावेशन द्वारा क्रमित समुच्चय Sub(A), जालक है।
• Sub(A) का सबसे बड़ा अवयव समुच्चय A ही है।
• Sub(A) में किसी भी S, T के लिए, S और T की सबसे बड़ी निम्न सीमा S और T का समुच्चय सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन है; सबसे छोटी ऊपरी सीमा S और T के संयोजन से उत्पन्न उपबीजगणित है।
• समुच्चय Sub(A) पूर्ण जालक भी है। उपसंरचनाओं के किसी भी वर्ग की सबसे बड़ी निम्न सीमा उनका प्रतिच्छेदन है (या यदि वर्ग रिक्त है तो A)।
• Sub(A) के संहत अवयव निश्चित A की सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसंरचनाएं हैं।
• प्रत्येक उपसंरचना अपनी अंतिम रूप से उत्पन्न उपसंरचनाओं का संघ है; इसलिए Sub(A) बीजगणितीय जालक है।

अतः इसके अतिरिक्त, प्रकार का व्युत्क्रम माना जाता है: प्रत्येक बीजगणितीय जालक कुछ बीजगणित A के लिए Sub(A) के लिए समरूपी है।

इस प्रकार से एक और बीजगणितीय जालक है जो सार्वभौमिक बीजगणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है: प्रत्येक बीजगणित के लिए A हम Con(A) को A पर सभी सर्वांगसम संबंधों का समुच्चय मानते हैं। A पर प्रत्येक सर्वांगसमता उत्पाद बीजगणित AxA का उपबीजगणित है, इसलिए Con(A) ⊆ Sub(AxA)। अतः फिर से हमारे निकट है

• Con(A), समुच्चय समावेशन द्वारा क्रमित, जालक है।
• Con(A) का सबसे बड़ा अवयव समुच्चय AxA है, जो स्थिर समरूपता के अनुरूप सर्वांगसमता है। सबसे छोटी सर्वांगसमता AxA का विकर्ण है, जो समरूपता के अनुरूप है।
• Con(A) पूर्ण जालक है।
• Con(A) के संहत अवयव निश्चित सूक्ष्म रूप से उत्पन्न सर्वांगसमताएं हैं।
• Con(A) बीजगणितीय जालक है।

इस प्रकार से पुनः व्युत्क्रम है: जॉर्ज ग्रेट्ज़र और ई. टी. श्मिट के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बीजगणितीय जालक कुछ बीजगणित A के लिए Con(A) के लिए समाकृतिकता है।

अनुप्रयोग

अतः प्रांत सिद्धांत नामक अर्थगत दृष्टिकोण में कंप्यूटर विज्ञान में संहत अवयव महत्वपूर्ण हैं, जहां उन्हें प्रकार का आदिम अवयव प्रमेय माना जाता है: संहत अवयवों द्वारा दर्शाई गई सुचना किसी भी अनुमान से प्राप्त नहीं की जा सकती है जिसमें पूर्व से ही यह ज्ञान सम्मिलित नहीं है। इस प्रकार से संहत अवयवों का अनुमान उनके ठीक निम्न के अवयवों द्वारा नहीं लगाया जा सकता है। अतः दूसरी ओर, ऐसा हो सकता है कि सभी गैर-संहत अवयवों को संहत अवयवों के निर्देशित सर्वोच्चता के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यह वांछनीय स्थिति है, क्योंकि संहत अवयवों का समुच्चय प्रायः मूल क्रमित समुच्चय से छोटा होता है - ऊपर दिए गए उदाहरण इसे स्पष्ट करते हैं।

साहित्य

क्रम सिद्धांत और प्रांत सिद्धांत के लिए दिया गया साहित्य देखें।