भाज्य क्षण: Difference between revisions

Latest revision as of 11:58, 11 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, भाज्य क्षण गणितीय मात्रा है जिसे यादृच्छिक चर के गिरते भाज्य के अपेक्षित मूल्य या औसत के रूप में परिभाषित किया गया है। गैर-नकारात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का अध्ययन करने के भाज्य क्षण उपयोगी होते हैं,^[1] और असतत यादृच्छिक चर के क्षणों को प्राप्त करने के लिए संभाव्यता-उत्पादक कार्यों के उपयोग में उत्पन्न होते हैं।

भाज्य क्षण कॉम्बिनेटरिक्स के गणितीय क्षेत्र में विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में कार्य करते हैं, जो असतत गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है।^[2]

परिभाषा

एक प्राकृतिक संख्या के लिए $r$ , -वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर संभाव्यता वितरण का $r$ -वाँ तथ्यात्मक क्षण, या, दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर $X$ उस संभाव्यता वितरण के साथ है ^[3]

\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]},

जहां $E$ अपेक्षित संचालक है और

(x)_{r}:=\underbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)} _{r{\text{ factors}}}\equiv {\frac {x!}{(x-r)!}}

स्खलन भाज्य है, जो नाम को जन्म देता है, यद्यपि संकेतन $(x) r$ गणितीय क्षेत्र के आधार पर भिन्न होता है। ^{[lower-alpha 1]} परिभाषा के लिए आवश्यक है कि अपेक्षा सार्थक हो, जो कि $(X) r \geq 0$ या $E[|(X) r |] < \infty$ स्थिति है .

यदि $X$ , $n$ परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है और $p r$ संभावना है कि $n$ परीक्षणों में से कोई भी $r$ सभी सफल हैं, ^[5]

\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)p_{r}

उदाहरण

पॉइसन वितरण

यदि यादृच्छिक चर $X$ में मापदंड λ के साथ पॉइसन वितरण है, फिर के भाज्य क्षण $X$ हैं

\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r},

जो पॉइसन वितरण उच्च क्षणों की तुलना में सरल रूप में हैं, जिसमें दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएं सम्मिलित हैं।

द्विपद बंटन

यदि यादृच्छिक चर $X$ सफलता की संभावना के साथ द्विपद वितरण है $p \in$ $[0,1]$ और परीक्षणों की संख्या $n$ , फिर के तथ्यात्मक क्षण $X$ हैं^[6]

\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r},

जहां सम्मेलन द्वारा, $\textstyle {\binom {n}{r}}$ और $(n)_{r}$ यदि r > n हो तो शून्य समझा जाता है।

हाइपरज्यामितीय वितरण

यदि यादृच्छिक चर $X$ में जनसंख्या आकार के साथ हाइपरज्यामितीय वितरण $N$ है , सफलता की स्थिति की संख्या $K \in {0,..., N$ } जनसंख्या में, और खींचता $n \in {0,..., N$ है , फिर के तथ्यात्मक क्षण $X$ हैं ^[6]

\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}}r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}.

बीटा-द्विपद बंटन

यदि यादृच्छिक चर $X$ में मापदंडों के साथ बीटा-द्विपद वितरण $α > 0$ , $β > 0$ है, और परीक्षणों की संख्या $n$ , फिर के तथ्यात्मक क्षण $X$ हैं

\operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}

क्षणों की गणना

एक यादृच्छिक चर X का वां कच्चा क्षण सूत्र द्वारा इसके भाज्य क्षणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

\operatorname {E} [X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}\left\{{r \atop j}\right\}\operatorname {E} [(X)_{j}],

जहां तरंगित ब्रेसिज़ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को दर्शाते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003
↑ Riordan, John (1958). संयुक्त विश्लेषण का परिचय. Dover.
↑ Riordan, John (1958). संयुक्त विश्लेषण का परिचय. Dover. p. 30.
↑ NIST Digital Library of Mathematical Functions. Retrieved 9 November 2013.
↑ P.V.Krishna Iyer. "A Theorem on Factorial Moments and its Applications". Annals of Mathematical Statistics Vol. 29 (1958). Pages 254-261.
↑ ^6.0 ^6.1 Potts, RB (1953). "मानक वितरण के तथ्यात्मक क्षणों पर ध्यान दें". Australian Journal of Physics. CSIRO. 6 (4): 498–499. Bibcode:1953AuJPh...6..498P. doi:10.1071/ph530498.

[5] The Pochhammer symbol $(x) r$ is used especially in the theory of special functions, to denote the falling factorial $x (x - 1)(x - 2) ... (x - r + 1)$ ;.^[4] whereas the present notation is used more often in combinatorics.

[daleyPPI2003-1] D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003

[2] Riordan, John (1958). संयुक्त विश्लेषण का परिचय. Dover.

[3] Riordan, John (1958). संयुक्त विश्लेषण का परिचय. Dover. p. 30.

[NIST:DLMF-4] NIST Digital Library of Mathematical Functions. Retrieved 9 November 2013.

[6] P.V.Krishna Iyer. "A Theorem on Factorial Moments and its Applications". Annals of Mathematical Statistics Vol. 29 (1958). Pages 254-261.

[potts1953note-7] 6.0 ^6.1 Potts, RB (1953). "मानक वितरण के तथ्यात्मक क्षणों पर ध्यान दें". Australian Journal of Physics. CSIRO. 6 (4): 498–499. Bibcode:1953AuJPh...6..498P. doi:10.1071/ph530498.

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[lower-alpha 1]

[5]

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[4]

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 भाज्य क्षण कॉम्बिनेटरिक्स के गणितीय क्षेत्र में विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में कार्य करते हैं, जो असतत गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है।<ref>{{cite book|last=Riordan|first=John|authorlink=John Riordan (mathematician)|title=संयुक्त विश्लेषण का परिचय|year=1958|publisher=Dover}}</ref>
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-==परिभाषा                                                                                                                                                                                                                               ==
 एक प्राकृतिक संख्या के लिए {{math|''r''}}, -वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर संभाव्यता वितरण का {{math|''r''}}-वाँ तथ्यात्मक क्षण, या, दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर {{math|''X''}} उस संभाव्यता वितरण के साथ है <ref>{{cite book|last=Riordan|first=John|authorlink=John Riordan (mathematician)|title=संयुक्त विश्लेषण का परिचय|year=1958|publisher=Dover|pages=30}}</ref>
 :<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \operatorname{E}\bigl[ X(X-1)(X-2)\cdots(X-r+1)\bigr],</math>
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 :<math>(x)_r := \underbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-r+1)}_{r \text{ factors}} \equiv \frac{x!}{(x-r)!}</math>
-स्खलन भाज्य है, जो नाम को जन्म देता है, यद्यपि संकेतन {{math|(''x'')<sub>''r''</sub>}} गणितीय क्षेत्र के आधार पर भिन्न होता है। {{efn| The [[Pochhammer symbol]] {{math|(''x'')<sub>''r''</sub>}} is used especially in the theory of [[special function]]s, to denote the [[falling factorial]] {{math|''x''(''x'' - 1)(''x'' - 2) ... (''x'' - ''r'' + 1)}};.<ref name="NIST:DLMF">{{cite book| title=NIST Digital Library of Mathematical Functions| url=http://dlmf.nist.gov/| accessdate=9 November 2013}}</ref> whereas the present notation is used more often in [[combinatorics]].}}  परिभाषा के लिए आवश्यक है कि अपेक्षा सार्थक हो, जो कि {{math|(''X'')<sub>''r''</sub> ≥ 0}} या {{math|E<nowiki>[|</nowiki>(''X'')<sub>''r''</sub><nowiki>|]</nowiki> < ∞}} स्थिति है .
+स्खलन भाज्य है, जो नाम को जन्म देता है, यद्यपि संकेतन {{math|(''x'')<sub>''r''</sub>}} गणितीय क्षेत्र के आधार पर भिन्न होता है। {{efn| The [[Pochhammer symbol]] {{math|(''x'')<sub>''r''</sub>}} is used especially in the theory of [[special function]]s, to denote the [[falling factorial]] {{math|''x''(''x'' - 1)(''x'' - 2) ... (''x'' - ''r'' + 1)}};.<ref name="NIST:DLMF">{{cite book| title=NIST Digital Library of Mathematical Functions| url=http://dlmf.nist.gov/| accessdate=9 November 2013}}</ref> whereas the present notation is used more often in [[combinatorics]].}} परिभाषा के लिए आवश्यक है कि अपेक्षा सार्थक हो, जो कि {{math|(''X'')<sub>''r''</sub> ≥ 0}} या {{math|E<nowiki>[|</nowiki>(''X'')<sub>''r''</sub><nowiki>|]</nowiki> < ∞}} स्थिति है .
 यदि {{math|X}}, {{math|n}} परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है और {{math|p<sub>r</sub>}} संभावना है कि {{math|n}} परीक्षणों में से कोई भी {{math|r}} सभी सफल हैं, <ref>P.V.Krishna Iyer. "A Theorem on Factorial Moments and its Applications". Annals of Mathematical Statistics Vol. 29 (1958). Pages 254-261.</ref>
 :<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)p_r</math>
-==उदाहरण                                                                                                                                                                                                                                   ==
+==उदाहरण                                                                                                                                                                                                                                          ==
 ===पॉइसन वितरण===
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 ===द्विपद बंटन===
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 :<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \binom{n}{r} p^r r! = (n)_r p^r,</math>
 जहां सम्मेलन द्वारा, <math>\textstyle{\binom{n}{r}} </math> और <math>(n)_r</math> यदि r > n हो तो शून्य समझा जाता है।
 ===हाइपरज्यामितीय वितरण===
-यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} में जनसंख्या आकार के साथ [[हाइपरज्यामितीय वितरण]] {{math|''N''}} है , सफलता की स्थिति की संख्या {{math|''K'' ∈ {0,...,''N''}}} जनसंख्या में, और खींचता {{math|''n'' ∈ {0,...,''N''}} है , फिर के तथ्यात्मक क्षण {{math|''X''}}  हैं <ref name="potts1953note"/>
+यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} में जनसंख्या आकार के साथ [[हाइपरज्यामितीय वितरण]] {{math|''N''}} है , सफलता की स्थिति की संख्या {{math|''K'' ∈ {0,...,''N''}}} जनसंख्या में, और खींचता {{math|''n'' ∈ {0,...,''N''}} है , फिर के तथ्यात्मक क्षण {{math|''X''}} हैं <ref name="potts1953note"/>
 :<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \frac{\binom{K}{r}\binom{n}{r}r!}{\binom{N}{r}} = \frac{(K)_r (n)_r}{(N)_r}. </math>
 ===बीटा-द्विपद बंटन===
-यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} में मापदंडों के साथ [[बीटा-द्विपद वितरण]]  {{math|''α'' > 0}}, {{math|''β'' > 0}} है, और परीक्षणों की संख्या {{math|''n''}}, फिर के तथ्यात्मक क्षण {{math|''X''}}  हैं
+यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} में मापदंडों के साथ [[बीटा-द्विपद वितरण]] {{math|''α'' > 0}}, {{math|''β'' > 0}} है, और परीक्षणों की संख्या {{math|''n''}}, फिर के तथ्यात्मक क्षण {{math|''X''}} हैं
 :<math>\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \binom{n}{r}\frac{B(\alpha+r,\beta)r!}{B(\alpha,\beta)} =
 (n)_r \frac{B(\alpha+r,\beta)}{B(\alpha,\beta)} </math>
 ==क्षणों की गणना==
 एक यादृच्छिक चर X का वां कच्चा क्षण सूत्र द्वारा इसके भाज्य क्षणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है
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 * [[फैक्टोरियल मोमेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन|भाज्य मोमेंट जनरेटिंग फलन]]
-==टिप्पणियाँ==
+==टिप्पणियाँ                                                                                                                                                                                       ==
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