क्रिया (भौतिकी): Difference between revisions

क्रिया
क्रिया
Si इकाई	जूल-सेकंड
अन्य इकाइयां	जूल-हेर्त्ज़

Latest revision as of 10:10, 1 November 2022

भौतिक विज्ञान में, क्रिया एक संख्यात्मक मान है जो किसी भौतिक प्रणाली में समय के साथ होने वाले बदलाव को दर्शाती है। चूंकि प्रणाली के गतिय समीकरण स्थिर क्रिया के सिद्धांत से प्राप्त किये जा सकते हैं इसलिए क्रिया उल्लेखनीय होती है।

किसी कण के निर्दिष्ट वेग के साथ चलने की सामान्य परिस्थिति में क्रिया का आंकलन करने के लिए, कण द्वारा तय की गयी दूरी एवं उसके संवेग के गुणज तथा कण की गतिज ऊर्जा के दुगना एवं उसके द्वारा इस ऊर्जा को धारण करने की समय अवधि के गुणज को, जबकि इस ऊर्जा को विचाराधीन समय की अवधि में जोड़ा गया हो, इसके पथ के साथ या समकक्ष रूप से जोड़ा जाता है। अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, ऐसी सभी भौतिक राशियों को एक साथ जोड़ा जाता है।

औपचारिक रूप से, क्रिया एक गणितीय फलन है जो प्रणाली के प्रक्षेप पथ, जिसे पथ या इतिहास भी कहा जाता है, को इसके तर्क के रूप में लेता है और इसका परिणाम एक वास्तविक संख्या के रूप में होता है। सामान्यतः, क्रिया का मान भिन्न-भिन्न

पथों के लिए अलग-अलग होता है। ^[1] ऊर्जा × समय या संवेग × लंबाई क्रिया के विमाएँ हैं, और इसकी SI (सिस्टम इंटरनेशनल डी यूनिट्स /अंतर्राष्ट्रीय इकाइयों की प्रणाली) मात्रक जूल-सेकंड (प्लांक स्थिरांक h की तरह) है। ^[2]

परिचय

हैमिल्टन का सिद्धांत कहता है कि किसी भी भौतिकी प्रणाली के गति के अवकल समीकरणों को उसके समकक्ष समाकलन समीकरण के रूप में पुनः सूत्रित किया जा सकता है। अतः गतिकीय नमूनों को सूत्रित करने के लिए दो भिन्न पद्धतियाँ उपलब्ध हैं।

यह सिद्धांत केवल एक कण के चिरसम्मत यांत्रिकी पर ही नहीं अपितु चिरसम्मत क्षेत्रों जैसे विद्युतचुम्बकीय तथा गुरुत्वीय क्षेत्रों पर भी लागू होता है। हैमिल्टन के सिद्धांत को प्रमात्रा यांत्रिकी तथा प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धांत तक भी विस्तारित किया गया है - विशेष रूप से प्रमात्रा यांत्रिकी का पथ समाकलन सूत्रीकरण इस अवधारणा का उपयोग करता है - जहाँ एक भौतिकी प्रणाली, अक्रमतः पूर्वक, संभव पथों में से किसी एक का अनुसरण करती है जबकि प्रत्येक पथ के लिए प्रायिकता आयाम की प्रावस्था (फ़ेज़) उस पथ की क्रिया द्वारा निर्धारित होती है।

अवकल समीकरण का हल

आनुभविक नियमों को प्रायः अवकल समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जाता है जो कि स्थिति तथा वेग जैसी भौतिक राशियों में समय, स्थान अथवा सामान्यीकरण के साथ होने वाले निरंतर परिवर्तन का विवरण देते हैं। स्थिति के लिए दिए गए आरंभिक एवं सीमान्त उपबंधों के साथ, इन आनुभविक समीकरणों का "हल" एक या एक से अधिक फलन होता है जो कि प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करते हैं और उन्हें गति के समीकरणों के नाम से जाना जाता है।

क्रिया समाकल का निम्‍नीकरण

क्रिया एक वैकल्पिक पद्धति का एक भाग है जिसके द्वारा ऐसे गति के समीकरणों को खोजै जाता है। चिरसम्मत यांत्रिकी यह अभिधारित करती है कि किसी भौतिकी प्रणाली द्वारा वास्तव में अनुसरित पथ वह होता है जिसमें क्रिया न्यूनतमीकृत होती है, या अधिक सामान्यतः से कहा जाये तो, स्थिर होती है। दुसरे शब्दों में, क्रिया एक विचरण सिद्धांत को संतुष्ट करती है: स्थिर क्रिया का सिद्धांत (नीचे भी देखें)। क्रिया एक समाकल द्वारा परिभाषित होती है, तथा किसी प्रणाली की गति के चिरसम्मत समीकरणों को समाकल के मान को न्यूनतमीकृत कर के प्राप्त किया जा सकता है।

यह सरल सिद्धांत भौतिकी में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, और आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

इतिहास

क्रिया की अवधारणा के विकास के दौरान इसे कई अप्रचलित तरीकों से परिभाषित किया गया था।^[3]

गॉटफ्रीड लाइबनिज़, जोहान बर्नौली और पियरे लुई मोपेर्टुइस ने प्रकाश के लिए क्रिया को इसकी गति के समाकल या पथ की दिशा में इसकी प्रतिलोमी गति के रूप में परिभाषित किया।
लियोनहार्ड यूलर (और, संभवतः, लाइबनिज़) ने एक भौतिक कण के लिए क्रिया को अंतरिक्ष में इसके पथ की दिशा में कण की गति के समाकल के रूप में परिभाषित किया।
पियरे लुई माउपर्टुइस ने एक ही लेख में कई तदर्थ एवं विरोधाभासी परिभाषाएँ प्रस्तुत कीं जिनमें क्रिया को स्थितिज ऊर्जा के रूप में, आभासी गतिज ऊर्जा के रूप में तथा संघटन की स्थिति में संवेग संरक्षण को सुनिश्चित करने वाले एक संकर के रूप में परिभाषित किया। ^[4]

गणितीय परिभाषा

विचरण कलन का उपयोग करके गणितीय भाषा में व्यक्त किया जाये तो, किसी भौतिकी प्रणाली का विकास (अर्थात वास्तव में प्रणाली किस प्रकार एक स्थिति से दूसरी स्थिति में विकसित होती है) क्रिया के एक स्थिर बिंदु (सामान्यतः न्यूनतम) से मेल खाता है।

भौतिक विज्ञान में "क्रिया" की कई विभिन्न परिभाषाएँ साधारण उपयोग में हैं। ^[5] ^[6] सामान्यतः क्रिया समय पर प्रसारित एक समाकल है। तथापि, जब क्रिया क्षेत्रों से संबंधित होती है तो इसे स्थानिक चरों पर भी समाकलित किया जा सकता है। कुछ मामलों में, क्रिया को भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किए गए पथ के साथ समाकलित किया जाता है।

क्रिया को सामान्यतः समय पर आधारित समाकल के रूप में दर्शाया जाता है जिसको प्रणाली के पथ के साथ उसके विस्तार के आरंभिक समय तथा अंतिम समय के मध्य लिया गया हो: ^[7]

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,$

जहां समाकलन L को लैग्रेंजियन कहा जाता है। क्रिया समाकल को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, प्रक्षेपवक्र को समय और स्थान में परिबद्ध किया जाना चाहिए।

क्रिया के परिमाप [ऊर्जा] × [समय] हैं, और इसकी एस. आई. (SI) इकाई जूल -सेकंड है, जो कोणीय संवेग की इकाई के समान है।

चिरसम्मत भौतिकी विज्ञान में क्रिया

चिरसम्मत भौतिकी विज्ञान में "क्रिया" शब्द के कई अर्थ हैं।

क्रिया (फलनात्मक)

सामान्यतः "क्रिया" शब्द का प्रयोग एक फलनात्मक ${\mathcal {S}}$ के लिए प्रयोग किया जाता है जो कि समय के फलन को एवं स्थान को (क्षेत्रों के लिए) आगत के रूप में लेता है तथा परिणाम एक अदिश के रूप में देता है। चिरसम्मत यांत्रिकी में, आगत फलन दो समय t ₁ और t ₂ के बीच प्रणाली का विकास q(t) होता है जहाँ q सामान्यीकृत निर्देशांक को दर्शाता है। क्रिया ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ को दो समयों के बीच आगत विकास के लिए लैग्रैन्जियन L के समाकल के रूप में परिभाषित किया जाता है:

${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,$

जहाँ विकास के अंतबिंदु स्थाई होते हैं और $\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})$ तथा $\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})$ के रूप में परिभाषित होते हैं। हैमिल्टन के सिद्धांत के अनुसार, वास्तविक विकास q_true(t) एक ऐसा विकास है जिसके लिए क्रिया ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ स्थिर है (एक न्यूनतम, अधिकतम, या एक पल्याण बिन्दु)। इस सिद्धांत का परिणाम लैग्रैंगियन यांत्रिकी में गति के समीकरणों के रूप में होता है।

संक्षिप्त क्रिया (कार्यात्मक)

यह भी एक फलनात्मक होता है तथा सामान्यतः ${\mathcal {S}}_{0}$ द्वारा दर्शाया जाता है के रूप में निरूपित किया जाता है। इसमें भौतिकी प्रणाली द्वारा अनुसरित पथ, जिसका समय के अनुसार इसका मानकीकरण नहीं किया जाता, आगत फलन होता है। उदाहरण के लिए, ग्रह की कक्षा का पथ एक दीर्घवृत्त होता है, तथा एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण का पथ एक परवलय तथा है; दोनों ही स्थितियों में, पथ इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कण कितनी तेजी से पथ को पार करता है। संक्षिप्त क्रिया ${\mathcal {S}}_{0}$ सामान्यीकृत निर्देशांकों में पथ के साथ सामान्यीकृत संवेग बलों के समाकल के रूप में परिभाषित होता है:

${\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int p_{i}\,dq_{i}.$

माउपर्टुइस के सिद्धांत के अनुसार, वास्तविक पथ वह पथ है होता जिसके लिए संक्षिप्त क्रिया ${\mathcal {S}}_{0}$ स्थिर होती है।

हैमिल्टन का प्रमुख फलन

हैमिल्टन का प्रमुख फलन $S=S(q,t;q_{0},t_{0})$ , प्रारंभिक समय $t_{0}$ तथा प्रारंभिक समापन बिंदु $q_{0}$ को निर्धारित करके एवं ऊपरी समय सीमा $t$ तथा दुसरे समापन बिंदु $q$ में परिवर्तन की अनुमति देते हुए, फलनात्मक क्रिया ${\mathcal {S}}$ से प्राप्त होता है। हैमिल्टन का प्रमुख फलन हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को संतुष्ट करता है, जो चिरसम्मत यांत्रिकी का एक सूत्रीकरण है। श्रोडिंगर समीकरण के साथ समानता के कारण हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्रमात्रा यांत्रिकी के साथ सबसे सीधी कड़ी प्रदान करता है।

हैमिल्टन का अभिलक्षणिक फलन

जब कुल ऊर्जा E संरक्षित हो जाती है, तो हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को चरों के योगात्मक पृथक्करण द्वारा हल किया जा सकता है:

$S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,$

जहाँ काल-निरपेक्ष फलन W ( q ₁, q ₂, ..., q _N ) को हैमिल्टन का अभिलक्षणिक फलन कहा जाता है। इस फलन के भौतिक महत्व को इसके कुल समय व्युत्पन्न लेने से समझा जाता है

${\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.$

इसे समाकलित करके निम्न समीकरण प्राप्त किया जा सकता है

$W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},$

जो कि संक्षिप्त क्रिया को दर्शाता है।

हैमिल्टन -जैकोबी समीकरणों के अन्य समाधान

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्रायः योगात्मक पृथक्करण द्वारा हल किए जाते हैं; कुछ परिस्थितियों में, समाधान के अलग-अलग पद, जैसे, S_k(q_k), को भी "क्रिया" कहा जाता है। ^[8]

एक सामान्यीकृत समन्वय की क्रिया

यह क्रिया-कोण निर्देशांक में एक एकल चर J_k है, जिसे चरण स्थान में एक बंद पथ के चारों ओर एकल सामान्यीकृत संवेग को समाकलित करके परिभाषित किया गया है, जो घूर्णन या दोलन गति के अनुरूप होता है:

$J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}$

चर J_k को सामान्यीकृत निर्देशांक q_k की "क्रिया" कहा जाता है; क्रिया-कोण निर्देशांकों के अधीन अधिक पूर्ण रूप से वर्णित कारणों के लिए, J_k से संबंधित विहित चर संयुग्म w_k इसका "कोण" है। समाकलन केवल एक चर q_k पर किया जाता है इसलिए उपरोक्त संक्षिप्त क्रिया में एकीकृत अदिश गुणनफल के विपरीत है। चर J_k,S_k(q_k) में किये गए परिवर्तन के बराबर होता है क्योंकि q_k बंद पथ के चारों ओर भिन्न-भिन्न होता है। कई रोचक भौतिक प्रणालियों के लिए, J_k या तो स्थिर होता है या अत्यधिक धीरे-धीरे बदलता है; इसलिए, चर J_k प्रायः क्षोभ गणना में और रुद्धोष्म निश्चर को निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

सन्दर्भ

↑ {{cite encyclopedia}}: Empty citation (help)
↑ {{cite encyclopedia}}: Empty citation (help)
↑ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
↑ Œuvres de Mr de Maupertuis (pre-1801 Imprint Collection at the Library of Congress).
↑ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
↑ Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)
↑ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
↑ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

स्रोत और आगे पढ़ना

एक एनोटेट ग्रंथ सूची के लिए, एडविन एफ। टेलर देखें जो सूची, अन्य बातों के अलावा, निम्नलिखित पुस्तकें

द कैम्ब्रिज हैंडबुक ऑफ फिजिक्स फॉर्मूला , जी। वान, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2।
कॉर्नेलियस लैंज़ोस , मैकेनिक्स के परिवर्तनशील सिद्धांत (डोवर प्रकाशन, न्यूयॉर्क, 1986)। ISBN 0-486-65067-7। संदर्भ उन सभी को उद्धृत करता है जो इस क्षेत्र का पता लगाते हैं।
L. D. Landau और E. M. Lifshitz , मैकेनिक्स, कोर्स ऑफ़ थॉरेटरेटिकल फिजिक्स (बटरवर्थ-हेनेनन, 1976), 3 एड।, वॉल्यूम।1। ISBN 0-7506-2896-0।कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के साथ शुरू होता है।
मैकमिलन एनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिजिक्स (साइमन एंड शूस्टर मैकमिलन, 1996), वॉल्यूम 2 में थॉमस ए। ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, पृष्ठ 840–842।
गेराल्ड जे सुसमैन और जैक विजडम , संरचना और शास्त्रीय यांत्रिकी की संरचना और व्याख्या (MIT प्रेस, 2001)।कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के साथ शुरू होता है, आधुनिक गणितीय संकेतन का उपयोग करता है, और कंप्यूटर भाषा में प्रोग्रामिंग करके प्रक्रियाओं की स्पष्टता और स्थिरता की जांच करता है।
डेयर ए। वेल्स, लैग्रैन्जियन डायनेमिक्स, शाउम की रूपरेखा श्रृंखला (मैकग्रा-हिल, 1967) ISBN 0-07-069258-0, विषय की 350-पृष्ठ व्यापक रूपरेखा।
रॉबर्ट वेनस्टॉक, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए अनुप्रयोगों के साथ, भिन्नता का पथरी (डोवर प्रकाशन, 1974)। ISBN 0-486-63069-2।एक पुरानी लेकिन गुडी, औपचारिकता के साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग में उपयोग से पहले ध्यान से परिभाषित किया गया।
वोल्फगैंग Yourgrau और STANLEY MANDELSTAM , [https://books.google.com/books/about/variational_principles_in_dynamics_and_and_q.html?id=owtyrjjxzbyc warational सिद्धांतों (1979)एक अच्छा उपचार जो सिद्धांत के दार्शनिक निहितार्थ से बचता नहीं है और क्वांटम यांत्रिकी के फेनमैन उपचार की प्रशंसा करता है जो बड़े द्रव्यमान की सीमा में कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को कम करता है।
एडविन एफ। टेलर का पृष्ठ

बाहरी लिंक्स

Principle of least action interactive Interactive explanation/webpage

]

[mcgraw12-1] {{cite encyclopedia}}: Empty citation (help)

[2] {{cite encyclopedia}}: Empty citation (help)

[handfinch2-3] Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[4] Œuvres de Mr de Maupertuis (pre-1801 Imprint Collection at the Library of Congress).

[handfinch3-5] Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[6] Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)

[handfinch4-7] Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[handfinch5-8] Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

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 {{Short description|Physical quantity of dimension energy × time}}
 {{Infobox physical quantity
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- |  संरक्षित =
- |  व्युत्पन्न =
-}}भौतिक विज्ञान में, '''क्रिया''' एक संख्यात्मक मान है जो किसी भौतिक प्रणाली में समय के साथ होने वाले बदलाव को दर्शाती है। चूंकि प्रणाली के गतिय समीकरण स्थिर क्रिया के सिद्धांत से प्राप्त किये जा सकते हैं इसलिए क्रिया उल्लेखनीय होती है।
-एक कण के निर्दिष्ट वेग के साथ चलने की सामान्य परिस्थिति में क्रिया का आंकलन करने के लिए, कण द्वारा तय की गयी दूरी एवं उसके संवेग के गुणज तथा कण की गतिज ऊर्जा के दुगना एवं उसके द्वारा इस ऊर्जा को धारण करने की समय अवधि के गुणज को, जबकि इस ऊर्जा को विचाराधीन समय की अवधि में जोड़ा गया हो, इसके पथ के साथ या समकक्ष रूप से जोड़ा जाता है। अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, ऐसी सभी भौतिक राशियों को एक साथ जोड़ा जाता है।
+किसी कण के निर्दिष्ट वेग के साथ चलने की सामान्य परिस्थिति में क्रिया का आंकलन करने के लिए, कण द्वारा तय की गयी दूरी एवं उसके संवेग के गुणज तथा कण की गतिज ऊर्जा के दुगना एवं उसके द्वारा इस ऊर्जा को धारण करने की समय अवधि के गुणज को, जबकि इस ऊर्जा को विचाराधीन समय की अवधि में जोड़ा गया हो, इसके पथ के साथ या समकक्ष रूप से जोड़ा जाता है। अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, ऐसी सभी भौतिक राशियों को एक साथ जोड़ा जाता है।
 औपचारिक रूप से, क्रिया एक गणितीय फलन है जो प्रणाली के प्रक्षेप पथ, जिसे ''पथ'' या ''इतिहास'' भी कहा जाता है, को इसके तर्क के रूप में लेता है और इसका परिणाम एक वास्तविक संख्या के रूप में होता है। सामान्यतः, क्रिया का मान भिन्न-भिन्न
-पथों के लिए अलग-अलग होता है। <ref name="mcgraw12">{{Cite encyclopedia}}</ref> ऊर्जा × समय या संवेग × लंबाई क्रिया के विमाएँ हैं, और इसकी SI (''सिस्टम इंटरनेशनल डी यूनिट्स या अंतर्राष्ट्रीय इकाइयों की प्रणाली'') मात्रक जूल-सेकंड (प्लांक स्थिरांक ''h'' की तरह) है। <ref>{{Cite encyclopedia}}</ref>
+पथों के लिए अलग-अलग होता है। <ref name="mcgraw12">{{Cite encyclopedia}}</ref> ऊर्जा × समय या संवेग × लंबाई क्रिया के विमाएँ हैं, और इसकी SI (''सिस्टम इंटरनेशनल डी यूनिट्स /अंतर्राष्ट्रीय इकाइयों की प्रणाली'') मात्रक जूल-सेकंड (प्लांक स्थिरांक ''h'' की तरह) है। <ref>{{Cite encyclopedia}}</ref>
 == परिचय ==
-[[:hi:हैमिल्टन का सिद्धान्त|हैमिल्टन के सिद्धांत]] में कहा गया है कि ''किसी भी'' भौतिक प्रणाली के लिए गति के अंतर समीकरणों को एक समान [[:hi:अभिन्न समीकरण|अभिन्न समीकरण]] के रूप में फिर से तैयार किया जा सकता है। इस प्रकार, गतिशील मॉडल तैयार करने के लिए दो अलग-अलग दृष्टिकोण हैं।
+हैमिल्टन का सिद्धांत कहता है कि ''किसी भी'' भौतिकी प्रणाली के गति के अवकल समीकरणों को उसके समकक्ष समाकलन समीकरण के रूप में पुनः सूत्रित किया जा सकता है। अतः गतिकीय नमूनों को सूत्रित करने के लिए दो भिन्न पद्धतियाँ उपलब्ध हैं।
-यह न केवल एक कण के [[:hi:चिरसम्मत यांत्रिकी|शास्त्रीय यांत्रिकी (classical mechanics)]] पर लागू होता है, बल्कि [[:hi:शास्त्रीय क्षेत्र|शास्त्रीय क्षेत्रों]] जैसे [[:hi:विद्युत्चुम्बकत्व|विद्युत चुम्बकीय]] और [[:hi:गुरुत्वाकर्षण|गुरुत्वाकर्षण]] [[:hi:फील्ड (भौतिकी)|क्षेत्रों]] पर भी लागू होता है। हैमिल्टन के सिद्धांत को [[:hi:प्रमात्रा यान्त्रिकी|क्वांटम यांत्रिकी]] (quantum mechanics) और [[:hi:प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त|क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] तक भी विस्तारित किया गया है - विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी का [[:hi:पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] अवधारणा का उपयोग करता है - जहां एक भौतिक प्रणाली बेतरतीब ढंग से प्रत्येक पथ के लिए ,पथ की कार्रवाई द्वारा निर्धारित संभाव्यता आयाम के चरण के साथ संभावित पथों में से एक का अनुसरण करती है।
+यह सिद्धांत केवल एक कण के चिरसम्मत यांत्रिकी पर ही नहीं अपितु चिरसम्मत क्षेत्रों जैसे विद्युतचुम्बकीय तथा गुरुत्वीय क्षेत्रों पर भी लागू होता है। हैमिल्टन के सिद्धांत को प्रमात्रा यांत्रिकी तथा प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धांत तक भी विस्तारित किया गया है - विशेष रूप से प्रमात्रा यांत्रिकी का पथ समाकलन सूत्रीकरण इस अवधारणा का उपयोग करता है - जहाँ एक भौतिकी प्रणाली, अक्रमतः पूर्वक, संभव पथों में से किसी एक का अनुसरण करती है जबकि प्रत्येक पथ के लिए प्रायिकता आयाम की प्रावस्था (फ़ेज़) उस पथ की क्रिया द्वारा निर्धारित होती है।
-=== विभेदी समीकरण का हल ===
+=== अवकल समीकरण का हल ===
-अनुभवजन्य नियम (Empirical laws) को अक्सर [[:hi:अवकल समीकरण|अंतर समीकरणों]] (differential equations) के रूप में व्यक्त किया जाता है,और यह, [[:hi:अवकल समीकरण|अंतर समीकरणों]] वर्णन करते हैं कि कैसे भौतिक राशि जैसे [[:hi:स्थिति सदिश|स्थिति]] और [[:hi:संवेग (भौतिकी)|गति]] [[:hi:भौतिकी में समय|समय]], [[:hi:दिक्|स्थान]] या उसके सामान्यीकरण के साथ  के साथ [[:hi:सतत फलन|लगातार]] बदलती रहती है। ''[[:hi:गति के समीकरण|गति के समीकरण]]''  सिस्टम के व्यवहार का वर्णन करते हैं,  जो वर्णन करते हैं कि स्थिति के लिए [[:hi:प्रारंभिक मूल्य समस्या|प्रारंभिक]] और [[:hi:सीमा मूल्य समस्या|सीमा]] स्थितियों को देखते हुए, इन अनुभवजन्य समीकरणों का "समाधान" एक या अधिक [[:hi:फलन|कार्य]] हैं।
+आनुभविक नियमों को प्रायः अवकल समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जाता है जो कि स्थिति तथा वेग जैसी भौतिक राशियों में समय, स्थान अथवा सामान्यीकरण के साथ होने वाले निरंतर परिवर्तन का विवरण देते हैं। स्थिति के लिए दिए गए आरंभिक एवं सीमान्त उपबंधों के साथ, इन आनुभविक समीकरणों का "हल" एक या एक से अधिक फलन होता है जो कि प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करते हैं और उन्हें ''गति के समीकरणों'' के नाम से जाना जाता है।
 === क्रिया समाकल का निम्‍नीकरण ===
-''क्रिया'' एक वैकल्पिक दृष्टिकोण का हिस्सा है जो गति के ऐसे समीकरणों की खोज करता है। शास्त्रीय यांत्रिकी अर्थात classical mechanics  यह मानता है कि वास्तव में एक भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किया जाने वाला मार्ग वह है जिसके लिए ''क्रिया को कम से कम'' किया जाता है, या सामान्य रूप सेअधिक, या [[:hi:स्थिर बिंदु|स्थिर]]। दूसरे शब्दों में, क्रिया एक [[:hi:विचरण-कलन|परिवर्तनशील]] सिद्धांत को संतुष्ट करती है: [[:hi:स्थिर क्रिया का सिद्धांत|स्थिर क्रिया का सिद्धांत]] (नीचे भी देखें)। क्रिया को एक [[:hi:समाकलन|अभिन्न]] ( integral) द्वारा परिभाषित किया गया है, और एक प्रणाली की गति के शास्त्रीय समीकरणों(the classical equations of motion of a system) को उस अभिन्न के मूल्य को कम करके प्राप्त किया जा सकता है।
+''क्रिया'' एक वैकल्पिक पद्धति का एक भाग है जिसके द्वारा ऐसे गति के समीकरणों को खोजै जाता है। चिरसम्मत यांत्रिकी यह अभिधारित करती है कि किसी भौतिकी प्रणाली द्वारा वास्तव में अनुसरित पथ वह होता है जिसमें ''क्रिया न्यूनतमीकृत'' होती है, या अधिक सामान्यतः से कहा जाये तो, स्थिर होती है। दुसरे शब्दों में, क्रिया एक विचरण सिद्धांत को संतुष्ट करती है: स्थिर क्रिया का सिद्धांत (नीचे भी देखें)। क्रिया एक समाकल द्वारा परिभाषित होती है, तथा किसी प्रणाली की गति के चिरसम्मत समीकरणों को समाकल के मान को न्यूनतमीकृत कर के प्राप्त किया जा सकता है।
-यह सरल सिद्धांत भौतिकी में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, और आधुनिक [[:hi:सैद्धान्तिक भौतिकी|सैद्धांतिक भौतिकी]] में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।
+यह सरल सिद्धांत भौतिकी में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, और आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।
 == इतिहास ==
-'' अवधारणा के विकास के दौरान क्रिया को अब कई अप्रचलित तरीकों से परिभाषित किया गया था।<ref name="handfinch2">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref>''
+''क्रिया की अवधारणा के विकास के दौरान इसे कई अप्रचलित तरीकों से परिभाषित किया गया था।<ref name="handfinch2">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref>''
-* [[:hi:गाटफ्रीड लैबनिट्ज़|गॉटफ्रीड लाइबनिज़]], [[:hi:जोहान बर्नौली|जोहान बर्नौली]] और [[:hi:पियरे लुई मौपर्टुइस|पियरे लुई मौपर्टुइस]] ने प्रकाश के लिए कार्रवाई को इसकी गति या इसके पथ की लंबाई के साथ उलटा गति के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया।
+* गॉटफ्रीड लाइबनिज़, जोहान बर्नौली और पियरे लुई मोपेर्टुइस ने प्रकाश के लिए क्रिया को इसकी गति के समाकल या पथ की दिशा में इसकी प्रतिलोमी गति के रूप में परिभाषित किया।
-* [[:hi:लियोनार्ड ओइलर|लियोनहार्ड यूलर]] (और, संभवतः, लाइबनिज़) ने एक भौतिक कण के लिए कार्रवाई को अंतरिक्ष के माध्यम से अपने पथ के साथ कण की गति के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया।
+* लियोनहार्ड यूलर (और, संभवतः, लाइबनिज़) ने एक भौतिक कण के लिए क्रिया को अंतरिक्ष में इसके पथ की दिशा में कण की गति के समाकल के रूप में परिभाषित किया।
-* [[:hi:पियरे लुई मौपर्टुइस|पियरे लुई माउपर्टुइस]] ने एक [[s:Translation:Derivation of the laws of motion and equilibrium from a metaphysical principle|लेख]] के भीतर कार्रवाई की कई ''तदर्थ'' और विरोधाभासी परिभाषाएं पेश कीं, जो संभावित ऊर्जा के रूप में, आभासी गतिज ऊर्जा के रूप में और एक संकर के रूप में परिभाषित करती हैं, जो टकराव में गति के संरक्षण को सुनिश्चित करती हैं। <ref>''Œuvres de Mr de Maupertuis'' (pre-1801 Imprint Collection at the [[Library of Congress]]).</ref>
+* पियरे लुई माउपर्टुइस ने एक ही लेख में कई ''तदर्थ'' एवं विरोधाभासी परिभाषाएँ प्रस्तुत कीं जिनमें क्रिया को स्थितिज ऊर्जा के रूप में, आभासी गतिज ऊर्जा के रूप में तथा संघटन की स्थिति में संवेग संरक्षण को सुनिश्चित करने वाले एक संकर के रूप में परिभाषित किया। <ref>''Œuvres de Mr de Maupertuis'' (pre-1801 Imprint Collection at the [[Library of Congress]]).</ref>
 == गणितीय परिभाषा ==
-[[:hi:विचरण-कलन|विविधताओं के कलन का]] उपयोग करते हुए, एक भौतिक प्रणाली का [[:hi:समय विकास|विकास]] (यानी, प्रणाली वास्तव में एक राज्य से दूसरे राज्य में कैसे आगे बढ़ती है) गणितीय भाषा में व्यक्त,  कार्रवाई के एक [[:hi:स्थिर बिंदु|स्थिर बिंदु]] (आमतौर पर, न्यूनतम) से मेल खाती है।
+विचरण कलन  का उपयोग करके गणितीय भाषा में व्यक्त किया जाये तो, किसी भौतिकी प्रणाली का विकास (अर्थात वास्तव में प्रणाली किस प्रकार एक स्थिति से दूसरी स्थिति में विकसित होती है) क्रिया के एक स्थिर बिंदु (सामान्यतः न्यूनतम) से मेल खाता है।
-सामान्यतः भौतिकी में "कार्रवाई" की कई अलग-अलग परिभाषाएं दी गयी हैं। <ref name="handfinch3">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref> <ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), [[रीटा जी. लर्नर|R.G. Lerner]], G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, {{ISBN|3-527-26954-1}} (Verlagsgesellschaft), {{ISBN|0-89573-752-3}} (VHC Inc.)</ref> कार्रवाई आमतौर पर समय के साथ एक [[:hi:समाकलन|अभिन्न अंग]] है। हालाँकि, जब कार्रवाई [[:hi:फील्ड (भौतिकी)|फ़ील्ड]] से संबंधित होती है, तो इसे स्थानिक चरों पर भी एकीकृत किया जा सकता है। कुछ मामलों में, क्रिया को भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किए गए पथ के साथ एकीकृत किया जाता है।
+भौतिक विज्ञान में "क्रिया" की कई विभिन्न परिभाषाएँ साधारण उपयोग में हैं। <ref name="handfinch3">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref> <ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), [[रीटा जी. लर्नर|R.G. Lerner]], G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, {{ISBN|3-527-26954-1}} (Verlagsgesellschaft), {{ISBN|0-89573-752-3}} (VHC Inc.)</ref> सामान्यतः क्रिया समय पर प्रसारित एक समाकल है। तथापि, जब क्रिया क्षेत्रों से संबंधित होती है तो इसे स्थानिक चरों पर भी समाकलित किया जा सकता है। कुछ मामलों में, क्रिया को भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किए गए पथ के साथ समाकलित किया जाता है।
-क्रिया को आम तौर पर समय के साथ एक सिस्टम के प्रारंभिक समय और सिस्टम के विकास के अंतिम समय के बीच सिस्टम के पथ के [[:hi:समाकलन|अभिन्न]] के रूप में दर्शाया जाता है: <ref name="handfinch4">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref>
+क्रिया को सामान्यतः समय पर आधारित समाकल के रूप में दर्शाया जाता है जिसको प्रणाली के पथ के साथ उसके विस्तार के आरंभिक समय तथा अंतिम समय के मध्य लिया गया हो: <ref name="handfinch4">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref>
 <math>\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt,</math>
-जहां समाकलन ''L'' को [[:hi:लाग्रांजीय यांत्रिकी|लैग्रेंजियन]] कहा जाता है। क्रिया अभिन्न को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, प्रक्षेपवक्र को समय और स्थान में बांधा जाना चाहिए।
+जहां समाकलन ''L'' को लैग्रेंजियन कहा जाता है। क्रिया समाकल को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, प्रक्षेपवक्र को समय और स्थान में परिबद्ध किया जाना चाहिए।
-क्रिया के [[:hi:विमीय विश्लेषण|आयाम]] हैं [[:hi:ऊर्जा|[ऊर्जा]]]&nbsp;×&nbsp;[[:hi:समय|[समय]]], और इसकी [[:hi:अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली|SI इकाई]] [[:hi:जूल (इकाई)|जूल]] -सेकंड है, जो [[:hi:कोणीय संवेग|कोणीय गति]] की इकाई के समान है।
+क्रिया के परिमाप [ऊर्जा]&nbsp;×&nbsp;[समय] हैं, और इसकी एस. आई. (SI) इकाई जूल -सेकंड है, जो कोणीय संवेग की इकाई के समान है।
-== चिरसम्मत भौतिकी में क्रिया ==
+== चिरसम्मत भौतिकी विज्ञान में क्रिया ==
-[[:hi:चिरसम्मत भौतिकी|चिरसम्मत भौतिकी]] में, "क्रिया" शब्द के कई अर्थ हैं।
+चिरसम्मत भौतिकी विज्ञान में "क्रिया" शब्द के कई अर्थ हैं।
-=== क्रिया (कार्यात्मक) ===
+=== क्रिया (फलनात्मक) ===
-आमतौर पर शब्द का प्रयोग [[:hi:कार्यात्मक (गणित)|कार्यात्मक]] के लिए किया जाता है <math>\mathcal{S}</math> जो इनपुट के रूप में समय और ( [[:hi:फील्ड (भौतिकी)|फ़ील्ड]] के लिए) स्थान का [[:hi:फलन|कार्य]] लेता है और एक [[:hi:अदिश राशि|अदिश]] देता है। <ref name="penrose2">The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, {{ISBN|0-679-77631-1}}</ref> <ref name="kibble2">T. W. B. Kibble, ''Classical Mechanics'', European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, {{ISBN|0-07-084018-0}}</ref> [[:hi:चिरसम्मत यांत्रिकी|शास्त्रीय यांत्रिकी]] (classical mechanics) में, इनपुट फ़ंक्शन दो बार ''t'' <sub>1</sub> और ''t'' <sub>2</sub> के बीच सिस्टम का विकास '''q''' ( ''t'' ) है, जहां '''q''' [[:hi:सामान्यीकृत समन्वय|सामान्यीकृत निर्देशांक]] (generalized coordinates) का प्रतिनिधित्व करता है। कार्य <math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]</math> दो समय के बीच एक इनपुट विकास के लिए [[:hi:लाग्रांजीय यांत्रिकी|लैग्रैन्जियन]] ''एल'' के [[:hi:समाकलन|अभिन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:
+सामान्यतः "क्रिया" शब्द का प्रयोग एक फलनात्मक <math>\mathcal{S}</math> के लिए प्रयोग किया जाता है जो कि समय के फलन को एवं स्थान को (क्षेत्रों के लिए) आगत के रूप में लेता है तथा परिणाम एक अदिश के रूप में देता है। चिरसम्मत यांत्रिकी में, आगत फलन दो समय ''t'' <sub>1</sub> और ''t'' <sub>2</sub> के बीच प्रणाली का विकास '''q'''(''t'') होता है जहाँ '''q''' सामान्यीकृत निर्देशांक को दर्शाता है। क्रिया <math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]</math> को दो समयों के बीच आगत विकास के लिए ''लैग्रैन्जियन'' L के समाकल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
 <math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t)\, dt,</math>
-जहां विकास के अंतिम बिंदु तय होते हैं और  <math>\mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1})</math> और <math>\mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2})</math> के रूप में परिभाषित होते हैं। [[:hi:हैमिल्टन का सिद्धान्त|हैमिल्टन के सिद्धांत के]] अनुसार, वास्तविक विकास '''q''' <sub>सत्य</sub> ( ''t'' ) या '''q'''<sub>true</sub>(''t'') एक विकास है जिसके लिए क्रिया <math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]</math> [[:hi:स्थिर बिंदु|स्थिर]] है (एक न्यूनतम, अधिकतम, या एक [[:hi:लादने की सीमा|सैडल बिंदु]] )। इस सिद्धांत का परिणाम [[:hi:लाग्रांजीय यांत्रिकी|लैग्रैंगियन यांत्रिकी]] (Lagrangian mechanics) में गति के समीकरणों में होता है।
+जहाँ विकास के अंतबिंदु स्थाई होते हैं और <math>\mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1})</math> तथा <math>\mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2})</math> के रूप में परिभाषित होते हैं। हैमिल्टन के सिद्धांत के अनुसार, वास्तविक विकास '''q'''<sub>true</sub>(''t'') एक ऐसा विकास है जिसके लिए क्रिया <math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]</math> स्थिर है (एक न्यूनतम, अधिकतम, या एक पल्याण बिन्दु)। इस सिद्धांत का परिणाम लैग्रैंगियन यांत्रिकी में गति के समीकरणों के रूप में होता है।
 === संक्षिप्त क्रिया (कार्यात्मक) ===
-<math>\mathcal{S}_{0}</math>, एक [[:hi:कार्यात्मक (गणित)|कार्यात्मक]] के रूप में निरूपित किया जाता है। यहां इनपुट फ़ंक्शन समय के साथ इसके पैरामीटरकरण के संबंध में भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किया जाने वाला ''पथ'' है। उदाहरण के लिए, ग्रह की कक्षा का पथ एक दीर्घवृत्त है, और एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण का पथ एक परवलय है; दोनों ही मामलों में, पथ इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कण कितनी तेजी से पथ को पार करता है। संक्षिप्त क्रिया <math>\mathcal{S}_{0}</math> [[:hi:सामान्यीकृत निर्देशांक|सामान्यीकृत निर्देशांक]] में पथ के साथ सामान्यीकृत गति के अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:
+यह भी एक फलनात्मक होता है तथा सामान्यतः <math>\mathcal{S}_{0}</math> द्वारा दर्शाया जाता है के रूप में निरूपित किया जाता है। इसमें भौतिकी प्रणाली द्वारा अनुसरित ''पथ'', जिसका समय के अनुसार इसका मानकीकरण नहीं किया जाता, आगत फलन होता है। उदाहरण के लिए, ग्रह की कक्षा का पथ एक दीर्घवृत्त होता है,  तथा एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण का पथ एक परवलय  तथा है; दोनों ही स्थितियों में, पथ इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कण कितनी तेजी से पथ को पार करता है। संक्षिप्त क्रिया <math>\mathcal{S}_{0}</math> सामान्यीकृत निर्देशांकों में पथ के साथ सामान्यीकृत संवेग बलों के समाकल के रूप में परिभाषित होता है:
 <math>\mathcal{S}_0 = \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \int p_i \,dq_i.</math>
-[[:hi:मौपर्टुइस का सिद्धांत|माउपर्टुइस के सिद्धांत के]] अनुसार, सच्चा मार्ग वह मार्ग है जिसके लिए संक्षिप्त क्रिया होती है।
+माउपर्टुइस के सिद्धांत के अनुसार, वास्तविक पथ वह पथ है होता जिसके लिए संक्षिप्त क्रिया <math>\mathcal{S}_{0}</math> स्थिर होती है।
-=== हैमिल्टन का प्रमुख कार्य ===
+== हैमिल्टन का प्रमुख फलन ==
-हैमिल्टन का प्रमुख कार्य <math>S=S(q,t;q_0,t_0)</math> क्रिया  कार्यात्मक (action functional ) <math>\mathcal{S}</math> प्राप्त होता है प्रारंभिक समय निर्धारित करके <math>t_0</math> और प्रारंभिक समापन बिंदु <math>q_0,</math> ऊपरी समय सीमा की अनुमति देते हुए <math>t</math> और दूसरा समापन बिंदु <math>q</math> भिन्न करने के लिए। हैमिल्टन का प्रमुख कार्य हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को संतुष्ट करता है (Hamilton's principal function satisfies the Hamilton–Jacobi equation), जो [[:hi:चिरसम्मत यांत्रिकी|शास्त्रीय यांत्रिकी (classical mechanics]]) का एक सूत्रीकरण है। [[:hi:श्रोडिंगर समीकरण|श्रोडिंगर समीकरण]](Schrödinger equation) के साथ समानता के कारण, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, यकीनन, [[:hi:प्रमात्रा यान्त्रिकी|क्वांटम यांत्रिकी]] के साथ सबसे सीधा लिंक प्रदान करता है।
+हैमिल्टन का प्रमुख फलन <math>S=S(q,t;q_0,t_0)</math>, प्रारंभिक समय <math>t_0</math> तथा प्रारंभिक समापन बिंदु <math>q_0</math> को निर्धारित करके एवं ऊपरी समय सीमा <math>t</math> तथा दुसरे समापन बिंदु <math>q</math> में परिवर्तन की अनुमति देते हुए, फलनात्मक क्रिया <math>\mathcal{S}</math> से प्राप्त होता है। हैमिल्टन का प्रमुख फलन हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को संतुष्ट करता है, जो चिरसम्मत यांत्रिकी का एक सूत्रीकरण है। श्रोडिंगर समीकरण के साथ समानता के कारण हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्रमात्रा यांत्रिकी के साथ सबसे सीधी कड़ी प्रदान करता है।
-=== हैमिल्टन की विशेषता कार्य ===
-जब कुल ऊर्जा ''E'' संरक्षित हो जाती है, तो [[:hi:हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण|हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण]] (Hamilton–Jacobi equations) [[:hi:हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण|को चरों के योगात्मक पृथक्करण (additive separation of variables) से]] हल किया जा सकता है:
+== हैमिल्टन का अभिलक्षणिक फलन ==
+जब कुल ऊर्जा ''E'' संरक्षित हो जाती है, तो हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को चरों के योगात्मक पृथक्करण द्वारा हल किया जा सकता है:
 <math>S(q_1, \dots, q_N, t) = W(q_1, \dots, q_N) - E \cdot t,</math>
-जहाँ समय-स्वतंत्र फलन ''W'' ( ''q'' <sub>1</sub>, ''q'' <sub>2</sub>, ..., ''q <sub>N</sub>'' ) को ''हैमिल्टन (Hamilton)का अभिलक्षणिक फलन'' (''Hamilton's characteristic function)'' कहा जाता है। इस फ़ंक्शन के भौतिक महत्व को इसके कुल समय व्युत्पन्न (total time derivative) लेने से समझा जाता है
+जहाँ काल-निरपेक्ष फलन ''W'' ( ''q'' <sub>1</sub>, ''q'' <sub>2</sub>, ..., ''q <sub>N</sub>'' ) को ''हैमिल्टन का अभिलक्षणिक फलन'' कहा जाता है। इस फलन के भौतिक महत्व को इसके कुल समय व्युत्पन्न लेने से समझा जाता है
 <math>\frac{d W}{d t} = \frac{\partial W}{\partial q_i} \dot q_i = p_i \dot q_i.</math>
-इसे देने के लिए समाकलित ( integrated) किया जा सकता है
+इसे समाकलित करके निम्न समीकरण प्राप्त किया जा सकता है
 <math>W(q_1, \dots, q_N) = \int p_i\dot q_i \,dt = \int p_i \,dq_i,</math>
-जो सिर्फ [[:hi:Action_(physics)#Abbreviated_action_(functional)|संक्षिप्त क्रिया]]  (abbreviated action.) [[:hi:Action_(physics)#Abbreviated_action_(functional)|है]]।
+जो कि संक्षिप्त क्रिया को दर्शाता है।
-=== हैमिल्टन -जैकोबी समीकरणों के अन्य समाधान ===
+== हैमिल्टन -जैकोबी समीकरणों के अन्य समाधान ==
-[[:hi:हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण|हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण]] (Hamilton–Jacobi equations) अक्सर योगात्मक पृथक्करण (additive separability) द्वारा हल किए जाते हैं; कुछ मामलों में, समाधान के अलग-अलग पद, जैसे, ''S <sub>k</sub>''   ( ''q <sub>k</sub>'' ), को "क्रिया" भी कहा जाता है। <ref name="handfinch5">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref>
+हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्रायः योगात्मक पृथक्करण द्वारा हल किए जाते हैं; कुछ परिस्थितियों में, समाधान के अलग-अलग पद, जैसे, ''S<sub>k</sub>''(''q<sub>k</sub>''), को भी "क्रिया" कहा जाता है। <ref name="handfinch5">Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN|978-0-521-57572-0}}</ref>
-=== एक सामान्यीकृत समन्वय की क्रिया ===
+== एक सामान्यीकृत समन्वय की क्रिया ==
-यह [[:hi:क्रिया-कोण निर्देशांक|क्रिया-कोण निर्देशांक]]  में एक एकल चर ''J <sub>k</sub>'' है, जिसे [[:hi:प्रावस्था-समष्‍टि|चरण स्थान]] में एक बंद पथ के चारों ओर एकल सामान्यीकृत गति को एकीकृत करके परिभाषित किया गया है, जो घूर्णन या दोलन गति के अनुरूप है:
+यह क्रिया-कोण निर्देशांक में एक एकल चर ''J<sub>k</sub>'' है, जिसे चरण स्थान में एक बंद पथ के चारों ओर एकल सामान्यीकृत संवेग को समाकलित करके परिभाषित किया गया है, जो घूर्णन या दोलन गति के अनुरूप होता है:
 <math>J_k = \oint p_k \,dq_k</math>
-चर ''J <sub>k</sub>'' को सामान्यीकृत निर्देशांक ''q <sub>k</sub>'' की  "क्रिया" कहा जाता है; [[:hi:क्रिया-कोण निर्देशांक|क्रिया-कोण निर्देशांकों]] के तहत अधिक पूर्ण रूप से वर्णित कारणों के लिए, ''J <sub>k</sub>'' से संबंधित विहित चर संयुग्म इसका "कोण" ''w <sub>k</sub>'' है। एकीकरण केवल एक चर ''q <sub>k के</sub>'' ऊपर है और इसलिए, उपरोक्त संक्षिप्त क्रिया में एकीकृत डॉट उत्पाद के विपरीत है। चर''J <sub>k,</sub>'' ''S <sub>k</sub>'' ( ''q <sub>k</sub>'' ) में परिवर्तन के बराबर होता है क्योंकि ''q <sub>k</sub>'' बंद पथ के चारों ओर भिन्न-भिन्न होता है। ब्याज की कई भौतिक प्रणालियों के लिए,  J<sub>k</sub> या तो <sub>स्थिर  (constant)</sub> है या बहुत धीरे-धीरे बदलता है; इसलिए, चर ''J<sub>k</sub>''अक्सर गड़बड़ी गणना (perturbation calculations) में और [[:hi:रुद्धोष्म अपरिवर्तनीय|एडियाबेटिक इनवेरिएंट]] निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है।
+चर ''J<sub>k</sub>'' को सामान्यीकृत निर्देशांक ''q<sub>k</sub>'' की  "क्रिया" कहा जाता है; क्रिया-कोण निर्देशांकों के अधीन अधिक पूर्ण रूप से वर्णित कारणों के लिए, ''J<sub>k</sub>'' से संबंधित विहित चर संयुग्म ''w<sub>k</sub>'' इसका "कोण"  है। समाकलन केवल एक चर ''q<sub>k</sub>''  पर किया जाता है इसलिए उपरोक्त संक्षिप्त क्रिया में एकीकृत अदिश गुणनफल के विपरीत है। चर ''J<sub>k</sub>,S<sub>k</sub>''(''q<sub>k</sub>'') में किये गए परिवर्तन के बराबर होता है क्योंकि ''q<sub>k</sub>'' बंद पथ के चारों ओर भिन्न-भिन्न होता है। कई रोचक भौतिक प्रणालियों के लिए, J<sub>k</sub> या तो स्थिर होता है या अत्यधिक धीरे-धीरे बदलता है; इसलिए, चर ''J<sub>k</sub>'' प्रायः क्षोभ गणना में और रुद्धोष्म निश्चर को निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है।
-== See also ==
+== यह भी देखें ==
 {{Div col}}
-* [[Calculus of variations]]
+* [[विचरण कलन]]
-* [[Functional derivative]]
+* [[फलनात्मक व्युत्पन्न]]
-* [[Functional integral]]
+* [[फलनात्मक समाकल]]
-* [[Hamiltonian mechanics]]
+* [[हैमिल्टोनिय यांत्रिकी]]
-* [[Lagrangian (field theory)|Lagrangian]]
+* [[लैग्रेंजियन]]
-* [[Lagrangian mechanics]]
+* [[लैग्रेंजियन यांत्रिकी]]
-* [[Measure (physics)]]
+* [[माप (भौतिकी)]]
-* [[Noether's theorem]]
+* [[नोईथर का सिद्धांत]]
-* [[Path integral formulation]]
+* [[पथ समाकल सूत्रीकरण]]
-* [[Principle of least action]]
+* [[न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत]]
-* [[Principle of maximum entropy]]
+* [[अधिकतम एन्ट्रॉपी सिद्धांत]]
-* Some actions:
+* कुछ क्रियाएं:
-** [[Nambu–Goto action]]
+** [[नाम्बु-गोटू क्रिया]]
-** [[Polyakov action]]
+** [[पॉलीएकव क्रिया]]
-** [[Bagger–Lambert–Gustavsson action]]
+** [[बैग्गेर-लैम्बर्ट-गुस्तवस्सन क्रिया]]
-** [[Einstein–Hilbert action]]
+** [[आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया]]
 {{Div col end}}
-== References ==
+== सन्दर्भ ==
 {{Reflist}}
@@ Line 135: / Line 133: @@
 * एडविन एफ। टेलर का [http://www.eftaylor.com/leastaction.html पृष्ठ]
-== External links ==
+== बाहरी लिंक्स ==
 * [http://www.eftaylor.com/software/ActionApplets/LeastAction.html Principle of least action interactive] Interactive explanation/webpage
@@ Line 144: / Line 142: @@
 ]
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