सुपरफैक्टोरियल: Difference between revisions

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गणित में, और विशेष रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में, एक सकारात्मक [[पूर्णांक]] का सुपरफैक्टोरियल <math>n</math> पहले का उत्पाद है <math>n</math> भाज्य. वे जॉर्डन-पोल्या संख्याओं का एक विशेष मामला हैं, जो [[ कारख़ाने का ]] के मनमाने संग्रह के उत्पाद हैं।


==परिभाषा== <math>n</math>वें>वें सुपरफैक्टोरियल <math>\mathit{sf}(n)</math> इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:{{r|oeis}}
गणित में और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में एक धनात्मक [[पूर्णांक]] <math>n</math> का सुपरफैक्टोरियल पहले <math>n</math> फैक्टोरियल का उत्पाद होता है। वे जॉर्डन पोलिया संख्याओं का एक विशेष स्थिति हैं जो फैक्टोरियल के सही संग्रह के उत्पाद हैं।
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== परिभाषा                                                                                                                                                                                                                                    ==
nवें सुपरफैक्टोरियल <math>\mathit{sf}(n)</math> को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है {{r|oeis}}
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\mathit{sf}(n) &= 1!\cdot 2!\cdot \cdots n! = \prod_{i=1}^{n} i! = n!\cdot\mathit{sf}(n-1)\\
\mathit{sf}(n) &= 1!\cdot 2!\cdot \cdots n! = \prod_{i=1}^{n} i! = n!\cdot\mathit{sf}(n-1)\\
&= 1^n \cdot 2^{n-1} \cdot \cdots n = \prod_{i=1}^{n} i^{n+1-i}.\\
&= 1^n \cdot 2^{n-1} \cdot \cdots n = \prod_{i=1}^{n} i^{n+1-i}.\\
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[[खाली उत्पाद]] के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का सुपरफैक्टोरियल 1 है। सुपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम, से शुरू होता है <math>\mathit{sf}(0)=1</math>, है:{{r|oeis}}
[[खाली उत्पाद|उत्पाद]] के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का सुपरफैक्टोरियल 1 है। सुपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम,<math>\mathit{sf}(0)=1</math> से प्रारंभ होता है {{r|oeis}}
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==गुण==
==गुण                                                                                                                                                                                                     ==
जिस तरह फैक्टोरियल को [[गामा फ़ंक्शन]] द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह सुपरफैक्टोरियल को [[बार्न्स जी-फ़ंक्शन]] द्वारा लगातार इंटरपोल किया जा सकता है।{{r|barnes}}
जिस तरह फैक्टोरियल को [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह सुपरफैक्टोरियल को [[बार्न्स जी-फ़ंक्शन|बार्न्स जी-फलन]] द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।{{r|barnes}}


फैक्टोरियल [[मॉड्यूलर अंकगणित]] [[अभाज्य संख्या]] संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एक एनालॉग के अनुसार, जब <math>p</math> एक [[समता (गणित)]] अभाज्य संख्या है
फैक्टोरियल [[मॉड्यूलर अंकगणित]] [[अभाज्य संख्या]] संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब <math>p</math> [[समता (गणित)]] अभाज्य संख्या है
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कहाँ <math>!!</math> [[ दोहरा भाज्य ]] के लिए संकेतन है।{{r|wilson}}
जहाँ <math>!!</math> [[ दोहरा भाज्य |दोहरा भाज्य]] के लिए संकेतन है।{{r|wilson}}


प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, जो नंबर <math>\mathit{sf}(4k)/(2k)!</math> एक [[वर्ग संख्या]] है. इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि, सूत्र में <math>\mathit{sf}(4k)</math> फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में, फैक्टोरियल में से एक को छोड़कर (मध्य वाला, <math>(2k)!</math>) का परिणाम एक वर्गाकार उत्पाद होता है।{{r|square}} इसके अतिरिक्त, यदि कोई हो <math>n+1</math> पूर्णांक दिए गए हैं, उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल हमेशा का गुणज होता है <math>\mathit{sf}(n)</math>, और जब दी गई संख्याएँ लगातार हों तो सुपरफैक्टोरियल के बराबर होता है।{{r|oeis}}
प्रत्येक पूर्णांक <math>k</math> के लिए , जो नंबर <math>\mathit{sf}(4k)/(2k)!</math> [[वर्ग संख्या]] है. इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि, सूत्र में <math>\mathit{sf}(4k)</math> फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में, फैक्टोरियल में से को छोड़कर (मध्य वाला, <math>(2k)!</math>) का परिणाम वर्गाकार उत्पाद होता है।{{r|square}} इसके अतिरिक्त, यदि कोई हो <math>n+1</math> पूर्णांक दिए गए हैं, उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल <math>\mathit{sf}(n)</math> सदैव का गुणज होता है ,और जब दी गई संख्याएँ निरंतर हों तो सुपरफैक्टोरियल के सामान्य होता है।{{r|oeis}}


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                               ==
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==बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                               ==
 
==बाहरी संबंध==
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Latest revision as of 16:54, 16 July 2023

गणित में और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में एक धनात्मक पूर्णांक का सुपरफैक्टोरियल पहले फैक्टोरियल का उत्पाद होता है। वे जॉर्डन पोलिया संख्याओं का एक विशेष स्थिति हैं जो फैक्टोरियल के सही संग्रह के उत्पाद हैं।

परिभाषा

nवें सुपरफैक्टोरियल को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है [1]

उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का सुपरफैक्टोरियल 1 है। सुपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम, से प्रारंभ होता है [1]

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, ... (sequence A000178 in the OEIS)

गुण

जिस तरह फैक्टोरियल को गामा फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह सुपरफैक्टोरियल को बार्न्स जी-फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।[2]

फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब समता (गणित) अभाज्य संख्या है

जहाँ दोहरा भाज्य के लिए संकेतन है।[3]

प्रत्येक पूर्णांक के लिए , जो नंबर वर्ग संख्या है. इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि, सूत्र में फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में, फैक्टोरियल में से को छोड़कर (मध्य वाला, ) का परिणाम वर्गाकार उत्पाद होता है।[4] इसके अतिरिक्त, यदि कोई हो पूर्णांक दिए गए हैं, उनके जोड़ीवार अंतर का गुणनफल सदैव का गुणज होता है ,और जब दी गई संख्याएँ निरंतर हों तो सुपरफैक्टोरियल के सामान्य होता है।[1]

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A000178 (Superfactorials: product of first n factorials)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation
  2. ↑ Barnes, E. W. (1900), "The theory of the G[[Category: Templates Vigyan Ready]]-function", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 31: 264–314, JFM 30.0389.02 {{citation}}: URL–wikilink conflict (help)
  3. ↑ Aebi, Christian; Cairns, Grant (2015), "Generalizations of Wilson's theorem for double-, hyper-, sub- and superfactorials", The American Mathematical Monthly, 122 (5): 433–443, doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, MR 3352802, S2CID 207521192
  4. ↑ White, D.; Anderson, M. (October 2020), "Using a superfactorial problem to provide extended problem-solving experiences", PRIMUS, 31 (10): 1038–1051, doi:10.1080/10511970.2020.1809039, S2CID 225372700

बाहरी संबंध

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