सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण

सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण, अतिसूक्ष्म के संदर्भ में कलन का एक आधुनिक सुधार है। एफडब्ल्यू लॉवर के विचारों के आधार पर और श्रेणी सिद्धांत की विधियों को नियोजित करते हुए है, अतः यह सभी फलन (गणित) को सतत फलन के रूप में देखता है और असतत गणित इकाइयों के संदर्भ में व्यक्त होने में असमर्थ है। एक सिद्धांत के रूप में, यह अवास्तविक विभेदक ज्यामिति का एक उपसमूह है।

निलस्क्वेयर या निलपोटेंट अतिसूक्ष्म्स संख्याएं ε हैं जहां ε² = 0 सत्य है, परन्तु ε = 0 का एक ही समय में सत्य होना आवश्यक नहीं है।

अवलोकन

इस प्रकार से यह दृष्टिकोण बहिष्कृत मध्य के नियम को मना करते हुए पारंपरिक गणित में प्रयुक्त शास्त्रीय तर्क से हटकर है, उदाहरण के लिए, NOT (a ≠ b) का अर्थ a = b नहीं है। अतः विशेष रूप से, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण के सिद्धांत में कोई भी सभी अतिसूक्ष्मों के लिए ε, नहीं (ε ≠ 0) सिद्ध कर सकता है; फिर भी यह सिद्ध रूप से असत्य है कि सभी अतिसूक्ष्म शून्य के बराबर होते हैं। कोई यह देख सकता है कि बहिष्कृत मध्य का नियम निम्नलिखित मूल प्रमेय (पुनः, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण के सिद्धांत के संदर्भ में समझा गया) से मेल नहीं खा सकता है:

इस प्रकार से प्रत्येक फलन जिसका प्रांत 'R', वास्तविक संख्याएं है, सतत और सुचारू रूप से भिन्न होते है।

अतः इस तथ्य के अतिरिक्त, कोई भी x = 0 के लिए f(x) = 1, और x ≠ 0 के लिए f(x) = 0 निर्दिष्ट करके एक असंतत फलन f(x) को परिभाषित करने का प्रयास कर सकता है। यदि बहिष्कृत मध्य का नियम संघटित रहता है, तो यह एक पूर्णतः परिभाषित, असंतत फलन होगा। यद्यपि, बहुत सारे x हैं, अर्थात् अनंतिम, जैसे कि न तो x = 0 और न ही x ≠ 0 है, इसलिए फलन वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित नहीं है।

इस प्रकार से सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण के विशिष्ट मॉडल सिद्धांत में, अतिसूक्ष्म व्युत्क्रम नहीं होते हैं, और इसलिए सिद्धांत में अनंत संख्याएँ नहीं होती हैं। यद्यपि, ऐसे मॉडल भी हैं जिनमें व्युत्क्रम अतिसूक्ष्म पूर्ण रूप से सम्मिलित हैं।

अतः अन्य गणितीय प्रणालियाँ स्थित हैं जिनमें अमानक विश्लेषण और अतियथार्थवादी संख्याओं सहित अनंतसूक्ष्म सम्मिलित हैं। सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण इसे अभिनिर्धारित करने में अमानक विश्लेषण के जैसे है कि (1) इसका उद्देश्य गणितीय विश्लेषण के लिए आधार के रूप में कार्य करना है, और (2) अतिसूक्ष्म मात्राओं का ठोस आकार नहीं होता है (अतियथार्थियों के विपरीत, जिसमें एक विशिष्ट अतिसूक्ष्म 1/ω है, जहां ω एक वॉन न्यूमैन क्रमसूचक संख्या है)। यद्यपि, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण गैर-शास्त्रीय तर्क के उपयोग और स्थानांतरण सिद्धांत की कमी के कारण अमानक विश्लेषण से भिन्न होता है। इस प्रकार से मानक और अमानक विश्लेषण के कुछ प्रमेय सहज अनंतिम विश्लेषण में असत्य हैं, जिनमें मध्यवर्ती मान प्रमेय और बानाच-टार्स्की विरोधाभास सम्मिलित हैं। अतः अमानक विश्लेषण में कथनों को सीमा (गणित) के विषय में कथनों में अनुवादित किया जा सकता है, परन्तु सहज अनंतिम विश्लेषण में यह सदैव सत्य नहीं होता है।

इस प्रकार से सहज रूप से, सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण की व्याख्या एक ऐसे संसार का वर्णन करने के रूप में की जा सकती है जिसमें रेखाएँ बिन्दुओं से नहीं, यद्यपि अतिसूक्ष्म छोटे खंडों से बनी होती हैं। अतः इन खंडों को एक निश्चित दिशा के लिए पर्याप्त लंबा माना जा सकता है, परन्तु वक्रित होने के लिए पर्याप्त लंबा नहीं। इस प्रकार से असंतत फलनों का निर्माण विफल हो जाता है क्योंकि एक फलन की पहचान एक वक्र से की जाती है, और वक्र का निर्माण बिंदुवार नहीं किया जा सकता है। हम मध्यवर्ती मान प्रमेय की विफलता की कल्पना कर सकते हैं जो एक रेखा को घेरने की एक अतिसूक्ष्म खंड की क्षमता के परिणामस्वरूप हुई है। इसी प्रकार, बानाच-टार्स्की विरोधाभास विफल हो जाता है क्योंकि किसी आयतन को बिंदुओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

• श्रेणी सिद्धांत
• अमानक विश्लेषण
• अवास्तविक विभेदक ज्यामिति
• दोहरी संख्या

अग्रिम पठन

• John Lane Bell, Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF file)
• Ieke Moerdijk and Reyes, G.E., Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag, 1991.

बाहरी संबंध

• Michael O'Connor, An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis