दो-अवयव बूलियन बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 10:53, 13 July 2023

गणितऔरअमूर्त बीजगणित में,द्वि-तत्वीय बूलियन बीजगणित वह बूलियन बीजगणित है जिसकाअंतर्निहित समुच्चय (या यूनिवर्स या वाहक)B बूलियन डोमेन है।बूलियन डोमेन के तत्व सामान्यतः अनुशासनुसार 1और 0 होते हैं,इसलिए B = {0, 1} होता है।पॉल हाल्मोस के इस बीजगणित को "2" के नाम से कुछ पुस्तकों में उपयोग होता है,और यहां इसे इस्तेमाल किया जाएगा।

परिभाषा

B एक आंशिकआदेशित समूह है,और B के तत्व भी इसके सीमा हैं।

n की एक एरिटी संक्रिया Bⁿ से B तक की मैपिंग होती है।बूलियन बीजगणित में दो द्विआदिक आपरेशन और एक एकआदिक पूरक होता है। द्विआदिक आपरेशनों को विभिन्न तरीकों में नामकित और लिखित किया गया है।यहां उन्हें 'सम' और 'गुण' कहा जाता है,औरअनुक्रमिक रूप में '+' और '∙' द्वारा प्रतीत किया गया है।यदि सम और गुण की संयोजन और व्यवस्था की जाए, तो इसका मतलब होता है कि वे उचित तरीके से योग्यता देते हैं,जैसे वास्तविक संख्याओं के साधारित बीजगणित में होता है। ऑपरेशन की क्रम-व्यवस्था के बारे में, ब्रैकेट यदि मौजूद हैं तो वे निर्णायक होते हैं।अन्यथा '∙' '+' से पहले आता है।इसलिए A ∙ B + C को (A ∙ B) + C के रूप में और नहीं A ∙ (B + C) के रूप में पार्स किया जाता है।पूरकता को उसके स्वतंत्र चर पर एक ओवरबार लिखकर दर्शाया जाता है। $X$ के पूरक का संख्यात्मक तुल्यरूप $1 - X$ है।व्यापक बीजगणित की भाषा में,एक बूलियन बीजी बीजगणित, $\langle 2,2,1,0,0\rangle$ प्रकार की एक $\langle B,+,.,{\overline {..}},1,0\rangle$ बीजी बीजगणित है।

{0,1} और {सही,गलत} के बीच एक-एक संबंध से साधारित गणितिक तर्क सर्वभौमिक समीकरण रूप में प्राप्त होता है,जिसमें पूरक NOT के रूप में पढ़ा जाता है।यदि 1 को सही के रूप में पठाया जाए, '+' को OR के रूप में पठाया जाए, और '∙' को AND के रूप में पठाया जाए,और इसके विपरीत क्रम से यदि 1 को गलत के रूप में पठाया जाए। ये दो आपरेशन एक संयुक्त सेमीरिंग को परिभाषित करते हैं, जिसे बूलियन सेमीरिंग के रूप में जाना जाता है।

कुछ मूलभूत सर्वसमिकाएँ

2 को निम्नलिखित सरल "बूलियन" अंकगणित में मूलभूत रूप से स्थापित किया जा सकता है:

{\begin{aligned}&1+1=1+0=0+1=1\\&0+0=0\\&0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0\\&1\cdot 1=1\\&{\overline {1}}=0\\&{\overline {0}}=1\end{aligned}}

ध्यान दें कि:

'+' और '∙' संख्यात्मक अंकगणित के तरीके से सटीक रूप से काम करते हैं,केवल इस बात का अंतर है कि 1+1=1 है। '+' और '∙' को संख्यात्मक अंकगणित के अनुकरण से प्राप्त किया जाता है;केवल किसी भी शून्येतर संख्या को 1 मानें।
0 और 1, और '+' और '∙' को बदलकर सत्य को संरक्षित रखता है;यही बूलियन बीजी बहुपदों में परिपूर्ण द्वैधीता का मूल तत्व है।

यह बूलियन अंकगणित "2" सभी समीकरणों की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है,जिसमें अभिगृहीत किया जाता है कि हर संभावित समरूपण के लिए 0 और 1 को प्रत्येक चर को आवंटित किया जाता है (निर्णय प्रक्रिया देखें)।

अब निम्न समीकरणों की पुष्टि की जा सकती है:

{\begin{aligned}&A+A=A\\&A\cdot A=A\\&A+0=A\\&A+1=1\\&A\cdot 0=0\\&{\overline {\overline {A}}}=A\end{aligned}}

'+' और '∙' में प्रत्येक का वितरण होता है:

$\ A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C;$
$\ A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C).$

यह कि '∙' '+' पर वितरित होता है मूल बीजगणित के साथ सहमत है, लेकिन '+' '∙' पर वितरित नहीं होता है।इस और अन्य कारणों के लिए,उत्पादों का योग (NAND संश्लेषण के लिए) उत्पादों का गुण (NOR संश्लेषण के लिए) से अधिक उपयोग किया जाता है।

'+' और '∙' को एक दूसरे और पूरक के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है:

$A\cdot B={\overline {{\overline {A}}+{\overline {B}}}}$
$A+B={\overline {{\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}}.$

हमें केवल एक द्विआधारी परिचालन की आवश्यकता होती है,और उसे दर्शाने के लिए संयोजन पर्याप्त होता है।इसलिए,संयोजन और ओवरबार 2 को दर्शाने के लिए पर्याप्त होते हैं।यह नोटेशन भी क्वाइन के बूलियन टर्म स्कीमा का है।(X) को X का पूरक दर्शाने के लिए और "()" को 0 या 1 को दर्शाने के लिए इस्तेमाल करना,G.स्पेंसर-ब्राउन के "फॉर्म के नियम" की प्राथमिक बीजी बीजगणित की सिन्टैक्स देता है।

2 के लिए एकआधार सेट वह सेट एक समूह के समीकरणों का होता है,जिसे अभिगृहीत समीकरण कहा जाता है,जिनसे उपरोक्त सभी समीकरण (और अधिक) को प्राप्त किया जा सकता है।सभी बूलियन बीजी बहुपदों और इसलिए 2 के लिए कई ज्ञात आधार हैं।केवल संयोजन और ओवरबार का उपयोग करके नोटेशन किया जाने वाला एक सुंदर आधार है:

$\ ABC=BCA$ (संयोजन सम्मुख होता है, संयोजन संघटित होता है)
${\overline {A}}A=1$ (2 एक पूरकीत जाल है, जिसमें 1 एक ऊपरी सीमा है)
$\ A0=A$ (0 निचली सीमा है)
$A{\overline {AB}}=A{\overline {B}}$ (2 वितरणीय जाल है)

जहां संयोजन = OR,1 = सत्य,और 0 = असत्य,या संयोजन=AND,1 = असत्य,और 0 = सत्य।(दोनों मामलों में ओवरबार नकारात्मक है।)

यदि 0=1,(1)-(3) एबेलियन समूह के लिए अधिकृत नियमहैं।

(1) केवल साबित करता है कि संयोजन सम्मुख होता है और संयोजन संघटित होता है।पहले यह मानें कि (1) बाएं या दाएं से संघटित होता है, फिर सम्मुखता साबित करें।फिर दूसरे दिशा से सम्मुखता साबित करें। सम्मुखता सामरिकता केवल बाएं और दाएं से संघटित होने का संयोजन है।

यह आधार आसान प्रमाण के लिए एक सरल दृष्टिकोण प्रदान करता है,जिसे "गणना" कहा जाता है फॉर्म के नियम में,जो अभिप्रेत समीकरणों को 0 या 1 में सरलीकृत करके प्रगट करता है,(2)-(4) को उपयोग करके,और प्राथमिकताआईडेंटिटी $AA=A,{\overline {\overline {A}}}=A,1+A=1$ ,और वितरण का कानून प्रायोगिक करके।

अधिसिद्धांत

डी मॉर्गन का सिद्धांत कहता है कि यदि किसी बूलियन फ़ंक्शन पर निम्नलिखित क्रम में निम्न चरणों को अपनाया जाए:

प्रत्येक चर का पूरक लें;
'+' और '∙' आपरेशन को बदलें (संचालन के क्रम को सुनिश्चित करने के लिए ब्रैकेट जोड़ें);
परिणाम का पूरक लें,

परिणाम तार्किक रूप से उससे जो आपने शुरू किया था से समान है।एक फ़ंक्शन के भागों पर डी मॉर्गन के सिद्धांत का बार-बार लागू करके,सभी पूरकों को व्यक्तिगत चरों तक ले जाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

एक शक्तिशाली और गैर-सामान्य मेटाथियोरेम कहता है कि 2 का कोई भी पहचान सभी बूलियन बीजी बहुपदों के लिए सत्य होती है।^[1]उल्टे,किसी भी आपरिवर्तन रहित गैर-सामान्य बूलियन बीजी बहुपद के लिए सत्य होने वाली एक पहचान भी 2 में सत्य होती है।इसलिए, बूलियन बीजी बहुपदों की सभी पहचानें 2 द्वारा संवर्धित की जाती हैं।यह उपन्यास उपयोगी है क्योंकि 2 में कोई भी समीकरण एक निर्णय प्रक्रिया द्वारा सत्यापित की जा सकती है।तार्किकज्ञ इस तथ्य को "2 निर्णेय है" के रूप में संदर्भित करते हैं। सभी ज्ञात निर्णय प्रक्रियाएँ सत्यापित करने के लिए एक संख्या के चर N की एक गणितीय संख्या की संख्या चर में एक लघुपारीणामिक फ़ंक्शन होती है।क्या ऐसी एक निर्णय प्रक्रिया मौजूद है,जिसके स्टेप्स N की एक पोलिनोमियल फ़ंक्शन होती है,यह P=NP कल्पना के अन्तर्गत आता है।

उपरोक्त मेटाथियोरेम उस स्थिति में सही नहीं है,जब हम केवल परमाणुक धनात्मक समानताओं के स्वीकृति की अलावाऔरअधिक सामान्य प्रथम-क्रम तर्क सूत्रों की मान्यता को विचार करते हैं।एक उदाहरण के रूप में मान लें सूत्र $(x = 0) \lor (x = 1)$ ।सूत्र का द्वी-तत्वीय बूलियन बीजी बहुपद में हमेशा सत्य होता है।जबकि 4-तत्वीय बूलियन बीजी बहुपद में, जिसका डोमेन $\{0,1\}$ की पावरसेट है,यह सूत्र $(x = \emptyset) \lor (x = {0,1})$ को प्रतिष्ठित करता है और x के लिए $\{1\}$ पर गलत होता है।बूलियन बीजी बहुपदों की कई कक्षाओं के प्रथम-क्रम सिद्धांत के लिए निर्णययोग्यता दिखाई जा सकती है,प्रमाण-छंटन या छोटे मॉडल के गुण(जिनका डोमेन आमतौर पर सूत्र के आधार पर गणित और आमतौर पर 2 से अधिक होता है) का उपयोग करके।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Halmos, Paul; Givant, Steven (2009). बूलियन बीजगणित का परिचय. Undergraduate Texts in Mathematics. doi:10.1007/978-0-387-68436-9. ISBN 978-0-387-40293-2.

अग्रिम पठन

Many elementary texts on Boolean algebra were published in the early years of the computer era. Perhaps the best of the lot, and one still in print, is:

Mendelson, Elliot, 1970. Schaum's Outline of Boolean Algebra. McGraw–Hill.

The following items reveal how the two-element Boolean algebra is mathematically nontrivial.

Stanford Encyclopedia of Philosophy: "The Mathematics of Boolean Algebra," by J. Donald Monk.
Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

[1] Halmos, Paul; Givant, Steven (2009). बूलियन बीजगणित का परिचय. Undergraduate Texts in Mathematics. doi:10.1007/978-0-387-68436-9. ISBN 978-0-387-40293-2.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Boolean algebra}}
-गणित और [[अमूर्त बीजगणित|गूढ़ बीजगणित]] में, दो-अवयव बूलियन बीजगणित [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] है जिसका अंतर्निहित सेट(या यूनिवर्स या ''वाहक'')B [[बूलियन डोमेन]] है।चलन के अनुसार बूलियन डोमेन के तत्व 1 और 0 हैं,जिसके वजह से B= {0, 1}।इस बीजगणित "2" के लिए [[पॉल हेल्मोस|पॉल हल्मोस]] के नाम का साहित्य में कुछ अनुसरण किया जाता है,और इसे यहां नियोजित किया जाएगा।
+[[गणित]]और[[अमूर्त बीजगणित]] में,'''द्वि-तत्वीय बूलियन बीजगणित''' वह [[बूलियन बीजगणित]] है जिसका''अंतर्निहित समुच्चय'' (या [[सर्वनिष्ट|यूनिवर्स]] या ''वाहक'')B [[बूलियन डोमेन]] है।बूलियन डोमेन के तत्व सामान्यतः अनुशासनुसार 1और 0 होते हैं,इसलिए B = {0, 1} होता है।[[पॉल हाल्मोस]] के इस बीजगणित को "'''2'''" के नाम से कुछ पुस्तकों में उपयोग होता है,और यहां इसे इस्तेमाल किया जाएगा।
 ==परिभाषा==
-B एक अंशतः क्रमित सेट है और B के अवयव भी इसके परिबद्ध हैं।
+B एक आंशिकआदेशित समूह है,और B के तत्व भी इसके सीमा हैं।
-एरिटी ''n'' की एक [[ऑपरेशन|संक्रिया]] ''B''<sup>n</sup> से B तक एक प्रतिचित्रण है।बूलियन बीजगणित में दो [[द्विआधारी कार्य विधि|द्विआधारी संक्रियाएं]] और [[यूनरी ऑपरेशन|एकल पूरण]] होते हैं।द्विआधारी संक्रियाओं को विभिन्न तरीकों से नामित और नोट किया गया है। यहां उन्हें 'योग' और 'उत्पाद' कहा जाता है,और मध्यप्रत्यय द्वारा क्रमशः'+' और '∙' नोट किया जाता है।योग और उत्पाद बदलना और जोड़ना,जैसा कि वास्तविक संख्याओं के सामान्य बीजगणित में होता है।संक्रियाओं के क्रम के लिए,यदि उपस्थित हो तो कोष्ठक निर्णायक होते हैं।अन्यथा '∙','+' से पहले आता है।इस तरह (A ∙ B) + C की  {{math|''A'' ∙ ''B'' + ''C''}} के रूप में पद व्याख्या की गई और A ∙ (B + C) के रूप में नहीं।[[पूरण|पूरकता]] को उसके स्वतंत्र चर पर एक ओवरबार लिखकर दर्शाया जाता है।{{mvar|X}} के पूरक का संख्यात्मक तुल्यरूप {{math|1=1 &minus; ''X''}} है।[[व्यापक बीजगणित]] की भाषा में,एक बूलियन बीजगणित,<math>\langle 2,2,1,0,0\rangle</math>प्रकार की एक<math>\langle B,+,.,\overline{..},1,0\rangle</math>बीजगणित है एरिटी की [[बीजगणितीय संरचना]] {0,1} और {सही, गलत} के बीच एक-से-एक पत्राचार समीकरणात्मक रूप में शास्त्रीय [[द्विसंयोजक तर्क]] उत्पन्न करता है, पूरकता को [[तार्किक नहीं]] के रूप में पढ़ा जाता है। यदि 1 को सत्य के रूप में पढ़ा जाता है, तो '+' को तार्किक OR के रूप में पढ़ा जाता है, और '∙' को तार्किक AND के रूप में पढ़ा जाता है, और इसके विपरीत यदि 1 को गलत के रूप में पढ़ा जाता है। ये दो ऑपरेशन एक क्रमविनिमेय [[मोटी हो जाओ]] को परिभाषित करते हैं, जिसे [[बूलियन सेमीरिंग]] के रूप में जाना जाता है।
+''n'' की एक [[एरिटी]] [[ऑपरेशन|संक्रिया]] ''B''<sup>n</sup> से B तक की मैपिंग होती है।बूलियन बीजगणित में दो द्विआदिक आपरेशन और एक एकआदिक पूरक होता है। द्विआदिक आपरेशनों को विभिन्न तरीकों में नामकित और लिखित किया गया है।यहां उन्हें 'सम' और 'गुण' कहा जाता है,औरअनुक्रमिक रूप में '+' और '∙' द्वारा प्रतीत किया गया है।यदि सम और गुण की संयोजन और व्यवस्था की जाए, तो इसका मतलब होता है कि वे उचित तरीके से योग्यता देते हैं,जैसे वास्तविक संख्याओं के साधारित बीजगणित में होता है। ऑपरेशन की क्रम-व्यवस्था के बारे में, ब्रैकेट यदि मौजूद हैं तो वे निर्णायक होते हैं।अन्यथा '∙' '+' से पहले आता है।इसलिए A ∙ B + C को (A ∙ B) + C के रूप में और नहीं A ∙ (B + C) के रूप में पार्स किया जाता है।[[पूरण|पूरकता]] को उसके स्वतंत्र चर पर एक ओवरबार लिखकर दर्शाया जाता है।{{mvar|X}} के पूरक का संख्यात्मक तुल्यरूप {{math|1=1 &minus; ''X''}} है।[[व्यापक बीजगणित]] की भाषा में,एक बूलियन बीजी बीजगणित,<math>\langle 2,2,1,0,0\rangle</math>[[प्रकार]] की एक<math>\langle B,+,.,\overline{..},1,0\rangle</math>[[बीजी बीजगणित]] है।
+{0,1} और {सही,गलत} के बीच [[एक-एक संबंध]] से साधारित [[गणितिक तर्क]] सर्वभौमिक समीकरण रूप में प्राप्त होता है,जिसमें पूरक [[NOT]] के रूप में पढ़ा जाता है।यदि 1 को सही के रूप में पठाया जाए, '+' को [[OR]] के रूप में पठाया जाए, और '∙' को [[AND]] के रूप में पठाया जाए,और इसके विपरीत क्रम से यदि 1 को गलत के रूप में पठाया जाए। ये दो आपरेशन एक संयुक्त [[सेमीरिंग]] को परिभाषित करते हैं, जिसे [[बूलियन सेमीरिंग]] के रूप में जाना जाता है।
 ==कुछ मूलभूत सर्वसमिकाएँ==
-को निम्नलिखित साधारण बूलियन अंकगणित के आधार पर देखा जा सकता है:
+'''2''' को निम्नलिखित सरल "बूलियन" अंकगणित में मूलभूत रूप से स्थापित किया जा सकता है:
 :<math>
@@ Line 20: / Line 22: @@
 \end{align}
 </math>
-नोट करें कि:
+ध्यान दें कि:
-* '+' और '∙',1+1=1 के अलावा बिल्कुल संख्यात्मक अंकगणित की तरह काम करते हैं। '+' और '∙' संख्यात्मक अंकगणित से समतुल्यता द्वारा प्राप्त किए गए हैं;ऐसे हि किसी भी अशून्य संख्या को 1 पर निर्धारित करें।
+* '+' और '∙' संख्यात्मक अंकगणित के तरीके से सटीक रूप से काम करते हैं,केवल इस बात का अंतर है कि 1+1=1 है। '+' और '∙' को संख्यात्मक अंकगणित के अनुकरण से प्राप्त किया जाता है;केवल किसी भी शून्येतर संख्या को 1 मानें।
-* 0 और 1, और '+' और '∙' की अदला-बदली सत्य को सुरक्षित रखती है;यह सभी बूलियन बीजगणित में व्याप्त [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)|द्वैतता]] का सार है।
+* 0 और 1, और '+' और '∙' को बदलकर सत्य को संरक्षित रखता है;यही बूलियन बीजी बहुपदों में परिपूर्ण [[द्वैधीता]] का मूल तत्व है।
-यह बूलियन अंकगणित 2 के किसी भी समीकरण को,स्वयंसिद्ध सहित,प्रत्येक चर के लिए 0s और 1s के प्रत्येक संभावित निर्धारण की जांच से सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है([[निर्णय प्रक्रिया]] देखें)।
+यह बूलियन अंकगणित '''"2"''' सभी समीकरणों की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है,जिसमें अभिगृहीत किया जाता है कि हर संभावित समरूपण के लिए 0 और 1 को प्रत्येक चर को आवंटित किया जाता है ([[निर्णय प्रक्रिया]] देखें)।
-निम्नलिखित समीकरण अब सत्यापित किए जा सकते हैं:
+अब निम्न समीकरणों की पुष्टि की जा सकती है:
 :<math>
@@ Line 37: / Line 39: @@
 \end{align}
 </math>
-'+' और '∙' में से प्रत्येक का दूसरे पर वितरण:
+'+' और '∙' में प्रत्येक का [[वितरण]] होता है:
 *<math>\ A \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C;</math>
 *<math>\ A+(B \cdot C) = (A+B) \cdot (A+C).</math>
-वह '∙','+' पर वितरित होता है जो प्राथमिक बीजगणित से सहमत है,लेकिन '∙' पर '+' नहीं। इस और अन्य कारणों से,उत्पादों का योग ([[NAND]] संश्लेषण के लिए अग्रणी) साधारणतः योगों के उत्पाद ([[NOR]] संश्लेषण के लिए अग्रणी) की तुलना में अधिक नियोजित होता है।
+यह कि '∙' '+' पर वितरित होता है [[मूल बीजगणित]] के साथ सहमत है, लेकिन '+' '∙' पर वितरित नहीं होता है।इस और अन्य कारणों के लिए,उत्पादों का योग ([[NAND]] संश्लेषण के लिए) उत्पादों का गुण ([[NOR]] संश्लेषण के लिए) से अधिक उपयोग किया जाता है।
-'+' और '∙' में से प्रत्येक को दूसरे और पूरकता के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है:
+'+' और '∙' को एक दूसरे और पूरक के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है:
 * <math>A \cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}</math>
 * <math>A+B=\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}.</math>
-हमें केवल एक द्विआधारी संक्रिया की आवश्यकता है,और इसे दर्शाने के लिए संयोजन पर्याप्त है। इसलिए संयोजन और ओवरबार '''2''' को नोट करने के लिए पर्याप्त हैं। यह संकेतन [[विलार्ड वान ऑरमैन क्विन|क्विन]] के [[बूलियन शब्द स्कीमाटा]] का भी है।(''X'') को ''X'' के पूरक को निरूपित करने और ()" को 0 या 1 को निरूपित करने से जी.स्पेंसर-ब्राउन के फॉर्म के नियम के प्राथमिक बीजगणित का वाक्य-विन्यास प्राप्त होता है।
+हमें केवल एक द्विआधारी परिचालन की आवश्यकता होती है,और उसे दर्शाने के लिए [[संयोजन]] पर्याप्त होता है।इसलिए,संयोजन और ओवरबार '''2''' को दर्शाने के लिए पर्याप्त होते हैं।यह नोटेशन भी [[क्वाइन]] के [[बूलियन टर्म स्कीमा]] का है।(X) को X का पूरक दर्शाने के लिए और "()" को 0 या 1 को दर्शाने के लिए इस्तेमाल करना,[[G.स्पेंसर-ब्राउन]] के "[[फॉर्म के नियम]]" की प्राथमिक बीजी बीजगणित की सिन्टैक्स देता है।
-के लिए समीकरणों का सेट एक''आधारक'' है,जिसे [[स्वयंसिद्ध|अभिगृहीत]] कहा जाता है,जिससे उपरोक्त सभी समीकरण (और अधिक) प्राप्त किए जा सकते हैं।सभी बूलियन बीजगणित के लिए और इस कारण से 2 के लिए कई ज्ञात आधार हैं। केवल संयोजन और ओवरबार का उपयोग करके नोट किया गया एक सुंदर आधार है:
+'''2''' के लिए एक''आधार'' सेट वह सेट एक समूह के समीकरणों का होता है,जिसे [[अभिगृहीत]] समीकरण कहा जाता है,जिनसे उपरोक्त सभी समीकरण (और अधिक) को प्राप्त किया जा सकता है।सभी बूलियन बीजी बहुपदों और इसलिए '''2''' के लिए कई ज्ञात आधार हैं।केवल संयोजन और ओवरबार का उपयोग करके नोटेशन किया जाने वाला एक सुंदर आधार है:
-# <math>\ ABC = BCA</math> (संयोजन आवागमन,संगुणित होना)
+# <math>\ ABC = BCA</math>(संयोजन सम्मुख होता है, संयोजन संघटित होता है)
-# <math>\overline{A}A = 1</math> ('''2''' एक पूरित जाली है,1 के उपरिपरिबंध के साथ)
+# <math>\overline{A}A = 1</math> ('''2''' एक [[पूरकीत]] जाल है, जिसमें 1 एक [[ऊपरी सीमा]] है)
-#<math>\ A0 = A</math> (0 निम्न परिबंध है)।
+#<math>\ A0 = A</math> (0 [[निचली सीमा]] है)
-# <math>A\overline{AB} = A\overline{B}</math> ('''2''' एक [[वितरणात्मक जाली]] है)
+# <math>A\overline{AB} = A\overline{B}</math> ('''2''' [[वितरणीय जाल]] है)
-जहां संयोजन = OR,1 = सत्य,और 0 = असत्य,या संयोजन=AND,1 = असत्य,और 0 = सत्य। (ओवरबार दोनों ही मामलों में निषेध है।)
+जहां संयोजन = OR,1 = सत्य,और 0 = असत्य,या संयोजन=AND,1 = असत्य,और 0 = सत्य।(दोनों मामलों में ओवरबार नकारात्मक है।)
-यदि 0=1, (1)-(3) [[एबेलियन समूह]] के लिए अभिगृहीत हैं।
+यदि 0=1,(1)-(3) [[एबेलियन समूह]] के लिए अधिकृत नियमहैं।
-(1) केवल संयोजन आवागमन और संगुणित सिद्ध करने का काम करता है।पहले मान लें कि(1) बाएँ या दाएँ से संगुणित है,फिर क्रमविनिमेयता सिद्ध करें। फिर दूसरी दिशा से संबंध सिद्ध करें। संबद्धता केवल बाएँ और दाएँ संयुक्त रूप से जुड़ा होना है।
+(1) केवल साबित करता है कि संयोजन सम्मुख होता है और संयोजन संघटित होता है।पहले यह मानें कि (1) बाएं या दाएं से संघटित होता है, फिर सम्मुखता साबित करें।फिर दूसरे दिशा से सम्मुखता साबित करें। सम्मुखता सामरिकता केवल बाएं और दाएं से संघटित होने का संयोजन है।
-इस आधार पर सिद्ध के लिए एक आसान तरीका बनाता है, जिसे ''फॉर्म के नियम'' में "गणना" कहा जाता है,जो कि अभिगृहीतों (2)-(4) का उपयोग करके और प्रारंभिक सर्वसमिकाओं के व्यंजकों को  0 या 1 पर सरल करके <math>AA=A, \overline{\overline{A}}=A, 1+A = 1</math>,और वितरण नियम को आगे बढ़ाता है।
+यह आधार आसान प्रमाण के लिए एक सरल दृष्टिकोण प्रदान करता है,जिसे "गणना" कहा जाता है फॉर्म के नियम में,जो अभिप्रेत समीकरणों को 0 या 1 में सरलीकृत करके प्रगट करता है,(2)-(4) को उपयोग करके,और प्राथमिकताआईडेंटिटी<math>AA=A, \overline{\overline{A}}=A, 1+A = 1</math>,और वितरण का कानून प्रायोगिक करके।
 ==अधिसिद्धांत==
-डी मॉर्गन के प्रमेय कहता है कि यदि कोई किसी [[बूलियन फ़ंक्शन]] के लिए दिए गए क्रम में निम्नलिखित करता है:
+[[डी मॉर्गन का सिद्धांत]] कहता है कि यदि किसी [[बूलियन फ़ंक्शन]] पर निम्नलिखित क्रम में निम्न चरणों को अपनाया जाए:
-* प्रत्येक चर को पूरक करें;
+* प्रत्येक चर का पूरक लें;
-* '+' और '∙' संक्रियकोंं की अदला-बदली करें (संक्रियाओं का क्रम समान रहे को सुनिश्चित करने के लिए कोष्ठक जोड़ने का ध्यान रखें);
+* '+' और '∙' आपरेशन को बदलें (संचालन के क्रम को सुनिश्चित करने के लिए ब्रैकेट जोड़ें);
-*परिणाम को पूरक करें,
+*परिणाम का पूरक लें,
-परिणाम इस [[तार्किक तुल्यता|तर्क की दृष्टि से तुल्य]] है जो आपने शुरू किया।एक फ़ंक्शन के कुछ हिस्सों में डी मॉर्गन प्रमेय के पुनरावर्ती अनुप्रयोग का उपयोग सभी पूरकों को अलग-अलग चर तक ले जाने के लिए किया जा सकता है।
+परिणाम [[तार्किक रूप से]] उससे जो आपने शुरू किया था से [[समान]] है।एक फ़ंक्शन के भागों पर डी मॉर्गन के सिद्धांत का बार-बार लागू करके,सभी पूरकों को व्यक्तिगत चरों तक ले जाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
-एक शक्तिशाली और असाधारण [[रूपक सिद्धांत|अधिसिद्धांत]] कहता है कि '''2''' की कोई भी सर्वसमिका सभी बूलियन बीजगणित के लिए मान्य है।<ref>{{Cite book |doi = 10.1007/978-0-387-68436-9|title = बूलियन बीजगणित का परिचय|series = Undergraduate Texts in Mathematics|year = 2009|last1 = Halmos|first1 = Paul|last2 = Givant|first2 = Steven|isbn = 978-0-387-40293-2}}</ref>इसके विपरीत,एक सर्वसमिका जो एक यादृच्छिक असाधारण बूलियन बीजगणित के लिए होती है,वह '''2''' में भी होती है।इसलिए बूलियन बीजगणित की सभी पहचान '''2''' द्वारा अधिकृत की जाती हैं।यह प्रमेय उपयोगी है क्योंकि '''2''' में किसी भी समीकरण को निर्णय प्रक्रिया द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।तर्कशास्त्री इस तथ्य "'''2''' निर्धारणीय है" के रूप में संदर्भित करते हैं।सभी ज्ञात निर्णय प्रक्रियाओं के लिए कई चरणों की आवश्यकता होती है जो सत्यापित किए जाने वाले N चरों की संख्या के एक चरघातांकी फलन समीकरण में होती है।क्या कोई निर्णय प्रक्रिया मौजूद है जिसके चरण N के बहुपद फलन P = NP अनुमान के अंतर्गत आते है।
+एक शक्तिशाली और गैर-सामान्य [[मेटाथियोरेम]] कहता है कि '''2''' का कोई भी पहचान सभी बूलियन बीजी बहुपदों के लिए सत्य होती है।<ref>{{Cite book |doi = 10.1007/978-0-387-68436-9|title = बूलियन बीजगणित का परिचय|series = Undergraduate Texts in Mathematics|year = 2009|last1 = Halmos|first1 = Paul|last2 = Givant|first2 = Steven|isbn = 978-0-387-40293-2}}</ref>उल्टे,किसी भी आपरिवर्तन रहित गैर-सामान्य बूलियन बीजी बहुपद के लिए सत्य होने वाली एक पहचान भी '''2''' में सत्य होती है।इसलिए, बूलियन बीजी बहुपदों की सभी पहचानें '''2''' द्वारा संवर्धित की जाती हैं।यह उपन्यास उपयोगी है क्योंकि '''2''' में कोई भी समीकरण एक [[निर्णय प्रक्रिया]] द्वारा सत्यापित की जा सकती है।तार्किकज्ञ इस तथ्य को "'''2'''  निर्णेय है" के रूप में [[संदर्भित]] करते हैं। सभी ज्ञात [[निर्णय प्रक्रियाएँ]] सत्यापित करने के लिए एक संख्या के चर N की एक गणितीय संख्या की संख्या चर में एक [[लघुपारीणामिक फ़ंक्शन]] होती है।क्या ऐसी एक निर्णय प्रक्रिया मौजूद है,जिसके स्टेप्स N की एक [[पोलिनोमियल फ़ंक्शन]] होती है,यह [[P=NP]] कल्पना के अन्तर्गत आता है।
-उपरोक्त अधिसिद्धांत मान्य नहीं है यदि हम केवल परमाणु सकारात्मक समानताओं के बजाय अधिक सामान्य [[प्रथम-क्रम तर्क]] सूत्रों की वैधता पर विचार करते हैं।उदाहरण के तौर पर सूत्र  {{math|1=(''x'' = 0) ∨ (''x'' = 1)}} पर विचार करें।यह सूत्र दो-अवयव बूलियन बीजगणित में हमेशा सत्य होता है।चार-अवयव बूलियन बीजगणित में जिसका डोमेन घात समुच्चय {{tmath|\{0,1\} }} है, यह सूत्र  {{math|1=(''x'' = ∅) ∨ (''x'' = {{mset|0,1}})}} कथन से मेल खाता है और जब x {{tmath|\{1\} }}होता है पर असत्य होता है।[[बूलियन बीजगणित]] के कई वर्गों के [[प्रथम-क्रम सिद्धांत]] के लिए निर्णायकता को अभी भी परिमाणक उन्मूलन या छोटे मॉडल गुण धर्म(डोमेन आकार के साथ गणना सूत्र के एक फ़ंक्शन के रूप की जाती है और व्यापक रुप में 2 से बड़ा) का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।
+उपरोक्त मेटाथियोरेम उस स्थिति में सही नहीं है,जब हम केवल परमाणुक धनात्मक समानताओं के स्वीकृति की अलावाऔरअधिक सामान्य [[प्रथम-क्रम तर्क]] सूत्रों की मान्यता को विचार करते हैं।एक उदाहरण के रूप में मान लें सूत्र{{math|1=(''x'' = 0) ∨ (''x'' = 1)}}।सूत्र का द्वी-तत्वीय बूलियन बीजी बहुपद में हमेशा सत्य होता है।जबकि 4-तत्वीय बूलियन बीजी बहुपद में, जिसका डोमेन {{tmath|\{0,1\} }} की पावरसेट है,यह सूत्र{{math|1=(''x'' = ∅) ∨ (''x'' = {{mset|0,1}})}} को प्रतिष्ठित करता है और x के लिए{{tmath|\{1\} }}पर गलत होता है।[[बूलियन बीजी बहुपदों]] की कई कक्षाओं के [[प्रथम-क्रम सिद्धांत]] के लिए निर्णययोग्यता दिखाई जा सकती है,[[प्रमाण-छंटन]] या छोटे मॉडल के गुण(जिनका डोमेन आमतौर पर सूत्र के आधार पर गणित और आमतौर पर 2 से अधिक होता है) का उपयोग करके।
 <!--==Minterms and minimum two level forms==
 Any Boolean expression can be written as a series of [[minterm]]s added together-->
 ==यह भी देखें==
 *[[बूलियन बीजगणित]]
@@ Line 92: / Line 92: @@
 * [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: "[http://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/ The Mathematics of Boolean Algebra]," by J. Donald Monk.
 * Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]''  Springer-Verlag. {{isbn|3-540-90578-2}}.
-[[Category: प्राथमिक बीजगणित]] [[Category: बूलियन बीजगणित]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 25/06/2023]]
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+[[Category:प्राथमिक बीजगणित]]
+[[Category:बूलियन बीजगणित]]

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